다변수 함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수값을 갖는 다변수 함수
- 2.2. 복소수값을 갖는 다변수 함수
3. 다변수 함수의 성질
4. 다변수 미적분학
5. 다변수 함수의 응용
- 5.1. 물리학 및 공학
참조

1. 개요

다변수 함수는 둘 이상의 실수 변수를 갖는 함수를 의미하며, 실변수 여러 개에 대한 실숫값을 반환하는 실함수와 복소수를 반환하는 복소함수로 나뉜다. 다변수 함수는 유클리드 공간의 부분 집합을 정의역으로 가지며, 편미분, 전미분, 중적분 등의 개념을 통해 미적분학을 확장한다. 이러한 함수는 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 널리 활용되며, 물리량, 밀도, 속도장, 효용, 생산량 등을 표현하는 데 사용된다.

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다변수 함수

2. 정의

'''다변수 함수'''는 여러 개의 변수를 가지는 함수를 의미한다. 변수의 종류에 따라 실수값을 갖는 함수와 복소수값을 갖는 함수로 나눌 수 있다.

실수값을 갖는 다변수 함수: 실수 변수를 입력받아 실숫값을 출력하는 함수이다. 유클리드 공간을 정의역으로 갖는 함수로 정의할 수 있다.
복소수값을 갖는 다변수 함수: 복소수 변수를 입력받아 복소숫값을 출력하는 함수이다. 복소수 곱공간을 정의역으로 갖는 함수로 정의할 수 있다.

n^영어개의 변수를 갖는 함수는 n+1^영어차원 공간에서 그래프로 표현할 수 있다. 이때 정의역은 n^영어차원 영역으로, 함수값은 n^영어차원 곡선으로 나타난다.

일반적으로 와 같이 변수를 괄호 안에 나열하여 함수를 표현한다.

2. 1. 실수값을 갖는 다변수 함수

'''다변수 실함수'''는 ()개의 실수 독립 변수에 대한 실숫값 함수

:

를 뜻한다. 여기서 이며, 모든 실수 중쌍을 유일한 또 다른 실수로 대응시키는 대응 관계이다.

다변수 실함수는 유클리드 공간 (또는 그 부분 집합)을 정의역으로 갖는 실숫값 함수

:

로서 정의할 수도 있다.

실변수 개의 실수값 함수는 개의 실수를 입력으로 받아 또 다른 실수를 생성하는 함수이다. 일반적으로 으로 표시되는 변수들을 사용하며, 함수의 ''값''은 로 표시된다.

일부 함수는 모든 실수값에 대해 정의되지만(어디에나 정의된다고 함), 다른 일부 함수는 변수 값이 의 부분 집합 (함수의 정의역)에서 취해질 때만 정의된다. 이 정의역은 항상 의 열린 부분 집합을 포함하는 것으로 간주된다. 즉, 실변수 개의 실수값 함수는

:

이고, 그 정의역 는 비어 있지 않은 열린 집합을 포함하는 의 부분 집합이다.

의 원소는 -튜플 (일반적으로 괄호로 구분)이므로, 함수를 나타내는 일반적인 표기법은 이다. 그러나 집합 간의 함수의 일반적인 정의보다 훨씬 오래된 일반적인 사용법은 이중 괄호를 사용하지 않고 단순히 를 쓰는 것이다.

또한 -튜플 를 벡터와 유사한 표기법(예: 굵은 글씨 , 밑줄 , 위쪽 화살표 )을 사용하여 축약하는 것이 일반적이다. 이 문서에서는 굵은 글씨를 사용한다.

두 변수 함수의 예시는 다음과 같다.

:

\begin{align}& V : X \to \R \\& X = \left\{ (A,h) \in \R^2 \mid A>0, h> 0 \right\} \\& V(A,h) = \frac{1}{3}A h\end{align}

이는 밑면 면적 와 밑면에서 수직으로 측정된 높이 를 갖는 원뿔의 부피 이다. 정의역은 길이와 면적이 양수여야 하므로 모든 변수를 양수로 제한한다.

:

\begin{align}& z : \R^2 \to \R \\& z(x,y) = ax + by\end{align}

여기서 와 는 0이 아닌 실수 상수이다. 3차원 데카르트 좌표계에서 ''xy'' 평면은 정의역 이고 z 축은 공역 이며, 이미지는 양의 x 방향으로 기울기가 이고 양의 y 방향으로 기울기가 인 2차원 평면으로 시각화할 수 있다. 이 함수는 의 모든 점 에서 잘 정의된다.

:

\begin{align}& z : \R^p \to \R \\& z(x_1,x_2,\ldots, x_p) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_p x_p\end{align}

개의 0이 아닌 실수 상수 에 대해, 이는 차원 초평면을 설명한다.

유클리드 노름:

:}

위 식은 어디에나 정의된 ''n''개 변수의 함수이며,

:

는 에 대해서만 정의된다.

두 변수의 비선형 예제 함수는 다음과 같다.

:

\begin{align}& z : X \to \R \\& X = \left\{ (x,y) \in \R^2 \, : \, x^2 + y^2 \leq 8 \, , \, x \neq 0 \, , \, y \neq 0 \right\} \\& z(x,y) = \frac{1}{2xy}\sqrt{x^2 + y^2}\end{align}

이는 평면 에서 원점 에서 "구멍이 뚫린" 반경 의 원판인 의 모든 점을 받아 의 점을 반환한다. 함수는 원점 을 포함하지 않으며, 만약 포함한다면 는 해당 점에서 잘 정의되지 않을 것이다. ''xy'' 평면을 정의역 로 하고 z 축을 공역 로 하는 3차원 데카르트 좌표계를 사용하면, 이미지는 곡면으로 시각화할 수 있다.

