지배 수렴 정리

3. 증명

'''확장 지배 수렴 정리의 증명'''

측도 공간 $(X,\backslash mathcal\; S,\backslash mu)$ 위의 가측 함수열 $f\_n\backslash colon\; X\backslash to(\backslash mathbb\; R,\backslash mathcal\; B(\backslash mathbb\; R))$ ($n\backslash in\backslash mathbb\; N$) 및 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어진 조건들을 만족한다고 가정한다.

• '''점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴의 경우'''

• '''측도 수렴의 경우'''

• $f\_n$이 $f$로 점별 수렴, 거의 어디서나 수렴, 또는 측도 수렴한다.
• $g\_n\; =\; g$는 상수열이므로 $g$로 점별 수렴한다.
• 이므로 이다.
• 모든 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여, 거의 어디서나 $|f\_n|\backslash le\; g\; =\; g\_n$ 이다.

4. 가정에 대한 논의

함수열이 어떤 적분 가능한 함수 $g$에 의해 지배되어야 한다는 가정은 생략할 수 없다. 이 사실은 다음 예시를 통해 알 수 있다. 구간 $[0,\; 1]$ 위의 함수열 $\backslash \{f\_n\backslash \}$을 다음과 같이 정의하자. $(0,\; 1/n]$ 안의 $x$에 대해서는 $f\_n(x)\; =\; n$이고, 그 외의 $x$에 대해서는 $f\_n(x)\; =\; 0$이다.

만약 이 함수열을 지배하는 적분 가능한 함수 $g$가 존재한다면, $g$는 각 점별 상한인 함수 $h(x)\; =\; \backslash sup\_n\; f\_n(x)$ 또한 지배해야 한다. 그런데 $h(x)$의 적분을 계산해보면,

:$$

\int_0^1 h(x)\,dx

\ge \int_{1/m}^1{h(x)\,dx}

= \sum_{n=1}^{m-1} \int_{(1/(n+1),1/n]}{h(x)\,dx}

\ge \sum_{n=1}^{m-1} \int_{(1/(n+1),1/n]}{n\,dx}

= \sum_{n=1}^{m-1} n \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \sum_{n=1}^{m-1} \frac{1}{n+1}



임을 알 수 있다. $m\; \backslash to\; \backslash infty$일 때, 이 합은 조화 급수의 발산성 때문에 무한대로 발산한다 ($\backslash sum\_\{k=2\}^m\; \backslash frac\{1\}\{k\}\; \backslash to\; \backslash infty$). 따라서 르베그 적분의 단조성에 의해 함수 $h(x)$는 적분 가능하지 않으며, 결과적으로 이 함수열 $\backslash \{f\_n\backslash \}$을 $[0,\; 1]$ 위에서 지배하는 적분 가능한 함수는 존재하지 않는다.

이 함수열의 경우, 적분과 극한의 순서를 바꾸면 다른 결과가 나온다는 것을 직접 계산을 통해 확인할 수 있다.

:$$

\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,dx = \int_0^1 0\,dx = 0



(왜냐하면 모든 $x\; >\; 0$에 대해 충분히 큰 $n$을 잡으면 가 되어 $f\_n(x)\; =\; 0$이므로, 점별 극한 함수는 영 함수이다.)

하지만 각 함수의 적분의 극한은 다음과 같다.

:$$

\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\int_0^{1/n} n\,dx = \lim_{n\to\infty} n \cdot \frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} 1 = 1



따라서 $0\; \backslash neq\; 1$이므로, 이 함수열에 대해서는 적분과 극한의 순서를 교환할 수 없다.

또한, 이 함수열 $\backslash \{f\_n\backslash \}$은 균등 적분 가능하지 않으므로, 비탈리 수렴 정리 역시 적용할 수 없다. 이는 지배 수렴 정리에서 함수열을 지배하는 적분 가능한 함수가 존재한다는 조건이 필수적임을 보여주는 예시이다.

5. L^p 공간에서의 지배 수렴 (따름정리)

$(\backslash Omega,\backslash mathcal\{A\},\backslash mu)$를 측도 공간이라 하고, $p$를 $1$ 이상의 실수로 하며, $(f\_n)$을 $\backslash mathcal\{A\}$-가측 함수 $f\_n\backslash colon\backslash Omega\backslash to\backslash R\backslash cup\backslash \{\backslash infty\backslash \}$로 이루어진 함수열로 한다.

