종이접기의 수학

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1. 개요
2. 역사
3. 정통 종이접기
- 3.1. 평면 접기
- 3.2. 후지타-하토리 공리
4. 작도
5. 관련 문제
6. 전산 종이접기
참조

1. 개요

종이접기의 수학은 종이접기를 통해 기하학적 작도를 연구하는 분야이다. 종이접기는 오래전부터 다양한 문화권에서 발전해 왔으며, 19세기 말 T. 순드라 라오의 《종이접기의 기하학 연습》 출간을 통해 수학적 연구가 시작되었다. 20세기 초 벨로치 접기를 통해 삼차 방정식의 해를 종이접기로 나타낼 수 있음이 밝혀졌고, 미우라 접기는 지도 제작 및 우주 항공 분야에 응용될 가능성을 제시했다. 종이접기는 세제곱 배, 각의 삼등분 문제 해결에 기여했으며, 후지타-하토리 공리와 같은 공리들이 정립되었다. 현대에는 컴퓨터를 이용한 종이접기 설계가 활발히 연구되고 있으며, 강체 접기, 냅킨 접기 문제, 곡선 종이접기 등 다양한 관련 문제들이 연구되고 있다. 또한, 전산 종이접기 연구를 통해 종이접기 문제를 해결하기 위한 알고리즘이 개발되고 있으며, 로봇 공학, 공학, 생명 공학 등 다양한 분야에 응용되고 있다.

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종이접기의 수학
수학 분야
분야	기하학
하위 분야	작도 가능성
관련 분야	수학, 종이접기
역사
기원	고대
창시자	아키타 히사시, 리카르도 알바레스
주요 개념
기본 개념	후지타-하토리 공리
주요 정리	마에카와 정리, 가와사키 정리
응용 분야
응용	수학 과학 공학 미술

2. 역사

1893년 인도의 수학자 T. Sundara Rao^eng는 유치원에서의 종이접기 놀이에 영감을 받아 《종이접기의 기하학 연습》(Geometric Exercises in Paper Folding^eng)을 출간했다.^[73]^[3] 이 책에서 그는 종이접기를 이용한 기하학적 작도 증명을 선보였으며,^[3] 각의 대략적인 삼등분 방법을 제시했지만, 삼차 방정식을 다루지는 못했다.^[73] 그의 연구는 이후 독일 수학자 펠릭스 클라인의 주목을 받으며 종이접기의 수학적 가능성에 대한 관심을 높이는 계기가 되었다.^[72]

1922년에는 해리 후디니가 수학적 접근법을 활용한 종이접기 기술을 설명하는 《후디니의 종이 마법》(Houdini's Paper Magic^eng)을 출판했다.^[4] 1924년에는 C. A. Rupp^eng의 "종이접기 조작"(Origami Manipulation^eng)이 나왔고,^[72] 1936년 이탈리아의 수학자 마르게리타 벨로치(Margharita P. Beloch)는 '벨로치 접기'를 통해 일반적인 삼차 방정식의 해를 종이접기로 구할 수 있음을 증명하는 논문을 발표했다.^[5]^[72] 이는 훗날 후지타-하토리 공리의 여섯 번째 공리와 동일한 내용임이 밝혀졌다.^[74]

1949년 R. C. Yates^eng는 저서 《기하학적 방법》(Geometric Methods^eng)에서 후지타-하토리 공리의 첫 번째, 두 번째, 다섯 번째에 해당하는 작도를 설명했다.^[75]^[76]^[6]^[7] 이 공리들은 1986년 프랑스의 수학자 자크 쥐스탱(Jacques Justin)이 처음으로 완전하게 정리했으나,^[13] 1989년 일본의 후지타 후미아키(藤田文章^jpn)가 처음 여섯 개를 재발견하면서 널리 알려지게 되었다.^[77]^[13]

요시자와-랜들렛 시스템의 도해법은 1961년에 소개되어 종이접기 표기법의 발전에 기여했다.^[8] 일본에서는 1970년대 후시미 코지가 수학 세미나에 종이접기와 기하학에 관한 글을 연재했고, 1979년에는 단행본 《종이접기의 기하학》을 출간했다.^[72]

주름 패턴 미우라 접기. 이 예제의 평행사변형은 84°와 96°의 각도를 가집니다.