함수는 의 점 에서 평가될 수 있다.

:

그러나,

:

이 경우 와 의 값은 정의역의 규칙을 충족하지 않으므로 함수를 평가할 수 없다.

2. 2. 복소수값을 갖는 다변수 함수

다변수 복소함수는 다중 복소수 독립 변수에 대한 복소수 값 함수

:

w = f(z_1,z_2,\ldots,z_n)

를 뜻하며, 복소수 곱공간

\mathbb C^n

(또는 그 부분 집합)을 정의역으로 갖는 복소수 값 함수

:

f\colon\mathbb C^n\to\mathbb C

로서 정의할 수 있다. 여러 실수 변수의 복소수 값 함수는 실수 값 함수의 정의에서 공역을 실수로 제한하는 것을 완화하고 복소수 값을 허용함으로써 정의될 수 있다.

만약

f(x_1,\ldots, x_n)

이 그러한 복소수 값 함수라면, 다음과 같이 분해될 수 있다.

:

f(x_1,\ldots, x_n)=g(x_1,\ldots, x_n)+ih(x_1,\ldots, x_n)

여기서

g

와

h

는 실수 값 함수이다. 즉, 복소수 값 함수의 연구는 쉽게 실수 값 함수 쌍의 연구로 축소된다.

이러한 축소는 일반적인 속성에 적용된다. 그러나 명시적으로 주어진 함수에 대해서는 다음과 같다.

:

z(x, y, \alpha, a, q) = \frac{q}{2\pi} \left[\ln\left(x+iy- ae^{i\alpha}\right) - \ln\left(x+iy + ae^{-i\alpha}\right)\right]

실수부와 허수부의 계산이 어려울 수 있다. 일부 "물리량"은 실제로 복소수 값을 가질 수 있다. 예를 들어 복소 임피던스, 복소 유전율, 복소 투자율, 복소 굴절률 등이 있다. 이러한 양들은 주파수나 시간, 온도와 같은 실수 변수의 함수이기도 하다.

2차원 유체 역학, 특히 2차원에서의 유체 운동을 설명하는 데 사용되는 포텐셜 흐름 이론에서, 복소 포텐셜

:

F(x,y,\ldots) = \varphi(x,y,\ldots) + i\psi(x,y,\ldots)

는 두 개의 공간 좌표

x

와

y

, 그리고 시스템과 관련된 다른 ''실수'' 변수의 복소수 값 함수이다. 실수부는 속도 포텐셜이고 허수부는 유선 함수이다.

구면 조화 함수는 라플라스 방정식의 해, 그리고 ''z'' 성분 각운동량 연산자의 고유 함수로 물리학과 공학에서 나타난다. 이는 실수 값 구면 좌표 각도의 복소수 값 함수이다.

:

Y^m_\ell = Y^m_\ell(\theta,\phi)

양자 역학에서 파동 함수는 필연적으로 복소수 값을 가지며, 시간

t

뿐만 아니라 ''실수'' 공간 좌표 (또는 운동량 성분)의 함수이다.

:

\Psi = \Psi(\mathbf{r},t) = \Psi(x,y,z,t)\,,\quad \Phi = \Phi(\mathbf{p},t) = \Phi(p_x,p_y,p_z,t)

각각은 푸리에 변환으로 관련된다.

3. 다변수 함수의 성질

함수 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 의 상은 $n$ -튜플 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 이 $f$ 의 전체 정의역에서 움직일 때 $f$ 의 모든 값들의 집합이다. 주어진 실수 $c$ 의 역상은 레벨 집합이라고 하며, 방정식 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = c$ 의 해 집합이다.

실수의 일반적인 산술 연산은 여러 실수 변수의 실수 값 함수로 확장될 수 있다.

모든 실수 $r$ 에 대해, 상수 함수 $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto r$ 는 모든 곳에서 정의된다.
모든 실수 $r$ 과 모든 함수 $f$ 에 대해, 함수 $rf:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto rf(x_1,\ldots,x_n)$ 는 $f$ 와 동일한 정의역을 갖거나, $r=0$ 이면 모든 곳에서 정의된다.
$f$ 와 $g$ 가 각각 정의역 $X$ 와 $Y$ 를 갖는 두 함수이고, $X \cap Y$ 가 $\mathbb{R}^n$ 의 비어 있지 않은 열린 부분 집합을 포함하는 경우, $f\,g:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto f(x_1,\ldots,x_n)\,g(x_1,\ldots,x_n)$ 및 $g\,f:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto g(x_1,\ldots,x_n)\,f(x_1,\ldots,x_n)$ 는 $X \cap Y$ 를 포함하는 정의역을 갖는 함수이다.

따라서 모든 곳에서 정의된

n

변수의 함수와 주어진 점의 어떤 근방에서 정의된

n

변수의 함수는 모두 실수(

\mathbb{R}

-대수)에 대한 가환 대수를 형성한다. 이것은 함수 공간의 전형적인 예이다.

유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

1/f : (x_1,\ldots,x_n) \mapsto 1/f(x_1,\ldots,x_n),

이는

f

의 정의역에 있는 점

(x_1, \ldots, x_n)

의 집합으로,

f(x_1, \ldots, x_n) \neq 0

가

\mathbb{R}^n

의 열린 부분 집합을 포함하는 경우에만 함수이다. 이 제약 조건은 위 두 대수가 체가 아님을 의미한다.

19세기 후반까지 수학자들은 연속 함수만을 고려했다. 당시 연속의 개념은 위상 공간과 위상 공간 사이의 연속 사상에 대한 형식적인 정의가 나오기 훨씬 전에 하나 또는 여러 실수 변수의 함수에 대해 상세하게 설명되었다.

