편미분

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 방향도함수
- 2.2. 고계 편미분
3. 성질
- 3.1. 편미분 교환 법칙
4. 표기법
5. 응용
6. 예
참조

1. 개요

편미분은 둘 이상의 변수를 갖는 함수의 특정 변수에 대한 미분을 의미한다. 이는 함수의 한 변수를 제외한 다른 변수를 상수로 취급하여 해당 변수에 대해 미분하는 방식으로 계산되며, 방향도함수, 고계 편미분, 편미분 교환 법칙 등의 개념을 포함한다. 편미분은 다양한 표기법으로 표현되며, 벡터 해석, 미분 기하학, 최적화, 열역학, 양자 역학, 수리물리학, 이미지 처리 등 다양한 분야에서 널리 활용된다.

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편미분
개요
정의	다변수 함수의 특정 변수에 대한 변화율을 나타내는 미분
표기법	∂f / ∂x (라이프니츠 표기법) D_xf (미분 연산자 표기법) f_x (첨자 표기법)
관련 개념	전미분 방향 미분 기울기 야코비 행렬
수학적 정의
편미분	함수 f(x₁, ..., xₙ)의 xᵢ에 대한 편미분은 다른 변수들을 상수로 취급하고 xᵢ에 대해서만 미분하는 것임
정의식	lim ₕ→₀ (f(x₁, ..., xᵢ + h, ..., xₙ) - f(x₁, ..., xᵢ, ..., xₙ)) / h
표기법
다양한 표기법	∂f/∂xᵢ Dᵢf f_xᵢ
유의사항	∂는 "round d"라고 읽으며, 일반적인 미분 기호 d와 구별됨
계산
계산 방법	다른 변수를 상수로 취급하고 해당 변수에 대해서만 미분함
예시	f(x, y) = x² + xy + y²일 때, ∂f/∂x = 2x + y, ∂f/∂y = x + 2y
응용
최적화	다변수 함수의 극값을 찾을 때 사용됨
경제학	한계 생산량 등을 계산하는 데 사용됨
물리학	다양한 물리량의 변화를 기술하는 데 사용됨
관련 개념
전미분	모든 변수의 변화를 고려한 미분
방향 미분	특정 방향으로의 변화율
기울기 (gradient)	가장 가파른 증가 방향을 나타내는 벡터
야코비안 (Jacobian)	다변수 벡터 함수의 미분 행렬
추가 정보
Ceteris paribus	다른 조건이 동일할 때, 특정 변수의 변화가 결과에 미치는 영향을 분석하는 경제학 개념

2. 정의

하나 이상의 변수를 갖는 함수

f

가 주어졌을 때, 예를 들어

:

z=f(x,y)=x^2+xy+y^2

와 같이 주어진 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 이 곡면의 각 점에서는 무한히 많은 접선이 존재하는데, 편미분은 이 중 특정 접선을 선택하여 기울기를 구하는 과정이다. 특히

xz

-평면이나

yz

-평면과 평행하는 접선, 즉

y

나

x

를 상수로 고정하여 얻는 접선이 중요하다.

점

(x,y)

에서

xz

-평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하기 위해

y

를 상수로 간주하면, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻을 수 있다. 이 곡선 방정식에서

y

를 상수로 놓고 미분하면, 점

(x,y)

에서 곡선의 기울기는 다음과 같다.

:

\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y

대입을 통해 점

(1,1)

에서

xz

-평면과 평행하는 접선의 기울기가 3임을 알 수 있다. 즉, 점

(1,1)

에서

z

의

x

에 대한 편미분은 3이다.

함수

f

는 변수 하나의 함수들의 모임으로 다시 해석할 수 있다. 즉, 모든

y

값은 변수 하나의 함수

:

f_{(y)}(x)=x^2+xy+y^2

에 대응된다.

y

의 값을

y=a

와 같이 고정하면,

f

는

:

f_{(a)}(x)=x^2+ax+a^2

라는 함수를 결정한다. 여기서

a

는 상수이므로,

f_a

는 변수

x

하나만을 갖는다. 따라서 일변수 함수의 미분을 적용하면

:

f_{(a)}'(x)=2x+a

를 얻는다. 이는 모든

x

값의 함수이며, 모든

y=a

값에 적용할 수 있다. 따라서 모든

x

값 및

y

값을 변수로 갖는 함수

:

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y

를 얻을 수 있으며, 이는 함수

f

의 변수

x

에 대한 '''편미분'''이다.

