축폐선

3. 정의

평면 곡선 $\backslash gamma(s)$가 그 호의 길이 변수 $s$에 의해 매개변수화되어 있다고 가정한다. 이 곡선의 단위 접벡터는 $\backslash mathbf\{T\}(s)\; =\; \backslash gamma\text{'}(s)$이고, 단위 법선 벡터 $\backslash mathbf\{N\}(s)$는 $\backslash mathbf\{T\}(s)$에 수직이며 쌍 $(\backslash mathbf\{T\},\; \backslash mathbf\{N\})$이 양의 방향을 갖도록 선택된다.

곡선 $\backslash gamma$의 '''곡률''' $k(s)$는 $\backslash mathbf\{T\}\text{'}(s)\; =\; k(s)\backslash mathbf\{N\}(s)$로 정의되며, '''곡률 반경''' $R(s)$는 그 역수 $R(s)\; =\; \backslash frac\{1\}\{k(s)\}$이다. 곡률 반경의 절댓값은 곡선 위의 점 $\backslash gamma(s)$에서 곡선에 가장 잘 맞는 원, 즉 접촉원의 반지름과 같다.

'''곡률의 중심'''은 이 접촉원의 중심을 의미하며, 점 $\backslash gamma(s)$에서 법선을 따라 거리 $R(s)$만큼 떨어진 곳에 위치한다. 곡률 중심의 위치 벡터 $E(s)$는 다음과 같이 주어진다.^[11]

:$E(s)\; =\; \backslash gamma(s)\; +\; R(s)\backslash mathbf\{N\}(s)\; =\; \backslash gamma(s)\; +\; \backslash frac\{1\}\{k(s)\}\backslash mathbf\{N\}(s)$

매개변수 $s$가 변함에 따라 곡률 중심 $E(s)$가 그리는 궤적이 바로 곡선 $\backslash gamma$의 '''축폐선'''이다.

4. 성질

축폐선은 주어진 곡선의 각 점에서의 법선들이 모여 만들어지는 포락선이다. 즉, 곡선의 모든 법선에 접하는 곡선이라고 할 수 있다.

축폐선은 다음과 같은 주요 성질을 가진다.

• 첨점: 주어진 곡선의 곡률이 극대 또는 극소가 되는 점, 즉 정점에 대응하는 축폐선 위의 점에서는 첨점이 생긴다. 이는 곡률 반지름의 변화율이 0이 되는 지점에서 축폐선이 매끄럽게 이어지지 않기 때문이다. 포물선, 타원, 사이클로이드, 네프로이드 등의 축폐선 그림에서 이를 확인할 수 있다.
• 법선과 접선: 0이 아닌 곡률을 가진 점에서, 원래 곡선의 법선은 그 점에 대응하는 축폐선 위의 점에서 축폐선의 접선이 된다. 곡률이 0인 점(예: 변곡점)에서의 법선은 축폐선의 점근선이 될 수 있다. 이 성질 때문에 축폐선을 '법선의 포락선'이라고 부른다.
• 호 길이: 첨점을 포함하지 않는 축폐선의 한 부분의 길이는, 그 부분에 대응하는 원래 곡선의 양 끝점에서의 곡률 반지름의 절댓값 차이와 같다. 즉, 축폐선의 호 길이는 원래 곡선의 곡률 반지름의 변화율의 절댓값과 관련이 있다.
• 인볼루트(신개선): 곡률 반지름의 변화율이 0이 아닌 구간에서, 원래 곡선은 그 구간에 해당하는 축폐선의 인볼루트(신개선)가 된다. 즉, 축폐선에 실을 감았다가 팽팽하게 풀 때 실의 끝점이 그리는 궤적이 원래 곡선이 될 수 있다. 반대로, 신개선의 축폐선은 원래 곡선이 된다.
• 평행 곡선: 서로 평행 관계에 있는 곡선들은 모두 동일한 축폐선을 가진다. 오른쪽 그림에서 여러 평행 곡선(녹색, 노란색 등)이 동일한 파란색 축폐선을 공유하는 것을 볼 수 있다. 평행 곡선들은 축폐선에 닿는 지점에서 첨점을 가진다.
• 로그 미학 곡선: 어떤 곡선이 로그 미학 곡선이라면, 그 곡선의 축폐선 역시 로그 미학 곡선이다.^[7] 오일러 나선의 축폐선도 특정 체사로 방정식을 만족하는 나선 형태가 된다.^[8]
• 변곡점과 첨점: 원곡선의 변곡점에서는 곡률이 0이 되어 곡률 반지름이 무한대가 되므로, 축폐선은 해당 지점에서 무한대로 뻗어 나가며 점근선을 가질 수 있다. 반대로 원곡선이 첨점을 가지면 그 점에서의 곡률 반지름은 0이 되므로, 축폐선은 그 첨점에서 원곡선과 접하게 된다.

