다르부 함수

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1. 개요

다르부 함수는 두 위상 공간 사이의 함수로, 연결 집합의 상이 연결 집합인 조건을 만족한다. 실수 구간에서 정의된 함수의 경우, 다르부 함수는 구간의 상이 구간인 함수와 동치이다. 모든 연속 함수는 다르부 함수이지만, 그 역은 성립하지 않으며, 불연속 다르부 함수의 존재는 다르부에 의해 밝혀졌다. 미분 가능한 함수의 도함수도 다르부 함수이며, 콘웨이 밑 13진 함수와 같은 어디에도 연속이 아닌 함수도 다르부 함수의 예시로 제시된다. 다르부 함수는 중간값 정리를 만족하며, 강력 다르부 함수, 어디서나 전사 함수 등과 같은 관련 개념들이 존재한다.

다르부 함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 관련 개념
3. 성질
- 3.1. 함의 관계
- 3.2. 다르부 정리
  - 3.2.1. 다르부 정리의 증명
4. 예
5. 역사

2. 정의

실수값 함수 ƒ가 "중간값 성질"을 가지면 다르부 함수이다. 즉, ƒ의 정의역 내 두 값 a와 b가 주어지고, ƒ(a)와 ƒ(b) 사이의 임의의 y에 대해, a와 b 사이에 ƒ(c) = y를 만족하는 c가 존재한다. 중간값 정리에 의해, 실수 구간에서 모든 연속 함수는 다르부 함수이다. 다르부는 불연속 다르부 함수가 존재함을 보였다.

다르부 함수의 모든 불연속점은 본질적 불연속점이다. 즉, 불연속점에서는 왼쪽 극한과 오른쪽 극한 중 적어도 하나가 존재하지 않는다.

한 점에서 불연속인 다르부 함수의 예시는 위상학자의 사인 곡선 함수이다.
: $x \mapsto \begin{cases}\sin(1/x) & \text{for } x\ne 0, \\ 0 &\text{for } x=0. \end{cases}$

다르부의 정리에 의해, 미분 가능한 함수의 도함수는 다르부 함수이다. 특히, 함수 $x \mapsto x^2\sin(1/x)$ 의 도함수는 한 점에서 연속하지 않더라도 다르부 함수이다.

어디에도 연속이 아닌 다르부 함수의 예시는 콘웨이 밑 13 함수이다.

다르부 함수는 매우 일반적인 함수 부류이다. 실수선 위의 임의의 실수값 함수 ƒ는 두 다르부 함수의 합으로 표현될 수 있다. 이는 특히 다르부 함수 집합이 덧셈에 대해 닫혀 있지 않음을 의미한다.

모든 (비어 있지 않은) 열린 구간의 상이 전체 실수선인 함수는 강력 다르부 함수이다. 콘웨이 밑 13 함수가 다시 예시이다.

2.1. 관련 개념

위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 다르부 함수라고 한다.

* 연결 집합의 상은 연결 집합이다. 즉, 임의의 연결 집합 $A\subseteq X$ 에 대하여, $f(A)\subseteq Y$ 는 연결 집합이다.

실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 구간이다. 따라서, 구간 $I\subseteq\mathbb R$ 위에 정의된 함수 $f\colon I\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 다르부 함수이다.
* 구간의 상은 구간이다. 즉, 임의의 $a,b\in I$ 및 $y\in(f(a),f(b))\cup(f(b),f(a))$ 에 대하여, $f(x)=y$ 인 $x\in(a,b)$ 가 존재한다.

기수 $\kappa$ 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 $X$ 과 집합 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, $\kappa$ -어디서나 전사 함수(κ-everywhere surjective function^영어)라고 한다.

* 임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $f^{-1}(y)$ 는 $\kappa$ -조밀 집합이다 (즉, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $|U\cap f^{-1}(y)|\ge\kappa$ ).

1-어디서나 전사 함수를 어디서나 전사 함수(everywhere surjective function^영어)라고 한다. 즉, 임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $f^{-1}(y)$ 는 조밀 집합이어야 한다. 이는 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $f(U)=Y$ 인 조건과 동치이다. 위상 공간 $X$ 위의 $|X|$ -어디서나 전사 함수 $X\to X$ 를 강하게 어디서나 전사 함수(strongly everywhere surjective function^영어)라고 한다.

