컴퍼스와 자 작도

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1. 개요

컴퍼스와 자 작도는 자와 컴퍼스를 사용하여 기하학적 도형을 작도하는 방법을 연구하는 분야이다. 정다각형의 작도 가능성은 페르마 소수와 관련이 있으며, 특정 조건을 만족하는 정다각형은 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다. 그러나 모든 정다각형을 작도할 수 있는 것은 아니며, 각의 삼등분, 정육면체 배적, 원적 문제는 자와 컴퍼스만으로는 해결할 수 없는 3대 작도 불가능 문제로 꼽힌다. 작도에 자와 컴퍼스 외의 다른 도구를 사용하거나, 도구 사용에 제한을 두는 확장된 작도 방법도 존재하며, 종이 접기나 눈금 있는 자를 활용한 작도는 자와 컴퍼스보다 강력한 작도 능력을 보여준다. 또한, 컴퍼스만 사용하거나 자만 사용하는 제한된 작도에 대한 연구도 이루어지고 있다.

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컴퍼스와 자 작도
개요
정의	자와 컴퍼스만을 사용하여 점, 선, 원을 그리는 기하학적 작도법 또는 그러한 작도에 의해 도형을 그리는 것
다른 이름	유클리드 작도 플라톤 작도
도구
자 (定規)	눈금 없는 자 두 점을 연결하는 직선을 긋는 데 사용 길이를 측정하는 데는 사용하지 않음
컴퍼스	한 점을 중심으로 하는 원을 그리는 데 사용 두 점 사이의 거리를 옮기는 데 사용
기본 작도
직선 긋기	두 점을 연결하는 직선을 긋기
원 그리기	주어진 점을 중심으로 하고 주어진 반지름을 갖는 원을 그리기
교점 찾기	두 직선, 직선과 원, 또는 두 원의 교점을 찾기
작도 가능한 수
정의	주어진 단위 길이를 사용하여 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 길이를 나타내는 수 즉, 좌표 평면 위의 두 점 사이의 거리를 나타내는 수
특징	사칙연산과 제곱근을 유한 번 사용하여 나타낼 수 있는 수 유리수와 유리수에 제곱근을 더하거나 빼거나 곱하거나 나눈 수로 표현 가능
작도 불가능한 문제
3대 작도 불능 문제	π가 초월수이므로 원과 넓이가 같은 정사각형을 그리는 문제 주어진 각을 3등분하는 문제 주어진 정육면체 부피의 2배가 되는 정육면체를 작도하는 문제
작도 불가능 조건	작도해야 하는 수가 유리수에서 시작하여 사칙연산과 제곱근 연산만으로 표현될 수 없는 경우 방정식의 해가 3차 이상의 기약 방정식의 근을 포함하는 경우
역사
기원	고대 그리스 시대
중요성	기하학적 구성의 기초 수학적 사고 발달에 기여
응용
기하학	다양한 기하학적 도형 작도
건축	설계 및 디자인
공학	정밀한 도면 제작
관련 개념
해석기하학	좌표계를 사용하여 기하학적 문제를 대수적으로 해결하는 방법
군론	대칭성을 연구하는 수학 분야
갈루아 이론	방정식의 해를 연구하는 수학 분야

2. 정다각형의 작도

정다각형을 작도하다 보면 작도가 될 때도 있고 안 될 때도 있다. 이 사실은 '어떤 정다각형이 작도가 가능하고 어떤 정다각형이 작도가 불가능하냐'라는 문제로 이어졌다. 작도 가능한 정다각형의 판정방법은 다음과 같다.

:만약 ''n''이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수들의 곱들로 이루어져 있을 때, 정''n''각형은 작도 가능하다.

좀 더 풀어 쓰면, 작도 가능한 정다각형은 다음 조건들로 나타내어진다.

# ''n''이 페르마 소수라면, 즉 2^{2^a}+1 의 꼴의 수 중에서 소수라면 정''n''각형은 작도 가능하다.

# ''n''이 서로 다른 페르마 소수들의 곱일 경우 정''n''각형은 작도 가능하다.

# 정''n''각형이 작도 가능할 경우 정2''n''각형도 작도 가능하다.

작도 가능한 다각형

일부 정다각형 (예: 오각형)은 자와 컴퍼스로 쉽게 작도할 수 있지만, 그렇지 않은 경우도 있다. 이로 인해 다음과 같은 질문이 제기되었다. 자와 컴퍼스로 모든 정다각형을 작도하는 것이 가능할까?

카를 프리드리히 가우스는 1796년에 정십칠각형을 작도할 수 있음을 보였고, 5년 후 ''n''이 홀수 소인수가 서로 다른 페르마 소수일 경우 자와 컴퍼스로 정''n''각형을 작도할 수 있음을 보였다. 가우스는 이 조건이 또한 필요 조건이라고 추측했고, 이 추측은 1837년 피에르 방첼에 의해 증명되었다.^[11]

처음 몇 개의 작도 가능한 정다각형은 다음과 같은 변의 개수를 가진다.

:3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272...

짝수 변을 가진 무한히 많은 작도 가능한 정다각형이 존재하는 것으로 알려져 있다. (정''n''각형이 작도 가능하다면, 정2''n''각형, 정4''n''각형, 정8''n''각형 등도 작도 가능하기 때문입니다.) 그러나 5개의 페르마 소수만 알려져 있으며, 이는 홀수 변을 가진 31개의 알려진 작도 가능한 정''n''각형만 존재한다는 것을 의미한다.

