치환 적분

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 부정적분의 경우
- 2.2. 정적분의 경우
3. 증명
4. 단일 변수 치환
- 4.1. 부정적분 (단일 변수)
- 4.2. 정적분 (단일 변수)
5. 다변수 치환
6. 예시
- 6.1. 부정적분 예시
- 6.2. 정적분 예시
7. 응용
참조

1. 개요

치환 적분은 적분법의 한 종류로, 주어진 적분을 더 간단한 형태로 변환하여 계산하는 데 사용되는 방법이다. 부정적분과 정적분의 경우로 나뉘어 정의되며, 연쇄 법칙과 미적분학의 기본 정리를 이용하여 유도할 수 있다. 단일 변수 및 다변수 함수의 적분에 모두 적용 가능하며, 변수 치환을 통해 적분식을 변형한다. 치환 적분은 삼각 함수, 홀함수, 짝함수, 주기 함수의 적분, 그리고 확률론에서의 확률 변수 변환 등 다양한 분야에 응용된다.

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치환 적분
개요
정의	적분에서 연쇄 법칙의 역과정에 해당함
목표	더 간단한 적분으로 변환하여 원래 함수의 원시 함수를 찾음
방법
단계
형식적 정의
공식	∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du, 여기서 u = g(x)
유의사항
핵심	적절한 치환을 선택하는 것이 중요함
팁	피적분함수에서 함수와 그 도함수의 곱을 찾음
예시
예시 1	∫(2x+1)^7 dx에서 u = 2x+1로 치환
예시 2	∫sin(x^2)2x dx에서 u = x^2로 치환
장점
설명	복잡한 적분을 단순화하여 계산 가능하게 함
단점
설명	적절한 치환을 찾기 어려울 수 있음
활용
사용 분야	다양한 미적분학 문제 해결에 사용됨

2. 정의

수학에서 '''치환 적분'''은 주어진 함수를 적분할 때, 변수를 적절히 치환하여 적분 계산을 단순화하는 방법이다.^[3]

미분가능 함수 $g\colon [a,b]\to I$ 가 연속 함수인 도함수를 가지고, $I\subset\mathbb R$ 가 구간이며, $f\colon I\to\mathbb R$ 가 연속 함수라고 가정하면,^[3]

$\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\, du.$

이 공식은 적분을 더 쉽게 계산할 수 있는 형태로 변환하는 데 사용되며, 주어진 적분을 단순화하기 위해 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 오른쪽에서 왼쪽으로 읽을 수 있다. 라이프니츠 표기법을 사용하면, 치환 $u=g(x)$ 에 대해 $\frac{du}{dx} = g'(x)$ 이고, 이는 무한소를 사용하여 $du = g'(x)\,dx$ 로 표현될 수 있다.

2. 1. 부정적분의 경우

구간

I\subseteq\mathbb R

와 함수

g\colon I\to\mathbb R

및

f\colon g(I)\to\mathbb R

이 주어졌다고 하자.

만약 $f$ 의 부정적분 $F$ 가 존재하고, $g$ 가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^[10]
: $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int f(u)\mathrm du=F(g(x))+C$
만약 $(f\circ g)\cdot g'$ 의 원함수 $H$ 가 존재하고, $g$ 가 미분 가능 함수이며, 모든 $t\in I$ 에 대하여 $g'(t)\ne 0$ 이라면, 다음이 성립한다.^[10]
: $\int f(x)\mathrm dx=\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=H(g^{-1}(x))+C$

엄밀하게 결과를 제시하기 전에, 부정 적분을 사용하여 간단한 경우를 생각해 보자.

\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx.

를 계산한다.^[2]

u=2x^3+1

로 설정한다. 이것은

\frac{du}{dx}=6x^2,

를 의미하거나, 미분 형식으로 표현하면

du=6x^2\,dx

이다. 이제 다음과 같다:

\begin{aligned}\int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx&= \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du} \\&= \frac{1}{6}\int u^{7}\,du \\&= \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)+C \\&= \frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C,\end{aligned}

여기서

C

는 임의의 적분 상수이다.

이 절차는 자주 사용되지만, 모든 적분이 이 절차를 사용할 수 있는 형태는 아니다. 어떤 경우든, 결과를 미분하여 원래 피적분 함수와 비교하여 확인해야 한다.

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C\right] = \frac{1}{6}(2x^3+1)^{7}(6x^2) = (2x^3+1)^7(x^2).

연속 함수와 미분 가능한 함수에 대해 다음 등식이 성립한다.

:

\int f(x)\,dx = \int f(g(t))g'(t)\, dt.

도출에는 다음과 같이 연쇄 법칙과 미적분학의 기본 정리를 사용한다.

:

\begin{aligned}\frac{d}{dt} \int f(x)\,dx &= \frac{d}{dx} \int f(x)\,dx \cdot \frac{dx}{dt} \\&= f(x)g'(t) =f(g(t))g'(t) \\&= \frac{d}{dt} \int f(g(t))g'(t)\,dt.\end{aligned}

2. 2. 정적분의 경우

g : [a, b] → ℝ 가 연속 미분 가능 함수이고, f : g([a, b]) → ℝ 가 연속 함수이면, 다음이 성립한다.^[11]

:

\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm dx=\int_a^bf(g(t))g'(t)\mathrm dt

라이프니츠 표기법에서 치환

u=g(x)

는 다음과 같다.

