팔면체
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1. 개요
팔면체는 8개의 면을 가진 다면체를 의미하며, 정팔면체는 8개의 정삼각형으로 이루어진 다면체이다. 정팔면체는 기하학적으로 다양한 성질을 가지며, 표면적과 부피를 계산하는 공식이 존재한다. 또한, 정팔면체는 그래프 이론에서 팔면체 그래프로 표현될 수 있으며, 다양한 관련 도형과 연결된다. 팔면체는 자연계에서 결정 구조로 나타나거나, 예술 및 문화, 과학 기술 분야에서 활용되며, 특히 건축 구조에서 중요한 역할을 한다.
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- 다면체 - 마름모구십면체
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삼각쌍뿔은 6개의 정삼각형 면, 5개의 꼭짓점, 9개의 모서리를 가진 존슨 다면체이자 델타다면체로, 두 정사면체를 밑면끼리 결합한 형태이며, 분자 기하학, 색채 이론 등 다양한 분야에 응용된다. - 수학 - 회귀 분석
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| 팔면체 | |
|---|---|
| 지도 정보 | |
| 기본 정보 | |
| 영어 | Octahedron |
| 일본어 | 八面体 |
| 한국어 | 팔면체 |
| 설명 | 8개의 삼각형 면을 가진 다면체 |
| 기하학적 속성 | |
| 면의 수 | 8 |
| 모서리의 수 | 12 |
| 꼭짓점의 수 | 6 |
| 면의 모양 | 삼각형 |
| 꼭짓점 구성 | 4.4.4 |
| 종류 | 정다면체, 아르키메데스 다면체 |
| 대칭성 | |
| 대칭군 | O(h) (432) |
| 회전 대칭군 | O (432) |
| 쌍대 다면체 | |
| 쌍대 | 정육면체 |
| 특징 | |
| 특징 | 모든 면이 정삼각형인 볼록 다면체 |
2. 기하학적 성질
팔면체는 면이 8개인 다면체를 말한다. 팔면체에는 다음과 같은 종류가 있다.
- 정팔면체: 8개의 정삼각형 면으로 이루어진 정다면체이다. 쌍대다면체는 정육면체이다.
- 별팔면체: 두 정사면체를 겹쳐 놓은 모양의 별모양 다면체이다.
- 쌍사각뿔: 두 개의 사각뿔을 밑면끼리 붙여 만든 쌍뿔이다.
- 반삼각기둥: 삼각기둥을 비틀어 만든 반각기둥이다.
- 깎은사면체: 정사면체의 각 꼭짓점을 잘라낸 다면체이다.
- 칠각뿔: 밑면이 칠각형이고 옆면이 삼각형인 각뿔이다.
- 육각기둥: 밑면이 정육각형이고 옆면이 정사각형인 각기둥이다.
- 비틀린 쌍사각뿔: 쌍사각뿔을 비틀어 만든 비틀린 쌍뿔이다.
- 삼각큐폴라: 큐폴라의 일종으로, 밑면이 정삼각형인 도형이다.
- 회전쌍삼각기둥: 존슨 다면체의 일종이다.
- 첨가된 삼각기둥: 삼각기둥에 사각뿔을 붙여 만든 다면체이다.
- 삼각첨가깎인이십면체: 정이십면체의 일부를 잘라낸 다면체이다.
- 브리카르 팔면체: 가변 다면체의 일종이다.
- 쇤하르트 다면체: 사면체로 분할할 수 없는 다면체이다.
2. 1. 정팔면체
정팔면체는 정다면체 중 하나로, 8개의 정삼각형 면으로 이루어져 있으며 각 꼭짓점에는 4개의 삼각형이 만난다. 정사각뿔 두 개를 밑면끼리 붙여 만들 수 있으며, 쌍대다면체는 정육면체이다.정팔면체는 플라톤에 의해 고전 원소 중 바람을 상징하는 것으로 여겨졌다. 요하네스 케플러는 그의 저서 ''우주의 조화''에서 정팔면체를 포함한 플라톤 입체들을 스케치했고, ''우주 신비''에서는 이들을 이용해 태양계 모형을 제시했다.
많은 팔면체는 '''정사각형 이중 피라미드'''이다. 이것은 두 개의 정사각형 피라미드를 밑면끼리 연결하여 만든 이중 피라미드이다. 모든 모서리의 길이가 같다면, 그 정사각형 이중 피라미드는 정팔면체가 된다.
정팔면체는 ''삼각반프리즘''이라고도 불리는 반프리즘으로 간주될 수 있다.