정삼각형과 정오각형, 이 두 정다각형의 꼭짓점 개수의 최소공배수와 같은 수의 꼭짓점을 가진 정십오각형, 정사각형, 그리고 이 꼭짓점 개수에 2의 거듭제곱을 곱한 수의 꼭짓점을 가진 정다각형이 작도가능하다는 것은 고대 그리스의 수학자 유클리드가 저술한 『원론』에 기록되어 있으며, 널리 알려져 있었다. 오랫동안 그 이상의 것은 밝혀지지 않았으나, 가우스가 1796년 3월 30일에 정십칠각형이 작도가능하다는 것을 발견했다^[26]^[27]。 동시에 정오십일각형, 정팔십오각형, 정이백오십오각형, 및 17 또는 이들의 꼭짓점 개수에 2의 거듭제곱을 곱한 수의 꼭짓점을 가진 정다각형이 작도가능하다는 것도 발견되었다. 가우스는 더 나아가 1801년에 출판한 『산술 연구 (Disquisitiones Arithmeticae)』에서 정 ''n''각형이 작도가능하기 위한 필요충분조건이, ''n''이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱, 즉

: ''n'' = 2^''m''F_''a''F_''b''…F_''c'' (F_''a'', F_''b'', …, F_''c''는 모두 서로 다른 페르마 소수, ''m''은 음이 아닌 정수)

의 형태임을 보였다^[28]。 이것은 1의 원시 ''n'' 제곱근 ζ_''n''의 갈루아 군의 구조가 2차 확장의 반복에 의해 얻어지는 것을 특징짓는 것으로 얻어진다.

2. 1. 작도 가능한 정다각형

일부 정다각형(예: 오각형)은 자와 컴퍼스로 쉽게 작도할 수 있지만, 그렇지 않은 경우도 있다.^[11] 카를 프리드리히 가우스는 1796년에 정십칠각형을 작도할 수 있음을 보였고, 5년 후 ''n''이 홀수 소인수가 서로 다른 페르마 소수일 경우 자와 컴퍼스로 정''n''각형을 작도할 수 있음을 보였다.^[11] 가우스는 이 조건이 필요 조건이라고 추측했고, 이 추측은 1837년 피에르 방첼에 의해 증명되었다.^[11]

처음 몇 개의 작도 가능한 정다각형은 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272 등이다.

짝수 변을 가진 무한히 많은 작도 가능한 정다각형이 존재한다. 정''n''각형이 작도 가능하다면, 정2''n''각형, 정4''n''각형, 정8''n''각형 등도 작도 가능하기 때문이다. 그러나 5개의 페르마 소수만 알려져 있으며, 이는 홀수 변을 가진 31개의 알려진 작도 가능한 정''n''각형만 존재한다는 것을 의미한다.

정삼각형과 정오각형, 이 두 정다각형의 꼭짓점 개수의 최소공배수와 같은 수의 꼭짓점을 가진 정십오각형, 정사각형, 그리고 이 꼭짓점 개수에 2의 거듭제곱을 곱한 수의 꼭짓점을 가진 정다각형이 작도가능하다는 것은 고대 그리스의 수학자 유클리드가 저술한 『원론』에 기록되어 있었다. 오랫동안 그 이상의 것은 밝혀지지 않았으나, 가우스가 1796년 3월 30일에 정십칠각형이 작도가능하다는 것을 발견했다.^[26]^[27] 가우스는 1801년에 출판한 『산술 연구 (Disquisitiones Arithmeticae)』에서 정 ''n''각형이 작도가능하기 위한 필요충분조건이, ''n''이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱, 즉

: ''n'' = 2^''m''F_''a''F_''b''…F_''c'' (F_''a'', F_''b'', …, F_''c''는 모두 서로 다른 페르마 소수, ''m''은 음이 아닌 정수)

의 형태임을 보였다.^[28]

2. 2. 작도 불가능한 정다각형

일부 정다각형은 자와 컴퍼스로 작도할 수 있지만, 모든 정다각형을 작도할 수 있는 것은 아니다. 카를 프리드리히 가우스는 1796년에 정십칠각형을 작도할 수 있음을 보였고, 1801년 출판한 『산술 연구 (Disquisitiones Arithmeticae)』에서 정''n''각형이 작도가능하기 위한 필요충분조건이, ''n''이 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱, 즉

: ''n'' = 2^''m''F_''a''F_''b''…F_''c'' (F_''a'', F_''b'', …, F_''c''는 모두 서로 다른 페르마 소수, ''m''은 음이 아닌 정수)

의 형태임을 보였다.^[28] 가우스는 이 조건이 필요 조건이라고 추측했고, 이 추측은 1837년 피에르 방첼에 의해 증명되었다.^[11]

따라서 페르마 소수와 관련되지 않은 소수를 포함하는 정다각형은 작도가 불가능하다. 예를 들어 정칠각형, 정구각형, 정십일각형 등은 작도가 불가능하다. 작도 불가능한 정다각형은 를 참조.

3. 작도 가능한 각

정삼각형의 작도를 통해 60°를, 정오각형의 작도를 통해 72°를 작도할 수 있다.^[4] 60°를 4등분하여 15°, 30°, 45°를, 72°를 4등분하여 18°, 36°, 54°를 작도할 수 있다.^[4]

18°에서 15°를 뺀 3°가 작도 가능하므로, 작도 가능한 각은 3의 배수이다.^[4] 22.5°, 78.75°와 같이 1.5°의 배수, 0.75°의 배수인 각 또한 작도 가능하다.^[4]

정십칠각형, 정이백오십칠각형의 작도가 가능하므로 360°/17, 360°/257 및 이들의 배수인 각 또한 작도할 수 있다.^[4]

구성 가능한 각도와 구성 가능한 원 위의 구성 가능한 점 사이에는 전단사가 존재한다.^[4] 구성 가능한 각도는 2π를 모듈로로 하는 덧셈에 대해 아벨 군을 형성하며, 이는 복소수로 간주되는 단위 원 위의 점들의 곱셈에 해당한다. 구성 가능한 각도는 정확히 그 탄젠트(또는 동등하게 사인 또는 코사인)가 숫자로 구성 가능한 각도이다.^[4] 예를 들어, 정십칠각형의 경우 가우스가 발견한 다음 식이 성립한다.^[4]

