점별 수렴

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1. 개요

점별 수렴은 함수열이 각 점별로 특정 함수로 수렴하는 개념이다. 함수열 $(f_n)$ 이 함수 $f$ 로 점별 수렴한다는 것은 정의역의 모든 점 x에 대해 $f_n(x)$ 가 $f(x)$ 로 수렴함을 의미하며, 함수 집합에 곱위상을 주었을 때 나타나는 수렴과 일치한다. 점별 수렴은 균등 수렴, 콤팩트 수렴보다 약한 개념이며, 점별 수렴하는 함수열이 반드시 균등 수렴하거나 콤팩트 수렴하는 것은 아니다. 측도론에서는 거의 어디서나 점별 수렴이라는 개념을 사용하며, 이는 측도 0인 집합의 여집합에서 함수열이 수렴하는 것을 의미한다.

점별 수렴

정의

정의	수학에서, 함수열이 각 점에서 수렴한다는 것은, 각 정의역의 점에서 함수열의 값이 수렴한다는 것을 의미한다.
다른 용어	점별 극한이라고도 함

형식적 정의

설명	함수열 (fn) (n ∈ N)이 주어졌을 때, 각 x에 대해 다음 극한이 존재하면, 그 함수열은 점별 수렴한다고 한다. f(x) = lim (n→∞) fn(x)
수렴 함수	f를 fn의 점별 극한이라고 함
정의역	함수열의 정의역은 임의의 집합일 수 있으며, 함수는 실수 또는 복소수 값을 가질 수 있음
일반적인 경우	함수는 임의의 위상 공간에서 값을 가질 수 있음
추가 조건	값 공간이 균등 공간이면 균등 수렴의 개념을 정의할 수 있음

균등 수렴과의 관계

균등 수렴	균등 수렴은 점별 수렴보다 강한 개념임 함수열이 균등 수렴하면 점별 수렴하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않음

특징

연속성	각 fn이 연속 함수이고 함수열이 균등 수렴하면 극한 함수 f도 연속 함수임
점별 수렴	점별 수렴의 경우 극한 함수는 불연속 함수일 수 있음
적분 가능성	각 fn이 리만 적분 가능하고 함수열이 균등 수렴하면 극한 함수 f도 리만 적분 가능하며, 극한과 적분의 순서를 바꿀 수 있음
미분 가능성	균등 수렴은 미분 가능성을 보존하지 않음

예시

예시 1	함수열 fn(x) = xn (x ∈ [0, 1])의 경우, 이 함수열은 x < 1일 때 0으로 수렴하고 x = 1일 때 1로 수렴함 따라서 이 함수열은 점별 수렴하지만 균등 수렴하지 않음
예시 2	함수열 fn(x) = x/n (x ∈ R)의 경우, 이 함수열은 모든 x에 대해 0으로 수렴함 이 함수열은 균등 수렴함

주의사항

균등 수렴의 필요성	극한 함수의 연속성, 적분 가능성, 미분 가능성을 보장하려면 균등 수렴이 필요함

관련 항목	균등 수렴 수렴 함수열

2. 정의

집합 $X$ 와 위상 공간 $Y$ 가 주어졌다고 하자. 함수열 $(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대해, 임의의 $x\in X$ 에서 점렬 $(f_n(x))_{n\in\mathbb N}\subseteq Y$ 가 ( $Y$ 의 위상에 따라) 점 $f(x)\in Y$ 로 수렴하면, 함수열 $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ 이 함수 $f$ 로 점별 수렴한다고 한다.

점별 수렴은 함수 집합 $Y^X$ 위에 곱위상을 부여했을 때 나타나는 수렴과 일치한다. 따라서 $Y^X$ 위의 곱위상은 흔히 점별 수렴 위상이라고 불린다.

2.1. 함수열의 점별 수렴

집합 X와 위상 공간 Y가 주어졌을 때, 함수들의 열 $(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대해, 임의의 $x\in X$ 에서 점렬 $(f_n(x))_{n\in\mathbb N}\subseteq Y$ 가 ( $Y$ 의 위상에 따라) 점 $f(x)\in Y$ 로 수렴하면, 함수열 $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ 이 함수 $f$ 로 점별 수렴한다고 한다.