연결 열린집합

D\subseteq\mathbb R^n

에 정의된 실숫값 함수

f\colon D\to\mathbb R

및 점

\boldsymbol a\in D

에 대하여, 점

\boldsymbol a

에서 함수

f

의 변수

x_i

에 대한 '''편미분'''은 다음과 같은 극한이다.

:

\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_{i-1},a_i+h,a_{i+1},\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\ldots,a_n)}h

이는 다른 변수를 상수로 고정하고 해당 변수에 대한 일변수 함수의 미분으로 이해할 수 있다.

편미분은 다른 정의로도 표현될수 있는데,

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=\frac{df_{(i)}}{dx}(a_i)$
$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol a)=L\iff L=\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol e_i}(\boldsymbol a)=-\frac{\partial f}{\partial(-\boldsymbol e_i)}(\boldsymbol a)$

로 표현이 가능하며, 위의 정의와 같다.

여기서

$f_{(i)}(x)=f(a_1,\ldots,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots,a_n)$
$\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}$ 는 방향 미분이다.
$\boldsymbol e_i$ 는 $i$ 번째 좌표가 1, 나머지 좌표가 0인 단위 벡터이다.

어떤

\boldsymbol a\in D

에서

f

의

x_i

에 대한 편미분이 존재하면, 점

\boldsymbol a

에서

f

가

x_i

에 대해 '''편미분 가능'''하다고 한다. 모든

\boldsymbol x\in D

에서

f

의

x_i

에 대한 편미분이 존재하면,

f

가

D

에서

x_i

에 대해 '''편미분 가능'''하다고 한다. 이 경우 편미분은 정의역이

D

, 공역이

\mathbb R

인 함수이며,

:

\frac{\partial f}{\partial x_i}

로 표기한다.

2. 1. 방향도함수

'''방향도함수'''(directional derivative^영어)는 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb R^n$ 에 정의된 실숫값 함수 $f\colon D\to\mathbb R$
유클리드 공간 속 점 $\boldsymbol a\in D$
유클리드 공간 속 단위 벡터

:

\boldsymbol v=(\cos\theta_1,\ldots,\cos\theta_n)\in\mathbb R^n\qquad(|\boldsymbol v|=1)

: 이를 "방향"이라고 부르자.

그렇다면, 점

\boldsymbol a

에서

f

의 방향

\boldsymbol v

에 대한 '''방향도함수'''는 다음과 같은 극한이다.

:

\begin{align}\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}&=\lim_{t\to0+0}\frac{f(a_1+t\cos\theta_1,\ldots,a_n+t\cos\theta_n)-f(a_1,\ldots,a_n)}t\\&=\lim_{t\to0+0}\frac{f(\boldsymbol a+t\boldsymbol v)-f(\boldsymbol a)}t\\&=\lim_{E\ni\boldsymbol x\to\boldsymbol a}\frac{f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol a)}{(\boldsymbol x-\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol v}\end{align}

여기서

:

E=\{\boldsymbol a+t\boldsymbol v\colon 0

이다.

2. 2. 고계 편미분

함수 의 '''고계 편미분'''(高階偏微分, higher order partial derivative^영어)은 편미분을 반복하여 얻는 미분이다. 예를 들어, 독립 변수 , , 의 함수 에 대하여, 에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다.

이를 다시 나 로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다.

:

:

비슷하게, 를 나 로 편미분하고, 다시 나 나 로 편미분할 수 있다.

일반적으로, 연결 열린집합 에 정의된 실숫값 함수 를 변수 로 번, 변수 로 번, ..., 변수 로 번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.

:

용어 '''혼합 편미분'''(混合偏微分, mixed derivative^영어)은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 의 에 대한 편미분의 에 대한 편미분은 혼합 편미분이다.

많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.

이변수 이상의 함수에 대한 2차 및 고차 편도함수는 일변수 함수의 고차 도함수와 유사하게 정의된다. 함수 에 대해 에 대한 "자체" 2차 편도함수는 단순히 편도함수의 편도함수(둘 다 에 대해)이다.^[5]

와 에 대한 교차 편도함수는 를 에 대해 편미분한 다음, 그 결과를 에 대해 편미분하여 얻는다.

슈바르츠 정리는 2차 도함수가 연속적이면 교차 편도함수의 표현식은 어떤 변수에 대해 먼저 편미분하고 어떤 변수에 대해 나중에 편미분하는지에 영향을 받지 않는다고 명시한다. 즉,

또는 동등하게

예를 들어 2변수 함수 가 편미분 가능하고, 또한 두 편도함수 , 가 편미분 가능할 때, 의 2계 편도함수는 , , , 의 4개가 정의될 수 있다. 여기서 두 편도함수 , 는 일반적으로 다른 함수이지만, 이들 편도함수가 연속이면, 즉 원래 함수가 급이면 양자는 일치한다 (영의 정리).