: $\begin{align}\cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} &= \,-\frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{16} \sqrt{17} \,+\, \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}}\\[5mu]&\qquad +\, \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }\end{align}$

구성 가능한 각도의 군은 각도를 절반으로 나누는 연산(복소수에서 제곱근을 취하는 것)에 대해 닫혀 있다. 두 점을 시작으로 구성할 수 있는 유한 차수의 유일한 각도는 차수가 2의 거듭제곱이거나 2의 거듭제곱과 구별되는 페르마 소수 집합의 곱인 각도이다. 또한 무한 차수의 구성 가능한 각도의 조밀한 집합이 있다.^[4]

4. 기본적인 작도

모든 자와 컴퍼스 작도는 이미 작도된 점, 선, 원을 사용하여 다섯 가지 기본 작도를 반복적으로 적용하여 구성된다. 다음은 다섯 가지 기본 작도이다.

두 점을 지나는 선을 작도
한 점을 포함하고 다른 점을 중심으로 하는 원을 작도
두 (평행하지 않은) 선의 교차점에 점을 작도
선과 원의 교차점에서 접선인 한 점 또는 할선인 두 점을 작도 (교차하는 경우)
두 원의 교차점에서 한 점 또는 두 점을 작도 (교차하는 경우).

예를 들어, 서로 다른 두 점으로 시작하여 선이나 두 원 중 하나를 만들 수 있다 (각 점을 중심으로 하고 다른 점을 통과시킨다). 두 원을 모두 그리면 교차점에서 두 개의 새로운 점이 생성된다. 두 개의 원래 점과 이 새로운 점 중 하나를 잇는 선을 그리면 정삼각형 작도가 완료된다.

가장 많이 사용되는 컴퍼스와 자 작도는 다음과 같다.

선분의 수직 이등분선 작도
선분의 중점 찾기.
점에서 선에 수선 작도.
각의 이등분
선에 대한 점의 반사
원과 접하는 선 작도
세 개의 공선점이 아닌 점을 지나는 원 작도
주어진 점을 지나고 주어진 선에 평행한 선 그리기.

'''각의 이등분선'''

각의 이등분은 주어진 각을 이등분하는 선을 작도하는 것이다. 이등분할 각은 임의의 세 점 X, O, Y가 이루는 각 ∠XOY이다. 먼저 점 O를 중심으로 하는 적당한 크기의 원을 그려 반직선 OX, 반직선 OY와의 교점을 각각 A, B라고 한다. 그런 다음 점 A, B를 중심으로 하고 반지름 길이가 같은 두 원을 그려, 그 교점 중 하나를 P라고 한다. 마지막으로 반직선 OP를 그리면, 두 이등분각 ∠XOP와 ∠POY가 생성된다.

'''선분의 수직이등분선'''

선분의 수직이등분선은 다음과 같이 작도할 수 있다.

# 선분의 양 끝점을 중심으로, 반지름이 선분의 반보다 적당히 큰 원을 둘 그린다.

# 두 원이 만나서 생기는 교점끼리 잇는다.

'''크기가 같은 각'''

점 O를 중심으로 하는 적당한 크기의 원을 그려 반직선 OX, 반직선 OY와의 교점을 각각 A, B라고 한다. 컴퍼스 크기를 그대로 하여 점 P를 중심으로 하는 원을 그려 반직선 PQ와의 교점을 D라고 한다. 점 D를 중심으로 하고 선분 AB를 반지름으로 하는 원을 그려 위 원과의 교점을 C라고 한다.

'''수선 (평각의 이등분)'''

# 점 P를 중심으로 적당한 크기의 원을 그려서 직선 ''l''과 만나는 교점을 각각 A, B라고 한다. (점P는 직선''l''위에 있지 않다.)

# 점 A를 중심으로 적당한 원을 그린다.

# 점 B를 중심으로 반지름 길이가 위와 같은 원을 그린다. 그리고 위 원과의 교점을 Q라고 한다.

# 직선 PQ를 그린다.

'''선분의 등분'''

주어진 선분을 원하는 개수만큼 등분하는 방법은 다음과 같다.

1. 등분하고자 하는 선분에서 임의의 각도로 반직선을 하나 긋는다.

2. 반직선의 시작점에서 일정한 길이씩 떨어진, 등분하고자 하는 개수만큼의 점을 만든다.

3. 가장 끝의 점과 선분의 반직선과 접하지 않은 끝을 잇는다.

4. 3번의 선분과 평행하고 두 번째 점과 접하는 직선을 그린다.

5. 점이 끝날 때까지 평행한 선을 계속 그린다.

선분 AB가 주어졌을 때, 절편 정리를 사용하여 이 선분을 등분할 수 있다.

'''정삼각형'''

주어진 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 작도하는 방법은 다음과 같다.

선분의 양 끝 점에서 반지름이 선분과 같은 두 원을 그린다.
이때 생기는 교점과 선분 양 끝점을 잇는다.

'''평행선'''

점 P를 지나면서 직선 ''l''과 만나는 직선을 그어 그 교점을 점 A라고 한다. 점 A를 중심으로 적당한 크기의 원을 그려 직선 PA, 직선 ''l''과의 교점을 각각 B, C라고 한다. 점 P를 중심으로 반지름의 길이가 위와 같은 원을 그려 직선 PA와의 교점을 점 Q라고 한다. 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 선분 BC와 같은 원을 그린다. 점 Q를 중심으로 반지름의 길이가 위와 같은 원을 그려 원과의 교점을 점 R이라고 한다. 직선 PR을 그리면 이 직선은 l과 평행하다.

'''직각의 3등분'''

정삼각형을 이용하면 30도를 작도할 수 있으므로 직각은 3등분할 수 있다. 직각의 삼등분 순서는 다음과 같다.