이는 함수 집합 $Y^X$ 위에 곱위상을 부여했을 때 나타나는 수렴과 같다. 따라서 $Y^X$ 위의 곱위상은 흔히 점별 수렴 위상이라고 불린다. 보다 일반적으로, 함수 집합 $\mathcal F\subset Y^X$ 위의 점별 수렴 위상은 곱위상의 부분 공간 위상을 의미한다.

연속 함수의 점별 극한은 반드시 연속적일 필요는 없다. 연속 함수 \sin^n(x) (녹색)는 불연속 함수(빨간색)로 점별 수렴한다. — 연속 함수의 점별 극한은 반드시 연속적일 필요는 없다. 연속 함수 $\sin^n(x)$ (녹색)는 불연속 함수(빨간색)로 점별 수렴한다.

X

가 집합이고

Y

가 실수 또는 복소수와 같은 위상 공간이거나 거리 공간일 때, 함수

\left(f_n\right)

의 수열이 함수

f : X \to Y

로 점별 수렴한다는 것은, 정의역의 모든 점

x

에서 평가된 수열

f_n(x)

의 극한이

f(x)

와 같다는 의미이다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\forall x \in X. \lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x).

이때 함수

f

는

\left(f_n\right)

의 점별 극한 함수라고 한다.

이 정의는 망

f_\bull = \left(f_a\right)_{a \in A}

으로 쉽게 일반화된다.

f_\bull

이 점별로

f

로 수렴한다는 것은,

f(x)

가

f

의 정의역에 있는 각 점

x

에서 평가된 망

f_\bull(x)

의 유일한 집적점이라는 의미이며, 다음과 같이 표현한다.

:

\forall x \in X. \lim_{a\in A} f_a(x) = f(x).

상수

C

가 존재하여

\forall n,x,\;|f_n(x)| 인 경우 '유계 점별 수렴'이라는 용어를 사용하기도 한다.

함수열 { *f*_*n* }이 *f*로 점별 수렴한다는 것은 정의역의 모든 점 *x*에 대해 다음이 성립한다는 것을 의미한다.

:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)

이는 다음과 같이 표기하기도 한다.

:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=f\  \mbox{pointwise}

논리 기호로 표현하면 다음과 같다.

:

\forall x, \forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb N \ ; \ n \geqq N \Rightarrow |f_n (x)-f(x)| < \epsilon

2.2. 망의 점별 수렴

함수열의 정의를 망으로 확장하여 점별 수렴을 일반화할 수 있다. 망 $f_\bull = \left(f_a\right)_{a \in A}$ 이 점별로 $f$ 로 수렴한다고 하고, 다음과 같이 표현한다.

: $\lim_{a\in A} f_a = f\ \mbox{점별}$

이는 $f$ 의 정의역에 있는 각 점 $x$ 에서 평가된 망 $f_\bull(x)$ 의 유일한 집적점이 $f(x)$ 인 경우이며, 다음과 같이 나타낸다.

: $\forall x \in X. \lim_{a\in A} f_a(x) = f(x).$

2.3. 유계 점별 수렴

상수 가 존재하여 모든 , 에 대해 인 경우 '유계 점별 수렴'이라는 용어를 사용한다.

3. 성질

함수열의 점별 수렴은 균등 수렴이나 콤팩트 수렴에 비해 약한 수렴 조건이다. 연속 함수열이 점별 수렴하더라도 그 극한 함수는 연속 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 함수열 $f_n(x) = x^n$ ( $x \in [0, 1]$ )은 $x=1$ 일 때 1, $0 \le x < 1$ 일 때 0으로 정의되는 함수로 점별 수렴하지만, 이 극한 함수는 불연속 함수이다.

반면, 균등 수렴은 함수의 미분, 적분과 같은 성질을 보존하는 더 강한 수렴 조건이다. 점별 수렴은 함수의 값이 실수가 아닌 위상 공간의 원소여도 정의될 수 있지만, 균등 수렴은 거리 공간이나 균등 공간의 원소일 때 의미를 갖는다.