정팔면체의 대칭군은 48차의 Oh이며, 이는 3차원 초팔면체군이다. 이 군의 부분군에는 D3d(12차), D4h(16차), Td(24차)가 포함된다.
| 이름 | 정팔면체 | 수정된 사면체 | 삼각형 반프리즘 | 정사각형 이면체 | 마름모꼴 퓨질 |
|---|---|---|---|---|---|
| 이미지 (면 채색) |  |  | -- |  | |
| 콕서터 도표 | |||||
| 슐레플리 기호 | {3,4} | r{3,3} | s{2,6} sr{2,3} | ft{2,4} { } + {4} | ftr{2,2} { } + { } + { } |
| 와이토프 기호 | 4 3 2 | 2 4 3 | 2 6 2 2 3 2 | ||
| 대칭성 | Oh, [4,3], (*432) | Td, [3,3], (*332) | D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322) | D4h, [2,4], (*422) | D2h, [2,2], (*222) |
| 차수 | 48 | 24 | 12 6 | 16 | 8 |
2. 1. 1. 측정 및 좌표
정팔면체의 표면적 ''A''는 여덟 개의 정삼각형의 면적을 모두 합하여 구할 수 있으며, 부피 ''V''는 정사각뿔 두 개의 부피의 합과 같다. 모서리 길이가 ''a''일 때,| 식 | 값 |
|---|---|
| 표면적(A) | |
| 부피(V) |
외접구의 반지름 ''r''u (팔면체의 모든 꼭짓점에 접하는 구), 내접구의 반지름 ''r''i (팔면체의 각 면에 접하는 구), 그리고 중접구의 반지름 ''r''m (각 모서리의 중간에 접하는 구)는 다음과 같다.[1]
| 식 | 값 |
|---|---|
| 외접구의 반지름(ru) | |
| 내접구의 반지름(ri) | |
| 중접구의 반지름(rm) |
정팔면체에서 두 개의 인접한 삼각형 면 사이의 이면각은 109.47°이다. 이는 정사각뿔의 이면각에서 구할 수 있다. 두 개의 인접한 삼각형 면 사이의 이면각은 정사각뿔에서 두 개의 인접한 삼각형 면 사이의 이면각과 같으며, 두 개의 정사각뿔이 연결되는 모서리에 있는 두 개의 인접한 삼각형 면 사이의 이면각은 정사각뿔의 삼각형 면과 정사각형 밑면 사이의 이면각의 두 배이다.[2]
모서리 길이가 √2영어인 팔면체는 중심을 원점에 두고 꼭짓점을 좌표축에 놓을 수 있다. 꼭짓점의 직교좌표는 다음과 같다.
: (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1)
3차원 공간에서 중심 좌표가 (''a'', ''b'', ''c'')이고 반지름이 ''r''인 팔면체는 다음 조건을 만족하는 모든 점 (''x'', ''y'', ''z'')의 집합이다.
: |''x'' - ''a''| + |''y'' - ''b''| + |''z'' - ''c''| = ''r''
2. 1. 2. 그래프
정팔면체의 뼈대는 슈타이니츠 정리에 따라 그래프로 나타낼 수 있다. 이 그래프는 변이 다른 변과 교차하지 않고 모든 꼭짓점에 연결되는 평면 그래프이자, 세 개 이상의 꼭짓점을 제거해도 변들이 연결된 상태를 유지하는 3-연결 그래프이다.[1] 이 그래프는 플라톤 그래프의 하나인 '''팔면체 그래프'''라고 한다.[2]
팔면체 그래프는 완전 삼부 그래프 로 볼 수 있으며, 각각 두 개의 마주보는 꼭짓점으로 구성된 세 개의 독립 집합으로 나눌 수 있다.[3] 더 일반적으로, 이것은 투란 그래프 이다.
팔면체 그래프는 4-연결 그래프이며, 나머지 꼭짓점을 분리하려면 네 개의 꼭짓점을 제거해야 한다. 이것은 네 개의 4-연결 단순 우수 피복 다면체 중 하나이며, 모든 극대 독립 집합의 꼭짓점이 같은 크기를 가진다는 것을 의미한다. 이러한 특성을 가진 다른 세 개의 다면체는 오각형 이중 피라미드, 스넙 이면체, 그리고 12개의 꼭짓점과 20개의 삼각형 면을 가진 불규칙 다면체이다.[4]
2. 1. 3. 관련 도형
정팔면체는 정다면체의 일종으로, 모든 면이 같은 정삼각형이며 각 꼭짓점에 네 개의 삼각형이 만난다. 쌍대 다면체는 정육면체이다.많은 팔면체는 '''정사각형 이중 피라미드'''이다. 정사각형 이중 피라미드는 두 개의 정사각형 피라미드를 밑면끼리 연결하여 만든 이중 피라미드이다. 모든 모서리의 길이가 같다면, 그 정사각형 이중 피라미드는 정팔면체이다.