1980년에는 유클리드 작도로는 불가능한 각의 삼등분 작도가 종이접기로 가능하다는 것이 보고되었다.^[38] 같은 해, 미우라 고료와 사카마키 마사모리는 미우라 접기라는 새로운 지도 접기 기술을 발표했다. 이 방식은 접기 선들이 상호 의존적으로 작용하여 지도를 한 번의 동작으로 펴고 접을 수 있게 하며, 매우 작게 압축할 수 있다는 장점이 있다.^[9] 1985년 미우라는 이 기술을 우주 공간에서 큰 막 구조물을 펴고 접는 방법에 적용할 수 있음을 보였고,^[10] 2012년에는 우주선의 태양 전지판에 실제로 적용되었다.^[11]^[12]

1986년에는 Messer^eng가 유클리드 작도로는 불가능한 세제곱 배 문제를 종이접기로 해결하는 작도를 보고했다.^[35]

종이접기에 대한 학문적 관심이 높아지면서 1989년 이탈리아 페라라에서는 제1회 국제 종이접기 과학 기술 회의(현 종이접기 과학, 수학, 교육 국제 회의)가 개최되었다.^[14]^[72] 이 회의에서 Scimemi^eng는 정칠각형 작도를 발표했다.^[14]

1990년대에 들어서면서 컴퓨터를 이용한 종이접기 연구가 활발해졌다. 로버트 J. 랭(Robert J. Lang) 등은 종이접기 문제를 해결하는 컴퓨터 알고리즘 개발을 시도했다.^[15] 1996년 Marshall Bern^eng과 Barry Hayes^eng는 평면 종이에서 특정 주름 패턴으로 평평한 종이접기 구조를 만드는 문제가 NP-완전 문제임을 증명했다.^[27] 1999년에는 Haga^eng가 정사각형의 변을 임의의 유리수 비율로 나누는 작도를 제시한 하가의 정리가 발표되었다.^[31]^[32]

2001년 말에서 2002년 초, Britney Gallivan^eng은 종이를 특정 횟수만큼 반으로 접는 데 필요한 최소 길이를 증명하고, 약 1219.20m 길이의 화장지를 12번 접는 데 성공했다.^[41]^[42] 2002년에는 사라-마리 벨캐스트로(Sarah-Marie Belcastro)와 톰 헐(Tom Hull)이 아핀 변환 개념을 이론 종이접기에 도입했으며,^[16] Alperin^eng은 알하젠의 문제를 해결하고 정칠각형 작도를 제시했다.^[17] 2004년에는 정칠각형 접기 패턴이 알고리즘적으로 증명되었고,^[18] 2005년 Alperin^eng은 이등분과 삼등분을 이용한 작도를 발표했다.^[19]

2003년에는 옥스퍼드 대학교의 Jeremy Gibbons^eng가 함수형 프로그래밍의 개념을 종이접기에 적용한 "종이접기 프로그래밍"(Origami Programming^eng) 패러다임을 제시했다.^[20] 2009년 Alperin^eng과 랭은 다면체 주름 개념을 이용하여 임의 차수의 대수 방정식 해법으로 이론적 종이접기를 확장했다.^[22]^[23] 이는 랭이 2004년에 비공개적으로 시연했던 각의 5등분 작도를 공식화한 것이었다.^[23]^[24] 최근에는 타치 토모히로(도쿄대), 미타니 준(쓰쿠바대) 등의 연구 성과가 주목받고 있다.^[72]

3. 정통 종이접기

정통 종이접기는 종이를 자르거나 풀을 사용하지 않고 오직 접는 행위만을 통해 원하는 형태를 만드는 것을 기본 원칙으로 삼는다.

3. 1. 평면 접기

마에카와 정리의 결과: 주름 사이의 영역은 두 가지 색으로 칠할 수 있다.