직각에서 임의의 반지름을 가지는 호 AB를 그린다. (이하 호의 중심은 O)
A를 중심으로 1번과 같은 반지름을 가지는 호 OD를 그린다. (이때 D는 호 AB와 원 A 의 교점)
B를 중심으로 1번과 같은 반지름을 가지는 호 OE를 그린다. (이때 E는 호 AB와 원 B 의 교점)
O 와 D,E를 이으면 직각이 삼등분된 것이다.

임의의 각을 3등분 하는 작도는 '3대 작도 불가능 문제' 중 하나이다.

4. 1. 각의 이등분선

각의 이등분은 주어진 각을 이등분하는 선을 작도하는 것이다. 이등분할 각은 임의의 세 점 X, O, Y가 이루는 각 ∠XOY이다. 먼저 점 O를 중심으로 하는 적당한 크기의 원을 그려 반직선 OX, 반직선 OY와의 교점을 각각 A, B라고 한다. 그런 다음 점 A, B를 중심으로 하고 반지름 길이가 같은 두 원을 그려, 그 교점 중 하나를 P라고 한다. 마지막으로 반직선 OP를 그리면, 두 이등분각 ∠XOP와 ∠POY가 생성된다.

4. 2. 선분의 수직이등분선

선분의 수직이등분선은 다음과 같이 작도할 수 있다.

# 선분의 양 끝점을 중심으로, 반지름이 선분의 반보다 적당히 큰 원을 둘 그린다.

# 두 원이 만나서 생기는 교점끼리 잇는다.

4. 3. 크기가 같은 각

점 O를 중심으로 하는 적당한 크기의 원을 그려 반직선 OX, 반직선 OY와의 교점을 각각 A, B라고 한다. 컴퍼스 크기를 그대로 하여 점 P를 중심으로 하는 원을 그려 반직선 PQ와의 교점을 D라고 한다. 점 D를 중심으로 하고 선분 AB를 반지름으로 하는 원을 그려 위 원과의 교점을 C라고 한다.

4. 4. 수선 (평각의 이등분)

# 점 P를 중심으로 적당한 크기의 원을 그려서 직선 ''l''과 만나는 교점을 각각 A, B라고 한다. (점P는 직선''l''위에 있지 않다.)

# 점 A를 중심으로 적당한 원을 그린다.

# 점 B를 중심으로 반지름 길이가 위와 같은 원을 그린다. 그리고 위 원과의 교점을 Q라고 한다.

# 직선 PQ를 그린다.

가장 많이 사용되는 컴퍼스와 자 작도는 다음과 같다.

선분의 수직 이등분선 작도
선분의 중점 찾기.
점에서 선에 수선 작도.
각의 이등분
선에 대한 점의 반사
원과 접하는 선 작도
세 개의 공선점이 아닌 점을 지나는 원 작도
주어진 점을 지나고 주어진 선에 평행한 선 그리기.

4. 5. 선분의 등분

주어진 선분을 원하는 개수만큼 등분하는 방법은 다음과 같다.

1. 등분하고자 하는 선분에서 임의의 각도로 반직선을 하나 긋는다.

2. 반직선의 시작점에서 일정한 길이씩 떨어진, 등분하고자 하는 개수만큼의 점을 만든다.

3. 가장 끝의 점과 선분의 반직선과 접하지 않은 끝을 잇는다.

4. 3번의 선분과 평행하고 두 번째 점과 접하는 직선을 그린다.

5. 점이 끝날 때까지 평행한 선을 계속 그린다.

선분 AB가 주어졌을 때, 절편 정리를 사용하여 이 선분을 등분할 수 있다.

4. 6. 정삼각형

주어진 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 작도하는 방법은 다음과 같다.

선분의 양 끝 점에서 반지름이 선분과 같은 두 원을 그린다.
이때 생기는 교점과 선분 양 끝점을 잇는다.

4. 7. 평행선

점 P를 지나면서 직선 ''l''과 만나는 직선을 그어 그 교점을 점 A라고 한다. 점 A를 중심으로 적당한 크기의 원을 그려 직선 PA, 직선 ''l''과의 교점을 각각 B, C라고 한다. 점 P를 중심으로 반지름의 길이가 위와 같은 원을 그려 직선 PA와의 교점을 점 Q라고 한다. 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 선분 BC와 같은 원을 그린다. 점 Q를 중심으로 반지름의 길이가 위와 같은 원을 그려 원과의 교점을 점 R이라고 한다. 직선 PR을 그리면 이 직선은 l과 평행하다.

4. 8. 직각의 3등분

정삼각형을 이용하면 30도를 작도할 수 있으므로 직각은 3등분할 수 있다. 직각의 삼등분 순서는 다음과 같다.

직각에서 임의의 반지름을 가지는 호 AB를 그린다. (이하 호의 중심은 O)
A를 중심으로 1번과 같은 반지름을 가지는 호 OD를 그린다. (이때 D는 호 AB와 원 A 의 교점)
B를 중심으로 1번과 같은 반지름을 가지는 호 OE를 그린다. (이때 E는 호 AB와 원 B 의 교점)
O 와 D,E를 이으면 직각이 삼등분된 것이다.

임의의 각을 3등분 하는 작도는 '3대 작도 불가능 문제' 중 하나이다.

5. 자 없이 컴퍼스만으로 하는 작도

모르-마스케로니 정리에 따르면, 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 도형은 컴퍼스만으로도 작도 가능하다.^[14] 이는 아르키메데스 공리의 진실성에 달려있다.^[14] 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니가 증명했으며, 이 정리의 내용이 담긴 논문은 평소 수학을 좋아하던 나폴레옹 1세에게 헌정되기도 했다. 단, 이 때에 두 점이 주어지면 직선은 그어진 것이라고 본다. 즉, 원과 원의 교점을 이용하여 작도할 수 있지만 직선과 직선, 직선과 원의 교점은 이용할 수 없는 것과 같다. 컴퍼스만으로 가능한 작도의 예시로는 나폴레옹의 문제가 있다.