:

\frac{du}{dx} = g'(x).

무한소를 사용하여 직관적으로 계산하면 다음 방정식을 얻을 수 있다.

:

du = g'(x)\,dx,

이는 위의 치환 공식을 나타낸다. 치환 적분법은 적분과 미분에 대한 라이프니츠 표기법의 부분적인 정당화로 볼 수 있다.

이 공식은 하나의 적분을 더 쉽게 계산할 수 있는 다른 적분으로 변환하는 데 사용된다. 따라서 이 공식은 주어진 적분을 단순화하기 위해 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 오른쪽에서 왼쪽으로 읽을 수 있다. 전자의 방식으로 사용될 때, 새로운 변수를 내부 함수의 도함수를 곱한 함수 합성 함수 내에서 발견된 원래 변수의 함수로 정의하는 '''''u''-치환''' 또는 '''''w''-치환'''으로 알려져 있다. 후자의 방식은 일반적으로 원래 변수를 새로운 변수의 삼각 함수로 대체하고 원래 미분을 삼각 함수의 미분으로 대체하는 삼각 치환에서 사용된다.

정적분에서 변수 변환을 할 때는 적분 구간도 다음과 같이 변환된다.

:

\int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx = \int_a^b f(g(t))g'(t)\, dt.

3. 증명

부정적분에 대한 첫 번째 명제의 조건에 따라 $F'=f$ 이며, $g$ 가 미분 가능 함수이므로, 연쇄 법칙을 적용하면 $(F\circ g)'=(f\circ g)\cdot g'$ 을 얻는다. 즉, $(f\circ g)\cdot g'$ 의 한 원함수는 $F\circ g$ 이므로 첫 번째 명제가 성립한다.^[2]

부정적분에 대한 두 번째 명제의 조건에 따라 모든 $t\in I$ 에 대하여 $g'(t)\ne 0$ 이므로, 다르부 정리에 따라 모든 $t\in I$ 에 대하여 $g'(t)>0$ 이거나 모든 $t\in I$ 에 대하여 $g'(t)<0$ 이다. 따라서 $g^{-1}$ 는 존재한다. $H'=(f\circ g)\cdot g'$ 이며, $(g^{-1})'=1/(g'\circ g^{-1})$ 이므로, 다음이 성립한다.

: $(H\circ g^{-1})'=(H'\circ g^{-1})\cdot(g^{-1})'=f\cdot(g'\circ g^{-1})\cdot\frac 1{g'\circ g^{-1}}=f$

즉, $f$ 의 한 원함수는 $H\circ g^{-1}$ 이므로 두 번째 명제가 성립한다.^[2]

정적분에 대한 명제의 조건에 따라 $f$ 와 $(f\circ g)\cdot g'$ 는 연속 함수이므로, 원함수가 존재한다. 연쇄 법칙에 따라, $f$ 의 한 원함수를 $F$ 라고 하면, $(f\circ g)\cdot g'$ 의 한 원함수는 $F\circ g$ 이다. 미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립하므로, 명제가 성립한다.^[2]

: $\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm dx=\bigg[F(x)\bigg]_{g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a))=\bigg[F(g(t))\bigg]_{a}^{b}=\int_a^bf(g(t))g'(t)\mathrm dt$

연속 함수 $f(x)$ 와 미분 가능한 함수 $x=g(t)$ 에 대해 다음 등식이 성립한다.

: $\int f(x)\,dx = \int f(g(t))g'(t)\, dt.$

이 식은 연쇄 법칙과 미적분학의 기본 정리를 사용하여 다음과 같이 도출된다.

: $\begin{align}\frac{d}{dt} \int f(x)\,dx &= \frac{d}{dx} \int f(x)\,dx \cdot \frac{dx}{dt} \\&= f(x)g'(t) =f(g(t))g'(t) \\&= \frac{d}{dt} \int f(g(t))g'(t)\,dt.\end{align}$

따라서 변환 공식의 양변의 부정 적분은 $t$ 로 미분했을 때 같으므로, 상수항의 차이를 제외하고 같다.

4. 단일 변수 치환

미분가능 함수 $g:[a,b]\to I$ 가 연속 함수인 도함수를 가지고, $I \subset \mathbb{R}$ 가 구간이며, $f:I\to\mathbb{R}$ 가 연속 함수라고 가정하면, 다음 식이 성립한다.^[3]

: $\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\ du.$

라이프니츠 표기법에서 $u=g(x)$ 로 치환하면 $\frac{du}{dx} = g'(x)$ 이다. 무한소를 사용하여 직관적으로 계산하면 $du = g'(x)\,dx$ 방정식을 얻을 수 있다. 이는 위의 치환 공식을 나타내며, 치환 적분법은 적분과 미분에 대한 라이프니츠 표기법의 부분적인 정당화로 볼 수 있다.

이 공식은 하나의 적분을 더 쉽게 계산할 수 있는 다른 적분으로 변환하는 데 사용된다. 따라서 주어진 적분을 단순화하기 위해 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 오른쪽에서 왼쪽으로 읽을 수 있다. 전자의 방식으로 사용될 때, 새로운 변수를 내부 함수의 도함수를 곱한 함수 합성 함수 내에서 발견된 원래 변수의 함수로 정의하는 '''''u''-치환''' 또는 '''''w''-치환'''으로 알려져 있다. 후자의 방식은 일반적으로 원래 변수를 새로운 변수의 삼각 함수로 대체하고 원래 미분을 삼각 함수의 미분으로 대체하는 삼각 치환에서 사용된다.

