정사각형 테셀레이션
1. 개요
정사각형 테셀레이션은 평면을 정사각형으로 완전히 덮는 규칙적인 타일링을 의미한다. 이 타일링은 9가지의 균일 색칠이 가능하며, 대칭성에 따라 다양한 패턴으로 분류될 수 있다. 또한, 정다면체 및 쌍곡면 테셀레이션과 밀접한 관련이 있으며, 위토프 구성을 통해 3가지 위상적으로 구분되는 형태의 고른 테셀레이션을 생성할 수 있다. 정사각형 타일링은 원 채우기에도 활용되어 채우기 밀도가 π/4이며, 4가지 균일 색칠이 가능하다. 복소 정 무한각형과도 관련이 있으며, 한국의 전통 건축 및 문양에도 활용된다.
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| 종류 | 정다면체 테셀레이션 |
|---|---|
| 슐레플리 기호 | {4,4} |
| 꼭짓점 배열 | 4.4.4.4 |
| 비어의 기호 | c(4,4,4,4) |
| 대칭군 | p4m (*442) |
| 쌍대 | 자기 쌍대 |
| 특성 | 꼭짓점-추이적, 변-추이적, 면-추이적 |
| 관련 테셀레이션 | 육각형 타일링 |
|---|---|
| 관련 폴리토프 | 입방체 |
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정다각형 타일링 -
정삼각형 테셀레이션
정삼각형 테셀레이션은 평면을 정삼각형으로 빈틈없이 채우는 구조로, 슐레플리 기호 {3,6}으로 표현되며, 다양한 수학적 개념 및 다른 삼각형 테셀레이션과 연관되어 여러 분야에서 활용된다. -
정다각형 타일링 -
정다각형 테셀레이션
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다면체 -
마름모구십면체
마름모구십면체는 깎은 정이십면체에 각뿔을 붙여 만든 다면체이며, 넓은 마름모 60개와 좁은 마름모 30개로 구성되고 좁은 마름모는 황금비의 제곱과 관련된 대각선 비율을 가지며 최적 충전율은 약 0.7947이다. -
다면체 -
삼각쌍뿔
삼각쌍뿔은 6개의 정삼각형 면, 5개의 꼭짓점, 9개의 모서리를 가진 존슨 다면체이자 델타다면체로, 두 정사면체를 밑면끼리 결합한 형태이며, 분자 기하학, 색채 이론 등 다양한 분야에 응용된다.
2. 균일 색칠
사각형 타일링은 다양한 방식으로 색칠될 수 있으며, 이 중 9가지의 구분되는 균일 색칠이 존재한다. 각 색칠은 꼭짓점 주변의 사각형 색깔에 따라 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234와 같이 표현된다. 여기서 (i)는 단순 반사 대칭을, (ii)는 미끄럼 반사 대칭을 가진다.
1213은 1112i로, 1234는 1123i로, 1123ii는 1112ii로 색칠을 줄여 같은 대칭 영역으로 볼 수 있다.
2.1. 대칭성에 따른 분류
정사각형 타일링에는 9가지의 균일 색칠이 있다. 꼭짓점 주변 사각형의 색깔을 숫자로 나타내면 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234와 같다. 여기서 (i)는 단순 반사 대칭을, (ii)는 미끄럼 반사 대칭을 갖는다.
1213은 1112i로, 1234는 1123i로, 1123ii는 1112ii로 색칠을 줄여 같은 대칭 영역으로 볼 수 있다.
| 1111 | 1212 | 1213 | 1112i | 1122 |
|---|---|---|---|---|
| p4m (*442) | p4m (*442) | pmm (*2222) | ||
| 1234 | 1123i | 1123ii | 1112ii | |
| pmm (*2222) | cmm (2*22) | |||
3. 관련 다면체와 테셀레이션
정사각형 타일링은 정다면체 및 다른 테셀레이션과 관련이 깊다.
이 테셀레이션은 정팔면체에서 시작해 슐레플리 기호 {n,4}를 가지는, 꼭짓점에 면이 네 개 있는 정다면체 및 테셀레이션 배열과 위상적으로 연관되어 있다.
하위 섹션에서 이미 자세히 다루고 있으므로, 여기서는 간략하게만 언급한다.
3.1. 정다면체와의 관계
이 타일링은 꼭짓점 도형이 *n*4인 정다면체 및 쌍곡면으로 확장된 정다각형 타일링 수열의 일부와 위상적으로 관련되어 있다. 슐레플리 기호는 {4, p}이며, p=3, 4, 5,...이다.
