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정의 가능한 수

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목차

1. 개요

정의 가능한 수는 기하학적 작도, 대수적 특성, 알고리즘적 계산 가능성, 집합론적 정의, 그리고 산술적/해석적 계층을 통해 실수를 분류하는 다양한 방법을 포괄하는 개념이다. 작도 가능한 수는 컴퍼스와 눈금 없는 자를 사용하여 주어진 길이의 선분으로부터 작도할 수 있는 실수이며, 모든 유리수와 2의 제곱근 등이 이에 해당한다. 대수적 수는 정수 계수를 갖는 다항식의 근으로 표현되는 실수이고, 계산 가능한 수는 알고리즘을 통해 임의의 정밀도로 계산 가능한 실수이며, 집합론적으로 정의 가능한 수는 집합론 언어에서 1차적으로 정의 가능한 실수이다. 산술적 및 해석적 계층은 형식적 산술 이론 내에서 정의 가능성을 다루며, 각기 다른 언어와 정의 방식을 통해 실수를 분류한다. 이러한 다양한 정의 방법들은 실수의 복잡한 성질과 수학적 정의의 다양한 측면을 보여준다.

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정의 가능한 수
정의
정의어떤 특정한 형식 언어(예: 1차 논리)를 사용하여, 그 언어의 유한한 길이의 문장으로 유일하게 기술될 수 있는 실수
성질
가산성정의 가능한 실수의 집합은 가산 집합임
계산 가능성모든 정의 가능한 수는 계산 가능 수임
구성 가능성모든 정의 가능한 수는 구성 가능 수임
예시
상수0
1
π
e
연산 결과정의 가능한 수들의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 결과
방정식의 해유리수 계수를 갖는 대수 방정식의 해
비고
정의 불가능한 수거의 모든 실수는 정의 불가능함 (가산성 때문에)
모든 수의 정의 가능성 여부모든 수가 정의 가능한지 여부는 형식 언어에 따라 달라짐

2. 작도 가능한 수

실수를 정의하는 방법 중 하나는 기하학적인 방법을 이용하는 것이다. 실수 r이 작도 가능한 수라는 것은, 길이 1인 선분이 주어졌을 때 컴퍼스와 눈금 없는 자를 사용하여 유한 번 작도하여 길이 |r|인 선분을 만들 수 있다는 것을 의미한다.

모든 양의 정수와 양의 유리수는 작도 가능하다. 2의 양의 제곱근도 작도 가능하다. 그러나 2의 세제곱근은 작도 가능하지 않은데, 이는 입방 배가 불가능성과 관련이 있다.

2. 1. 작도 가능성의 정의

실수를 정의하는 방법 중 하나는 기하학적인 방법을 이용하는 것이다. 실수 *r*이 작도 가능하다는 것은, 길이 1인 선분이 주어졌을 때 컴퍼스와 눈금 없는 자를 사용하여 유한 번 작도하여 길이 |*r*|인 선분을 만들 수 있다는 것을 의미한다.

모든 양의 정수와 양의 유리수는 작도 가능하다. 2의 양의 제곱근도 작도 가능하다. 그러나 2의 세제곱근은 작도 가능하지 않은데, 이는 입방 배가 불가능성과 관련이 있다.

2. 2. 작도 가능한 수의 예

실수 r이 작도 가능하다는 것은, 주어진 길이 1의 선분에서 시작하여 컴퍼스와 자를 사용하여 길이 r의 선분을 구성하는 방법이 존재함을 말한다.

모든 양의 정수 및 유리수는 작도 가능하다. 2의 양의 제곱근도 작도 가능하다. 그러나 2의 세제곱근은 작도 가능하지 않은데, 이는 입방체 배적 문제가 컴퍼스와 자로 풀 수 없는 것과 관련이 있다.

2. 3. 작도 불가능한 수의 예

길이가 1인 선분이 주어졌을 때, 컴퍼스와 눈금 없는 자를 사용하여 길이가 r인 선분을 작도할 수 있다면 실수 r은 작도 가능한 수이다. 모든 양의 정수와 유리수는 작도 가능하며, 2의 양의 제곱근 또한 작도 가능하다. 그러나 2의 세제곱근은 작도 불가능하며, 이는 입방체 배적 문제와 관련이 있다.

