해안선 역설
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1. 개요
해안선 역설은 1951년 루이스 프라이 리처드슨이 발견한 현상으로, 해안선의 길이를 측정하는 척도가 작아질수록 측정 길이가 무한대에 가까워지는 수학적 역설이다. 이는 스페인과 포르투갈의 국경 길이 보고의 불일치에서 시작되었으며, 해안선과 같은 불규칙한 경계의 길이를 측정하는 데 내재된 문제점을 드러낸다. 유클리드 기하학에서는 직선의 길이를 고정된 값으로 측정하지만, 해안선과 같은 프랙탈은 자기 유사성을 가지며 측정 척도에 따라 길이가 달라진다. 브누아 망델브로는 이러한 현상을 프랙탈 기하학으로 설명하며, 해안선 길이를 측정하는 공식을 제시했다. 해안선 역설은 실제 적용 문제, 특히 영토 경계, 재산권, 환경 감시에 영향을 미치며, 현대 기술의 발전에도 불구하고 측정의 어려움과 한계가 존재한다.
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| 해안선 역설 | |
|---|---|
| 해안선 역설 개요 | |
| 설명 | 해안선의 길이는 명확하게 정의되지 않음 |
| 역사적 배경 | |
| 최초 관찰 | 휴고 스타인하우스 (1954) |
| 개념 정립 | 브누아 만델브로트 (1967) |
| 특징 | |
| 측정 단위 | 측정 단위가 작아질수록 해안선 길이는 늘어남 |
| 관련 개념 | 프랙탈 |
| 관련 학문 | |
| 분야 | 수학, 지리학 |
| 추가 정보 | |
| 참고 | 루이스 프라이 리처드슨의 연구 |
2. 발견
루이스 프라이 리처드슨은 국경선의 길이가 전쟁 가능성에 미치는 영향을 연구하던 중, 포르투갈과 스페인이 서로 다른 국경선 길이를 보고했다는 사실을 발견했다. 이는 해안선 문제의 시작으로 이어졌다.[6]
일반적으로 국경선 길이는 지도나 항공 사진에서 동일한 길이의 직선 세그먼트를 이용하여 측정했다. 리처드슨은 세그먼트의 길이가 짧아질수록 측정된 국경선의 길이가 길어지는 "리처드슨 효과"를 발견했다. 측정 단위가 0에 가까워질수록 해안선의 길이는 무한대에 가까워졌다. 리처드슨은 유클리드 기하학을 바탕으로 해안선이 고정된 길이에 가까워질 것이라고 믿었지만, 실제로는 그렇지 않았다.[7] 마지막 문장에 있는 가 와 독립적임을 보여주었다는 내용은 문맥상 어색하므로 삭제한다.
2. 1. 리처드슨의 초기 연구
루이스 프라이 리처드슨은 1951년 직전, 국경선의 길이가 전쟁의 가능성에 미치는 영향을 연구하던 중, 포르투갈이 스페인과의 국경 길이를 987km로 보고한 반면, 스페인은 1214km로 보고했음을 발견했다. 이것이 불규칙한 경계의 측정에 내재된 수학적 불확실성인 해안선 문제의 시작이었다.[6]국경선(또는 해안선)의 길이를 추정하는 일반적인 방법은 지도나 항공 사진에서 특정 길이의 직선 세그먼트를 분할 캘리퍼로 배치하는 것이었다. 각 세그먼트의 끝은 경계선에 있어야 한다. 리처드슨은 국경 추정의 불일치를 조사하면서 현재 "리처드슨 효과"라고 불리는 것을 발견했다. 즉, 세그먼트의 공통 길이가 감소할 때 세그먼트의 합이 단조롭게 증가한다. 사실, 자가 짧을수록 측정된 국경선이 더 길어진다. 스페인과 포르투갈의 지리학자들은 단순히 서로 다른 길이의 자를 사용했던 것이다.
리처드슨에게 가장 놀라운 결과는 특정 상황에서 측정 단위가 0에 가까워질수록 해안선의 길이가 무한대에 가까워진다는 것이다. 리처드슨은 유클리드 기하학을 바탕으로 해안선이 정규 기하학적 도형의 유사한 추정치와 마찬가지로 고정된 길이에 가까워질 것이라고 믿었다. 예를 들어, 원에 내접하는 정다각형의 둘레는 변의 수가 증가함에 따라 (그리고 한 변의 길이가 감소함에 따라) 원주에 가까워진다. 기하 측정 이론에서 작은 직선 세그먼트로 근사될 수 있고 확실한 극한이 있는 원과 같은 부드러운 곡선을 교정 가능한 곡선이라고 한다.[7]
3. 수학적 측면
길이의 기본 개념은 유클리드 거리에서 유래하며, 유클리드 기하학에서 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 나타낸다. 구면에서는 대원 거리로 대체되며, 호의 길이는 더 복잡하지만 계산 가능하다. 자를 이용해 점들을 연결하는 직선들의 합으로 곡선의 길이를 근사할 수 있지만, 이는 실제 길이보다 낮은 추정치를 제공한다. 더 짧은 선들을 사용하면 실제 길이에 더 가까워지며, 미적분학을 통해 정확한 값을 찾을 수 있다.