자만으로는 제곱근을 구할 수 없으므로 자로는 작도할 수 없는 일부를 컴퍼스로 작도할 수 있다. 그러나 퐁슬레-슈타이너 정리에 따르면, 원과 그 중심이 주어지면 작도가 가능하다.

6. 3대 작도 불가능 문제

'''3대 작도 불가능 문제'''(３大作圖不可能問題)는 고대 그리스 시대부터 내려온 세 가지 작도 문제이다. 2000년 이상의 오랜 시간 동안 많은 사람들이 풀이를 구하려고 했으나 성공하지 못했고, 19세기에 들어와서 세 가지 문제 모두 작도가 불가능하다는 것이 증명되었다. 세 가지 문제는 다음과 같다.

주어진 각을 삼등분하는 문제-각의 3등분 문제
주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체를 작도하는 문제-입방 배적 문제
주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제 -원적 문제

고대 그리스인들은 자신들이 풀 수 없었던 작도 문제들이 단순히 고집스러울 뿐, 풀 수 없는 문제는 아니라고 생각했다.^[5] 그러나 현대적인 방법들을 통해 이러한 자와 컴퍼스 작도는 논리적으로 수행이 불가능하다는 것이 밝혀졌다.

1837년에 방첼은 각의 삼등분 문제와 정육면체 배적 문제는 삼차 방정식을 풀어야 함을 증명했다. 자명하지 않은 삼차 방정식의 근으로 생성되는 체는 확대 차수가 3이 되어, 그러한 수를 좌표로 하는 점은 작도할 수 없다. 원적 문제는 방정식 ''x''² = π''r''² 의 해를 구하는 것과 동일하다 (π는 원주율). 1882년에 린데만에 의해 π가 초월수임이 증명되었고, 작도가 불가능함이 밝혀졌다.

덧붙여, 불가능함이 증명되었음에도 불구하고, 여전히 각의 삼등분이 작도 가능함을 증명하려는 사람들이 있으며, 각의 삼등분가(Trisector)라고 불린다.

6. 1. 각의 3등분

각의 삼등분은 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 주어진 임의의 각을 3등분하는 작도이다. 이것은 일반적인 경우에는 불가능하다.^[7] 예를 들어 72° 각도는 삼등분될 수 있지만, 60° 각도는 삼등분될 수 없다.^[7]

각의 삼등분 문제는 고대 그리스 시대부터 제기된 3대 작도 불가능 문제 중 하나이다.^[7] 다른 두 문제는 주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 문제(원적 문제)와 주어진 정육면체의 2배 부피를 갖는 정육면체를 작도하는 문제(정육면체 배적 문제)이다.^[7]

1837년 피에르 방첼은 각의 삼등분 문제와 정육면체 배적 문제는 삼차 방정식을 풀어야 함을 증명했다. 자명하지 않은 삼차 방정식의 근으로 생성되는 체는 확대 차수가 3이 되어, 그러한 수를 좌표로 하는 점은 작도할 수 없다.^[7]

불가능함이 증명되었음에도 불구하고, 여전히 각의 삼등분이 작도 가능함을 증명하려는 사람들이 있으며, 각의 삼등분가(Trisector)라고 불린다. 자와 컴퍼스 이외의 도구를 사용하거나, 다른 방식으로 사용하여 각의 삼등분을 작도하는 것은 가능하지만, 원래의 "각의 삼등분 문제"에 대한 해답은 아니다.

6. 2. 정육면체 배적 (델로스의 문제)

정육면체 배적 문제는 주어진 정육면체의 부피를 두 배로 하는 정육면체를 작도하는 문제로, 흔히 델로스의 문제라고도 불린다. 기원전 430년경 아테네에 전염병이 돌았을 때, 델로스의 아폴로 신탁에서 '제단을 두 배로 만들라'는 신탁이 내려졌고, 이에 아테네 시민들은 제단의 각 변을 두 배로 늘렸지만 전염병은 멈추지 않았다. 신탁의 뜻은 제단의 길이를 두 배로 늘리는 것이 아니라 부피를 두 배로 늘리라는 것이었기 때문이다. 제단의 길이를 두 배로 늘리면 제단의 부피는 여덟 배가 된다. 원래 정육면체의 부피를 V라고 한다면, 2V의 부피를 가지는 정육면체는 원래 정육면체보다 변의 길이가

\sqrt[3]{2}

배가 되어야 한다.

정육면체 배가는 자와 컴퍼스만을 사용하여 주어진 모서리를 가진 정육면체의 부피의 두 배가 되는 정육면체의 모서리를 작도하는 문제이다. 그러나

\sqrt[3]{2}

는 작도 가능한 수가 아니므로, 이 문제는 눈금 없는 자와 컴퍼스로는 해결할 수 없다. 2의 세제곱근이 최소 다항식이 3차이기 때문이다.

1837년에 방첼은 각의 삼등분 문제와 정육면체 배적 문제는 삼차 방정식을 풀어야 함을 증명했다.

6. 3. 원적 문제

원적 문제는 원의 정방형화라고도 하며, 자와 컴퍼스만을 사용하여 주어진 원과 동일한 면적을 가진 정사각형을 작도하는 문제이다.^[6] 이는 초월수인 √π/√π^영어를 생성해야 하는 문제와 관련이 있기 때문에 불가능하다.^[6] 오직 정수로부터 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근의 유한한 일련의 연산을 통해 구성된 특정 대수적 수들만이 자와 컴퍼스만으로 작도될 수 있다.^[6] 눈금없는 자와 컴퍼스를 이용해서는

1:\sqrt{\pi}

와 같은 비율을 만들 수 없기 때문이다. 1882년에 린데만이 원주율(π)이 초월수임을 증명하면서, 작도가 불가능함이 밝혀졌다. 이러한 이유로 "원적문제"라는 문구는 종종 "불가능한 일을 하는 것"을 의미하는 데 사용된다.^[6]

자와 컴퍼스만으로 해결해야 한다는 제약이 없다면, 이 문제는 다양한 기하학적 및 대수적 수단을 통해 쉽게 해결할 수 있으며, 고대에도 여러 번 해결되었다.^[6] 케플러 삼각형을 사용하면 "원의 정방형화"에 매우 근접하게 근사할 수 있다.