3. 대수적 수



실수 r이 정수 계수 다항식 p(x)의 근이면, 즉 p(r)=0이면, r을 대수적 수라고 부른다. 모든 유리수는 작도 가능한 수이며, 모든 작도 가능한 수는 대수적이다. 2의 세제곱근처럼 대수적이지만 작도 불가능한 수도 있다.

대수적 실수 전체는 실수체의 부분체이다. 0과 1은 대수적 수이고, a와 b가 대수적 수이면, a+b, a-b, ab, 그리고 b \neq 0일 때 a/b도 대수적 수이다. 또한 양의 정수 n과 대수적 실수 a에 대해 a의 n제곱근인 실수도 대수적 수이다.

대수적 수는 가산 개뿐이지만, 실수는 비가산 개이므로, 농도의 관점에서 대부분의 실수는 대수적이지 않다.

3. 1. 대수적 수의 정의

실수 r이 정수 계수만 있는 다항식 p(x)의 근이 되어 p(r)=0을 만족하면, r을 실수 대수적 수라고 부른다. 각 실수 대수적 수는 실수에 대한 순서 관계를 사용하여 개별적으로 정의할 수 있다. 예를 들어, 다항식 q(x)가 5개의 실근을 가지면, 세 번째 근은 q(r)=0이고 q가 0인 서로 다른 두 개의 수가 r보다 작도록 하는 유일한 r로 정의할 수 있다.

실수 r이 대수적 수라는 것은 정수 계수의 다항식의 해라는 것이다. 즉, 정수 계수의 다항식 p(x)가 존재하여 p(r)=0이 되는 것이다.

모든 유리수는 대수적이며, 모든 작도 가능수도 대수적 수이다. 2의 세제곱근과 같이 작도 가능하지 않은 대수적 수도 존재한다.

3. 2. 대수적 수의 성질

실수 r이 대수적 수라는 것은 정수 계수의 다항식의 해라는 것이다. 즉, 정수 계수의 다항식 p(x)가 존재하여 p(r)=0이 되는 것이다.

모든 유리수는 대수적이며, 모든 작도 가능한 수도 대수적 수이다. 2의 세제곱근과 같이 작도 가능하지 않은 대수적 수도 존재한다.

대수적 실수 전체는 실수체의 부분체가 된다. 즉, 0과 1은 대수적 수이며, a 와 b가 대수적 실수 (단, b \neq 0 )이면 a+b, a-b, ab, a/b도 대수적 실수이다.

또한, 단순히 실수체의 부분체일 뿐만 아니라, 양의 정수 n과 대수적 실수 a에 대해 a의 n제곱근인 실수도 또한 대수적 실수가 된다.

대수적 수는 가산 개 밖에 없지만 실수는 불가산 개 존재하므로, 농도의 의미에서 대부분의 실수는 대수적이지 않다. 이 비구성적 증명은 게오르크 칸토어의 1874년 논문 "On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers"에 의해 처음 제시되었다.

대수적이지 않은 수를 초월수라고 부른다. 초월수의 가장 유명한 예는 π와 e 등이다.

3. 3. 초월수

실수 r이 정수 계수 다항식 p(x)의 근, 즉 p(r)=0을 만족하지 않으면 r을 초월수라고 부른다. 즉, 대수적이지 않은 수를 초월수라고 한다. 가장 잘 알려진 초월수는 π과 e|e영어이다.

대수적 수는 가산 개 밖에 없지만 실수는 불가산 개 존재하므로, 농도의 의미에서 대부분의 실수는 대수적이지 않다. 모든 실수가 대수적이지 않다는 이러한 비구성적 증명은 1874년 게오르크 칸토어가 발표한 논문 "모든 실수 대수적 수 집합의 속성에 관하여"에서 처음으로 제시되었다.

4. 계산 가능한 수

앨런 튜링은 1936년에 계산 가능한 수라는 개념을 제창했다. 계산 가능한 수는 알고리즘을 사용하여 임의의 자연수 n에 대해, 그 실수의 십진 전개에서 n번째 자릿수를 계산할 수 있는 실수이다.