종이접기 모형의 구조는 종종 접기 패턴으로 표현된다. 이러한 패턴 제작에서 중요한 문제는 주어진 패턴을 평평한 종이를 찢거나 자르지 않고 접어서 평면 모형으로 만들 수 있는지, 그리고 가능하다면 어떻게 접어야 하는지이다. 이 문제는 NP-완전 문제에 해당한다.^[78]^[25] 주름이 직교하는 경우만 허용하는 관련 문제로는 지도 접기 문제가 있다. 평면으로 접을 수 있는 종이접기 패턴을 만들기 위한 세 가지 주요 수학적 규칙이 있다.^[79]^[26]

# '''마에카와 정리''' (Maekawa's theorem): 모든 꼭짓점에서, 산 접기의 수와 골짜기 접기의 수는 항상 2만큼 차이가 난다.

#: 이 정리로부터 모든 꼭짓점은 짝수 개의 주름을 가지며, 따라서 주름 사이의 영역을 두 가지 색상으로 칠할 수 있다는 결론을 얻을 수 있다.

# '''가와사키 정리''' (Kawasaki's theorem) 또는 가와사키-저스틴 정리: 모든 꼭짓점에서, 그 점을 둘러싸는 각도들을 번갈아 가며 더했을 때 그 합은 각각 180도가 되어야 한다. 즉, α₁ + α₃ + ... = 180° 이고 α₂ + α₄ + ... = 180° 이다.

# 종이는 접힌 부분을 통과하거나 관통할 수 없다. 즉, 접는 과정에서 종이의 한 부분이 다른 부분을 뚫고 지나갈 수 없다.

종이는 표면의 모든 지점에서 가우스 곡률이 0이며, 자연스럽게 곡률이 0인 선(직선)을 따라 접힌다. 그러나 젖은 종이나 손톱 등을 이용하면, 종이에 직접적인 주름을 만들지 않고도 평평하게 펼 수 없는 곡면을 만들 수 있다.

주어진 접기 패턴에 대해 평면 모형을 만들기 위해 어떤 주름을 산 접기로 하고 어떤 주름을 골짜기 접기로 할지 결정하는 문제는 마셜 번(Marshall Bern)과 배리 헤이즈(Barry Hayes)에 의해 NP-완전 문제임이 증명되었다.^[80]^[27] 이와 관련된 더 자세한 연구 결과와 기술적인 내용은 ''기하학적 접기 알고리즘''(Geometric Folding Algorithms)의 2부에서 찾아볼 수 있다.^[81]^[28]

3. 2. 후지타-하토리 공리

입방체의 배적 문제나 각의 3등분과 같은 고전적인 작도 문제는 컴퍼스와 자만을 이용하여서는 해결할 수 없다는 것이 증명되어 있다. 그러나 종이접기에서는 이러한 문제들을 해결하는 것이 가능하다.^[82]^[29]^[59] 종이접기의 접는 선은 4차 방정식의 해를 나타낼 수 있으며, 이를 통해 4차 방정식까지 풀 수 있는 방법을 구성할 수 있다.^[83]^[30]^[59]
후지타-하토리 공리(Huzita–Hatori axioms^eng)는 종이접기 분야의 중요한 공리로, 한 번 접을 때마다 생기는 점과 선들의 조합으로 어떤 작도가 가능한지를 설명한다.^[83]^[30] 이 공리는 한 번에 최대 두 개의 점 또는 선 정렬을 사용하여 접는 일련의 과정으로 무엇을 구성할 수 있는지를 보여주며, 이를 통해 4차 방정식까지의 해를 구하는 방법을 설명하는 데 중요한 기여를 했다.^[30] 후지타 아야 등은 자와 컴퍼스의 범위를 넘는 종이접기 작도에 대한 고찰을 통해 종이접기 공리를 정립하는 데 기여했으며, 이는 관련 연구에 큰 도움이 되었다.^[59] 이러한 공리를 만족하는 방법을 적용하여 4차 방정식까지 모두 푸는 완전한 방법은 ''기하학적 종이접기''에서 더 자세히 다루어진다.^[30]

4. 작도

종이접기는 기하학적 원리를 이용하여 다양한 도형과 비율을 만드는 데 활용될 수 있다. 하가의 정리와 같은 연구 결과는 정사각형 종이의 변을 정확하게 3등분, 5등분, 7등분, 9등분하는 방법을 제공하며,^[30] 이를 통해 정사각형으로부터 정삼각형, 정오각형, 정육각형 등 다양한 정다각형과 황금 직사각형, 은 직사각형 같은 특별한 비율의 사각형을 만들 수 있다.^[83]^[30] ISO 216 규격 사각형을 만드는 것도 가능하다.^[83] 정19각형까지 대부분의 정다각형을 접는 방법이 개발되었으며,^[30] 일반적으로 정''n''각형은 ''n''이 서로 다른 피어폰트 소수와 2의 거듭제곱, 3의 거듭제곱의 곱으로 표현될 때 종이접기로 작도할 수 있다.^[30]