6. 4. 삼등분가

임의의 각을 3등분하는 문제는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번 사용하는 것으로는 해결이 불가능함이 증명되었다.^[35] 그런데도 이 문제, 특히 각의 3등분 문제를 해결할 수 있다고 주장하는 사람들을 '''삼등분가'''(trisector)라고 부른다.^[35] 이들은 자신의 방법으로 작도가 가능하며, 권위 있는 수학자들이 이해를 거부한다는 주장을 펼친다.^[35] 또한 이들은 임의의 각의 삼등분이 작도 불가능하다는 증명을 이해하지 못하고, 자신의 주장에 대한 오류 지적도 인정하지 않는 경향이 있다.^[35]

그러나 '''"불가능함이 증명되었다."'''는 것은 어떠한 새로운 논리나 방법론이 등장해도 바뀌지 않는 '''"절대로 불가능하다."'''는 의미이므로, 삼등분가들의 주장은 검토할 가치가 없다.^[35] 따라서 전 세계 대부분의 수학계에서는 삼등분가의 주장을 담은 논문을 인정하지 않는다.^[35]

고대 그리스의 히피아스는 원적 곡선을 이용하여 3등분각 작도에 성공했지만, 이는 특수한 곡선을 이용했다는 점에서 논란의 여지가 있다. 일반적인 경우, 예를 들어 /3 라디안 (60°) 각도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 없다.^[7]

7. 확장된 작도

고대 그리스인들은 작도에 필요한 도구의 복잡성에 따라 작도를 세 가지 주요 범주로 분류했다. 자와 컴퍼스만 사용하면 평면 작도, 원 외에 하나 이상의 원뿔 곡선이 필요하면 입체 작도, 다른 두 범주에 속하지 않는 모든 작도는 세 번째 범주로 분류했다.^[15] 이러한 분류는 현대 대수적 관점과 일치한다. 필드 연산과 제곱근만을 사용하여 표현할 수 있는 복소수는 평면 작도를 가진다. 세제곱근 추출도 포함하는 복소수는 입체 작도를 가진다.

체(field)의 언어로 표현하면, 평면 작도를 갖는 복소수는 2의 거듭제곱 차수를 가지며, 각 확장이 2차인 체의 타워로 분해될 수 있는 체 확장에 속한다. 입체 작도를 갖는 복소수는 소인수가 2와 3뿐인 차수를 가지며, 각 확장이 2 또는 3차인 체의 타워의 맨 위에 있는 체 확장에 속한다.

아르키메데스, 니코메데스, 아폴로니우스는 눈금자를 이용한 작도를 제시했다.^[20] 이를 통해 선분, 두 개의 선(또는 원) 및 한 점이 주어졌을 때, 주어진 점을 지나고 두 주어진 선과 교차하며, 교차점 사이의 거리가 주어진 선분과 같도록 하는 선을 그릴 수 있었다. 그리스인들은 이것을 ''네우시스''(기울기, 경향 또는 접근)라고 불렀다.^[31]

이 확장된 방식에서, 임의의 각을 삼등분하거나([http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/archi.shtml 아르키메데스의 삼등분]) 임의의 세제곱근을 추출할 수 있다(니코메데스에 의해서).^[20] 따라서, 기존 거리에 대한 비율이 3차 방정식 또는 4차 방정식의 해인 모든 거리는 작도가 가능하다. 눈금자를 사용하여, 정칠각형과 같이 견고한 작도를 갖는 정다각형은 작도가 가능하며, 존 호턴 콘웨이와 리처드 K. 가이는 그 중 몇 가지에 대한 작도를 제시했다.^[20]^[33]

네우시스 작도는 에우클레이데스(유클리드)의 『원론』이 다루는 기하학의 범위를 넘어서는 것이며, 유클리드 기하학에서는 네우시스에 관한 공리도 정리도 다루지 않는다.^[31] 눈금이 있는 자와 네우시스를 사용하면 각의 삼등분^[32] 및 입방배적이 가능하다. 이를 통해 정칠각형, 정구각형 등 일부 정다각형이 작도 가능해졌다.^[33]

각의 삼등분만을 허용할 때 작도 가능한 정다각형에 대한 완전한 기술은 이미 알려져 있다.^[34] 그러나, 무한히 많은 소수 ''p''에 대한 정 ''p''-각형이 자와 컴퍼스와 각의 삼등분기를 사용하여 작도 가능한지는 알려져 있지 않다.

벤자민과 스나이더는 정 11각형을 작도하는 것이 가능함을 증명했지만, 작도를 제시하지는 않았다.^[22] 정 25각형 또는 31각형을 이 도구를 사용하여 작도할 수 있는지 여부는 여전히 미결 과제이다.

종이 접기 수학은 자와 컴퍼스 작도보다 강력하다. 후지타-하토리 공리를 만족하는 접기는 컴퍼스와 원뿔 곡선 작성을 사용하는 확장된 작도와 정확히 동일한 점 집합을 구성할 수 있다.^[19] 따라서, 종이 접기는 삼차 방정식(그리고 사차 방정식)을 풀 때에도 사용할 수 있으며, 이로써 고전적인 문제 중 두 가지를 해결할 수 있다.^[19] 가위나 풀과 같은 도구를 사용하지 않고 종이를 접기만 하는 종이접기를 수학적으로 다룬 이론에서는 몇 가지 이유로 자와 컴퍼스를 사용한 작도보다 더 강력한 능력을 발휘할 수 있다. 이 방법으로 3차 또는 4차 방정식을 풀 수 있으며, 이를 통해 고대 그리스의 3대 작도 불가능 문제 중 두 가지를 해결할 수 있다. 작도 가능한 점에 대해서는 종이접기에 의한 작도에서도 컴퍼스와 눈금 있는 자에 의한 작도에서도 동일한 능력을 갖는다.