연속성을 정의하기 위해,

\mathbb{R}^n

의 거리 함수를 고려하는 것이 유용하며, 이는

2n

개의 실수 변수의 모든 곳에서 정의된 함수이다.

:

d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots +(x_n-y_n)^2}

함수

f

는 점

\boldsymbol{a} = (a_1, \ldots, a_n)

에서 '''연속'''이며, 이 점은 함수의 정의역의 내부에 속한다. 만약 모든 양의 실수

\varepsilon

에 대해,

\varphi

가 존재하여

|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon

가 모든

\boldsymbol{x}

에 대해 성립하고,

d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a}) < \varphi

를 만족한다면, 이때

\varphi

는

\boldsymbol{a}

를 중심으로 하고 반지름이

\varphi

인 공의

f

에 의한 상이

f(\boldsymbol{a})

를 중심으로 하고 길이가

2\varepsilon

인 구간 안에 포함되도록 충분히 작게 선택할 수 있다. 함수는 정의역의 모든 점에서 연속이면 연속이다.

함수가

f(\boldsymbol{a})

에서 연속이면,

a_i

값을 제외한 모든 변수

x_i

를 고정하여 얻은 모든 일변수 함수는

f(\boldsymbol{a})

에서 연속이다. 그 역은 성립하지 않으며, 이는 이러한 모든 일변수 함수가

f(\boldsymbol{a})

에서 연속이지 않은 함수에 대해 연속일 수 있음을 의미한다. 예를 들어,

f(0, 0) = 0

이고, 그 외에는 다음과 같이 정의된 함수

f

를 고려해 보자.

:

f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}.

함수

x \mapsto f(x, 0)

및

y \mapsto f(0, y)

는 모두 상수이고 0과 같으므로 연속이다. 함수

f

는

(0, 0)

에서 연속이 아닌데, 만약

\varepsilon < 1/2

이고

y = x^2 \neq 0

이면,

f(x, y) = 1/2

이며,

|x|

가 매우 작더라도 마찬가지이다.

여러 실수 변수의 실수 값 함수에서의 극한은 다음과 같이 정의된다.^[1] 함수

f

의 정의역

X

의 위상적 폐포 내의 점

\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)

에 대해,

\boldsymbol{x}

가

\boldsymbol{a}

로 접근할 때 함수

f

는 극한

L

을 갖는다. 이는 다음과 같이 표기한다.

:

L = \lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}),

만약 다음 조건이 충족되면:

모든 양의 실수

\varepsilon > 0

에 대해, 양의 실수

\delta > 0

가 존재하여

:

|f(\boldsymbol{x}) - L| < \varepsilon

모든

\boldsymbol{x}

가 정의역에 속하고

:

d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a})< \delta.

극한이 존재한다면, 그것은 유일하다. 만약

\boldsymbol{a}

가 정의역의 내부에 속한다면, 극한은 함수가

\boldsymbol{a}

에서 연속일 때에만 존재한다. 이 경우, 우리는 다음을 얻는다.

:

f(\boldsymbol{a}) = \lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}).

\boldsymbol{a}

가

f

의 정의역의 경계에 속하고,

f

가

\boldsymbol{a}

에서 극한을 갖는다면, 후자의 공식은

f

의 정의역을

\boldsymbol{a}

로 "연속적으로 확장"할 수 있게 해준다.

대칭 함수는 두 변수

x_i

와

x_j

를 서로 바꿀 때 변하지 않는 함수

f

를 말한다.

:

f(\ldots, x_i,\ldots,x_j,\ldots) = f(\ldots, x_j,\ldots,x_i,\ldots)

여기서

i

와

j

는 각각

1, 2, \ldots, n

중 하나이다. 예를 들어:

:

f(x,y,z,t) = t^2 - x^2 - y^2 - z^2

는

x, y, z

에 대해 대칭적이다.

함수 합성은 이중 적분을 수행하고 편미분 방정식을 푸는 데 유용하며, 함수를 단순화하는 데 사용될 수 있다.

3. 1. 상(Image)

함수 상은 -튜플 이 의 전체 정의역에서 움직일 때 의 모든 값들의 집합이다. 연결된 정의역을 갖는 연속 실수 값 함수의 경우(정의는 아래 참조), 상은 구간 또는 단일 값이다. 후자의 경우, 함수는 상수 함수이다.

주어진 실수 의 역상은 레벨 집합이라고 한다. 이것은 방정식 의 해 집합이다.

3. 2. 정의역(Domain)

'''실변수 n개의 실수값 함수'''는 n개의 실수를 입력으로 받아 다른 실수를 생성하는 함수이며, 일반적으로 변수 x₁, x₂, …, x_n으로 표시되고, 함수의 ''값''은 f(x₁, x₂, …, x_n)으로 표시된다. 일부 함수는 모든 실수값에 대해 정의되지만(어디에나 정의된다고 함), 다른 함수는 변수 값이 '''R'''^''n''의 부분 집합 ''X''(함수의 정의역)에서 취해질 때만 정의되며, 이 정의역은 항상 '''R'''^''n''의 열린 부분 집합을 포함하는 것으로 간주된다. 즉, 실변수 n개의 실수값 함수는

:

f: X \to \R

이고, 그 정의역 ''X''는 비어 있지 않은 열린 집합을 포함하는 '''R'''^''n''의 부분 집합이다.

''X''의 원소는 n-튜플 (x₁, x₂, …, x_n) (일반적으로 괄호로 구분)이므로, 함수를 나타내는 일반적인 표기법은 f((x₁, x₂, …, x_n))이다. 집합 간의 함수의 일반적인 정의보다 훨씬 오래된 일반적인 사용법은 이중 괄호를 사용하지 않고 단순히 f(x₁, x₂, …, x_n)를 쓰는 것이다.