3.1. 다른 수렴과의 관계

함수열에 대해 정의할 수 있는 수렴에는 점별 수렴 외에도 콤팩트 수렴이나 균등 수렴 등이 있다. 이 세 가지 수렴은 강도가 점차 강해지는 개념이다. 즉, 어떤 함수열이 어떤 함수로 균등 수렴하면, 이 함수열은 같은 함수로 콤팩트 수렴한다. 또한 함수열이 어떤 함수로 콤팩트 수렴하면, 그 함수로 점별 수렴한다. 그러나 점별 수렴하는 함수열이 반드시 균등 수렴하거나 콤팩트 수렴하는 것은 아니다.

예를 들어, 정의역이 [0,1]이고 공역이 실수인 함수열 $f_n(x) = x^n$ 을 생각해보자. 이 함수열은 다음과 같이 정의된 함수 $f$ 로 점별 수렴한다.

: $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0, 1) \\ 1, & x = 1 \end{cases}$

하지만 이 함수열은 $f$ 로 균등 수렴하거나 콤팩트 수렴하지 않는다. 이 예시는 연속 함수의 열이 점별 수렴할 때, 그 극한 함수가 연속 함수가 아닐 수도 있음을 보여준다. 반면, 균등 수렴하는 함수열의 극한 함수는 연속성을 보존한다.

균등 수렴은 균등 수렴 위상에서의 수렴이며, 콤팩트 수렴은 콤팩트-열린집합 위상에서의 수렴과 (정의되었을 경우) 일치한다. 이는 점별 수렴이 곱위상에서의 수렴인 것과 유사하다.

점별 수렴은 균등 수렴보다 약한 개념이다. 즉, 균등 수렴은 점별 수렴을 함의하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, $f_n : [0,1) \to [0,1)$ 에서 $f_n(x) = x^n$ 으로 정의된 함수 수열은 구간 $[0, 1)$ 에서 0으로 점별 수렴하지만, 균등 수렴하지는 않는다.

연속 함수의 수열이 점별 수렴할 때, 그 극한은 불연속 함수일 수 있다. 하지만 이는 수렴이 균등하지 않을 때만 가능하다. 예를 들어,

: $f(x) = \lim_{n\to\infty} \cos(\pi x)^{2n}$

은 $x$ 가 정수일 때 1, 정수가 아닐 때 0의 값을 가지므로, 모든 정수에서 불연속이다.

점별 수렴에서 함수 $f_n$ 의 값은 실수일 필요가 없으며, 임의의 위상 공간의 원소여도 된다. 반면, 균등 수렴은 일반적으로 위상 공간 값을 갖는 함수에 대해서는 정의되지 않지만, 거리 공간이나 균등 공간 값을 갖는 함수에 대해서는 정의될 수 있다.

3.2. 연속성, 미분, 적분과의 관계

함수열의 점별 수렴은 균등 수렴이나 콤팩트 수렴보다 약한 개념이다. 예를 들어, 함수열 $f_n(x) = x^n$ ( $x \in [0, 1]$ )은 다음과 같이 정의되는 함수 $f(x)$ 로 점별 수렴한다.

: $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0, 1) \\ 1, & x = 1 \end{cases}$

하지만 이 수렴은 균등 수렴이나 콤팩트 수렴이 아니다. 이 예시는 연속 함수열의 점별 극한이 연속 함수가 아닐 수도 있음을 보여준다.

반면, 균등 극한은 연속성을 보존한다. 즉, 연속 함수열이 어떤 함수로 균등 수렴하면 그 극한 함수도 연속이다. 마찬가지로, 균등 극한은 함수의 미분과 적분 개념과 비교적 잘 호환되지만, 점별 극한은 그렇지 않다.

예를 들어,
: $f(x) = \lim_{n\to\infty} \cos(\pi x)^{2n}$
은 $x$ 가 정수일 때 1, 정수가 아닐 때 0의 값을 가지므로 모든 정수에서 불연속이다.

함수 $f_n$ 의 값은 실수일 필요는 없으며, 임의의 위상 공간에 속할 수 있다. 그러나 균등 수렴은 일반적으로 위상 공간에서 값을 갖는 함수에 대해서는 의미가 없지만, 거리 공간이나 균등 공간에서 값을 갖는 함수에 대해서는 의미가 있다.

4. 위상

$Y^X$ 를 주어진 집합 $X$ 에서 위상 공간 $Y$ 로 가는 모든 함수의 집합이라고 하자. 특정 조건을 충족하면 넷의 수렴 여부로 집합에 고유한 위상을 정의할 수 있다. 점별 수렴의 정의는 이러한 조건을 충족하므로, $X \to Y$ 형태의 모든 함수 집합 $Y^X$ 에 점별 수렴 위상이라는 위상을 유도한다.