점은 자, 컴퍼스 및 이미 작도된 초점, 준선, 이심률을 가진 모든 원뿔 곡선을 그릴 수 있는 (가상적인) 원뿔 작도 도구를 사용하여 작도할 수 있다면 견고한 작도를 갖는다.

고대 그리스인들은 세제곱 배가와 임의의 각의 삼등분이 모두 견고한 작도를 갖는다는 것을 알고 있었다.^[17] 아르키메데스는 정7각형의 뉴시스 작도를 제시했다.^[17] 그러나 원의 제곱은 견고한 작도를 갖지 않는다.

정''n''각형은 ''n''=2^''a''3^''b''''m''일 때만 견고한 작도를 갖는데, 여기서 ''a''와 ''b''는 일부 음이 아닌 정수이고 ''m''은 0개 이상의 서로 다른 피어폰트 소수 (2^''r''3^''s''+1 형태의 소수)의 곱이다.

종이접기나 눈금 있는 자와 같은 도구를 사용한 작도는 복소수체의 부분체로서 작도 가능수의 체를 확대하는 것이며, 여기에는 제곱근 외에 임의 원소의 세제곱근을 취하는 조작도 포함된다. 작도 가능한 점에 대한 산술적 논의는 세제곱근을 포함하여 유사한 결과를 도출할 수 있다.

7. 1. 눈금 있는 자의 사용 (네우시스 작도)

아르키메데스, 니코메데스, 아폴로니우스는 눈금자를 이용한 작도를 제시했다.^[20] 이를 통해 선분, 두 개의 선(또는 원) 및 한 점이 주어졌을 때, 주어진 점을 지나고 두 주어진 선과 교차하며, 교차점 사이의 거리가 주어진 선분과 같도록 하는 선을 그릴 수 있었다. 그리스인들은 이것을 ''네우시스''(기울기, 경향 또는 접근)라고 불렀다.^[31]

이 확장된 방식에서, 임의의 각을 삼등분하거나([http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/archi.shtml 아르키메데스의 삼등분]) 임의의 세제곱근을 추출할 수 있다(니코메데스에 의해서).^[20] 따라서, 기존 거리에 대한 비율이 3차 방정식 또는 4차 방정식의 해인 모든 거리는 작도가 가능하다. 눈금자를 사용하여, 정칠각형과 같이 견고한 작도를 갖는 정다각형은 작도가 가능하며, 존 호턴 콘웨이와 리처드 K. 가이는 그 중 몇 가지에 대한 작도를 제시했다.^[20]^[33]

네우시스 작도는 에우클레이데스(유클리드)의 『원론』이 다루는 기하학의 범위를 넘어서는 것이며, 유클리드 기하학에서는 네우시스에 관한 공리도 정리도 다루지 않는다.^[31] 눈금이 있는 자와 네우시스를 사용하면 각의 삼등분^[32] 및 입방배적이 가능하다. 이를 통해 정칠각형, 정구각형 등 일부 정다각형이 작도 가능해졌다.^[33]

각의 삼등분만을 허용할 때 작도 가능한 정다각형에 대한 완전한 기술은 이미 알려져 있다.^[34] 그러나, 무한히 많은 소수 ''p''에 대한 정 ''p''-각형이 자와 컴퍼스와 각의 삼등분기를 사용하여 작도 가능한지는 알려져 있지 않다.

벤자민과 스나이더는 정 11각형을 작도하는 것이 가능함을 증명했지만, 작도를 제시하지는 않았다.^[22] 정 25각형 또는 31각형을 이 도구를 사용하여 작도할 수 있는지 여부는 여전히 미결 과제이다.

7. 2. 종이접기

종이 접기 수학은 자와 컴퍼스 작도보다 강력하다. 후지타-하토리 공리를 만족하는 접기는 컴퍼스와 원뿔 곡선 작성을 사용하는 확장된 작도와 정확히 동일한 점 집합을 구성할 수 있다.^[19] 따라서, 종이 접기는 삼차 방정식(그리고 사차 방정식)을 풀 때에도 사용할 수 있으며, 이로써 고전적인 문제 중 두 가지를 해결할 수 있다.^[19] 가위나 풀과 같은 도구를 사용하지 않고 종이를 접기만 하는 종이접기를 수학적으로 다룬 이론에서는 몇 가지 이유로 자와 컴퍼스를 사용한 작도보다 더 강력한 능력을 발휘할 수 있다. 이 방법으로 3차 또는 4차 방정식을 풀 수 있으며, 이를 통해 고대 그리스의 3대 작도 불가능 문제 중 두 가지를 해결할 수 있다. 작도 가능한 점에 대해서는 종이접기에 의한 작도에서도 컴퍼스와 눈금 있는 자에 의한 작도에서도 동일한 능력을 갖는다.

7. 3. 원뿔 곡선 작도 도구

점은 자, 컴퍼스 및 이미 작도된 초점, 준선, 이심률을 가진 모든 원뿔 곡선을 그릴 수 있는 (가상적인) 원뿔 작도 도구를 사용하여 작도할 수 있다면 견고한 작도를 갖는다.^[16] 예를 들어 컴퍼스, 자, 그리고 y=x²의 포물선과 점 (0,0)과 (1,0)이 있는 종이를 사용하여 견고한 작도를 가진 모든 복소수를 작도할 수 있다.^[16]

고대 그리스인들은 세제곱 배가와 임의의 각의 삼등분이 모두 견고한 작도를 갖는다는 것을 알고 있었다.^[17] 아르키메데스는 정7각형의 뉴시스 작도를 제시했다.^[17] 그러나 원의 제곱은 견고한 작도를 갖지 않는다.