위상 공간 $X$ 과 집합 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 어디서나 전사 함수(perfectly everywhere surjective function^영어)라고 한다.

* 임의의 공집합이 아닌 완전 집합 $P\subseteq X$ 에 대하여, $f(P)=Y$

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 둘레 연속 함수(peripherally continouous function^영어)라고 한다.

* 임의의 $x\in X$ 및 열린 근방 $U\ni x$ , $V\ni f(x)$ 에 대하여, $\operatorname{cl}W\subseteq U$ , $f(\partial W)\subset V$ 인 열린 근방 $W\ni x$ 가 존재한다.

3. 성질

위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 다르부 함수라고 한다.

* 연결 집합의 상은 연결 집합이다. 즉, 임의의 연결 집합 $A\subseteq X$ 에 대하여, $f(A)\subseteq Y$ 는 연결 집합이다.

실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 구간이므로, 구간 $I\subseteq\mathbb R$ 위에 정의된 함수 $f\colon I\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* 다르부 함수이다.
* 구간의 상은 구간이다. 즉, 임의의 $a,b\in I$ 및 $y\in(f(a),f(b))\cup(f(b),f(a))$ 에 대하여, $f(x)=y$ 인 $x\in(a,b)$ 가 존재한다.

다르부 함수는 "중간값 성질"을 갖는 실수값 함수 ƒ이다. 즉, ƒ의 정의역 내 두 값 a와 b가 주어지고, ƒ(a)와 ƒ(b) 사이의 임의의 y에 대해, a와 b 사이에 ƒ(c) = y를 만족하는 c가 존재한다.

다르부 함수의 모든 불연속점은 본질적 불연속점이다. 즉, 불연속점에서는 왼쪽 극한과 오른쪽 극한 중 적어도 하나가 존재하지 않는다.

한 점에서 불연속인 다르부 함수의 예시는 위상학자의 사인 곡선 함수이다.
: $x \mapsto \begin{cases}\sin(1/x) & \text{for } x\ne 0, \\ 0 &\text{for } x=0. \end{cases}$

어디에도 연속이 아닌 다르부 함수의 예시는 콘웨이 밑 13 함수이다.

다르부 함수는 매우 일반적인 함수 부류이다. 실선 위의 임의의 실수값 함수 ƒ는 두 다르부 함수의 합으로 표현될 수 있다. 이는 특히 다르부 함수 집합이 덧셈에 대해 닫혀 있지 않음을 의미한다.

기수 $\kappa$ 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 $X$ 과 집합 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, $\kappa$ -어디서나 전사 함수( $\kappa$ -everywhere surjective function^영어)라고 한다.
* 임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $f^{-1}(y)$ 는 $\kappa$ -조밀 집합이다 (즉, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $|U\cap f^{-1}(y)|\ge\kappa$ ).

1-어디서나 전사 함수를 어디서나 전사 함수(everywhere surjective function^영어)라고 한다. 즉, 임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $f^{-1}(y)$ 는 조밀 집합이어야 한다. 이는 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $f(U)=Y$ 인 조건과 동치이다. 위상 공간 $X$ 위의 $|X|$ -어디서나 전사 함수 $X\to X$ 를 강하게 어디서나 전사 함수(strongly everywhere surjective function^영어)라고 한다.

위상 공간 $X$ 과 집합 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 어디서나 전사 함수(perfectly everywhere surjective function^영어)라고 한다.

* 임의의 공집합이 아닌 완전 집합 $P\subseteq X$ 에 대하여, $f(P)=Y$

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 둘레 연속 함수(peripherally continouous function^영어)라고 한다.

* 임의의 $x\in X$ 및 열린 근방 $U\ni x$ , $V\ni f(x)$ 에 대하여, $\operatorname{cl}W\subseteq U$ , $f(\partial W)\subset V$ 인 열린 근방 $W\ni x$ 가 존재한다.