4. 1. 부정적분 (단일 변수)

구간

I\subseteq\mathbb R

와 함수

g\colon I\to\mathbb R

및

f\colon g(I)\to\mathbb R

이 주어졌다고 하자.

만약 $f$ 의 부정적분 $F$ 가 존재하고, $g$ 가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^[10]

::

\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int f(u)\mathrm du=F(g(x))+C

만약 $(f\circ g)\cdot g'$ 의 원함수 $H$ 가 존재하고, $g$ 가 미분 가능 함수이며, 모든 $t\in I$ 에 대하여 $g'(t)\ne 0$ 이라면, 다음이 성립한다.^[10]

::

\int f(x)\mathrm dx=\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=H(g^{-1}(x))+C

엄밀하게 결과를 제시하기 전에, 부정 적분을 사용하여 간단한 경우를 생각해 보자.

\int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx.

를 계산한다.^[2]

u=2x^3+1

로 설정한다. 이것은

\frac{du}{dx}=6x^2,

를 의미하거나, 미분 형식으로 표현하면

du=6x^2\,dx

이다. 이제 다음과 같다:

\begin{aligned}\int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx&= \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du} \\&= \frac{1}{6}\int u^{7}\,du \\&= \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)+C \\&= \frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C,\end{aligned}

여기서

C

는 임의의 적분 상수이다.

이 절차는 자주 사용되지만, 모든 적분이 이 절차를 사용할 수 있는 형태는 아니다. 어떤 경우든, 결과를 미분하여 원래 피적분 함수와 비교하여 확인해야 한다.

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C\right] = \frac{1}{6}(2x^3+1)^{7}(6x^2) = (2x^3+1)^7(x^2).

치환은 부정적분을 결정하는 데 사용할 수 있다.

x

와

u

사이의 관계를 선택하고, 미분을 통해

dx

와

du

사이의 해당 관계를 결정한 다음 치환을 수행한다. 치환된 함수의 부정적분을 구할 수 있기를 바란다. 그런 다음

x

와

u

사이의 원래 치환을 되돌린다.

다음 적분을 고려해 보자.

\int x \cos(x^2+1)\ dx.

u = x^{2} + 1

로 치환하면

du = 2x\ dx

가 되어

x\ dx = \frac{1}{2}\ du

가 된다. 따라서,

\begin{align}\int x \cos(x^2+1) \,dx&= \frac{1}{2} \int 2x \cos(x^2+1) \,dx \\[6pt]&= \frac{1}{2} \int\cos u\,du \\[6pt]&= \frac{1}{2}\sin u + C \\[6pt]&= \frac{1}{2}\sin(x^2+1) + C,\end{align}

여기서

C

는 임의의 적분 상수이다.

탄젠트 함수는 사인과 코사인으로 표현하여 치환 적분을 사용하여 적분할 수 있다.

\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}

치환

u = \cos x

를 사용하면

du = -\sin x\,dx

이고

\begin{align}\int \tan x \,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx \\&= \int -\frac{du}{u} \\&= -\ln \left|u\right| + C \\&= -\ln \left|\cos x\right| + C \\&= \ln \left|\sec x\right| + C.\end{align}

코탄젠트 함수는

\cot x = \tfrac{\cos x}{\sin x}

로 표현하고 치환

u = \sin{x}, du = \cos{x}\,dx

를 사용하여 유사하게 적분할 수 있다.

\begin{align}\int \cot x \,dx &= \int \frac{\cos x}{\sin x} \,dx \\&= \int \frac{du}{u} \\&= \ln \left|u\right| + C \\&= \ln \left|\sin x\right| + C.\end{align}

연속 함수

f(x)

와 미분 가능한 함수

x = g(t)

에 대해 다음 등식이 성립한다.

:

\int f(x)\,dx = \int f(g(t))g'(t)\, dt.

도출에는 다음과 같이 연쇄 법칙과 미적분학의 기본 정리를 사용한다.

:

\begin{align}\frac{d}{dt} \int f(x)\,dx &= \frac{d}{dx} \int f(x)\,dx \cdot \frac{dx}{dt} \\&= f(x)g'(t) =f(g(t))g'(t) \\&= \frac{d}{dt} \int f(g(t))g'(t)\,dt.\end{align}

이 등식으로부터 변환 공식의 양변의 부정 적분은

t

로 미분했을 때 같으므로, 상수항의 차이를 제외하고 같다는 것이 귀결된다.

또한, 변환 공식은 형식적으로

f(x) = f(g(t))

와

dx = g'(t) dt

로 나누어 생각할 수 있다. 후자는 엄밀하게는 미분 형식의 이론에 의해 정당화되며, 다변수의 치환 적분과 함께 적분의 변수 변환을 일반화한다.

다음은 치환적분을 통해 부정적분을 구하는 몇 가지 예시이다.