또한 n-튜플 (x₁, x₂, …, x_n)를 벡터와 유사한 표기법(굵은 글씨 '''x''', 밑줄 , 위쪽 화살표 })을 사용하여 축약하는 것이 일반적이다.

두 변수 함수의 간단한 예는 다음과 같다.

:

\begin{align}& V : X \to \R \\& X = \left\{ (A,h) \in \R^2 \mid A>0, h> 0 \right\} \\& V(A,h) = \frac{1}{3}A h\end{align}

이는 밑면 면적 ''A''와 밑면에서 수직으로 측정된 높이 ''h''를 갖는 원뿔의 부피 ''V''이다. 정의역은 길이와 면적이 양수여야 하므로 모든 변수를 양수로 제한한다.

다른 예시는 다음과 같다.

:

\begin{align}& z : \R^2 \to \R \\& z(x,y) = ax + by\end{align}

여기서 ''a''와 ''b''는 0이 아닌 실수 상수이다. 3차원 데카르트 좌표계를 사용하여, ''xy'' 평면은 정의역 '''R'''²이고 z 축은 공역 '''R'''이며, 이미지는 양의 x 방향으로 기울기가 ''a''이고 양의 y 방향으로 기울기가 ''b''인 2차원 평면으로 시각화할 수 있다. 이 함수는 '''R'''²의 모든 점 (''x'', ''y'')에서 잘 정의된다.

이전 예는 더 높은 차원으로 쉽게 확장할 수 있다.

:

\begin{align}& z : \R^p \to \R \\& z(x_1,x_2,\ldots, x_p) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_p x_p\end{align}

''p''개의 0이 아닌 실수 상수 ''a''₁, ''a''₂, …, ''a''_p에 대해, 이는 ''p''차원 초평면을 설명한다.

유클리드 노름:

:

f(\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}

또한 어디에나 정의된 ''n''개 변수의 함수이며,

:

g(\boldsymbol{x})=\frac{1}{f(\boldsymbol{x})}

는 '''x''' ≠ (0, 0, …, 0)에 대해서만 정의된다.

두 변수의 비선형 함수 예시는 다음과 같다.

:

\begin{align}& z : X \to \R \\& X = \left\{ (x,y) \in \R^2 \, : \, x^2 + y^2 \leq 8 \, , \, x \neq 0 \, , \, y \neq 0 \right\} \\& z(x,y) = \frac{1}{2xy}\sqrt{x^2 + y^2}\end{align}

이는 평면 '''R'''²에서 원점 (''x'', ''y'') = (0, 0)에서 "구멍이 뚫린" 반지름 의 원판인 ''X''의 모든 점을 받아 '''R'''의 점을 반환한다. 함수는 원점 (''x'', ''y'') = (0, 0)을 포함하지 않으며, 만약 포함한다면 ''f''는 해당 점에서 잘 정의되지 않을 것이다. ''xy'' 평면을 정의역 '''R'''²로 하고 z 축을 공역 '''R'''로 하는 3차원 데카르트 좌표계를 사용하면, 이미지는 곡면으로 시각화할 수 있다.

함수는 ''X''의 점 (''x'', ''y'') = (2, )에서 평가될 수 있다.

:

z\left(2,\sqrt{3}\right) = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}\sqrt{\left(2\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = \frac{1}{4\sqrt{3}}\sqrt{7} \,,

그러나 (x,y) = (65,) 와 같이 x² + y² = (65)² + ()² > 8 인 경우 ''x''와 ''y''의 이러한 값은 정의역의 규칙을 충족하지 않으므로 함수를 평가할 수 없다.

여러 실수 변수의 함수 정의역은 '''R'''^''n''의 부분 집합으로, 명시적으로 정의되지 않는 경우도 있다. 함수 ''f''의 정의역 ''X''를 부분 집합 ''Y'' ⊂ ''X''로 제한하면 형식적으로 다른 함수, 즉 ''f''를 ''Y''로 "제한"한 함수가 생성되며, 이는

f|_Y

로 표시된다. 실제로 ''f''와

f|_Y

를 식별하고 제한자 _''Y''를 생략해도 무방한 경우가 많다.

반대로, 주어진 함수의 정의역을 연속성이나 해석적 연속을 통해 자연스럽게 확장할 수 있는 경우도 있다.

또한, 많은 함수는 정의역을 명시적으로 지정하기 어려운 방식으로 정의된다. 예를 들어, 함수 ''f''가 주어지면 함수

g(\boldsymbol{x}) = 1/f(\boldsymbol{x})

의 정의역을 지정하기 어려울 수 있다. ''f''가 (정의역이 Rⁿ인) 다변수 다항식인 경우, ''g''의 정의역이 Rⁿ인지 여부를 테스트하는 것조차 어렵다. 이는 다항식이 항상 양수인지 테스트하는 것과 동일하며, 활발한 연구 분야의 대상이다(양의 다항식 참조).

3. 3. 대수적 구조(Algebraic structure)

실수의 일반적인 산술 연산은 여러 실수 변수의 실수 값 함수로 확장될 수 있다.

모든 실수 ''r''에 대해, 상수 함수 $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto r$ 는 모든 곳에서 정의된다.
모든 실수 ''r''과 모든 함수 ''f''에 대해, 함수 $rf:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto rf(x_1,\ldots,x_n)$ 는 ''f''와 동일한 정의역을 갖는다(또는 ''r'' = 0이면 모든 곳에서 정의된다).
''f''와 ''g''가 각각 정의역 ''X''와 ''Y''를 갖는 두 함수이고, ''X'' ∩ ''Y''가 '''R'''^''n''의 비어 있지 않은 열린 부분 집합을 포함하는 경우, $f\,g:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto f(x_1,\ldots,x_n)\,g(x_1,\ldots,x_n)$ 및 $g\,f:(x_1,\ldots,x_n)\mapsto g(x_1,\ldots,x_n)\,f(x_1,\ldots,x_n)$ 는 ''X'' ∩ ''Y''를 포함하는 정의역을 갖는 함수이다.