정의 가능한 수의 집합은 체를 이루며, 0, 1, π(파이), e와 같은 수학 상수를 포함한다. 이 집합은 모든 유리수와 대수적 수를 포함하지만, 모든 논리식의 집합이 가산집합이므로 정의 가능한 수의 집합도 가산집합이다. 따라서 대부분의 실수는 정의 불가능하다.

정의 가능한 수의 체는 완비가 아니다. 모든 실수는 유리수열의 극한이므로, 정의 불가능한 수로 수렴하는 정의 가능한 수열이 존재하기 때문이다. 그러나 수열 자체가 정의 가능하면, 그 극한은 항상 정의 가능한 수가 된다.

모든 계산 가능한 수는 정의 가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 0#를 비롯해 정의 가능하지만 계산 불가능한 수가 여럿 알려져 있다.

4. 1. 계산 가능성의 정의

실수는 주어진 자연수 n에 대해 소수점 이하 n자리까지 정확한 소수 전개를 생성하는 알고리즘이 존재한다면, 계산 가능한 수이다. 이 개념은 1936년 앨런 튜링에 의해 소개되었다.

계산 가능한 수는 대수적 수와 π|파이영어와 e영어를 포함한 많은 초월수를 포함한다. 대수적 수와 마찬가지로, 계산 가능한 수도 실수의 부분 필드를 형성하며, 양의 계산 가능한 수는 각 n영어에 대해 n영어제곱근을 취하는 연산에 닫혀 있다.

모든 실수가 계산 가능한 것은 아니다. 계산 불가능한 실수의 구체적인 예로는 슈페커 수열의 극한, 그리고 알고리즘적으로 무작위 실수인 차이틴의 Ω 숫자 등이 있다.

4. 2. 계산 가능한 수의 예



계산 가능한 수는 대수적 수와 π(파이), e를 포함한 많은 초월수를 포함한다. 모든 유리수는 계산 가능하며, 모든 대수적 수 역시 계산 가능하다. 2의 세제곱근과 같이 대수적이지만 작도 불가능한 수도 계산 가능하다.

4. 3. 계산 불가능한 수

모든 계산 가능한 수는 정의 가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 정의 가능하지만 계산 불가능한 수의 예시로는 슈페커 수열의 극한과 알고리즘적으로 무작위 실수인 차이틴의 Ω 숫자 등이 있다.

스페커 수열의 극한은 계산 불가능하지만 산술적인 수의 예시이다.

5. 집합론적 정의 가능성

집합론의 언어를 사용하여 정의할 수 있는 실수를 다룬다. 정의 가능한 수들의 집합은 체를 이루며, 0, 1, π, e를 비롯해 수학 상수에 언급되는 모든 실수를 포함한다. 또한 이 집합은 모든 유리수는 물론 모든 대수적 수를 포함하고 있으나, 모든 논리식의 집합이 가산집합이므로 모든 정의 가능한 수의 집합도 가산집합이고, 따라서 대부분의 실수는 정의 불가능하다.

정의 가능한 수들의 체는 완비가 아니다. 모든 실수는 유리수열의 극한이므로, 정의 불가능한 수로 수렴하는 정의 가능한 수들의 열이 존재하기 때문이다. 그러나 수열 자체가 정의 가능할 경우, 이 수열의 극한은 언제나 정의 가능한 수가 된다.

모든 계산 가능한 수는 정의 가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 0#를 비롯해, 정의 가능하지만 계산 불가능한 수가 여럿 알려져 있다.

5. 1. 정의 가능성의 정의

실수 a가 매개변수 없이 집합론 언어에서 1차적으로 정의 가능하다는 것은, 집합론 언어에서 자유 변수가 하나인 공식 \varphi가 존재하여 a가 \varphi(a)가 성립하는 유일한 실수임을 의미한다. 이 개념은 집합론 언어의 공식으로 표현될 수 없다.

모든 해석적 수, 특히 모든 계산 가능한 수는 집합론 언어에서 정의 가능하다. 따라서 집합론 언어에서 정의 가능한 실수는 0, 1, \pi, e 등과 같은 모든 익숙한 실수와 모든 대수적 수를 포함한다.

무한히 많은 실수를 포함하는 ZFC 집합론의 각 모형 M은 M 내에서 정의할 수 없는 실수(매개변수 없이)를 포함해야 한다. 이는 공식이 셀 수 없이 많고, 따라서 M에서 정의 가능할 수 있는 M의 요소가 셀 수 없이 많다는 사실에서 비롯된다.