자와 컴퍼스 작도로는 오랫동안 해결 불가능하거나 불가능하다고 증명된 문제들이 있었는데, 그중 각의 삼등분 문제와 입방체 배적 문제는 종이접기를 통해 해결 가능하다.^[59] 또한, 종이접기를 이용한 4차 방정식까지의 해법도 발견되었다. 자와 컴퍼스 작도에 대응하는 조작 외에도, 종이접기는 그 범위를 넘어서는 작도를 가능하게 하며,^[60] 후지타-하토리 공리는 이러한 작도 가능성을 체계적으로 설명하는 데 기여했다.

주어진 접는 선에 따라 종이를 접을 수 있는지, 그리고 접힌 결과물이 평면에 놓일 수 있는지(평면 접기 가능성)는 중요한 문제 중 하나이다. 마샬 번 (Marshall Bern)과 배리 헤이즈 (Barry Hayes)는 산 접기나 골 접기 정보 없이 접기도만 주어졌을 때 평면 접기 가능성을 판단하는 것이 NP 완전 문제임을 증명했다.^[61]^[62] 평면 접기가 가능하기 위한 조건으로는 마에카와 정리 (필요 조건)와 카와사키 정리 (필요충분 조건)가 알려져 있다. 카와사키 정리에 따르면, 전개도의 각 교점 주변에 있는 모든 각의 수열 $a_1, \ldots, a_{2n}$ 이 $a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1} = a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n} = 180^\circ$ 조건을 만족해야 한다. 즉, 교점을 둘러싼 각들을 하나씩 건너뛰며 더한 합이 각각 180°가 되어야 한다.^[63]^[64]

4. 1. 하가의 정리

AP가 유리수이면 BQ도 항상 유리수이다. 하가의 첫 번째 정리를 나타낸 그림.

정사각형 종이의 한 변은 하가의 정리를 이용하여 임의의 유리수 비율로 분할될 수 있다. 하가의 정리는 이러한 분할을 사용하여 특정한 작도를 할 수 있음을 보여준다.^[84]^[31]^[32] 예를 들어, 매우 간단한 접기만으로도 각의 등분이 가능하다. 세 번만 접어서 각의 1/5 크기를 만들 수 있는데, 먼저 한 변을 반으로 나누고 하가의 정리를 두 번 적용하여 2/3를 만든 다음, 다시 적용하여 1/5을 생성하는 방식이다.

하가의 첫 번째 정리는 점 P가 변 AD 위의 임의의 점일 때, 선분 BQ의 길이를 다음과 같이 나타낸다.

:

BQ = \frac{2 AP}{1 + AP}

여기서 AP의 길이를 QC의 길이로 바꾸는 함수는 자기 자신으로 돌아오는 대합 함수(자기 역함수)이다. 즉, AP의 길이를 ''x''라고 할 때, 다른 여러 선분의 길이는 아래 표와 같이 ''x''에 대한 함수로 표현할 수 있다.

하가의 첫 번째 정리
AP	BQ	QC	AR	PQ
$x$	$\frac{2 x}{1+x}$	$\frac{1-x}{1+x}$	$\frac{1-x^2}{2}$	$\frac{1+x^2}{1+x}$
1/2	2/3	1/3	3/8	5/6
1/3	1/2	1/2	4/9	5/6
2/3	4/5	1/5	5/18	13/15
1/5	1/3	2/3	12/25	13/15

하가의 정리와 같은 기하학적 원리를 적용한 종이 접기 연구 덕분에, 종이 접기 기술자들은 정사각형의 변을 정확하게 3등분, 5등분, 7등분, 9등분할 수 있게 되었다. 또한, 이러한 방법들을 통해 정사각형으로부터 정삼각형, 정오각형, 정육각형과 같은 다른 정다각형이나, 황금 직사각형, 백은 직사각형과 같은 특별한 비율의 직사각형을 얻는 방법도 개발되었다. 현재까지 정19각형까지 대부분의 정다각형을 접는 방법이 알려져 있다.^[30] 종이 접기로 정''n''각형을 만들 수 있는 필요충분조건은 ''n''이 서로 다른 피어폰트 소수와 2의 거듭제곱, 3의 거듭제곱의 곱으로 표현될 수 있을 때이다.