4.1. 점별 수렴 위상

함수열(또는 함수의 그물)의 점별 수렴은 함수 집합 $Y^X$ 위에 곱위상을 주었을 때 나타나는 수렴과 일치한다. 따라서 $Y^X$ 위의 곱위상은 흔히 점별 수렴 위상(topology of pointwise convergence^영어)이라고 불린다. 보다 일반적으로, 함수 집합 $\mathcal F\subset Y^X$ 위의 점별 수렴 위상은 곱위상의 부분 공간 위상을 일컫는다.

$Y^X$ 의 넷이 이 위상에서 수렴하는 것은 점별로 수렴하는 것과 동치이다.

점별 수렴의 위상은 $X$ 가 정의역이고 $Y$ 가 공역인 공간 $Y^X$ 의 곱 위상에서의 수렴과 같다. 구체적으로, $\mathcal{F} \subseteq Y^X$ 가 어떤 집합 $X$ 에서 어떤 위상 공간 $Y$ 로 가는 함수의 집합이면, $\mathcal{F}$ 에 대한 점별 수렴의 위상은 $\mathcal{F}$ 가 $f \mapsto (f(x))_{x \in X}$ 로 정의된 정규 포함 사상 $\mathcal{F} \to \prod_{x \in X} Y$ 를 통해 이 데카르트 곱의 부분 집합으로 식별될 때, 곱 공간 $\prod_{x \in X} Y$ 로부터 상속받는 부분 공간 위상과 같다.

공역 $Y$ 가 콤팩트 집합이면, 티호노프 정리에 의해 공간 $Y^X$ 도 콤팩트하다.

4.2. 곱위상과의 관계

함수열(또는 함수의 그물)의 점별 수렴은 함수 집합 $Y^X$ 위에 곱위상을 주었을 때 나타나는 수렴과 일치한다. 따라서 $Y^X$ 위의 곱위상은 흔히 점별 수렴 위상이라고 불린다. 보다 일반적으로, 함수 집합 $\mathcal F\subset Y^X$ 위의 점별 수렴 위상은 곱위상의 부분 공간 위상을 일컫는다.

$Y^X$ 의 넷(net)이 이 위상에서 수렴하는 것은 점별로 수렴하는 것과 동치이다.

점별 수렴의 위상은 $X$ 가 정의역이고 $Y$ 가 공역인 공간 $Y^X$ 의 곱 위상에서의 수렴과 같다. 구체적으로, $\mathcal{F} \subseteq Y^X$ 가 어떤 집합 $X$ 에서 어떤 위상 공간 $Y$ 로 가는 함수의 집합이면, $\mathcal{F}$ 에 대한 점별 수렴의 위상은 $\mathcal{F}$ 가 $f \mapsto (f(x))_{x \in X}$ 로 정의된 정규 포함 사상 $\mathcal{F} \to \prod_{x \in X} Y$ 를 통해 이 데카르트 곱의 부분 집합으로 식별될 때, 곱 공간 $\prod_{x \in X} Y$ 로부터 상속받는 부분 공간 위상과 같다.

공역 $Y$ 가 콤팩트 집합이면, 티호노프 정리에 의해 공간 $Y^X$ 도 콤팩트하다.

4.3. 티호노프 정리

공역 $Y$ 가 콤팩트 집합이면 티호노프 정리에 의해 공간 $Y^X$ 도 콤팩트하다. 여기서 X는 정의역이고 Y는 공역이다. 각점 수렴은 공간 Y^X 상의 곱위상에서의 수렴과 같다.

5. 거의 어디서나 점별 수렴

측도 공간에서 정의된 가측 함수열의 거의 어디서나 점별 수렴은, 점별 수렴과는 다르게 함수 공간 위의 어떤 위상으로 표현할 수 없다. 위상 공간에서는 수열의 모든 부분 수열이 같은 부분 수열 극한을 갖는 부분 수열을 가질 때, 그 수열 자체도 그 극한으로 수렴해야 하기 때문이다.

예고로프의 정리는 유한 측도 집합에서 거의 어디서나 점별 수렴하면, 그보다 약간 더 작은 집합에서 균등 수렴함을 보여준다.