이 주장은 폰 노이만 우주에 ZFC를 적용하면 더 문제가 된다. "실수 x가 ''클래스'' 모형 N에서 정의 가능하다"는 주장은 ZFC의 공식으로 표현될 수 없다. 마찬가지로, 폰 노이만 우주가 정의할 수 없는 실수를 포함하는지 여부에 대한 질문은 ZFC 언어의 문장으로 표현될 수 없다. 또한, 모든 실수, 모든 실수 집합, 실수에 대한 함수 등이 정의 가능한 ZFC의 가산 모형이 존재한다.

5. 2. 정의 가능한 수의 예

체를 이루는 정의 가능한 수에는 0, 1, π, e와 같은 익숙한 실수와 모든 대수적 수가 포함된다. 모든 계산 가능한 수는 정의 가능하지만, 0#와 같이 정의 가능하지만 계산 불가능한 수도 알려져 있다. 모든 해석적 수는 집합론적으로 정의 가능하며, 여기에는 모든 계산 가능한 수가 포함된다.

실수 대수적 수는 실수에 대한 순서 관계를 사용하여 개별적으로 정의할 수 있다. 예를 들어 다항식 q(x)가 5개의 실근을 가지면, 세 번째 근은 q(r)=0이고 q가 0인 서로 다른 두 개의 수가 r보다 작도록 하는 유일한 r로 정의할 수 있다.

대수적이지 않은 수는 초월수라고 하며, 가장 잘 알려진 초월수는 π과 e이다.

5. 3. 정의 불가능한 수

정의 가능한 수들의 집합은 체를 이루지만, 모든 실수를 포함하지는 않는다. 대부분의 실수는 정의 불가능하며, 이는 대각선 논법으로 증명 가능하다. 정의 가능한 수들의 체는 완비가 아니며, 정의 불가능한 수로 수렴하는 정의 가능한 수들의 열이 존재할 수 있다. 그러나 수열 자체가 정의 가능하면 그 극한은 항상 정의 가능한 수가 된다.

모든 계산 가능한 수는 정의 가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 0#와 같이 정의 가능하지만 계산 불가능한 수가 존재한다.

ZFC 집합론의 각 모형 M은 M 내에서 정의할 수 없는 실수를 포함해야 한다. 이는 공식이 셀 수 없이 많고, 따라서 M에서 정의 가능할 수 있는 M의 요소가 셀 수 없이 많다는 사실에서 비롯된다.

폰 노이만 우주와 같은 클래스 모형에 ZFC를 적용하면 "실수 x가 클래스 모형 N에서 정의 가능하다"는 주장은 ZFC의 공식으로 표현될 수 없다. 폰 노이만 우주가 정의할 수 없는 실수를 포함하는지 여부 또한 ZFC 언어로 표현할 수 없다. 모든 실수, 모든 실수 집합, 실수에 대한 함수 등이 정의 가능한 ZFC의 가산 모형도 존재한다.

6. 산술적 계층과 해석적 계층

페아노 산술과 같은 산술의 형식적 이론에 의한 정의 가능성도 다룬다.

산술의 언어는 0, 1, 후속자 함수, 덧셈, 곱셈을 나타내는 기호를 가지며, 이들은 자연수에 대한 통상적인 해석을 전제한다.

실수 a가 ''산술적으로 정의 가능'' (또는 ''산술적''이다) 하다는 것은,

그 데데킨트 절단이 산술의 언어의 술어로서 정의될 수 있다는 것을 의미한다.

즉, 산술의 언어에서 일계의 식 \varphi로 자유 변수를 3개 가지는 것으로,

\forall m \, \forall n \, \forall p \left (\varphi(n,m,p)\iff\frac{(-1)^p\cdot n}{m+1}

가 되는 것이 존재한다는 것이다. 여기서 ''m'',''n'',''p''는 양의 정수 위를 움직이는 것으로 한다.

2차 산술의 언어는 일계 산술의 언어에 더하여, 자연수 전체의 부분 집합 전부를 넘는 양화 기호와 변수를 사용하는 것이다. 실수가 2차 산술로 정의 가능할 때 그것을 ''해석적''이라고 한다.