두 쌍대 복합체인 정사면체 내부는 팔면체이며, 이 복합체—팔면체별이라고 불림—는 팔면체의 첫 번째이자 유일한 별모양 다면체이다.
정팔면체는 ''삼각반프리즘''이라고도 불리는 반프리즘으로 간주될 수 있다.
팔면체와 정사면체는 꼭짓점, 모서리, 면이 균일한 공간의 타일링을 형성하도록 번갈아 배치될 수 있다. 이것과 정육면체의 정규 타일링은 3차원 공간에서 유일한 균일 벌집이다.
정팔면체는 맨해튼 메트릭에서 3-볼이다. 서로 다른 면 4개에 정사면체 4개를 추가하여 정사면체로 증강할 수 있으며, 8개의 모든 면에 정사면체를 추가하면 별팔면체가 생성된다.
 | |
| 정사면체 | 별팔면체 |
|---|
정팔면체는 정육면체와 관련된 일련의 일양 다면체 중 하나이며, 슐레플리 기호 {3,''n''}를 갖는 정다면체의 순서의 일부로서 위상적으로 관련이 있으며, 쌍곡공간으로 이어진다. ''수정된 정사면체''로 간주될 수 있으며, ''테트라테트라헤드론(tetratetrahedron)''이라고도 부를 수 있다.
삼각형 반프리즘으로서, 정팔면체는 육방형 이면체 대칭군과 관련이 있다. 마주보는 두 꼭짓점을 잘라내면 사각 이중절단사면체가 된다.
2. 1. 4. 콕서터 군 및 특징적인 정사면체
정팔면체의 대칭군은 B3로 표시된다. 정팔면체와 그 쌍대 다면체인 정육면체는 같은 대칭군을 가지지만 특징적인 사면체는 다르다.정팔면체의 특징적인 사면체는 정팔면체의 정준 분할을 통해 찾을 수 있으며, 이는 정팔면체의 중심을 둘러싼 이러한 특징적인 정사면체 48개로 정팔면체를 세분화한다.
| 모서리 | 호 | 이면각 | |
|---|---|---|---|
| 𝒍 | 2 | 90° () | 109°28′ () |
| 𝟀 | 54°44′8″ () | 90° () | |
| 𝝉 | 1 | 45° () | 60° () |
| 𝟁 | 35°15′52″ () | 45° () | |
| 1 | |||
| 35°15′52″ () |
정팔면체의 모서리 길이가 𝒍 = 2이면, 그 특징적인 사면체의 여섯 개의 모서리 길이는 외각 직각삼각형 면(특징 각도 𝟀, 𝝉, 𝟁의 반대편 모서리) 주위에 , 1, 와 , 1, (정팔면체의 특징 반지름인 모서리)이다. 정사면체의 직각 모서리를 따라가는 3모서리 경로는 1, , 이며, 먼저 정팔면체의 꼭짓점에서 정팔면체의 모서리 중심으로, 그 다음 90° 회전하여 정팔면체의 면 중심으로, 그 다음 90° 회전하여 정팔면체의 중심으로 이동한다. 정사면체는 네 개의 서로 다른 직각삼각형 면을 가지고 있다. 외각 면은 90-60-30 삼각형이며, 이는 정팔면체 면의 6분의 1이다. 정팔면체 내부의 세 개의 면은 다음과 같다. 모서리가 1, , 1인 45-90-45 삼각형, 모서리가 , 1, 인 직각삼각형, 그리고 모서리가 , , 인 직각삼각형.[1]
2. 1. 5. 균일 채색 및 대칭
팔면체에는 세 가지 균일 채색이 있으며, 각 꼭짓점을 둘러싸는 삼각형 면의 색깔로 이름이 지정된다: 1212, 1112, 1111.