따라서 모든 곳에서 정의된 ''n'' 변수의 함수와 주어진 점의 어떤 근방에서 정의된 ''n'' 변수의 함수는 모두 실수('''R'''-대수)에 대한 가환 대수를 형성한다. 이것은 함수 공간의 전형적인 예이다.

유사하게 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

1/f : (x_1,\ldots,x_n) \mapsto 1/f(x_1,\ldots,x_n),

이는 ''f''의 정의역에 있는 점 (''x''₁, …, ''x''_''n'')의 집합으로, ''f''(''x''₁, …, ''x''_''n'') ≠ 0가 '''R'''^''n''의 열린 부분 집합을 포함하는 경우에만 함수이다. 이 제약 조건은 위 두 대수가 체가 아님을 의미한다.

3. 4. 연속성과 극한(Continuity and limit)

다변수 함수에서 변수 중 하나를 제외한 나머지 변수에 상수값을 부여하면 실수 변수 하나에 대한 함수를 쉽게 얻을 수 있다. 예를 들어,

(a_1, \ldots, a_n)

가 함수

f

의 정의 구역의 내부의 점이라면,

x_2, \ldots, x_n

의 값을 각각

a_2, \ldots, a_n

로 고정하여 다음과 같은 일변수 함수를 얻을 수 있다.

:

x \mapsto f(x, a_2, \ldots, a_n),

이 함수의 정의 구역은

a_1

을 중심으로 하는 구간을 포함한다. 이 함수는 또한 방정식

x_i = a_i

(

i = 2, \ldots, n

)에 의해 정의된 직선으로 함수

f

를 제한한 것으로 볼 수도 있다.

(a_1, \ldots, a_n)

을 지나는 임의의 직선으로

f

를 제한함으로써 다른 일변수 함수를 정의할 수 있다. 이러한 함수는 다음과 같다.

:

x \mapsto f(a_1+c_1 x, a_2+c_2 x, \ldots, a_n+c_n x),

여기서

c_i

는 모두 0이 아닌 실수이다.

다변수 함수가 연속이면 이러한 모든 일변수 함수도 연속이지만, 그 역은 반드시 성립하지 않는다. 19세기 후반까지 수학자들은 연속 함수만을 고려했다. 당시 연속의 개념은 위상 공간과 위상 공간 사이의 연속 사상에 대한 형식적인 정의가 나오기 훨씬 전에 하나 또는 여러 실수 변수의 함수에 대해 상세하게 설명되었다. 여러 실수 변수의 연속 함수는 수학에서 매우 흔하게 사용되므로, 위상 공간 사이의 일반적인 연속 사상 개념을 참조하지 않고 이 개념을 정의하는 것이 가치가 있다.

연속성을 정의하기 위해,

\mathbb{R}^n

의 거리 함수를 고려하는 것이 유용하며, 이는

2n

개의 실수 변수의 모든 곳에서 정의된 함수이다.

:

d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots +(x_n-y_n)^2}

함수

f

는 점

\boldsymbol{a} = (a_1, \ldots, a_n)

에서 '''연속'''이며, 이 점은 함수의 정의역의 내부에 속한다. 만약 모든 양의 실수

\varepsilon

에 대해,

\varphi

가 존재하여

|f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})| < \varepsilon

가 모든

\boldsymbol{x}

에 대해 성립하고,

d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a}) < \varphi

를 만족한다면, 이때

\varphi

는

\boldsymbol{a}

를 중심으로 하고 반지름이

\varphi

인 공의

f

에 의한 상이

f(\boldsymbol{a})

를 중심으로 하고 길이가

2\varepsilon

인 구간 안에 포함되도록 충분히 작게 선택할 수 있다. 함수는 정의역의 모든 점에서 연속이면 연속이다.

함수가

f(\boldsymbol{a})

에서 연속이면,

a_i

값을 제외한 모든 변수

x_i

를 고정하여 얻은 모든 일변수 함수는

f(\boldsymbol{a})

에서 연속이다. 그 역은 성립하지 않으며, 이는 이러한 모든 일변수 함수가

f(\boldsymbol{a})

에서 연속이지 않은 함수에 대해 연속일 수 있음을 의미한다. 예를 들어,

f(0, 0) = 0

이고, 그 외에는 다음과 같이 정의된 함수

f

를 고려해 보자.

:

f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}.

함수

x \mapsto f(x, 0)

및

y \mapsto f(0, y)

는 모두 상수이고 0과 같으므로 연속이다. 함수

f

는

(0, 0)

에서 연속이 아닌데, 만약

\varepsilon < 1/2

이고

y = x^2 \neq 0

이면,

f(x, y) = 1/2

이며,

|x|

가 매우 작더라도 마찬가지이다. 이 함수는 연속은 아니지만,

(0, 0)

을 지나는 직선으로 제한하여 얻은 모든 일변수 함수도 연속이라는 추가적인 속성을 가지고 있다. 실제로, 다음이 성립한다.

:

f(x, \lambda x) =\frac{\lambda x}{x^2+\lambda^2}

(

\lambda \neq 0

에 대해).

여러 실수 변수의 실수 값 함수에서의 극한은 다음과 같이 정의된다.^[1] 함수

f

의 정의역

X

의 위상적 폐포 내의 점

\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)

에 대해,

\boldsymbol{x}

가

\boldsymbol{a}

로 접근할 때 함수

f

는 극한

L

을 갖는다. 이는 다음과 같이 표기한다.