모든 계산 가능한 실수는 산술적이다. 산술적 실수는 실수의 부분체를 이루고 있으며, 해석적 실수도 마찬가지이다. 모든 산술적 수는 해석적이지만, 해석적인 수 중에서 산술적이지 않은 것이 존재한다. 해석적 수는 가산 개수밖에 없으므로, 대부분의 실수는 해석적이지 않으며, 산술적이지도 않다.

Specker sequence의 극한은, 계산 가능하지 않지만 해석적인 실수의 한 예이다.

산술적 실수와 해석적 실수의 정의는 산술적 계층과 해석적 계층 내에서 계층화할 수 있다. 일반적으로, 실수가 계산 가능하다는 것과, 그 데데킨트 절단이 산술적 계층의 최하층에 있는 \Delta^0_1에 위치하는 것은 동치이다. 마찬가지로, 산술적인 데데킨트 절단으로 정의되는 실수의 집합은 해석적 계층의 최하층을 구성한다.

6. 1. 산술적 계층

페아노 산술과 같은 산술의 형식적 이론에서 정의 가능성을 다룬다. 실수 a가 산술 언어에서 정의 가능하다는 것은 해당 데데킨트 절단이 해당 언어의 술어로 정의될 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 산술 언어에 세 개의 자유 변수가 있는 일차 논리식 \varphi가 존재하여, 다음과 같다.

:\forall m \, \forall n \, \forall p \left (\varphi(n,m,p)\iff\frac{(-1)^p\cdot n}{m+1}

여기서 'm', 'n', 'p'는 음이 아닌 정수를 포괄한다.

2차 산술 언어는 1차 언어와 동일하지만, 변수와 수량자가 자연수 집합을 포괄하도록 허용된다는 점이 다르다. 산술 언어에서 2차로 정의 가능한 실수를 ''해석적''이라고 한다.

모든 계산 가능한 실수는 산술적이며, 산술적 숫자들은 해석적 숫자들과 마찬가지로 실수의 부분체를 형성한다. 모든 산술적 수는 해석적이지만, 모든 해석적 수가 산술적인 것은 아니다. 해석적 수는 셀 수 있을 정도로 많기 때문에 대부분의 실수는 해석적이지 않으며, 따라서 산술적이지도 않다.

모든 계산 가능한 수는 산술적이지만, 모든 산술적 수가 계산 가능한 것은 아니다. 예를 들어, 슈페커 수열의 극한은 계산할 수 없는 산술적 수이다.

산술적 및 해석적 실수의 정의는 산술적 계층과 해석적 계층으로 계층화될 수 있다. 일반적으로, 실수는 데데킨트 절단이 산술적 계층의 \Delta^0_1 수준, 즉 가장 낮은 수준 중 하나에 있을 때 계산 가능하다. 마찬가지로, 산술적 데데킨트 절단을 가진 실수들은 해석적 계층의 가장 낮은 수준을 형성한다.

6. 2. 해석적 계층

2차 산술 언어는 1차 언어와 동일하지만, 변수와 수량자가 자연수 집합을 포괄하도록 허용된다는 점이 다르다. 산술 언어에서 2차로 정의 가능한 실수를 ''해석적''이라고 한다.

모든 계산 가능한 실수는 산술적이며, 산술적 숫자들은 해석적 숫자들과 마찬가지로 실수의 부분체를 형성한다. 모든 산술적 수는 해석적이지만, 모든 해석적 수가 산술적인 것은 아니다. 해석적 수는 셀 수 있을 정도로 많기 때문에 대부분의 실수는 해석적이지 않으며, 따라서 산술적이지도 않다.

모든 계산 가능한 수는 산술적이지만, 모든 산술적 수가 계산 가능한 것은 아니다. 예를 들어, 슈페커 수열의 극한은 계산할 수 없는 산술적 수이다.

산술적 및 해석적 실수의 정의는 산술적 계층과 해석적 계층으로 계층화될 수 있다. 일반적으로, 실수는 데데킨트 절단이 산술적 계층의 \Delta^0_1 수준, 즉 가장 낮은 수준 중 하나에 있을 때 계산 가능하다. 마찬가지로, 산술적 데데킨트 절단을 가진 실수들은 해석적 계층의 가장 낮은 수준을 형성한다.


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