정''n''각형은 ''n''=2^''a''3^''b''''m''일 때만 견고한 작도를 갖는데, 여기서 ''a''와 ''b''는 일부 음이 아닌 정수이고 ''m''은 0개 이상의 서로 다른 피어폰트 소수 (2^''r''3^''s''+1 형태의 소수)의 곱이다. 따라서, 정''n''각형은 평면 작도가 아닌 견고한 작도를 허용하며, 이는 ''n''이 7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97... 인 경우에만 해당한다. 반면, 정''n''각형이 견고한 작도를 갖지 않는 ''n''의 집합은 11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100... 과 같다. 무한히 많은 피어폰트 소수가 존재하는지는 알려져 있지 않다.

종이접기나 눈금 있는 자와 같은 도구를 사용한 작도는 복소수체의 부분체로서 작도 가능수의 체를 확대하는 것이며, 여기에는 제곱근 외에 임의 원소의 세제곱근을 취하는 조작도 포함된다. 작도 가능한 점에 대한 산술적 논의는 세제곱근을 포함하여 유사한 결과를 도출할 수 있다.

8. 제한된 작도

다양한 규칙 하에서 허용되는 작도 도구를 제한하려는 시도가 여러 번 있었다. 이를 통해 여전히 작도가 가능한 것과 작도 방법을 결정하고, 컴퍼스와 눈금 없는 자로 작도할 수 있는 모든 것을 작도하기 위해 필요한 최소 기준을 결정하려 했다.

원이나 직선에 대한 정보를 포함하지 않는, 서로 다른 점만의 정보로 이루어진 데이터로부터 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는 것은, 사실 컴퍼스만으로 작도가 가능하다는 모어-마스케로니 정리가 알려져 있다. 예를 들어 자만 사용해서 제곱근을 얻는 것은 불가능하며, 마찬가지로 자만으로는 작도할 수 없는 것이 컴퍼스를 사용해서 작도된다는 것이지만, 퐁슬레-슈타이너 정리에 따르면 (최초의 데이터 안에) 하나의 원과 그 중심이 주어져 있다면 사실은 작도가 가능하다.

8. 1. 컴퍼스만 사용하는 작도

자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는 모든 점은 컴퍼스만으로 작도할 수 있다는 모어-마셰로니 정리가 있다.^[14] 단, 주어진 데이터와 찾아야 할 데이터가 직선이나 원이 아닌 이산적인 점들로 구성되어야 한다.^[14] 이 정리의 진실성은 아르키메데스 공리의 진실성에 달려 있으며,^[14] 이는 1차 논리적이지 않다.^[14] 컴퍼스만으로 가능한 작도의 예시로는 나폴레옹의 문제가 있다.

자만으로는 제곱근을 구할 수 없으므로 자로는 작도할 수 없는 일부를 컴퍼스로 작도할 수 있다. 그러나 퐁슬레-슈타이너 정리에 따르면, 원과 그 중심이 주어지면 작도가 가능하다.

8. 2. 자만 사용하는 작도

퐁슬레-슈타이너 정리에 따르면, 원과 그 중심이 주어지면 자만으로도 작도가 가능하다.^[14] 자만으로는 제곱근을 구할 수 없으므로 자로는 작도할 수 없는 일부를 컴퍼스로 작도할 수 있다.

참조

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_[2] 서적 Famous Problems of Geometry and How to Solve Them Dover Publications 1982
_[3] 간행물 Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. http://sites.mathdoc[...] 2014-03-03
_[4] 웹사이트 Trigonometry Angles--Pi/17
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_[6] 웹사이트 Squaring the circle http://www-gap.dcs.s[...]
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_[8] 논문 "Some impossible constructions in elementary geometry" 2004-11
_[9] 간행물 Reflections on Reflection in a Spherical Mirror
_[10] 뉴스 Don solves the last puzzle left by ancient Greeks https://www.telegrap[...] 2008-09-24
_[11] 서적 Ruler and the Round Dover
_[12] 논문 "Wernick's list: A final update" http://forumgeom.fau[...] 2016
_[13] 서적 The Secrets of Triangles Prometheus Books 2012
_[14] 간행물 On strict strong constructibility with a compass alone
_[15] 서적 "A History of Greek Mathematics, Volume I"
_[16] 논문 "Solid constructions using ellipses" 2003
_[17] 간행물 On Archimedes' construction of the regular heptagon
_[18] 논문 "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon" 1988
_[19] 서적 Geometric Exercises in Paper Folding Dover
_[20] 서적 The Book of Numbers
_[21] 논문 "Constructions using a Twice-Notched Straightedge" 2002
_[22] 논문 "On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass" 2014
_[23] 간행물 The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass http://www.cs.uwater[...]
_[24] 문서 大野 1993
_[25] 문서 ヒルベルト 2005
_[26] 문서 高木 1995
_[27] 문서 高木 1996
_[28] 문서 ガウス 1995
_[29] 문서 OEIS A3401
_[30] 문서 ガウス 1995
_[31] 문서 Weisstein
_[32] 웹사이트 Archimedes' trisection http://www.cut-the-k[...]
_[33] 문서 Conway&Guy 1995
_[34] 문서 Gleason 1988
_[35] 문서 눈금을 사용하는 [[뉴시스 작도]]를 사용하거나, [[종이접기의 수학|종이를 접는]] 방법을 사용하는 것은 기본이며, 무한 반복해서 근삿값 구하기, 눈으로 대충 보고 우연히 나눴더니 삼등분이 되었다고 주장하기, 주어진 각을 3배할 수 있으므로 마찬가지로 삼등분도 가능하다고 주장하는 등 다양한 방법과 주장을 펼친다.

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