팔면체의 대칭군은 48차의 Oh로, 3차원 초팔면체군이다. 이 군의 부분군에는 삼각형 반프리즘의 대칭군인 D3d(12차), 정사각형 이면체의 대칭군인 '''D4h'''(16차), 그리고 절단된 사면체의 대칭군인 Td(24차)가 포함된다. 이러한 대칭성은 면의 다른 색깔로 강조할 수 있다.
| 이름 | 정팔면체 | 수정된 사면체(사면체절단체) | 삼각형 반프리즘 | 정사각형 이면체 | 마름모꼴 퓨질 |
|---|---|---|---|---|---|
| 이미지 (면 채색) | -- | ||||
| 콕세터 도표 | |||||
| 슐레플리 기호 | {3,4} | r{3,3} | s{2,6} sr{2,3} | ft{2,4} { } + {4} | ftr{2,2} { } + { } + { } |
| 와이토프 기호 | 4 3 2 | 2 4 3 | 2 6 2 2 3 2 | ||
| 대칭성 | Oh, [4,3], (*432) | Td, [3,3], (*332) | D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322) | D4h, [2,4], (*422) | D2h, [2,2], (*222) |
| 차수 | 48 | 24 | 12 6 | 16 | 8 |
2. 2. 다른 팔면체
- 육각기둥: 두 면은 평행한 정육각형이고, 6개의 정사각형이 육각형의 대응하는 모서리 쌍을 연결한다.
- 칠각각뿔: 한 면은 칠각형(보통 정칠각형)이고 나머지 일곱 면은 삼각형(보통 이등변삼각형)이다. 모든 삼각형 면이 정삼각형일 수는 없다.
- 깎은 정사면체: 정사면체의 네 면은 잘려서 정육각형이 되고, 각 정사면체의 꼭짓점이 잘린 곳에 정삼각형 면이 네 개 더 생긴다.
- 사방형 사다리꼴체: 여덟 개의 면은 합동인 연이다.
- 자이로비파스티지움: 두 개의 일정한 삼각기둥을 한 변인 정사각형을 공유하도록 붙여 삼각형이 다른 삼각형과 모서리를 공유하지 않도록 한 것 (존슨 다면체 26).[1]
- 깎은 삼각형 사다리꼴체(듀러의 입체): 정육면체 또는 마름면체의 반대쪽 모서리를 잘라서 얻은 것으로, 육각형 면 여섯 개와 삼각형 면 두 개를 가진다.[4]
- 팔각형 호소헤드론: 유클리드 공간에서는 축퇴하지만 구면에서는 실현 가능하다.
다음 다면체는 정팔면체와 조합적으로 동등하다. 이들은 모두 꼭짓점 6개, 삼각형 면 8개, 모서리 12개를 가지며, 정팔면체의 특징과 일대일로 대응한다.
- 삼각형 반프리즘: 두 면은 정삼각형이고 평행한 평면에 놓여 있으며 공통된 대칭축을 가진다. 다른 여섯 개의 삼각형은 이등변삼각형이다. 정팔면체는 옆면의 여섯 개의 삼각형도 정삼각형인 특수한 경우이다.
- 사방형 이중뿔: 적도 사각형 중 적어도 하나가 평면에 놓여 있다. 정팔면체는 세 개의 사각형이 모두 평면 정사각형인 특수한 경우이다.
- 쇤하르트 다면체: 새로운 꼭짓점을 추가하지 않고 사면체로 분할할 수 없는 비볼록 다면체이다.
- 브리카르 팔면체: 비볼록 자기교차 가변 다면체이다.
3. 자연, 예술, 문화 속의 팔면체
- 다이아몬드, 명반, 형석과 같은 광물은 자연적으로 팔면체 결정을 이루는 경우가 많다. 이는 정사면체-팔면체 벌집 구조와 같이 공간을 채우는 구조와 관련이 있다.
- 팔면석 운석 내부의 카마사이트 합금 판은 팔면체의 여덟 면에 평행하게 배열되는 특징을 보인다.
- 많은 금속 이온은 배위 결합을 통해 여섯 개의 리간드와 결합하여 팔면체 또는 왜곡된 팔면체 배열을 형성한다.
- 니켈-철 결정에서는 비드만스태텐 구조가 관찰된다.
- 플라톤은 그의 저서 티마이오스에서 정팔면체를 고전 원소 중 바람과 연결지었다.
- 요하네스 케플러는 우주의 조화에서 플라톤 입체를 스케치하고, 우주 신비에서 이들을 다른 입체와 함께 배열하여 태양계 모형을 제시했다. 이 모형에서 정팔면체는 가장 안쪽에 위치하며, 정이십면체, 정십이면체, 정사면체, 정육면체가 차례로 바깥쪽에 배열되었다.
- 롤플레잉 게임에서 팔면체는 "d8"로 불리는 다면체 주사위로 사용된다.
- 정팔면체의 각 모서리를 1옴의 저항으로 대체하면, 마주 보는 꼭짓점 사이의 저항은 1/2 옴, 인접한 꼭짓점 사이의 저항은 5/12 옴이 된다.[5]
- 헥사니에 따르면, 여섯 개의 음표를 정팔면체의 꼭짓점에 배열하면 각 모서리는 협화음 2음을, 각 면은 협화음 3음을 나타낼 수 있다.