:

L = \lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}),

만약 다음 조건이 충족되면:

모든 양의 실수

\varepsilon > 0

에 대해, 양의 실수

\delta > 0

가 존재하여

:

|f(\boldsymbol{x}) - L| < \varepsilon

모든

\boldsymbol{x}

가 정의역에 속하고

:

d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a})< \delta.

극한이 존재한다면, 그것은 유일하다. 만약

\boldsymbol{a}

가 정의역의 내부에 속한다면, 극한은 함수가

\boldsymbol{a}

에서 연속일 때에만 존재한다. 이 경우, 우리는 다음을 얻는다.

:

f(\boldsymbol{a}) = \lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}} f(\boldsymbol{x}).

\boldsymbol{a}

가

f

의 정의역의 경계에 속하고,

f

가

\boldsymbol{a}

에서 극한을 갖는다면, 후자의 공식은

f

의 정의역을

\boldsymbol{a}

로 "연속적으로 확장"할 수 있게 해준다.

4. 다변수 미적분학

기초 미적분학은 한 개의 실수 변수에 대한 실수 값 함수의 미적분학이며, 이러한 함수의 미분과 적분에 대한 주요 개념은 여러 실수 변수의 함수로 확장될 수 있다. 이러한 확장을 다변수 미적분학이라고 한다.

다중 적분과 편미분의 정의를 통해, 여러 중요한 정리들을 공식화할 수 있다. 여기에는 여러 실수 변수에 대한 미적분학의 기본 정리 (스토크스 정리), 부분 적분, 고계 편미분의 대칭성, 다변수 함수의 테일러 정리가 포함된다. 적분과 편미분의 혼합은 적분 기호 아래에서의 미분 정리를 사용하여 계산할 수 있다.

여러 실수 변수를 갖는 여러 함수들을 모아 -튜플, 열 벡터, 행 벡터 등으로 나타낼 수 있다.

: $(y_1, y_2, \ldots, y_m) \leftrightarrow \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ f_2(x_1, x_2, \cdots x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) & f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) & \cdots & f_m(x_1, x_2, \ldots, x_n) \end{bmatrix}$

위의 모든 것들은 -성분 벡터장과 동일하게 취급되며, 편의에 따라 어떤 형태든 사용할 수 있다. 이러한 벡터장의 미적분학을 벡터 미적분학이라고 하며, 다변수 함수의 행 벡터와 열 벡터 처리에 대한 자세한 내용은 행렬 미적분학을 참조하라.

어떤 점 에서 정의된 모든 1차 편도함수가 정의역 내의 모든 에 대해 존재하고 연속이면, 는 차수의 미분 가능성을 갖는다. 일반적으로, 어떤 점 에서 정의된 모든 차 편도함수가 정의역 내의 모든 에 대해 존재하고 연속이면, 는 정의역 전체에서 차까지 미분 가능하며 차수의 미분 가능성을 갖는다.

만약 가 차수라면, 는 모든 차수의 연속 편도함수를 가지며 ''매끄러운 함수''라고 불린다. 가 ''해석 함수''이고 정의역 내의 모든 점에 대한 테일러 급수와 같다면, 표기법 는 이러한 미분 가능성 차수를 나타낸다.

4. 1. 편미분(Partial derivatives)

편미분은 각 변수에 대해 정의될 수 있다.

:

\frac{\partial}{\partial x_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \frac{\partial}{\partial x_2} f(x_1, x_2, \ldots x_n)\,,\ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} f(x_1, x_2, \ldots, x_n).

편미분 자체는 함수이며, 각 함수는 정의 구역 내의 모든 점에서

x_1, x_2, \ldots, x_n

축 중 하나에 평행한

f

의 변화율을 나타낸다(미분이 존재하고 연속적인 경우). 1차 도함수는 관련 축의 방향을 따라 함수가 증가하면 양수, 감소하면 음수, 증가 또는 감소가 없으면 0이다. 정의 구역의 특정 지점에서 편미분을 평가하면 특정 축에 평행한 방향에서 해당 지점의 함수 변화율, 즉 실수를 얻는다.

실변수의 실수값 함수

y = f(x)

에 대해 일반 도함수

\frac{dy}{dx}

는 기하학적으로 정의 구역 내의 모든 점에서 곡선

y = f(x)

에 대한 접선의 기울기이다. 편미분은 이 아이디어를 곡선에 대한 접하는 초평면으로 확장한다.

2차 편미분은 모든 변수 쌍에 대해 계산할 수 있다.

:

\frac{\partial^2}{\partial x^2_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \frac{\partial^2}{\partial x_1 x_2} f(x_1, x_2, \ldots x_n)\,,\ldots, \frac{\partial^2}{\partial x^2_n} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) .

기하학적으로, 이는 정의 구역 내의 모든 점에서 함수의 이미지의 국부적인 곡률과 관련이 있다. 함수가 잘 정의된 모든 지점에서 함수는 일부 축을 따라 증가하고/하거나 다른 축을 따라 감소하고/하거나 다른 축을 따라 전혀 증가하거나 감소하지 않을 수 있다.

이로 인해 다양한 가능한 정류점이 발생한다. 전역 또는 국소 최대값, 전역 또는 국소 최소값, 및 안장점—실변수의 실수 함수에 대한 변곡점의 다차원 유사물이다. 헤세 행렬은 모든 2차 편미분의 행렬이며, 함수의 정류점을 조사하는 데 사용되며, 이는 수학적 최적화에 중요하다.

일반적으로

p

차의 고차 편미분은 다음과 같은 형식을 갖는다.