그러나 모든 곡선을 이런 식으로 측정할 수 있는 것은 아니다. 프랙탈은 측정 척도에 따라 복잡성이 변하는 곡선으로, 매끄러운 곡선과 달리 측정값이 수렴하지 않는다. 프랙탈 곡선의 길이는 항상 무한대로 발산하므로, 무한 해상도로 해안선을 측정하면 그 길이 역시 무한대가 된다.[8] 이는 공간이 무한소로 분할 가능하다는 가정에 기반하는데, 이 가정은 철학적 추론의 영역이며, 원자 수준(대략 나노미터 규모)의 현실을 반영하는지는 불확실하다. 해안선은 만델브로 집합과 같은 이상적인 프랙탈보다 덜 명확하며, 통계적 무작위 방식으로 패턴을 생성하는 다양한 자연 현상에 의해 형성된다.[9]
3. 1. 유클리드 기하학과 측지선
길이의 기본 개념은 유클리드 거리에서 유래한다. 유클리드 기하학에서 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 나타낸다. 이 선은 길이가 하나뿐이다. 구의 표면에서 이 직선은 측지선 길이(또는 대원 길이)로 대체되는데, 이는 두 끝점과 구의 중심을 포함하는 평면에 존재하는 표면 곡선을 따라 측정된다. 기본 곡선의 길이는 더 복잡하지만 계산할 수도 있다. 자를 사용하여 점들을 연결하는 직선의 합을 더하여 곡선의 길이를 근사할 수 있다.
곡선의 길이를 근사하기 위해 몇 개의 직선을 사용하면 실제 길이보다 낮은 추정치가 생성된다. 점점 더 짧은(따라서 더 많은) 선을 사용하면 합이 곡선의 실제 길이에 접근하고, 해당 길이는 모든 그러한 근사의 ''최소 상계'' 또는 ''상한''이다. 이 길이에 대한 정확한 값은 무한히 작은 거리를 계산할 수 있게 해주는 수학 분야인 미적분학을 사용하여 찾을 수 있다. 다음 애니메이션은 매끄러운 곡선에 정확한 길이를 의미 있게 할당할 수 있는 방법을 보여준다.
이런 식으로 측정할 수 있는 곡선이 모두 그런 것은 아니다. 프랙탈은 정의상 측정 척도가 감소하지 않는 곡선이다. 매끄러운 곡선의 근사가 측정 정밀도가 증가함에 따라 단일 값으로 수렴하는 반면, 프랙탈에 대한 측정 값은 수렴하지 않는다.
프랙탈 곡선의 길이는 항상 무한대로 발산하므로, 무한대 또는 거의 무한대의 해상도로 해안선을 측정하면 해안선의 무한히 짧은 굴곡의 길이가 합산되어 무한대가 될 것이다.[8] 그러나 이 수치는 공간을 무한소 섹션으로 세분할 수 있다는 가정을 따른다. 유클리드 기하학의 기초가 되며 일상적인 측정에서 유용한 모델 역할을 하는 이 가정의 진리값은 철학적 추측의 문제이며, 원자 수준(대략 나노미터 규모)에서 "공간"과 "거리"의 변화하는 현실을 반영할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.
해안선은 만델브로 집합과 같은 이상적인 프랙탈보다 구성이 덜 명확하다. 왜냐하면 단순하고 공식적인 시퀀스를 반복적으로 반복하여 형성되는 이상적인 프랙탈과 달리, 통계적 무작위 방식으로 패턴을 생성하는 다양한 자연 현상에 의해 형성되기 때문이다.[9]
3. 2. 곡선 길이의 근사
길이의 기본 개념은 유클리드 거리에서 유래한다. 유클리드 기하학에서 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 나타낸다. 이 선은 단 하나의 길이를 갖는다. 구면에서는 이것이 대원 거리로 대체된다. 대원 거리는 양쪽 끝점과 구의 중심을 포함하는 평면 상에 있는 구면의 곡선을 따라 측정된다. 기본 곡선의 길이는 더 복잡하지만 계산 가능하다. 자로 측정하는 경우, 점을 잇는 직선의 합을 구함으로써 곡선의 길이를 근사할 수 있다.몇 개의 직선을 사용하여 곡선의 길이를 근사하면 실제 길이보다 짧은 근사값이 도출된다. 더 짧은(더 많은) 선을 사용하면 합은 곡선의 실제 길이에 가까워진다. 이 길이의 정확한 값은 무한히 작은 거리를 계산할 수 있게 해주는 수학 분야인 미적분학을 사용하여 찾을 수 있다. 다음 애니메이션은 매끄러운 곡선에 정확한 길이를 할당하는 방법을 보여준다.