함수열 $(f\_n)$이 $\backslash mu$에 관하여 거의 어디서나 어떤 $\backslash mathcal\{A\}$-가측 함수 $f$로 수렴하고, 어떤 $g\; \backslash in\; L^p$에 의해 지배된다고 가정한다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 $|f\_n|\; \backslash le\; g$가 $\backslash mu$에 관하여 거의 모든 곳에서 성립한다고 가정한다.

이때, 모든 $f\_n$ 및 $f$는 L^p 공간에 속하며, 함수열 $(f\_n)$은 L^p의 의미에서 $f$로 수렴한다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\backslash |f\_n-f\backslash |\_p\; =\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\backslash left(\backslash int\_\backslash Omega\; |f\_n-f|^p\; \backslash ,d\backslash mu\backslash right)^\{1/p\}\; =\; 0$

'''증명 아이디어'''

함수열 $h\_n\; =\; |f\_n-f|^p$와, 이 함수열을 지배하는 함수 $(2g)^p$에 대하여 원래의 르베그 지배 수렴 정리를 적용하면 된다.

$|f\_n|\; \backslash le\; g$이고 $f\_n\; \backslash to\; f$ (거의 어디서나) 이므로, 삼각 부등식에 의해 $|f|\; \backslash le\; g$ (거의 어디서나) 이다. 따라서 $|f\_n\; -\; f|\; \backslash le\; |f\_n|\; +\; |f|\; \backslash le\; 2g$ (거의 어디서나) 이고, $h\_n\; =\; |f\_n\; -\; f|^p\; \backslash le\; (2g)^p$ (거의 어디서나) 이다.

$g\; \backslash in\; L^p$이므로 이고, 따라서 이므로 $(2g)^p$는 적분 가능한 지배 함수가 된다.

또한 $f\_n\; \backslash to\; f$ (거의 어디서나) 이므로 $h\_n\; =\; |f\_n\; -\; f|^p\; \backslash to\; 0$ (거의 어디서나) 이다.

따라서 르베그 지배 수렴 정리에 의해 다음이 성립한다.

:$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash int\; h\_n\; d\backslash mu\; =\; \backslash int\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; h\_n\; d\backslash mu\; =\; \backslash int\; 0\; d\backslash mu\; =\; 0$

즉, $\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash int\; |f\_n\; -\; f|^p\; d\backslash mu\; =\; 0$ 이고, 이는 $\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash |f\_n\; -\; f\backslash |\_p\; =\; 0$을 의미한다.

6. 확장

지배 수렴 정리의 더 강한 버전은 다음과 같이 재구성할 수 있다. 만약 가측 복소 함수 수열 $f\_n$이 거의 모든 곳에서 점별로 함수 $f$로 수렴하고, 거의 모든 곳에서 적분 가능한 함수에 의해 절댓값으로 유계라면, $f\_n\; \backslash to\; f$는 바나흐 공간 $L\_1(S,\; \backslash mu)$에서 성립한다.

또한, 지배 수렴 정리는 바나흐 공간에 값을 갖는 가측 함수에 대해서도 적용될 수 있다. 이때 지배 함수는 앞서 언급된 것처럼 음이 아니며 적분 가능한 함수여야 한다.

7. 역사

앙리 르베그는 르베그 적분을 만들고 이를 이용해 지배 수렴 정리를 증명했다. 그는 이 정리를 사용하여 해석학의 오랜 문제였던 미적분학의 기본정리가 성립하는 조건을 더 넓은 범위로 확장하는 데 중요한 기여를 했다.^[7]

특히, 르베그는 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 활용하여, 르베그 적분을 사용하면 다음과 같은 형태의 미적분학의 기본정리가 성립함을 보였다.^[7] 함수 f가 실수 구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계이기만 하면, $\backslash int\_a^b\; f\text{'}(x)dx\; =\; f(b)\; -\; f(a)$ 가 성립한다는 것이다. 이는 도함수가 유계라는 조건 외에 다른 추가 조건 없이 미적분학의 기본정리가 성립함을 보여준 것으로, 기존의 리만 적분에서는 도함수가 연속 함수이거나 리만 적분 가능해야 한다는 더 까다로운 조건이 필요했던 것과 비교된다.

8. 같이 보기

• 단조 수렴 정리
• 파투 보조정리

참조

_[1] 서적 Measure Theory and Fine Properties of Functions CRC Press 2015
_[2] 간행물 Zitkovic 2013, Proposition 10.5
_[3] 논문 Arzelà's dominated convergence theorem for the Riemann integral
_[4] 논문 A concise, elementary proof of Arzelà's bounded convergence theorem
_[5] 서적 2006
_[6] 서적 http://www.mcgraw-hi[...] 2014-10-06
_[7] 서적 2011