4. 2. 입방체의 배적

그림과 같이 접으면 PB/PA 의 비율은 $\sqrt[3]{2}$ 가 된다.

종이접기는 삼차 방정식의 해인 세제곱근을 구할 수 있으므로, 고대 그리스의 3대 작도 불가능 문제 중 하나인 입방 배적 문제를 해결할 수 있다. 피터 메서(Peter Messer)는 이를 위한 작도를 제시했다.^[85]^[34]

메서의 방법은 다음과 같다: 먼저 정사각형 종이를 세 개의 동일한 줄로 접는다. 그런 다음 그림과 같이 아래쪽 모서리를, 모서리 점 P가 위쪽 가장자리에 닿고 모서리의 접힌 선이 다른 접힌 선 위의 점 Q를 만나도록 배치한다. 이렇게 접으면 선분 PA와 PB의 길이 비율(PB/PA)은

\sqrt[3]{2}

가 된다.^[86]^[35]

이 작도 방법은 고대 그리스에서 허용한 컴퍼스와 자 작도 규칙에는 벗어난다. 특히, 접는 과정에서 점 P를 위쪽 가장자리에 두면서 동시에 접힌 선이 점 Q를 지나도록 하는 것은 눈금 있는 자를 사용하는 것과 유사하며, 이는 뉴시스 작도에 해당한다.

4. 3. 각의 삼등분

각의 삼등분은 자와 컴퍼스 작도로는 해결할 수 없는 고전적인 작도 문제이다.^[36] 그러나 종이접기로는 삼차 방정식의 해를 구하는 것이 가능하기 때문에, 자와 컴퍼스로는 불가능했던 각의 삼등분 문제를 해결할 수 있다.^[85]

1980년에 보고된 이 작도는 아베 히사시가 고안한 방법이다.^[34]^[38] 주어진 각 CAB를 삼등분하기 위해 먼저 종이의 밑변과 평행한 선 PP'와 그 중간선 QQ'를 접는다. 그 다음, 점 P가 반직선 AC 위의 점 P'에 놓이도록 접는 동시에, 꼭짓점 A가 선분 QQ' 위의 점 A'에 놓이도록 접는다. 이렇게 접었을 때 만들어지는 각 A'AB는 원래 각 CAB 크기의 3분의 1이 된다.^[87]^[37] 이는 생성된 세 삼각형 PAQ, A'AQ, A'AR이 서로 합동이기 때문이다.^[37] 두 점을 동시에 두 선 위에 오도록 맞추는 이 방식은 세제곱 배 문제의 해법과 마찬가지로 네우시스 작도에 해당한다.^[37]^[38]

5. 관련 문제

강체 접기는 금속판과 같이 변형되지 않는 재료를 경첩으로 연결하여 접는 방법을 다룬다. 이 문제는 종이접기에서 접힌 부분을 평평하고 단단한 표면 두 개를 연결하는 경첩으로 취급하며, 실용적으로 매우 중요하다. 예를 들어 미우라 지도 접기는 인공위성에 장착하는 대형 태양 전지판 배열을 어떻게 효율적으로 접었다 펼 것인가를 해결하는 데 사용된 강체 접기 방식이다.^[11]^[12]

냅킨 접기 문제는 주어진 평면(예: 정사각형 또는 직사각형 종이)을 그보다 작은 공간 안에 접어 넣는 문제를 다룬다. 구체적으로는 평평한 도형으로 접었을 때 그 둘레가 원래 도형의 둘레보다 커질 수 있는지에 대한 문제이다.

한편, 곡선 종이접기는 전혀 다른 수학적 문제를 다룬다.^[88] 이는 평평하지 않은 전개 가능 곡면으로 이루어진 종이를 다루며, 패턴에서 곡선 접기에 점을 배치하려면 타원 적분의 해가 필요할 수 있다.^[39] 곡선 종이접기는 종이가 평평하지 않은 전개 가능한 표면을 형성할 수 있게 한다.^[39]

젖은 종이접기는 또 다른 문제를 다루는 분야이다. 이는 요시자와 아키라가 개발한 기술로, 종이를 물에 적셔 곡선 형태를 만들고 유지함으로써 더 높은 차수의 복잡한 형태를 더 광범위하게 만들 수 있게 한다.