모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수 $\mathbb R\to\mathbb R$ 인 $2^{2^{\aleph_0}}$ 차원 실수 벡터 공간이 존재한다. 즉, 중간값 정리의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, 체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $M\subset V$ 에 대하여, $\lambda(M)$ 이 $W\subset M\cup\{0\}$ 인 $\kappa$ 차원 부분 벡터 공간 $W\subset V$ 가 존재하지 않는 가장 작은 기수 $\kappa$ 라고 하자. (특히, $\lambda(M)$ 이 따름 기수 $\kappa^+$ 일 경우, $\kappa$ 는 벡터 공간 $W\subset M\cup\{0\}$ 의 최대 차원이다.) 그렇다면, $V={\mathbb R}^{\mathbb R}$ 에 대하여 다음 결과들이 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$M$	$\lambda(M)$
완전 어디서나 전사 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
어디서나 전사 함수가 아닌 다르부 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
다르부 함수가 아닌 둘레 연속 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
전사 연속 함수	$(2^{\aleph_0})^+$
단사 함수	$1^+$

임의의 무한 기수

\kappa

및 크기

\kappa

의 위상 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 어디서나 전사 함수

X\to X

가 존재한다.
* 임의의 공집합이 아닌 열린집합의 크기가

\kappa

이며, 또한

\kappa

개의 서로소 조밀 집합을 갖는다.

구체적으로,

\kappa

개의 서로소 조밀 집합들의 집합

\mathcal F\subset\mathcal P(X)

와 전단사 함수

\phi\colon\mathcal F\to X

가 주어졌을 때, 함수
:

f\colon X\to X

f\colon x\mapsto\begin{cases}\phi(D)&x\in D\in\mathcal F\\0&x\not\in D\forall D\in\mathcal F\end{cases}

는 어디서나 전사 함수이다. 특히,

X=\mathbb R

의 경우

\mathcal F=\mathbb R/\mathbb Q

로 취할 수 있다.

콘웨이 13진 함수(Conway base-13 function^영어)

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

는 다음과 같다.

* 만약

x\in\mathbb R

의 13진법 전개가

x=a_1a_2\cdots a_p.b_1b_2\cdots b_q\mathrm Ac_1c_2\dots c_r\mathrm Cd_1d_2d_3\cdots_{(13)}

(

a_i,b_i\in\{0,1,\dots,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C\}

c_i,d_i\in\{0,1,\dots,9\}

) 꼴이라면,

f(x)

의 십진법 전개는

f(x)=c_1c_2\cdots c_r.d_1d_2d_3\cdots

이다.
* 만약

x\in\mathbb R

의 13진법 전개가

x=a_1a_2\cdots a_p.b_1b_2\cdots b_q\mathrm Bc_1c_2\dots c_r\mathrm Cd_1d_2d_3\cdots_{(13)}

(

a_i,b_i\in\{0,1,\dots,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C\}

c_i,d_i\in\{0,1,\dots,9\}

) 꼴이라면,

f(x)

의 십진법 전개는

f(x)=-c_1c_2\cdots c_r.d_1d_2d_3\cdots

이다.
* 만약

x\in\mathbb R

의 13진법 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면,

f(x)=0

이다.

콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.

* 어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.)
* 강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (사실 임의의

y\ne 0

의 원상은 가산 무한 집합이다.)
* 주기 1의 주기 함수이다.
* 유리수의 상은 유리수이다.

끝점이 유리수인 모든 개구간의 집합

\{(a_i,b_i)\colon i\in\mathbb N\}

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가산 개의 서로소 칸토어 집합
:

C_0\subset(a_0,b_0)

C_1\subset(a_1,b_1)\setminus C_0

C_2\subset(a_2,b_2)\setminus(C_0\cup C_1)

\vdots

이 존재한다. (이는 칸토어 집합의 르베그 측도가 0이기 때문이다.) 칸토어 집합은 곱공간
:

\{0,1\}^{\aleph_0}\cong\{0,1\}^{\aleph_0}\times\{0,1\}^{\aleph_0}=\bigcup_{j\in\{0,1\}^{\aleph_0}}(\{0,1\}^{\aleph_0}\times\{j\})

과 위상 동형이므로, 각

C_i

는 칸토어 집합과 위상 동형인

2^{\aleph_0}

개의 서로소 집합들

C_{ij}

의 합집합이다.
:

C_i=\bigcup_{j<2^{\aleph_0}}C_{ij}

임의의 전단사 함수

\phi_{ij}\colon C_{ij}\to\mathbb R

들을 취하자. 다음 함수를 정의하자.
:

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

f\colon x\mapsto\begin{cases}\phi_{ij}(x)&x\in C_{ij}\\0&x\not\in C_0\cup C_1\cup\cdots\end{cases}

그렇다면,

f

는 거의 어디서나 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다 (이는 칸토어 집합

C\subset\mathbb R\setminus(C_0\cup C_1\cup\cdots)

이 존재하기 때문이다).