3. 성질

함수가 전미분 가능하다면, 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재하며, 다음이 성립한다.^[1]

: $df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n=\nabla f\cdot d\boldsymbol x$

: $\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol v}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\cos\theta_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cos\theta_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\cos\theta_n=\nabla f\cdot\boldsymbol v$

어떤 함수가 연속 미분 가능하다는 것은 함수의 모든 편미분이 존재하고, 그 편미분들이 모두 연속 함수라는 의미이며, 이 경우 함수는 전미분 가능하다.^[1]

3. 1. 편미분 교환 법칙

연결 열린집합

D\subseteq\mathbb R^n

에 정의된 함수

f\colon D\to\mathbb R

및 그 두 변수

x

,

y

에 대하여, 만약

f

가

\mathcal C^2

함수라면,

f

의

x

와

y

에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}

S\left(\Delta x, \Delta y\right) =f\left( x_0+\Delta x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x_0+\Delta x,y_0\right) -f\left( x_0,y_0 +\Delta y\right) +f\left( x_0,y_0\right)

라고 하고,

g\left( x\right)=f\left( x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x,y_0\right)

라고 하자. 그렇다면

S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right)

이다. 전제에 의하여

g

는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

x_0+\Delta x

와

x_0

사이에는

g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right) =g'\left(\bar x\right)\Delta x

를 만족하는

\bar x

가 존재한다.

S\left(\Delta x,\Delta y\right) =\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0\right)\right]\Delta x

이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면

f_x

는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

y_0+\Delta y

와

y_0

사이에는

\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right) -\frac{\partial f}{\partial x}\left( \bar x,y_0 \right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y

를 만족하는

\bar y

가 존재한다. 따라서

S\left(\Delta x, \Delta y\right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y\Delta x

이고,

\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right) =\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}

이다.

\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}

는 연속이므로

\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right)

이다. 유사한 방법으로 계산해보면

\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}

이므로

f_{xy}=f_{yx}

이다.

이 정리는 슈바르츠 정리라고도 불리며, 2차 도함수가 연속적이면 교차 편도함수의 표현식은 어떤 변수에 대해 먼저 편미분하고 어떤 변수에 대해 나중에 편미분하는지에 영향을 받지 않는다.

이변수 함수 ''f''(''x'', ''y'')의 두 편도함수 ''f''_''x'', ''f''_''y''가 연속이면, 즉, 원래 함수가 ''C''² 급이면, ''f''_''xy'', ''f''_''yx''는 일치한다. (영의 정리).

4. 표기법

$x$에 대한 편미분은 $\frac{\partial f}{\partial x}$, $f_x$, $\partial_x f$ 등으로 표기한다. 고계 편미분은 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $f_{xx}$, $\partial_{xx} f$ 등으로 표기한다. 혼합 편미분은 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$, $f_{xy}$, $\partial_{yx} f$ 등으로 표기한다.^[3]

독립 변수 $x, y, z$의 함수 $f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R$에 대하여, 1차, 2차, 고차 편미분 및 혼합 편미분은 다음과 같이 표기한다.

구분	표기
1차 편도함수	$\frac{ \partial f}{ \partial x} = f'_x = \partial_x f.$
2차 편도함수	$\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f''_{xx} = \partial_{xx} f = \partial_x^2 f.$
2차 혼합 편도함수	$\frac{\partial^2 f}{\partial y \,\partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = (f$ _{x})_{y} = f''_{xy} = \partial_{yx} f = \partial_y \partial_x f .
고차 편도함수 및 혼합 편도함수	$\frac{\partial^{i+j+k} f}{\partial x^i \partial y^j \partial z^k } = f^{(i, j, k)} = \partial_x^i \partial_y^j \partial_z^k f.$

통계역학과 같은 분야에서, $y$와 $z$를 상수로 유지하면서 $x$에 대한 $f$의 편도함수는 $\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}$로 표현되는 경우가 많다.

일반적으로, 연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb R^n$에 정의된 실숫값 함수 $f\colon D\to\mathbb R$를 변수 $x_a$로 $k_a$번, 변수 $x_b$로 $k_b$번, ..., 변수 $x_c$로 $k_c$번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 $k_a+k_b+\cdots+k_c$계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.