접을 수 있는 최대 횟수 역시 종이접기의 수학에서 다루어지는 주제이다. 매번 종이를 접을 때마다 접을 수 있는 면적이 줄어들기 때문에 손실 함수를 고려해야 한다. 압축할 수 없는 재료를 한 방향으로 반으로 접을 수 있는 최대 횟수에 대한 손실 함수는

L=\tfrac{\pi t}{6} (2^n + 4)(2^n - 1)

로 주어지며, 여기서 ''L''은 종이(또는 다른 재료)의 최소 길이, ''t''는 재료의 두께, 그리고 ''n''은 가능한 접기 횟수이다.^[89]^[40] 거리 ''L''과 ''t''는 같은 단위(예: 인치)로 표현되어야 한다. 이 결과는 2001년 12월 캘리포니아 출신의 고등학생 브리트니 캘리반이 도출했다. 그녀는 2002년 1월, 약 1219.20m 길이의 화장지를 같은 방향으로 12번 접는 데 성공하여, 종이는 8번 이상 반으로 접을 수 없다는 오랜 통념을 반증했다. 이는 일반적으로 알려진 8번보다 많은 횟수로, 그녀는 이를 위해 새로운 접는 방식을 제시하였다.^[90]^[41]^[42]

접고 자르기 문제는 종이 조각을 평평하게 접고 한 번의 직선 완전 절단을 하여 어떤 모양을 얻을 수 있는지 묻는 질문이다. 접고 자르기 정리로 알려진 이 해답은 직선 변을 가진 모든 모양을 얻을 수 있다고 명시한다.

실용적인 문제 중 하나는 최소한의 노력이나 움직임으로 조작할 수 있도록 지도를 접는 방법이다. 미우라 접기는 이 문제의 해결책 중 하나이며, 몇 가지 다른 해결책도 제안되었다.^[43]

주어진 주름 패턴(접는 선)에 따라 종이접기가 가능한지, 더 나아가 완성된 형태가 평면에 놓일 수 있는지(flat-foldable) 여부도 중요한 문제이다. 마셜 번(Marshall Bern)과 배리 헤이즈(Barry Hayes)는 산 접기나 골 접기의 지시가 없는 접기도가 주어졌을 때, 그것이 전체적으로 평면에 접힐 수 있는지 판별하는 문제는 NP-완전 문제임을 증명했다.^[27]^[61] 특정 지점에서 평평하게 접힐 수 있는지에 대한 몇 가지 조건이 알려져 있다. 마에카와 정리는 어떤 패턴이 평평하게 접힐 수 있는지에 대한 필요 조건을 제시한다. 또한, 카와사키 정리(가와사키 도시카즈 발견)^[63]는 필요 충분 조건으로, 전개도에서 각 교점 주변의 각도 수열

a_1, \ldots, a_{2n}

이

a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1} = a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n} = 180^\circ

를 만족해야 한다고 제시했다. 즉, 교점을 둘러싼 각 중 하나 건너 각들의 합이 각각 180도가 되어야 한다.^[64]

6. 전산 종이접기

전산 종이접기는 컴퓨터 과학의 한 분야로, 종이접기 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 연구한다. 이 분야의 발전에는 1990년대 초 종이접기 예술가들이 참여했던 '버그 전쟁(Bug Wars)'이라는 대회가 영향을 미쳤다. 이 대회에서 참가자들은 종이접기 곤충의 복잡성을 높이며 경쟁했고, 대부분은 저명한 일본 예술가 그룹인 '종이접기 탐정단' 소속이었다.^[44] 당시 스탠퍼드 대학교와 캘리포니아 공과대학교의 연구 과학자였던 로버트 J. 랭도 이 대회에 참여했으며, 이는 종이접기 디자인과 접기 과정을 돕는 보편적인 모델과 도구를 개발하려는 공동의 관심을 촉발하는 계기가 되었다.^[44]