$\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx$ 에서 $u=2x+1$ 이라고 하자. 그러면 $\mathrm du=2\mathrm dx$ 이므로 $\mathrm dx=(\mathrm du)/2$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.^[11]

:

\begin{align}\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx&=\int\sqrt u\cdot\frac{\mathrm du}2\\&=\frac 12\int u^{1/2}\mathrm du\\&=\frac 12\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\&=\frac 13u^{3/2}+C\\&=\frac 13(2x+1)^{3/2}+C\end{align}

$\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx$ 에서 $u=x^2+1$ 이라고 하자. 그러면 $\mathrm du=2x\mathrm dx$ 이므로 $x\mathrm dx=(\mathrm du)/2$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.^[10]

:

\begin{align}\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx&=\frac 12\int\frac{\mathrm du}u\\&=\left ( \frac{1}{2} \right  )\ln|u|+C\\&=\left ( \frac{1}{2} \right )\ln(x^2+1)+C\end{align}

치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.^[10]

:

\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx=\frac 12\int\frac{\mathrm d(x^2+1)}{x^2+1}=\frac 12\ln(x^2+1)+C

$\int\tan x\mathrm dx$ 에서 $u=\cos x$ 라고 하자. 그러면 $\mathrm du=-\sin x\mathrm dx$ 이므로 $\sin x\mathrm dx=-\mathrm du$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.^[11]

:

\begin{align}\int\tan x\mathrm dx&=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx\\&=-\int\frac{\mathrm du}u\\&=-\ln|u|+C\\&=-\ln|\cos x|+C\\&=\ln|\sec x|+C\end{align}

$\int\frac{\ln x}x\mathrm dx$ 에서 $(\mathrm dx)/x=\mathrm d(\ln x)$ 이므로 다음이 성립한다.^[12]

:

\int\frac{\ln x}x\mathrm dx=\int\ln x\mathrm d(\ln x)=\frac 12(\ln x)^2+C

$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}$ 에서 $x=t^6$ 이라고 하자. 그러면 $\mathrm dx=6t^5\mathrm dt$ 이므로 다음이 성립한다.^[10]

:

\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}&=6\int\frac{t^5}{t^3+t^2}\mathrm dt\\&=6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm dt\\&=6\int\left(t^2-t+1-\frac 1{t+1}\right)\mathrm dt\\&=2t^3-3t^2+6t-6\ln|1+t|+C\\&=2\sqrt x-3\sqrt[3]x+6\sqrt[6]x-6\ln|1+\sqrt[6]x|+C\end{align}

4. 2. 정적분 (단일 변수)

만약

g\colon[a,b]\to\mathbb R

가 연속 미분 가능 함수이며,

f\colon g([a,b])\to\mathbb R

가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.^[11]

:

\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm dx=\int_a^bf(g(t))g'(t)\mathrm dt

g:[a,b]\to I

를 미분가능 함수이고, 연속 함수인 도함수를 가지며,

I \subset \mathbb{R}

는 구간이라고 하자.

f:I\to\mathbb{R}

가 연속 함수라고 가정하면:^[3]

:

\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\ du.

정적분에서 변수 변환을 할 때는 적분 구간도 변환된다.

라이프니츠 표기법으로, 치환

u=g(x)

는 다음과 같다.

:

\frac{du}{dx} = g'(x).

무한소를 사용하여 직관적으로 계산하면 다음 방정식을 얻을 수 있다.

:

du = g'(x)\,dx,

이것은 위의 치환 공식을 시사한다. (이 방정식은 미분 형식에 대한 진술로 해석하여 엄밀한 토대를 마련할 수 있다.) 치환 적분법은 적분과 미분에 대한 라이프니츠 표기법의 부분적인 정당화로 볼 수 있다.

이 공식은 하나의 적분을 더 쉽게 계산할 수 있는 다른 적분으로 변환하는 데 사용된다. 따라서 이 공식은 주어진 적분을 단순화하기 위해 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 오른쪽에서 왼쪽으로 읽을 수 있다. 전자의 방식으로 사용될 때, 새로운 변수를 내부 함수의 도함수를 곱한 함수 합성 함수 내에서 발견된 원래 변수의 함수로 정의하는 '''''u''-치환''' 또는 '''''w''-치환'''으로 알려져 있다. 후자의 방식은 일반적으로 원래 변수를 새로운 변수의 삼각 함수로 대체하고 원래 미분을 삼각 함수의 미분으로 대체하는 삼각 치환에서 사용된다.

;예시 1

:

\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx

에서

u=x^2

라고 하자. 그러면

2x\mathrm dx=\mathrm du

이다. 또한

x=0

일 때

u=0

이며

x=2\pi

일 때

u=4\pi^2

이다. 따라서 다음이 성립한다.^[12]

:

\begin{align}\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx&=\int_0^{4\pi^2}\cos u\mathrm du\\&=\bigg[\sin u\bigg]_0^{4\pi^2}\\&=\sin 4\pi^2\end{align}

;예시 2

:

\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \, dx.

u = x^2 + 1

로 변수 변환을 하여,

x

에서

u

로 치환한다. 여기서,

du = 2x \, dx

이므로

x \, dx = (1/2) \, du

이다. 또한,

x = 0

에 대해

u = 0^2+ 1 = 1

이며,

x = 2

에 대해

u = 2^2+ 1 = 5

이므로,

:

\begin{align}\int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) \,dx & {} = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du \\& {} = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1))\end{align}

으로 계산할 수 있다.

;예시 3

:

\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\qquad(a>0)

에서

x=a\sin t

(

0\le t\le\pi/2

)라고 하자. 그러면

\mathrm dx=a\cos t\mathrm dt

이다. 또한 다음이 성립한다.