: $\frac{\partial^{k_a+k_b+\cdots+k_c}f}{\partial x_c^{k_c}\cdots\partial x_b^{k_b}\partial x_a^{k_a}}\equiv\frac{\partial^{k_c}}{\partial x_c^{k_c}}\cdots\frac{\partial^{k_b}}{\partial x_b^{k_b}}\frac{\partial^{k_a}}{\partial x_a^{k_a}}f$

많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

: $\left(\frac\partial{\partial\boldsymbol x}\right)^\boldsymbol if\equiv\left(\frac\partial{\partial x_1}\right)^{i_1}\left(\frac\partial{\partial x_2}\right)^{i_2}\cdots\left(\frac\partial{\partial x_n}\right)^{i_n}f$

2변수 함수 $f(x, y)$가 편미분 가능하고, 또한 두 편도함수 $f_x$, $f_y$가 편미분 가능할 때, $f$의 2계 편도함수는 $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$, $f_{yy}$의 4개가 정의될 수 있다. 여기서 두 편도함수 $f_{xy}$, $f_{yx}$는 일반적으로 다른 함수이지만, 이들 편도함수가 연속, 즉 원래 함수가 $C^2$급이면, 양자는 일치한다 (영의 정리).

5. 응용

편미분은 벡터 해석, 미분 기하학 등 다양한 분야에서 활용된다. 벡터 해석에서 기울기(gradient), 발산(divergence), 회전(curl) 등은 편미분을 이용하여 정의된다. 미분 기하학에서 전미분을 결정하는 데 편미분이 사용된다.

예를 들어 원뿔의 부피는 원뿔의 높이와 반지름에 따라 달라지는데, 이때 반지름에 대한 부피의 편미분은 높이가 일정하게 유지될 때 반지름 변화에 따른 부피 변화율을 나타낸다. 높이에 대한 편미분은 반지름이 일정하게 유지될 때 높이 변화에 따른 부피 변화율을 나타낸다.

편미분은 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제, 벡터장의 기울기, 발산, 회전 및 라플라스 연산자의 성분을 나타내는 데에도 사용된다. 또한, 2계 편미분을 행렬 형태로 묶어 헤세 행렬을 얻을 수 있으며, 고차원에서의 테일러 공식은 점의 근방에서 테일러 다항식을 사용하여 근사된다.

5. 1. 최적화

편미분은 둘 이상의 선택 변수를 가진 모든 미적분 기반 최적화 문제에 나타난다. 예를 들어, 경제학에서 기업은 두 가지 다른 유형의 생산량인 ''x''와 ''y''의 선택과 관련하여 이윤 π(''x'', ''y'')을 최대화하고자 할 수 있다. 이 최적화에 대한 1계 조건은 π_''x'' = 0 = π_''y''이다. 두 편미분 π_''x''와 π_''y''는 일반적으로 자체적으로 두 인수 ''x''와 ''y''의 함수이므로, 이 두 1계 조건은 두 개의 미지수를 가진 두 개의 방정식 시스템을 형성한다.^[1]

편미분은 경제학에서 두드러진 역할을 하며, 경제 행위를 묘사하는 대부분의 함수는 해당 행위가 하나 이상의 변수에 의존한다고 가정한다. 예를 들어, 사회적 소비 함수는 소비재에 지출되는 금액이 소득과 자산 모두에 의존한다고 묘사할 수 있다. 그러면 한계 소비 성향은 소득에 대한 소비 함수의 편미분이다.^[1]

5. 2. 열역학, 양자 역학 및 수리물리학

편미분은 깁스-듀헴 방정식과 같은 열역학 방정식, 슈뢰딩거 파동 방정식과 같은 양자 역학, 그리고 수리물리학의 다른 방정식에서 나타난다. 여기서 편미분에서 일정하게 유지되는 변수는 삼원 혼합물 시스템의 깁스 에너지를 포함하는 다음 예에서 몰 분율과 같은 간단한 변수의 비율일 수 있다.^[1]

)_{}}}}}

성분의 몰 분율을 다른 성분의 몰 분율과 이원 몰 비의 함수로 표현하면 다음과 같다.^[1]

{{lang|en|{{math|inline=1| $\begin{align}x_1 &= \frac{1-x_2}{1+\frac{x_3}{x_1}} \\x_3 &= \frac{1-x_2}{1+\frac{x_1}{x_3}}\end{align}$ }}}}}

미분 몫은 위와 같은 일정한 비율로 형성될 수 있다.^[1]

{{lang|en|{{math|display=block| $\begin{align}\left(\frac{\partial x_1}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} &= - \frac{x_1}{1-x_2} \\\left(\frac{\partial x_3}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} &= - \frac{x_3}{1-x_2}\end{align}$ }}}}}