전산 종이접기 연구는 크게 세 가지 범주로 나뉜다: 보편성 결과, 효율적인 결정 알고리즘, 그리고 계산 불가능성 결과이다.^[45]

보편성 결과: 특정 접기 모델로 무엇을 만들 수 있는지를 정의한다. 예를 들어, 충분히 큰 종이 한 장으로는 어떤 나무 모양의 종이접기 기본형, 다각형 실루엣, 또는 다면체 표면도 접을 수 있다는 것이 증명되었다.^[46]
효율적인 결정 알고리즘: 어떤 물체를 다항 시간 안에 접을 수 있는지 빠르게 판단하는 방법을 연구한다.^[45]
계산 불가능성 결과: 특정 종이접기 문제를 효율적으로 풀 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 보여준다. 예를 들어, 1996년 마셜 번과 배리 헤이즈는 주어진 주름 패턴이 평평한 종이접기 모형으로 접힐 수 있는지 판단하는 문제가 NP-완전 문제임을 증명했다.^[27]^[47]

2003년에는 옥스퍼드 대학교의 제레미 기번스가 종이접기의 접기(fold)와 펼치기(unfold) 개념을 이용해 함수형 프로그래밍의 스타일을 설명하며 '종이접기 프로그래밍'이라는 용어를 만들었다.^[20] 2017년에는 매사추세츠 공과대학교(MIT)의 에릭 데메인과 도쿄 대학교의 타치 토모히로가 어떤 3차원 구조든 만들 수 있는 실용적인 종이접기 패턴을 생성하는 새로운 보편적 알고리즘을 발표했다. 이 알고리즘은 최소한의 접기 선으로 종이접기 형태를 만드는 방법을 제시한 1999년 논문에 기반하며,^[48] 타치가 2008년에 처음 공개한 무료 종이접기 설계 소프트웨어인 Origamizer에 포함될 예정이다.^[48]

종이접기 설계를 돕는 다양한 소프트웨어 설계 도구들이 개발되었다. 사용자가 원하는 모양이나 기능을 입력하면, 이 도구들은 접기 패턴이나 결과물의 2D/3D 모델을 만들어준다. TreeMaker, ReferenceFinder, OrigamiDraw, Origamizer 등이 대표적인 예이다.^[50] 매사추세츠 공과대학교, 조지아 공과대학교, 캘리포니아 대학교 어바인, 쓰쿠바 대학교, 도쿄 대학교 등의 연구자들이 이 분야에서 공개적으로 사용 가능한 도구들을 개발하고 발표해왔다.^[50]

이 외에도 DNA 종이접기와 같이 종이가 아닌 다른 재료를 사용하는 계산 종이접기 모델을 위한 소프트웨어(예: Cadnano)도 개발되었다.^[51]

전산 종이접기 기술은 로봇 공학, 공학, 생명 공학 및 의학, 산업 디자인 등 다양한 분야에 응용되고 있다.^[52] 또한 프로그래밍 언어 연구, 특히 함수형 프로그래밍 환경에서도 활용된다.^[53] 구체적인 응용 사례는 다음과 같다.

자동차 에어백: 로버트 J. 랭은 독일 EASi Engineering과 협력하여 자동차 에어백을 효율적으로 접는 디자인을 개발했다.^[54]
우주 망원경: 랭은 로렌스 리버모어 국립 연구소와 함께 제임스 웹 우주 망원경의 거대한 거울을 로켓에 실을 수 있도록 접는 방법을 개발하는 데 기여했다.^[55]
자체 조립 로봇: 2014년 매사추세츠 공과대학교, 하버드 대학교, 와이스 연구소 연구팀은 스스로 접혀서 걸어갈 수 있는 로봇을 시연하며, 전산 종이접기 기술의 발전을 중요한 성공 요인으로 꼽았다.^[56]
의료 및 생명 공학: DNA 종이접기나 RNA 종이접기 기술, 제조 기구 접기, 작은 종이접기 로봇을 이용한 수술 등에 활용된다.^[57]
산업 및 광고: 로버트 J. 랭은 토요타 아발론, 미쓰비시 엔데버, 맥도날드 등 여러 기업의 광고 제작에 참여하여 종이접기 기술을 활용한 시각 효과를 만들었다.^[58]

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