:

\frac{\partial^p}{\partial x_1^{p_1}\partial x_2^{p_2}\cdots\partial x_n^{p_n}} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \equiv \frac{\partial^{p_1}}{\partial x_1^{p_1}} \frac{\partial^{p_2}}{\partial x_2^{p_2}} \cdots \frac{\partial^{p_n}}{\partial x_n^{p_n}} f(x_1, x_2, \ldots, x_n)

여기서

p_1, p_2, \ldots, p_n

은 각각

0

과

p

사이의 정수이며,

p_1 + p_2 + \cdots + p_n = p

이고, 영차 편미분을 항등 연산자로 정의한다.

:

\frac{\partial^0}{\partial x_1^0}f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,,\quad \ldots,\, \frac{\partial^0}{\partial x_n^0}f(x_1, x_2, \ldots, x_n)=f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\,.

가능한 편미분의 수는

p

에 따라 증가하지만, 일부 혼합 편미분(둘 이상의 변수에 대한)은 2차 편미분의 대칭으로 인해 불필요하다. 이로 인해 일부

p

에 대해 계산해야 하는 편미분의 수가 감소한다.

4. 2. 전미분(Total derivative)

함수

f(\boldsymbol{x})

가 점

\boldsymbol{a}

의 근방에서 미분 가능할 때, 다음 관계를 만족하는

n

개의 숫자 튜플

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{a}) = (A_1(\boldsymbol{a}), A_2(\boldsymbol{a}), \ldots, A_n(\boldsymbol{a}))

가 존재한다.^[3]

:

f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + \boldsymbol{A}(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + \alpha(\boldsymbol x)|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|

여기서

\alpha(\boldsymbol x) \to 0

는

|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}| \to 0

일 때 성립한다.

f

가

\boldsymbol{a}

에서 미분 가능하다면,

\boldsymbol{a}

에서 1차 편도함수가 존재하며 다음이 성립한다.

:

\left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i}\right|_{\boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}} = A_i (\boldsymbol{a})

여기서

i = 1, 2, \ldots, n

이다.

직교 좌표계를 가정하면, 이러한 편도함수를 사용하여 미분 연산자인 기울기(nabla 또는 del)를 만들 수 있다.

:

\nabla f(\boldsymbol{x}) = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} \right) f(\boldsymbol{x})

기울기

\nabla f

를

\boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}

에서 평가하여 식을 재정렬하면 다음과 같다.

:

f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{a})= \nabla f(\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + \alpha |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|

여기서

\cdot

는 점곱을 나타낸다. 이 방정식은

f

의 함수를

\boldsymbol{a}

의 근방에 있는 모든 점

\boldsymbol{x}

에서 가장 잘 선형 근사한 것을 나타낸다. 무한소 변화

df

와

d\boldsymbol{x}

가

\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{a}

일 때 다음과 같다.

:

df = \left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_1 +\left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_2 + \dots +\left.\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\right|_{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}}dx_n= \nabla f(\boldsymbol{a}) \cdot d\boldsymbol{x}

이것은

f

의 '''전미분'''(또는 간단히 '''미분''')으로 정의되며,

\boldsymbol{a}

에서 정의된다. 이 식은 모든

x_i

방향에서

f

의 모든 무한소 변화를 더하여

f

의 전체 무한소 변화에 해당한다. 또한,

df

는 각 방향의 무한소

dx_i

를 기저 벡터로 하고

f

의 편도함수를 성분으로 하는 공변 벡터로 해석할 수 있다.

기하학적으로

\nabla f

는

f

의 등위 집합에 수직이며, 이는

f(\boldsymbol{x}) = c

로 주어지며, 이는 어떤 상수

c

에 대해

(n-1)

차원 초곡면을 나타낸다. 상수의 미분은 0이다.

:

df = (\nabla f) \cdot d \boldsymbol{x} = 0

여기서

d\boldsymbol{x}

는 초곡면

f(\boldsymbol{x}) = c

에서

\boldsymbol{x}

의 무한소 변화이며,

\nabla f

와

d\boldsymbol{x}

의 점곱이 0이므로, 이것은

\nabla f

가

d\boldsymbol{x}

에 수직임을 의미한다.

임의의 곡선 좌표계에서

n

차원에서는 기울기에 대한 명시적 표현이 그렇게 간단하지 않을 것이다. 해당 좌표계의 계량 텐서의 관점에서 스케일 인수가 있을 것이다.

4. 3. 다중적분(Multiple integration)

정적분은 다음과 같은 표기법을 사용하여 여러 실수 변수에 대한 중적분으로 확장될 수 있다.

:

\int_{R_n} \cdots \int_{R_2} \int_{R_1} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \, dx_1 dx_2\cdots dx_n \equiv \int_R f(\boldsymbol{x}) \, d^n\boldsymbol{x}

여기서 각 영역

R_1, R_2, \ldots, R_n

는 실수선의 부분 집합 또는 전체 집합이다.

:

R_1 \subseteq \mathbb{R} \,, \quad R_2 \subseteq \mathbb{R} \,, \ldots , R_n \subseteq \mathbb{R},

그리고 이들의 데카르트 곱은 적분할 영역을 단일 집합으로 제공한다.

:

R = R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n \,,\quad R \subseteq \mathbb{R}^n \,,

즉,

n

차원 초부피이다. 정적분은 적분 영역

R

에서 적분이 수렴하면 실수 값을 가진다(정적분의 결과는 주어진 영역에서 무한대로 발산할 수 있으며, 이러한 경우 적분은 여전히 정의되지 않는다). 변수

x_1, x_2, \ldots, x_n

는 적분 과정에서 숫자로 대체되는 "더미" 또는 "종속" 변수로 처리된다.