몰 분율의 비율 X, Y, Z는 삼원 및 다성분 시스템에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]

{{lang|en|{{math|display=block| $\begin{align}X &= \frac{x_3}{x_1 + x_3} \\Y &= \frac{x_3}{x_2 + x_3} \\Z &= \frac{x_2}{x_1 + x_2}\end{align}$ }}}}}

이는 다음과 같은 편미분 방정식을 푸는 데 사용될 수 있다.^[1]

}}}

이 등식은 한쪽에 몰 분율의 미분 몫이 오도록 재정렬할 수 있다.^[1]

5. 3. 이미지 처리
이미지 크기 조정 알고리즘의 핵심은 편미분이다. 널리 알려진 심 카빙과 같은 알고리즘은 이미지의 각 픽셀에 직교하는 인접 픽셀과의 비유사성을 설명하기 위해 수치적인 '에너지'를 할당해야 한다. 그런 다음 알고리즘은 에너지가 가장 낮은 행이나 열을 점진적으로 제거한다. 픽셀의 에너지(픽셀에서의 기울기의 크기)를 결정하기 위해 설정된 공식은 편미분의 구성에 크게 의존한다.^[1]}

6. 예

하나 이상의 변수를 갖는 함수 ''f''가 주어졌을 때, 예를 들어

: ''z'' = ''f''(''x'',''y'') = ''x''² + ''xy'' + ''y''²

와 같이 나타낼 수 있다. 이 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이 중 ''xz''-평면이나 ''yz''-평면에 평행하는 접선(즉, ''y''나 ''x''를 상수로 놓아 얻는 접선)을 구하는 것이다. 점 (''x'',''y'')에서 ''xz''-평면에 평행하는 접선의 기울기를 구하기 위해 ''y''를 상수로 보면, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 ''y''를 상수로 놓고 미분을 구하면, 점 (''x'',''y'')에서 곡선의 기울기는 다음과 같다.

: $\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y$

대입을 통해 점 (1,1)에서 ''xz''-평면에 평행하는 접선의 기울기는 3임을 알 수 있다. 즉, 점 (1,1)에서

: $\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=3$ 이다.

다시 말해, 점 (1,1)에서 ''z''의 ''x''에 대한 편미분은 3이다.

함수 ''f''는 변수 하나의 함수들의 집합으로 다시 해석할 수 있다. 즉, 모든 ''y'' 값은 변수 하나의 함수

: $f_{(y)}(x)=x^2+xy+y^2$

에 대응한다. 만약 ''y''의 값을 ''y''=''a''와 같이 선택해 고정시킨다면, ''f''는 함수

: $f_{(a)}(x)=x^2+ax+a^2$

를 결정한다. ''a''가 상수이고 더 이상 변수가 아니므로, ''f_a''는 변수 ''x'' 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을

: $f_{(a)}'(x)=2x+a$

와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 ''x'' 값의 함수이며, 이 논의는 모든 ''y''=''a'' 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터 모든 ''x'' 값 및 ''y'' 값을 변수로 갖는 함수

: $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+y$

를 얻을 수 있다. 이는 함수 ''f''의, 변수 ''x''에 대한 편미분이다.

밑면의 반지름이 ''r''이고 높이가 ''h''인 원뿔의 부피 ''V''는 다음과 같다.

: $V = \frac{ \pi r^2 h }{3}$

여기에서 ''V''를 ''r''에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

: $\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2\pi r h }{3}$

또한, ''V''를 ''h''에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

: $\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ \pi r^2 }{3}$

참조

_[1] 서적 A History of Mathematical Notations https://archive.org/[...] The Open Court Publishing Company
_[2] 간행물 MacTutor History of Mathematics archive University of St Andrews 2023-06-15
_[3] 서적 Calculus on Manifolds https://archive.org/[...] W. A. Benjamin 1965
_[4] 문서 This can also be expressed as the adjointness between the product space and function space constructions.
_[5] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics McGraw-Hill 1984
_[6] 문서 Adrien-Marie Legendre, Sur la mainère de distinguer les maxima des minima dans le calcul des variations, Mém. Acad. Sci.
_[7] 웹사이트 Earliest Uses of Symbols of Calculus http://jeff560.tripo[...] 2009-02-20
_[8] 웹인용 Earliest Uses of Symbols of Calculus http://jeff560.tripo[...] 2009-02-20
_[9] 웹인용 편도함수 https://www.sciencea[...] 2021-05-07

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