또한, 꼭짓점에 면이 네 개 있는 정다면체와 테셀레이션 배열의 일부와도 위상적으로 연관되어 있다. 이 수열은 정팔면체에서 시작하여 슐레플리 기호 {n,4}를 가지며, n이 무한으로 갈 때 쌍곡 평면이 된다.
| *n42 대칭 변형 준정규 쌍대 테셀레이션: V(4.n)2 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 대칭 *4n2 [n,4] | 구면 | 유클리드 | 콤팩트 쌍곡 | 준콤팩트 | 비콤팩트 | ||||||
| *342 [3,4] | *442 [4,4] | *542 [5,4] | *642 [6,4] | *742 [7,4] | *842 [8,4]... | *∞42 [∞,4] | [iπ/λ,4] | ||||
| 테셀레이션 배열 | V4.3.4.3 | -- V4.4.4.4 | V4.5.4.5 | V4.6.4.6 | V4.7.4.7 | V4.8.4.8 | V4.∞.4.∞ | V4.∞.4.∞ | |||
3.2. 꼭짓점 배열에 따른 분류
이 타일링은 꼭짓점에 면이 네 개가 모이는 정다면체 및 테셀레이션 배열과 위상적으로 관련되어 있다. 이 배열은 정팔면체에서 시작하여 슐레플리 기호 {n,4}로 표현되며, n이 무한대로 확장될 때 쌍곡면에 이른다.
4. 위토프 구성
고른 다면체처럼, 정사각형 타일링을 기반으로 고른 테셀레이션은 여덟 가지가 있다. 원래 면에 빨간색, 꼭짓점에 노란색, 변에 파란색을 칠하면 모든 8가지 형태를 구분할 수 있다.
5. 위상적으로 동일한 타일링
정사각형 타일링은 꼭짓점 주변에 사각형 4개가 있는 형태를 유지하면서 다양한 형태로 변형될 수 있는데, 이러한 변형들은 위상적으로 동일하다. 예를 들어 직사각형, 마름모, 평행사변형 등 다른 사각형 테셀레이션으로 변형될 수 있다.
5.1. 면추이 사각형 테셀레이션
동일한 면(면추이)과 점추이를 가지는 정사각형 테셀레이션에는 18가지 변형이 존재한다. 이러한 변형은 정사각형, 직사각형, 마름모, 평행사변형, 사다리꼴, 연꼴 등 다양한 사각형을 포함한다. 아래 표는 이러한 변형들을 보여준다.
| 이등변 pmg, (22*) | 이등변 pgg, (22×) | 부등변 pgg, (22×) | 부등변 p2, (2222) | ||
|---|---|---|---|---|---|
6. 원 채우기
정사각형 타일링은 모든 점에 지름이 같은 원의 중심을 놓아 원 채우기에 사용할 수 있다. 모든 원은 채우기에 있는 다른 4개의 원과 접촉하고 있다(입맞춤 수 문제). 채우기 밀도는 π/4이다.
6.1. 채우기 밀도
정사각형 타일링은 모든 점에 지름이 같은 원의 중심을 놓아 원 채우기에 사용할 수 있다. 모든 원은 채우기에 있는 다른 4개의 원과 접촉하고 있다(입맞춤 수 문제). 채우기 밀도는 π/4 (약 78.54%)이다.
6.2. 균일 색칠
정사각형 타일링은 모든 점에 지름이 같은 원의 중심을 놓아 원 채우기에 사용할 수 있다. 모든 원은 채우기에 있는 다른 4개의 원과 접촉하고 있다(입맞춤 수 문제). 채우기 밀도는 π/4=78.54%를 덮는다. 원 채우기의 균일 색칠은 4가지가 있다.
7. 관련된 복소 정 무한각형
정사각형 타일링과 꼭짓점을 공유하는 복소 정 무한각형은 3가지가 있다. 복소 정 무한각형은 꼭짓점과 변을 가지고 있고 변은 둘 이상의 꼭짓점을 포함할 수 있다. 정 무한각형 p{q}r은 1/p + 2/q + 1/r = 1 제약을 가진다. 변은 꼭짓점이 p개가 있고, 꼭짓점 도형은 r각형이다.
| 자기쌍대 | 쌍대 | |
|---|---|---|
| 4{4}4 | 2{8}4 | 4{8}2 |
8. 한국 문화와의 연관성
정사각형 테셀레이션은 한국 전통 건축과 디자인에서 안정감과 조화를 상징하는 중요한 요소로 사용되었다.