3. 1. 자연
- 다이아몬드, 명반, 형석의 천연 결정은 공간을 채우는 정사면체-팔면체 벌집 구조와 같이 일반적으로 팔면체이다.
- 팔면석 운석 내부에 있는 카마사이트 합금 판은 팔면체의 여덟 면에 평행하게 배열된다.
- 많은 금속 이온은 배위하여 팔면체 또는 왜곡된 팔면체 배열을 이루는 여섯 개의 리간드를 가진다.
- 니켈-철 결정에는 비드만스태텐 구조가 나타난다.
3. 2. 예술 및 문화
요하네스 케플러가 그린 정팔면체 스케치는 요하네스 케플러의 플라톤 입체를 이용한 태양계 모형으로, 플라톤 입체 중 하나이다. 면이 모두 합동인 정다각형이며 각 꼭짓점에 같은 수의 면이 만나는 다면체들의 집합이다. 이 고대 다면체 집합은 그의 티마이오스 대화편에서 이러한 입체를 자연과 관련지은 플라톤의 이름을 따서 명명되었다. 그중 하나인 정팔면체는 고전 원소인 바람을 나타낸다.플라톤에 의해 자연과 관련지어진 후, 요하네스 케플러는 그의 ''우주의 조화''에서 플라톤 입체 각각을 스케치했다. 그의 ''우주 신비''에서 케플러는 또한 플라톤 입체를 다른 입체 안에 배치하고 여섯 개의 구로 분리하여 여섯 개의 행성을 닮게 하여 태양계를 제안했다. 정렬된 입체는 안쪽에서 바깥쪽으로 정팔면체, 정이십면체, 정십이면체, 정사면체, 정육면체 순서였다.
4. 과학 기술 분야에서의 활용
정사면체와 반팔면체가 교대로 배열된 공간틀구조로, 정사면체-팔면체 벌집구조에서 유래한 구조물은 1950년대에 벅민스터 풀러가 발명하였다. 이 구조는 일반적으로 캔틸레버 응력에 저항하는 가장 강력한 건축 구조로 여겨진다.
5. 같이 보기
참조
[1]
웹사이트
Enumeration of Polyhedra
http://www.uwgb.edu/[...]
2006-05-02
[2]
웹사이트
Counting polyhedra
http://www.numerican[...]
[3]
웹사이트
Polyhedra with 8 Faces and 6-8 Vertices
http://www.uwgb.edu/[...]
2016-08-14
[4]
논문
The cross ratio as a shape parameter for Dürer's solid
[5]
논문
Resistance-Distance Sum Rules
http://jagor.srce.hr[...]
2006-09-30
[6]
서적
Regular Polytopes
Dover
1973
[7]
간행물
Two Dimensional Symmetry Mutation
https://www.research[...]
1998-09
[8]
서적
Elementary Geometry for College Students
https://books.google[...]
Cengage Learning
[9]
논문
Regular-faced convex polyhedra
[10]
서적
Polyhedra
https://archive.org/[...]
Cambridge University Press
[11]
서적
Beautiful Mathematics
https://books.google[...]
Mathematical Association of America
[12]
논문
On well-covered triangulations. III
[13]
서적
Convex Polytopes
Springer-Verlag
[14]
서적
Number, Shape, & Symmetry: An Introduction to Number Theory, Geometry, and Group Theory
https://books.google[...]
Taylor & Francis
[15]
논문
Convex polyhedra with regular faces
[16]
서적
Connections: The Geometric Bridge Between Art and Science
https://books.google[...]
World Scientific
[17]
서적
The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number
Broadway Books
[18]
서적
Art & Science of Geometric Origami: Create Spectacular Paper Polyhedra, Waves, Spirals, Fractals, and More!
https://books.google[...]
Tuttle
[19]
논문
Dungeons, dragons, and dice
[20]
서적
Symmetries in Graphs, Maps, and Polytopes: 5th SIGMAP Workshop, West Malvern, UK, July 2014
Springer
[21]
서적
Crystal Structures: Patterns and Symmetry
https://books.google[...]
Dover Publications
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서적
Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics
https://books.google[...]
Princeton University Press
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서적
Regular Polytopes
[24]
논문
Junction of Non-composite Polyhedra
https://www.ams.org/[...]
[25]
논문
An Infinite Class of Deltahedra
[26]
서적
Lectures on Polytopes
Springer-Verlag
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