실수의 (공집합이 아닌) 완전 집합의 집합을

\mathcal A\subset\mathcal P(\mathbb R)

로 표기하자. 또한,
:

\mathcal A\times\mathbb R=\{(P_i,y_i)\colon i<2^{\aleph_0}\}

이라고 하자. (실수의 닫힌집합의 수는

2^{\aleph_0}

이다. 표준적인 칸토어 집합을 평행 이동하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서,

|\mathcal A|=2^{\aleph_0}

이다.) 실수의 완전 집합의 크기는 항상

2^{\aleph_0}

이므로, 초한 귀납법을 통해 다음과 같은 실수 집합

\{x_i\colon i<2^{\aleph_0}\}\subset\mathbb R

을 취할 수 있다.
:

x_i\in P_i\setminus\{x_j\colon j

이제,
:

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

f\colon x\mapsto\begin{cases}y_i&x=x_i\\0&x\ne x_i\forall i<2^{\aleph_0}\end{cases}

라고 하자. 그렇다면,

f

는 완전 어디서나 전사 함수이다.

3.1. 함의 관계

중간값 정리에 따르면, 모든 연속 함수는 다르부 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 어디서나 전사 함수 $\mathbb R\to\mathbb R$ 는 항상 다르부 함수이지만, 연속점을 갖지 않는다.

함수 $\mathbb R\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음 함의 관계가 성립한다.

: 완전 어디서나 전사 함수 ⇒ 강하게 어디서나 전사 함수 ⇒ 어디서나 전사 함수 ⇒ 다르부 함수 ⇒ 조밀한 그래프를 갖는 함수 ⇒ 둘레 연속 함수

각 함의의 역은 성립하지 않는다.

3.2. 다르부 정리

폐구간 $[a,b]\subseteq\mathbb R$ 및 미분 가능 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 에 대하여, 도함수 $f'\colon[a,b]\to\mathbb R$ 는 다르부 함수이다. 즉, 임의의 $y\in(f'(a),f'(b))\cup(f'(b),f'(a))$ 에 대하여,
: $f'(x)=y$
인 $x\in(a,b)$ 가 존재한다.

이는 닫힌 구간 I에서 정의된 실수 값을 갖는 미분 가능한 함수 $f\colon I\to \R$ 의 도함수 $f'$ 가 중간값 성질을 갖는다는 것을 의미한다. 즉, $a$ 와 $b$ 가 $I$ 내의 점이고 $a 이면, f'(a) 와 f'(b) 사이의 모든 y 에 대해, f'(x)=y 를 만족하는 [a,b] 내의 x 가 존재한다.$

3.2.1. 다르부 정리의 증명

편의상 $f'(a) 라고 하자.$

: $g\colon[a,b]\to\mathbb R$
: $g\colon t\mapsto yt-f(t)$

라고 하자. 그렇다면 $g$ 는 연속 함수이며, 어떤 $x\in[a,b]$ 에서 최댓값 $g(x)$ 를 갖는다 (최대 최소 정리).

이제, $x=a$ 라고 가정하자. 그렇다면 $g(a)$ 가 최댓값이므로, 임의의 $t\in[a,b]$ 에 대하여 $0\ge (g(t)-g(a))/(t-a)$ 이다. 따라서 $0\ge g'(a)=y-f'(a)$ 이며, 이는 모순이다. 즉, $x\ne a$ 이다. 마찬가지로 $x\ne b$ 임을 보일 수 있다. 이에 따라 $x\in(a,b)$ 이며,

: $0=g'(x)=y-f'(x)$

이다 (페르마 임계점 정리). 즉, $f'(x)=y$ 이다.