:

\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=\sqrt{a^2\cos^2t}=a\cos t

마지막에 양수를 취한 것은 모든

0\le t\le\pi/2

에 대하여

\cos t>0

이기 때문이다. 또한

x=0

일 때

t=0

이며,

x=a

일 때

t=\pi/2

이므로, 다음이 성립한다.^[13]

:

\begin{align}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx&=a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2t\mathrm dt\\&=\frac{a^2}2\int_0^{\pi/2}(1+\cos 2t)\mathrm dt\\&=\frac{a^2}2\bigg[t+\frac 12\sin 2t\bigg]_0^{\pi/2}\\&=\frac\pi 4a^2\end{align}

이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

;예시 4

:

\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx.

x = \sin(u)

로 하여

x

에서

u

로 변수 변환을 한다. 이 때,

dx = \cos(u) \, du

이다. 또한,

0 = \sin(0)

및

1 = \sin(\pi/2)

이므로 적분 구간을

[0, \pi/2]

로 변환하면, 이 구간에서

|\cos(u)| = \cos(u)

임을 주의하여,

:

\begin{align}\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos(u)\,du \\&= \int_0^\frac{\pi}{2} |\cos(u)| \cos(u)\,du = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(u)\,du \\&= \Bigg( {\frac{u}{2} +\frac{\sin(2u)}{4} \Bigg) \Bigg\vert\,}_0^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}\end{align}

로 계산할 수 있다.

;예시 5

다음 적분을 고려해 보자.

:

\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx.

u = x^{2} + 1

로 치환하면

du = 2x\ dx

를 얻고, 이는

x\ dx = \frac{1}{2}\ du

를 의미한다. 따라서 다음과 같다.

:

\begin{align}\int_{x=0}^{x=2} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \ dx&= \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5} \frac{du}{\sqrt{u}} \\[6pt]&= \frac{1}{2} \left(2\sqrt{5}-2\sqrt{1}\right) \\[6pt]&= \sqrt{5}-1.\end{align}

아랫حد

x = 0

이

u = 1

로, 윗 حد

x = 2

가

2^{2} + 1 = 5

로 대체되었으므로, 다시

x

에 관한 식으로 변환할 필요는 없었다.

;예시 6

적분

:

\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx,

에 대해 위 절차의 변형이 필요하다.

x = \sin u

치환은

dx = \cos u \,du

를 의미하며,

\sqrt{1-\sin^2 u} = \cos u

이므로 유용하다. 따라서 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx&= \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 u} \cos u\ du \\[6pt]&= \int_0^{\pi/2} \cos^2 u\ du \\[6pt]&= \left[\frac{u}{2} + \frac{\sin(2u)}{4}\right]_0^{\pi/2} \\[6pt]&= \frac{\pi}{4} + 0 \\[6pt]&= \frac{\pi}{4}.\end{align}

결과적인 적분은 부분 적분 또는 배각 공식

2\cos^{2} u = 1 + \cos (2u),

를 사용하여 계산할 수 있으며, 그 다음에 한 번 더 치환한다. 또한 적분되는 함수가 반지름이 1인 원의 오른쪽 위 부분이라는 점에 주목할 수 있으며, 따라서 0에서 1까지의 오른쪽 위 부분을 적분하는 것은 단위원의 4분의 1의 면적, 즉

\tfrac \pi 4.

와 기하학적으로 동일하다.

5. 다변수 치환

여러 변수를 갖는 다변수 함수를 적분할 때에도 치환을 사용할 수 있다.

여기서, 치환 함수 (''v''₁,...,''v''_''n'') = ''φ''(''u''₁, ..., ''u''_''n'')^영어는 단사 함수이고 연속적으로 미분 가능해야 하며, 미분은 다음과 같이 변환된다.^[3]

$dv_1 \cdots dv_n = \left|\det(D\varphi)(u_1, \ldots, u_n)\right| \, du_1 \cdots du_n,$

여기서 det(''Dφ'')(''u''₁, ..., ''u''_''n'')^영어는 점 (''u''₁, ..., ''u''_''n'')^영어에서 ''φ''^영어의 야코비 행렬의 행렬식을 나타낸다. 이 공식은 행렬의 행렬식의 절댓값이 열 또는 행으로 이루어진 평행육면체의 부피와 같다는 사실을 표현한다.

더 정확하게는, ''변수 변환'' 공식은 다음 정리에 명시되어 있다.

''U''^영어가 '''R'''^''n''^영어의 열린 집합이고 ''φ'' : ''U'' → '''R'''^''n''^영어가 연속적인 편도함수를 갖는 단사 함수이며, 야코비 행렬이 U^영어의 모든 x^영어에 대해 0이 아닌 미분 가능한 함수라고 하자. 그러면 ''φ''(''U'')^영어에 포함된 지지 집합을 갖는 임의의 실수 값, 콤팩트 지지, 연속 함수 f^영어에 대해:^[4]

$\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d\mathbf{v} = \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \,\,\left|\!\det(D\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d\mathbf{u}.$

x^영어=''φ''(''u'',''v'')^영어, y^영어=''ψ''(''u'',''v'')^영어로 변수 변환하면

$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(\phi(u,v),\psi(u,v))|J|dudv$

여기서,

$J=\frac{\part(x,y)}{\part(u,v)}=\det\left(\begin{matrix} \frac{\part{x}}{\part{u}} & \frac{\part{x}}{\part{v}} \\ \frac{\part{y}}{\part{u}} & \frac{\part{y}}{\part{v}} \end{matrix} \right)$

는 야코비 행렬(야코비 행렬의 행렬식이다.)