5.1. 정의

측도 공간 $(X,\Sigma,\mu)$에서 위상 공간 $Y$로 가는 가측 함수들의 열 $(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}$에 대하여, 거의 어디서나 점별 수렴을 정의할 수 있다. 즉, $(f_n)_{n\in\mathbb N}$이 어떤 측도 0의 가측 집합의 여집합의 모든 점에서 수렴한다면, 이 함수열이 거의 어디서나 점별 수렴한다고 한다.

측도론에서는 가측 공간 위에 정의된 가측 함수열에 대해 거의 어디서나 수렴한다는 개념이 있다. 이는 거의 어디서나 각 점이 수렴하는 것을 의미하며, 즉 여집합의 측도가 0인 정의역의 부분 집합에서 수렴한다는 뜻이다. 예고로프의 정리는 측도가 유한한 집합 위에서 거의 어디서나 각 점 수렴하는 열은 이보다 약간 작은 집합 위에서 균등 수렴한다는 정리이다.

5.2. 위상과의 관계

측도 공간 $(X,\Sigma,\mu)$ 에서 위상 공간 $Y$ 으로 가는 가측 함수들의 열 $(f_n\colon X\to Y)_{n\in\mathbb N}$ 에 대하여, 거의 어디서나 점별 수렴을 정의할 수 있다. 즉, 만약 $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ 이 어떤 측도 0의 가측 집합의 여집합의 모든 점에서 수렴한다면, 이 함수열이 거의 어디서나 점별 수렴한다고 한다. 점별 수렴과 달리, 거의 어디서나 점별 수렴은 함수 공간 위의 어떤 위상의 수렴으로 나타낼 수 없다.

예를 들어, 다음과 같은 가측 함수의 열을 생각하자.
: $f_n\colon\mathbb R\to\mathbb R$
: $f_n\colon x\mapsto\begin{cases}1 & n=2^k+j,\;0\le j<2^k,\;x\in[j/2^k,(j+1)/2^k] \\0 & n=2^k+j,\;0\le j<2^k,\;x\not\in[j/2^k,(j+1)/2^k]\end{cases}$
이 함수열은 거의 어디서나 점별 수렴하지 않는다. 그러나 임의의 부분열 $(g_k)_{k\in\mathbb N}$ 에 대하여, 거의 어디서나 점별 수렴하는 $(g_k)_{k\in\mathbb N}$ 의 부분열 $(h_j)_{j\in\mathbb N}$ 을 찾을 수 있다. 위상 공간에서의 수렴은 이 두 조건을 동시에 만족시킬 수 없다. 따라서 거의 어디서나 점별 수렴은 위상 공간에서의 수렴이 아니다.

"질주하는 직사각형" 함수라고 불리는 수열을 통해 좀 더 자세히 살펴보자. 이는 바닥 함수를 사용하여 정의된다. $N = \operatorname{floor}\left(\log_2 n\right)$ 및 $k = n$ mod $2^N$ 로 설정하고,

$f_n(x) = \begin{cases}1, & \frac{k}{2^N} \leq x \leq \frac{k+1}{2^N} \\0, & \text{otherwise}.\end{cases}$

라고 하자.

그러면 수열 $\left(f_n\right)_n$ 의 임의의 부분 수열은 예를 들어 $x = 0$ 에서 사라지지 않는 함수의 부분 수열과 같이, 거의 어디서나 0으로 수렴하는 부분 부분 수열을 갖는다. 그러나 원래 수열은 어떤 점에서도 점별적으로 0으로 수렴하지 않는다. 따라서, 측도 수렴 및 $L^p$ 수렴과는 달리, 거의 어디서나 점별 수렴은 함수 공간의 어떤 위상에 대한 수렴이 아니다.

5.3. 예고로프의 정리

측도론에서, 가측 함수의 수열이 가측 공간에서 정의될 때, "거의 어디서나 수렴"에 대해 이야기한다. 이는 거의 어디서나 점별 수렴을 의미하며, 즉, 여집합의 측도가 0인 정의역의 부분 집합에서 수렴한다는 뜻이다. 예고로프의 정리는 유한 측도 집합에서 거의 어디서나 점별 수렴하면 약간 더 작은 집합에서 균등 수렴함을 명시한다.