4. 예

기수 $\kappa$ 가 주어졌을 때, 위상 공간 $X$ 와 집합 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, $\kappa$ -어디서나 전사 함수( $\kappa$ -everywhere surjective function^영어)라고 한다.

* 임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $f^{-1}(y)$ 는 $\kappa$ -조밀 집합이다. 즉, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $|U\cap f^{-1}(y)|\ge\kappa$ 이다.

1-어디서나 전사 함수를 어디서나 전사 함수(everywhere surjective function^영어)라고 한다. 이는 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $f(U)=Y$ 인 조건과 동치이다.

다음 함수는 다르부 함수이지만 0에서 연속이 아니며, 0이 아닌 모든 점에서는 연속이다.
: $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$
: $f\colon x\mapsto\begin{cases}\sin(1/x)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}$
이는 중간값 정리의 역이 성립하지 않는 비교적 약한 반례이다.

임의의 무한 기수 $\kappa$ 와 크기 $\kappa$ 인 위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 어디서나 전사 함수 $X\to X$ 가 존재한다.
* 임의의 공집합이 아닌 열린집합의 크기가 $\kappa$ 이며, $\kappa$ 개의 서로소 조밀 집합을 갖는다.

구체적으로, $\kappa$ 개의 서로소 조밀 집합들의 집합 $\mathcal F\subset\mathcal P(X)$ 와 전단사 함수 $\phi\colon\mathcal F\to X$ 가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의된 함수는 어디서나 전사 함수이다.
: $f\colon X\to X$
: $f\colon x\mapsto\begin{cases}\phi(D)&x\in D\in\mathcal F\\0&x\not\in D\forall D\in\mathcal F\end{cases}$
특히, $X=\mathbb R$ 인 경우 $\mathcal F=\mathbb R/\mathbb Q$ 로 취할 수 있다.

4.1. 콘웨이 13진 함수

콘웨이 13진 함수(Conway base-13 function^영어) $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ 는 다음과 같이 정의된다.

* $x\in\mathbb R$ 의 13진법 전개가 $x=a_1a_2\cdots a_p.b_1b_2\cdots b_q\mathrm Ac_1c_2\dots c_r\mathrm Cd_1d_2d_3\cdots_{(13)}$ ( $a_i,b_i\in\{0,1,\dots,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C\}$ , $c_i,d_i\in\{0,1,\dots,9\}$ ) 꼴이라면, $f(x)$ 의 십진법 전개는 $f(x)=c_1c_2\cdots c_r.d_1d_2d_3\cdots$ 이다.
* $x\in\mathbb R$ 의 13진법 전개가 $x=a_1a_2\cdots a_p.b_1b_2\cdots b_q\mathrm Bc_1c_2\dots c_r\mathrm Cd_1d_2d_3\cdots_{(13)}$ ( $a_i,b_i\in\{0,1,\dots,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C\}$ , $c_i,d_i\in\{0,1,\dots,9\}$ ) 꼴이라면, $f(x)$ 의 십진법 전개는 $f(x)=-c_1c_2\cdots c_r.d_1d_2d_3\cdots$ 이다.
* $x\in\mathbb R$ 의 13진법 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면, $f(x)=0$ 이다.

콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.

* 어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.)
* 강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (임의의 $y\ne 0$ 의 원상은 가산 무한 집합이다.)
* 주기 1의 주기 함수이다.
* 유리수의 상은 유리수이다.
* 어디에도 연속이 아닌 다르부 함수의 예시이다.
* 모든 (비어 있지 않은) 열린 구간의 상이 전체 실선인 강력 다르부 함수의 예시이다.

4.2. 강하게 어디서나 전사 함수

위상 공간 $X$ 에서 정의된 함수 $X\to X$ 가 $|X|$ -어디서나 전사 함수이면, 강하게 어디서나 전사 함수(strongly everywhere surjective function^영어)라고 한다.

완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수는 다음과 같이 구성할 수 있다.