이것은 형식적으로 $dxdy=|J|dudv$ 로 쓸 수 있다.

6. 예시

치환 적분은 다양한 형태의 함수에 대한 적분을 계산하는 데 유용하게 사용되는 기법이다.

'''정적분'''

$\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx$ 에서 $u=x^2$ 라고 하면, $2x\mathrm dx=\mathrm du$ 이다. $x=0$ 일 때 $u=0$ 이고 $x=2\pi$ 일 때 $u=4\pi^2$ 이므로, 다음이 성립한다.^[12]

:

\begin{align}\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx&=\int_0^{4\pi^2}\cos u\mathrm du\\&=\bigg[\sin u\bigg]_0^{4\pi^2}\\&=\sin 4\pi^2\end{align}

$\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\qquad(a>0)$ 에서 $x=a\sin t$ ( $0\le t\le\pi/2$ )라고 하면, $\mathrm dx=a\cos t\mathrm dt$ 이다. 또한 다음이 성립한다.

:

\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=\sqrt{a^2\cos^2t}=a\cos t

여기서 양수를 취한 것은

0\le t\le\pi/2

에서

\cos t>0

이기 때문이다.

x=0

일 때

t=0

이고,

x=a

일 때

t=\pi/2

이므로, 다음이 성립한다.^[13]

:

\begin{align}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx&=a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2t\mathrm dt\\&=\frac{a^2}2\int_0^{\pi/2}(1+\cos 2t)\mathrm dt\\&=\frac{a^2}2\bigg[t+\frac 12\sin 2t\bigg]_0^{\pi/2}\\&=\frac\pi 4a^2\end{align}

이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

'''부정적분'''

$\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx$ 에서 $u=2x+1$ 이라고 하면, $\mathrm du=2\mathrm dx$ 이므로 $\mathrm dx=(\mathrm du)/2$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.^[11]

:

\begin{align}\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx&=\int\sqrt u\cdot\frac{\mathrm du}2\\&=\frac 12\int u^{1/2}\mathrm du\\&=\frac 12\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\&=\frac 13u^{3/2}+C\\&=\frac 13(2x+1)^{3/2}+C\end{align}

$\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx$ 에서 $u=x^2+1$ 이라고 하면, $\mathrm du=2x\mathrm dx$ 이므로 $x\mathrm dx=(\mathrm du)/2$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.^[10]

:

\begin{align}\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx&=\frac 12\int\frac{\mathrm du}u\\&=\left ( \frac{1}{2} \right  )\ln|u|+C\\&=\left ( \frac{1}{2} \right )\ln(x^2+1)+C\end{align}

치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.^[10]

:

\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx=\frac 12\int\frac{\mathrm d(x^2+1)}{x^2+1}=\frac 12\ln(x^2+1)+C

$\int\tan x\mathrm dx$ 에서 $u=\cos x$ 라고 하면, $\mathrm du=-\sin x\mathrm dx$ 이므로 $\sin x\mathrm dx=-\mathrm du$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.^[11]

:

\begin{align}\int\tan x\mathrm dx&=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx\\&=-\int\frac{\mathrm du}u\\&=-\ln|u|+C\\&=-\ln|\cos x|+C\\&=\ln|\sec x|+C\end{align}

$\int\frac{\ln x}x\mathrm dx$ 에서 $(\mathrm dx)/x=\mathrm d(\ln x)$ 이므로 다음이 성립한다.^[12]

:

\int\frac{\ln x}x\mathrm dx=\int\ln x\mathrm d(\ln x)=\frac 12(\ln x)^2+C

$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}$ 에서 $x=t^6$ 이라고 하면, $\mathrm dx=6t^5\mathrm dt$ 이므로 다음이 성립한다.^[10]

:

\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}&=6\int\frac{t^5}{t^3+t^2}\mathrm dt\\&=6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm dt\\&=6\int\left(t^2-t+1-\frac 1{t+1}\right)\mathrm dt\\&=2t^3-3t^2+6t-6\ln|1+t|+C\\&=2\sqrt x-3\sqrt[3]x+6\sqrt[6]x-6\ln|1+\sqrt[6]x|+C\end{align}

6. 1. 부정적분 예시

\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx

에서

u=2x+1

이라고 하면,

\mathrm du=2\mathrm dx

이므로

\mathrm dx=(\mathrm du)/2

이다. 따라서 다음이 성립한다.^[11]

:

\begin{align}\int\sqrt{2x+1}\mathrm dx&=\int\sqrt u\cdot\frac{\mathrm du}2\\&=\frac 12\int u^{1/2}\mathrm du\\&=\frac 12\frac{u^{3/2}}{3/2}+C\\&=\frac 13u^{3/2}+C\\&=\frac 13(2x+1)^{3/2}+C\end{align}

\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx

에서

u=x^2+1

이라고 하면,

\mathrm du=2x\mathrm dx

이므로

x\mathrm dx=(\mathrm du)/2

이다. 따라서 다음이 성립한다.^[10]

:

\begin{align}\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx&=\frac 12\int\frac{\mathrm du}u\\&=\left ( \frac{1}{2} \right  )\ln|u|+C\\&=\left ( \frac{1}{2} \right )\ln(x^2+1)+C\end{align}

치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.^[10]

:

\int\frac x{x^2+1}\mathrm dx=\frac 12\int\frac{\mathrm d(x^2+1)}{x^2+1}=\frac 12\ln(x^2+1)+C

\int\tan x\mathrm dx

에서

u=\cos x

라고 하면,

\mathrm du=-\sin x\mathrm dx

이므로

\sin x\mathrm dx=-\mathrm du

이다. 따라서 다음이 성립한다.^[11]

:

\begin{align}\int\tan x\mathrm dx&=\int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx\\&=-\int\frac{\mathrm du}u\\&=-\ln|u|+C\\&=-\ln|\cos x|+C\\&=\ln|\sec x|+C\end{align}

\int\frac{\ln x}x\mathrm dx

에서

(\mathrm dx)/x=\mathrm d(\ln x)

이므로 다음이 성립한다.^[12]

:

\int\frac{\ln x}x\mathrm dx=\int\ln x\mathrm d(\ln x)=\frac 12(\ln x)^2+C

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}

에서

x=t^6

이라고 하면,

\mathrm dx=6t^5\mathrm dt

이므로 다음이 성립한다.^[10]

:

\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}&=6\int\frac{t^5}{t^3+t^2}\mathrm dt\\&=6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm dt\\&=6\int\left(t^2-t+1-\frac 1{t+1}\right)\mathrm dt\\&=2t^3-3t^2+6t-6\ln|1+t|+C\\&=2\sqrt x-3\sqrt[3]x+6\sqrt[6]x-6\ln|1+\sqrt[6]x|+C\end{align}

6. 2. 정적분 예시

\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx

에서

u=x^2

라고 하면,

2x\mathrm dx=\mathrm du

이다.

x=0

일 때

u=0

이고

x=2\pi

일 때

u=4\pi^2

이므로, 다음이 성립한다.^[12]

:

\begin{align}\int_0^{2\pi}2x\cos x^2\mathrm dx&=\int_0^{4\pi^2}\cos u\mathrm du\\&=\bigg[\sin u\bigg]_0^{4\pi^2}\\&=\sin 4\pi^2\end{align}

\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\qquad(a>0)

에서

x=a\sin t

(

0\le t\le\pi/2

)라고 하면,

\mathrm dx=a\cos t\mathrm dt

이다. 또한 다음이 성립한다.

:

\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=\sqrt{a^2\cos^2t}=a\cos t

여기서 양수를 취한 것은

0\le t\le\pi/2

에서

\cos t>0

이기 때문이다.

x=0

일 때

t=0

이고,

x=a

일 때

t=\pi/2

이므로, 다음이 성립한다.^[13]

:

\begin{align}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx&=a^2\int_0^{\pi/2}\cos^2t\mathrm dt\\&=\frac{a^2}2\int_0^{\pi/2}(1+\cos 2t)\mathrm dt\\&=\frac{a^2}2\bigg[t+\frac 12\sin 2t\bigg]_0^{\pi/2}\\&=\frac\pi 4a^2\end{align}

이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

다음 적분을 고려해 보자.

\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx.

u = x^{2} + 1

로 치환하면

du = 2x\ dx

를 얻고, 이는

x\ dx = \frac{1}{2}\ du

를 의미한다. 따라서 다음과 같다.

\begin{align}\int_{x=0}^{x=2} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \ dx&= \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5} \frac{du}{\sqrt{u}} \\[6pt]&= \frac{1}{2} \left(2\sqrt{5}-2\sqrt{1}\right) \\[6pt]&= \sqrt{5}-1.\end{align}

아랫값

x = 0

이

u = 1

로, 윗값

x = 2

가

2^{2} + 1 = 5

로 대체되었으므로, 다시

x

에 관한 식으로 변환할 필요는 없었다.

적분

\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx,

에 대해,

x = \sin u

치환은

dx = \cos u \,du

를 의미하며,

\sqrt{1-\sin^2 u} = \cos u

이므로 유용하다. 따라서 다음을 얻는다.

\begin{align}\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx&= \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 u} \cos u\ du \\[6pt]&= \int_0^{\pi/2} \cos^2 u\ du \\[6pt]&= \left[\frac{u}{2} + \frac{\sin(2u)}{4}\right]_0^{\pi/2} \\[6pt]&= \frac{\pi}{4} + 0 \\[6pt]&= \frac{\pi}{4}.\end{align}

결과적인 적분은 부분 적분 또는 배각 공식

2\cos^{2} u = 1 + \cos (2u)

를 사용하여 계산할 수 있으며, 그 다음에 한 번 더 치환한다. 또한 적분되는 함수가 반지름이 1인 원의 오른쪽 윗부분이라는 점에 주목할 수 있으며, 따라서 0에서 1까지의 오른쪽 윗부분을 적분하는 것은 단위원의 4분의 1의 면적, 즉

\tfrac \pi 4

와 기하학적으로 동일하다.

정적분에서 변수 변환을 할 때는 적분 구간도 변환된다.

:

\int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx = \int_a^b f(g(t))g'(t)\, dt.

:

\int_{0}^2 x \cos(x^2+1) \, dx.

u

=

x

² + 1로 변수 변환을 하여,

x

에서

u

로 치환한다. 여기서,

du

= 2

x

dx

이므로

x

dx

= (1/2)

du

이다. 또한,

x

= 0에 대해

u

= 0²+ 1 = 1이며,

x

= 2에 대해

u

= 2²+ 1 = 5이므로,

:

\begin{align}\int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) \,dx & {} = \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du \\& {} = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1))\end{align}

으로 계산할 수 있다.