5. 예시

포물선의 매개변수 표현 $(t,t^2)$에 대해, 축폐선의 방정식은 다음과 같이 주어진다.

$$X=-4t^3$$

$$Y=\backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; 3t^2$$

이는 반입방 포물선($y=x^\{3/2\}$ 형태의 그래프) 또는 준입방 포물선을 나타낸다. 반입방 포물선의 첨점은 포물선의 꼭짓점에서의 곡률 중심과 일치한다.

타원의 매개변수 표현 $(a\backslash cos\; t,\; b\backslash sin\; t)$에 대해, 축폐선의 방정식은 다음과 같다.^[5]

$$X=\; \backslash frac\{a^2-b^2\}\{a\}\backslash cos\; ^3t$$

$$Y=\; \backslash frac\{b^2-a^2\}\{b\}\backslash sin\; ^3t\; \backslash ;\; .$$

이는 비대칭 아스트로이드(성망형) 또는 라메 곡선의 방정식이다. 매개변수 $t$를 소거하면 다음과 같은 음함수 표현을 얻는다.

$$(aX)^\{\backslash tfrac\{2\}\{3\}\}\; +(bY)^\{\backslash tfrac\{2\}\{3\}\}\; =\; (a^2-b^2)^\{\backslash tfrac\{2\}\{3\}\}\backslash \; .$$

• 포물선의 축폐선은 반입방 포물선이다 (위 참조).
• 타원의 축폐선은 비대칭 아스트로이드이다 (위 참조).
• 사이클로이드의 축폐선은 합동인 사이클로이드이다 (위 참조).
• 로그 나선의 축폐선은 자기 자신과 합동인 로그 나선이다.
• 신장형(Nephroid)의 축폐선은 원래 신장형의 절반 크기를 갖는 신장형이다.
• 아스트로이드(Astroid, 성망형)의 축폐선은 원래 아스트로이드의 2배 크기를 갖는 아스트로이드이다.
• -
• 심장형(Cardioid)의 축폐선은 원래 심장형의 1/3 크기를 갖는 심장형이다.
• 원의 축폐선은 원의 중심이다.
• 델토이드(Deltoid)의 축폐선은 원래 델토이드의 3배 크기를 갖는 델토이드이다.
• 트랙트릭스(Tractrix, 견인 곡선)의 축폐선은 현수선이다.
• -
• 에피사이클로이드(Epicycloid, 외사이클로이드)의 축폐선은 더 작은 에피사이클로이드이다.
• -
• 선의 축폐선은 이상점이다.

6. 방사 곡선

곡선 위의 각 점에서 그 점의 곡률 중심까지의 벡터를 생각하자. 이 벡터들을 각각 원점으로 평행 이동시켰을 때, 벡터들의 끝점이 그리는 자취를 '''방사 곡선'''(radial curve^영어)이라고 한다.

방사 곡선의 방정식은 축폐선의 방정식에서 ''x''와 ''y'' 항을 제거하여 얻을 수 있다. 매개변수 ''t''로 표현된 곡선 $(x(t),\; y(t))$의 방사 곡선 $(X,\; Y)$는 다음과 같다. (여기서 $x\text{'}\; =\; \backslash frac\{dx\}\{dt\},\; y\text{'}\; =\; \backslash frac\{dy\}\{dt\},\; x\text{'}\text{'}\; =\; \backslash frac\{d^2x\}\{dt^2\},\; y\text{'}\text{'}\; =\; \backslash frac\{d^2y\}\{dt^2\}$이다.)

$(X,\; Y)=\; \backslash left(-y\text{'}\backslash frac\{x\text{'}^2+y\text{'}^2\}\{x\text{'}y\text{'}\text{'}-x\text{'}\text{'}y\text{'}\},\backslash \; x\text{'}\backslash frac\{x\text{'}^2+y\text{'}^2\}\{x\text{'}y\text{'}\text{'}-x\text{'}\text{'}y\text{'}\}\backslash right)$

참조

_[1] MathWorld Circle Evolute
_[2] 서적 The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1 Birkhäuser
_[3] 서적 Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature Cambridge University Press 2004
_[4] 간행물 Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem
_[5] 서적 Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Springer-Verlag
_[6] MathWorld Cycloid Evolute
_[7] 간행물 The Evolutes of Log-Aesthetic Planar Curves and the Drawable Boundaries of the Curve Segments
_[8] 웹사이트 Evolute of the Euler spiral https://linebender.o[...] 2024-03-11
_[9] 서적 The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1 Birkhäuser
_[10] 서적 미분적분학 연습 도서출판 고섶
_[11] 서적 미분기하학 개론 경문사
_[12] 문서 앞의 책