끝점이 유리수인 모든 개구간 $\{(a_i,b_i)\colon i\in\mathbb N\}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 서로소인 가산 개의 칸토어 집합
: $C_0\subset(a_0,b_0)$
: $C_1\subset(a_1,b_1)\setminus C_0$
: $C_2\subset(a_2,b_2)\setminus(C_0\cup C_1)$
: $\vdots$
이 존재한다. (이는 칸토어 집합의 르베그 측도가 0이기 때문이다.) 칸토어 집합은 곱공간
: $\{0,1\}^{\aleph_0}\cong\{0,1\}^{\aleph_0}\times\{0,1\}^{\aleph_0}=\bigcup_{j\in\{0,1\}^{\aleph_0}}(\{0,1\}^{\aleph_0}\times\{j\})$
과 위상 동형이므로, 각 $C_i$ 는 칸토어 집합과 위상 동형인 $2^{\aleph_0}$ 개의 서로소 집합 $C_{ij}$ 의 합집합이다.
: $C_i=\bigcup_{j<2^{\aleph_0}}C_{ij}$
임의의 전단사 함수 $\phi_{ij}\colon C_{ij}\to\mathbb R$ 들을 취하고, 다음 함수를 정의한다.
: $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$
: $f\colon x\mapsto\begin{cases}\phi_{ij}(x)&x\in C_{ij}\\0&x\not\in C_0\cup C_1\cup\cdots\end{cases}$
그러면 $f$ 는 거의 어디서나 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다. 이는 칸토어 집합 $C\subset\mathbb R\setminus(C_0\cup C_1\cup\cdots)$ 이 존재하기 때문이다.

완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수의 실수 벡터 공간은 $(2^{2^{\aleph_0}})^+$ 차원이다.

4.3. 완전 어디서나 전사 함수

위상 공간 $X$ 와 집합 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, 완전 어디서나 전사 함수(perfectly everywhere surjective function^영어)라고 한다.

* 임의의 공집합이 아닌 완전 집합 $P\subseteq X$ 에 대하여, $f(P)=Y$

모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수 $\mathbb R\to\mathbb R$ 인 $2^{2^{\aleph_0}}$ 차원 실수 벡터 공간이 존재한다. 즉, 중간값 정리의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, 체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $M\subset V$ 에 대하여, $\lambda(M)$ 이 $W\subset M\cup\{0\}$ 인 $\kappa$ 차원 부분 벡터 공간 $W\subset V$ 가 존재하지 않는 가장 작은 기수 $\kappa$ 라고 하자. (특히, $\lambda(M)$ 이 따름 기수 $\kappa^+$ 일 경우, $\kappa$ 는 벡터 공간 $W\subset M\cup\{0\}$ 의 최대 차원이다.) 그렇다면, $V={\mathbb R}^{\mathbb R}$ 에 대하여 다음 결과들이 있다.

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좌우로 밀어서 보기

$M$	$\lambda(M)$
완전 어디서나 전사 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
어디서나 전사 함수가 아닌 다르부 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
다르부 함수가 아닌 둘레 연속 함수	$(2^{2^{\aleph_0}})^+$
전사 연속 함수	$(2^{\aleph_0})^+$
단사 함수	$1^+$

실수의 (공집합이 아닌) 완전 집합의 집합을

\mathcal A\subset\mathcal P(\mathbb R)

로 표기하자. 또한,

:

\mathcal A\times\mathbb R=\{(P_i,y_i)\colon i<2^{\aleph_0}\}

이라고 하자. (실수의 닫힌집합의 수는

2^{\aleph_0}

이다. 표준적인 칸토어 집합을 평행 이동하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서,

|\mathcal A|=2^{\aleph_0}

이다.) 실수의 완전 집합의 크기는 항상

2^{\aleph_0}

이므로, 초한 귀납법을 통해 다음과 같은 실수 집합

\{x_i\colon i<2^{\aleph_0}\}\subset\mathbb R

을 취할 수 있다.

:

x_i\in P_i\setminus\{x_j\colon j

이제,

:

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

f\colon x\mapsto\begin{cases}y_i&x=x_i\\0&x\ne x_i\forall i<2^{\aleph_0}\end{cases}

라고 하자. 그렇다면,

f

는 완전 어디서나 전사 함수이다.

5. 역사

일부 오래된 서적에서는 구간의 상이 구간인 성질이 연속 함수의 정의로 잘못 쓰였으나, 이는 연속 함수보다 훨씬 약한 성질이다. 이러한 오류는 장 가스통 다르부가 1875년에 지적하였다.