:

\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx.

x

= sin(

u

)로 하여

x

에서

u

로 변수 변환을 한다. 이 때,

dx

= cos(u)

du

이다. 또한, 0 = sin(0) 및 1 = sin(π/2)이므로 적분 구간을 [0, π/2]로 변환하면, 이 구간에서 cos(

u

) = cos(

u

)임을 주의하여,

:

\begin{align}\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\, dx &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos(u)\,du \\&= \int_0^\frac{\pi}{2} |\cos(u)| \cos(u)\,du = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(u)\,du \\&= \Bigg( {\frac{u}{2} +\frac{\sin(2u)}{4} \Bigg) \Bigg\vert\,}_0^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}\end{align}

로 계산할 수 있다.

7. 응용

치환 적분은 여러 수학 분야와 실생활 문제 해결에 유용하게 응용된다. 예를 들어, 홀함수와 짝함수의 적분, 주기 함수의 적분, 확률론 등 다양한 분야에서 활용된다.

7. 1. 홀함수와 짝함수의 적분

치환 적분을 통해 대칭적인 함수의 대칭적인 구간 위의 적분에 대한 공식을 증명할 수 있다. `f:[-a,a]→ℝ`가 연속 함수라고 하자.

만약 `f`가 홀함수라면 (모든 `x∈[-a,a]`에 대하여 `f(-x)=-f(x)`라면), 다음이 성립한다.

::`∫-a^a f(x) dx = 0`

만약 `f`가 짝함수라면 (모든 `x∈[-a,a]`에 대하여 `f(-x)=f(x)`라면), 다음이 성립한다.

::`∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx`

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 `f`가 홀함수라면, 치환 적분 `x=-t`을 쓴 뒤 `f(-t)=-f(t)`를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.

::`∫-a^0 f(x) dx = ∫0^a f(-t) dt = -∫0^a f(t) dt = -∫0^a f(x) dx`

만약 `f`가 짝함수라면, 치환 적분 `x=-t`을 쓴 뒤 `f(-t)=f(t)`를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.^[13]

::`∫-a^0 f(x) dx = ∫0^a f(-t) dt = ∫0^a f(t) dt = ∫0^a f(x) dx`

7. 2. 주기 함수의 적분

치환 적분을 통해 주기 함수의 한 주기 동안의 적분이 어디에서나 같음을 증명할 수 있다. f가 T>0를 주기로 가지는 연속 함수라고 하자. 그렇다면 임의의 a에 대하여 다음이 성립한다.^[13]

:

\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_0^Tf(x)\mathrm dx

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 치환 적분 x=t+T를 쓴 뒤 f(t+T)=f(t)를 대입하면 다음을 얻는다.

:

\int_T^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_0^af(t+T)\mathrm dt=\int_0^af(t)\mathrm dt=\int_0^af(x)\mathrm dx

따라서 다음이 성립하므로, 원하는 명제가 성립한다.^[13]

:

\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\left(\int_a^0+\int_0^T+\int_T^{a+T}\right)f(x)\mathrm dx=\int_0^Tf(x)\mathrm dx

7. 3. 확률론에서의 응용

확률 밀도 ''p''_''X''^영어를 갖는 확률 변수 ''X''와 단사 (일대일) 함수 ''ϕ''에 대해 ''Y'' = ''ϕ''(''X'')인 다른 확률 변수 ''Y''가 주어졌을 때, ''Y''의 확률 밀도를 구하는 문제에 치환 적분을 사용할 수 있다.

이 질문에 답하기 위해, 먼저 ''Y''가 어떤 특정 부분 집합 ''S''에서 값을 가질 확률 ''P''(''Y'' ∈ ''S'')를 생각해 보자. 만약 ''Y''가 확률 밀도 ''p''_''Y''를 갖는다면, 이 확률은 다음과 같이 표현된다.

:

P(Y \in S) = \int_S p_Y(y)\,dy,

하지만 이 식은 우리가 구하고자 하는 ''p''_''Y''를 모르기 때문에 바로 사용할 수 없다. 대신, 변수 ''X''에 대한 문제로 바꾸어 생각하면, ''Y''는 ''X''가

\phi^{-1}(S)

에서 값을 가질 때마다 ''S''에서 값을 가지므로, 다음이 성립한다.

:

P(Y \in S) = P(X \in \phi^{-1}(S)) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx.

이제 변수 ''x''에서 ''y''로 치환하면,

:

P(Y \in S) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx = \int_S p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|\,dy.

를 얻는다. 이 식을 처음의 식과 결합하면,

:

\int_S p_Y(y)\,dy = \int_S p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|\,dy,

이므로, 다음을 얻는다.

:

p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|.

만약 ''X''와 ''Y''가 여러 개의 상관관계가 없는 변수에 의존하는 경우 (즉,

p_X=p_X(x_1, \ldots, x_n)

이고

y=\phi(x)

인 경우), ''p''_''Y''는 여러 변수에 대한 치환을 통해 구할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

:

p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\det D\phi ^{-1}(y) \right|.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적 数学分析. 第一册北京大学出版社 2009-08
_[11] 서적 Single Variable Calculus: Early Transcendentals Cengage Learning 2011
_[12] 서적 Calculus With Applications Springer Science+Business Media 2014
_[13] 서적 数学分析. 第二册北京大学出版社 2010-02

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