실수 변수

y

에 대한 실수 값 함수

f(x)

를

x

에 대해 적분하는 것은 곡선

y = f(x)

와

x

축으로 둘러싸인 면적으로 기하학적으로 해석될 수 있다. 중적분은 이 개념의 차원을 확장한다. 직사각형의

n

차원 유사물인 데카르트 좌표계를 가정하면, 위의 정적분은

f(\boldsymbol{x})

와

x_1, x_2, \ldots, x_n

축으로 둘러싸인

n

차원 초부피로 기하학적으로 해석되며, 이는 적분되는 함수에 따라 양수, 음수 또는 0이 될 수 있다(적분이 수렴하는 경우).

경계가 있는 초부피는 유용한 통찰력이지만, 정적분의 더 중요한 아이디어는 정적분이 공간 내의 총량을 나타낸다는 것이다. 이는 응용 수학 및 물리학에서 중요한 의미를 갖는다. 만약

f

가 어떤 스칼라 밀도장이고

\boldsymbol{x}

가 위치 벡터 좌표, 즉 단위

n

차원 초부피당 어떤 스칼라 양이라면, 영역

R

에 대한 적분은

R

내의 총량을 제공한다. 초부피에 대한 보다 형식적인 개념은 측도 이론의 주제이다. 위에서는 르베그 측도를 사용했다. 이 주제에 대한 자세한 내용은 르베그 적분을 참조하십시오.

5. 다변수 함수의 응용

실변수의 다변수 함수는 공학 및 물리학에서 자주 나타나는데, 이는 관측 가능한 물리량이 실수이고, 임의의 물리량은 일반적으로 다른 여러 양에 의존하기 때문이다.^[1]

경제학에서도 여러 실수 변수의 실수 값 함수가 널리 사용된다. 소비자 이론에서 효용은 소비된 다양한 재화의 양에 대한 함수로 표현되며, 각 양은 효용 함수의 인수가 된다. 효용을 최대화하면 일련의 수요 함수가 도출되는데, 각 함수는 다양한 재화의 가격과 소득 또는 부의 함수로 특정 재화의 수요량을 나타낸다. 생산자 이론에서 기업은 일반적으로 생산된 다양한 재화의 양과 사용된 다양한 생산 요소의 양의 함수로 이윤을 최대화하는 것으로 가정한다. 최적화 결과는 다양한 생산 요소에 대한 일련의 수요 함수와 다양한 제품에 대한 일련의 공급 함수이다. 이러한 각 함수는 재화 및 생산 요소의 가격을 인수로 갖는다.^[1]

5. 1. 물리학 및 공학

연속체 역학에서 국소 질량 밀도는 공간 위치 좌표와 시간에 따라 달라지는 스칼라장이다.

:

\rho = \rho(\mathbf{r},t) = \rho(x,y,z,t)

전하를 띤 물체의 전하 밀도 및 다른 많은 스칼라 포텐셜 장도 이와 유사하다.

속도장은 각 구성 요소의 속도를 가지는 벡터장으로, 공간 좌표 및 시간의 다변수 함수이다.

:

\mathbf{v} (\mathbf{r},t) = \mathbf{v}(x,y,z,t) = [v_x(x,y,z,t), v_y(x,y,z,t), v_z(x,y,z,t)]

전기장, 자기장, 벡터 포텐셜 장과 같은 다른 물리적 벡터장도 마찬가지이다.

열역학의 상태 방정식은 유체의 압력, 온도, 부피 간의 관계를 나타내는 방정식으로, 일반적으로 다음과 같은 암시적 형태를 갖는다.

:

f(P, V, T) = 0

가장 간단한 예는 이상 기체 법칙이다.

:

f(P, V, T) = PV - nRT = 0

여기서 n은 몰수이며, 고정된 물질량에 대한 상수이고, R은 기체 상수이다. 훨씬 더 복잡한 상태 방정식이 경험적으로 도출되었지만, 모두 위와 같은 암시적 형태를 갖는다.

복소 임피던스, 복소 유전율, 복소 투자율, 복소 굴절률 등은 복소수 값을 가질 수 있다. 이러한 양들은 주파수나 시간, 온도와 같은 실수 변수의 함수이기도 하다.

2차원 유체 역학에서 포텐셜 흐름 이론의 복소 포텐셜

:

F(x,y,\ldots) = \varphi(x,y,\ldots) + i\psi(x,y,\ldots)

는 두 개의 공간 좌표 x와 y 및 시스템과 관련된 다른 ''실수'' 변수의 복소수 값 함수이다. 실수부는 속도 포텐셜이고 허수부는 유선 함수이다.

구면 조화 함수는 라플라스 방정식의 해, 그리고 ''z'' 성분 각운동량 연산자의 고유 함수로 물리학과 공학에서 나타난다. 이는 실수 값 구면 좌표 각도의 복소수 값 함수이다.

:

Y^m_\ell = Y^m_\ell(\theta,\phi)

양자 역학에서 파동 함수는 필연적으로 복소수 값을 가지며, 시간뿐만 아니라 ''실수'' 공간 좌표 (또는 운동량 성분)의 함수이다.

:

\Psi = \Psi(\mathbf{r},t) = \Psi(x,y,z,t)\,,\quad \Phi = \Phi(\mathbf{p},t) = \Phi(p_x,p_y,p_z,t)

각각은 푸리에 변환으로 관련된다.

참조

_[1] 서적 Differential and Integral Calculus Wiley Classics Library
_[2] 서적 Differential and Integral Calculus Wiley Classics Library
_[3] 서적 Advanced calculus John Wiley & Sons
_[4] 서적 Differential and Integral Calculus Wiley Classics Library

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