그러나 이 방법으로 모든 곡선을 측정할 수 있는 것은 아니다. 프랙탈은 정의상 복잡성이 측정 스케일에 따라 변화하는 곡선이다. 매끄러운 곡선의 근사값은 측정 정밀도가 높아짐에 따라 단일 값으로 수렴하는 경향이 있지만, 프랙탈의 측정값은 수렴하지 않는다.
이 시에르핀스키 곡선(일종의 공간 채움 곡선)은 동일한 패턴을 점점 더 작은 규모로 반복하며 길이가 계속 증가한다. 무한히 세분할 수 있는 기하학적 공간 내에서 반복되는 것으로 이해하면 길이가 무한대로 간다. 동시에, 곡선으로 둘러싸인 ''면적''은 정확한 수치로 ''수렴''한다. 이는 섬의 면적이 해안선의 길이보다 쉽게 계산될 수 있는 것과 유사하다.
프랙탈 곡선의 길이는 항상 무한대로 발산하므로, 무한대 또는 거의 무한대의 해상도로 해안선을 측정하면 해안선의 무한히 짧은 굴곡의 길이가 합산되어 무한대가 될 것이다.[8] 그러나 이 수치는 공간을 무한소 섹션으로 세분할 수 있다는 가정을 따른다. 유클리드 기하학의 기초가 되며 일상적인 측정에서 유용한 모델 역할을 하는 이 가정의 진리값은 철학적 추측의 문제이며, 원자 수준(대략 나노미터 규모)에서 "공간"과 "거리"의 변화하는 현실을 반영할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.
해안선은 만델브로 집합과 같은 이상적인 프랙탈보다 구성이 덜 명확하다. 왜냐하면 해안선은 단순하고 공식적인 시퀀스를 반복적으로 반복하여 형성되는 이상적인 프랙탈과 달리 통계적 무작위 방식으로 패턴을 생성하는 다양한 자연 현상에 의해 형성되기 때문이다.[9]
3. 3. 프랙탈과 해안선
루이스 프라이 리처드슨은 국경선의 길이가 전쟁 가능성에 미치는 영향을 연구하던 중, 포르투갈이 보고한 스페인과의 국경 길이와 스페인이 보고한 국경 길이가 서로 다르다는 것을 발견했다. 이는 불규칙한 경계의 측정에 내재된 수학적 불확실성인 해안선 문제의 시작이었다.[6]일반적으로 국경선(또는 해안선)의 길이는 지도나 항공 사진에서 특정 길이의 동일한 직선 세그먼트를 분할 캘리퍼로 배치하여 추정한다. 각 세그먼트의 끝은 경계선에 있어야 한다. 리처드슨은 국경 추정의 불일치를 조사하면서, 세그먼트의 공통 길이가 감소할 때 세그먼트의 합이 단조롭게 증가하는 "리처드슨 효과"를 발견했다. 즉, 자가 짧을수록 측정된 국경선이 더 길어진다. 스페인과 포르투갈의 지리학자들은 단순히 서로 다른 길이의 자를 사용했던 것이다.
리처드슨에게 가장 놀라운 결과는 특정 상황에서 측정 단위가 0에 가까워질수록 해안선의 길이가 무한대에 가까워진다는 것이었다. 리처드슨은 유클리드 기하학을 바탕으로 해안선이 정규 기하학적 도형의 유사한 추정치와 마찬가지로 고정된 길이에 가까워질 것이라고 믿었다. 예를 들어, 원에 내접하는 정다각형의 둘레는 변의 수가 증가함에 따라 (그리고 한 변의 길이가 감소함에 따라) 원주에 가까워진다. 기하 측정 이론에서 작은 직선 세그먼트로 근사될 수 있고 확실한 극한이 있는 원과 같은 부드러운 곡선을 교정 가능한 곡선이라고 한다.[7]
길이의 기본 개념은 유클리드 거리에서 유래한다. 유클리드 기하학에서 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 나타낸다. 구의 표면에서 이 직선은 측지선 길이(또는 대원 길이)로 대체되는데, 이는 두 끝점과 구의 중심을 포함하는 평면에 존재하는 표면 곡선을 따라 측정된다. 기본 곡선의 길이는 더 복잡하지만 계산할 수도 있다. 자를 사용하여 점들을 연결하는 직선의 합을 더하여 곡선의 길이를 근사할 수 있다.
곡선의 길이를 근사하기 위해 몇 개의 직선을 사용하면 실제 길이보다 낮은 추정치가 생성된다. 점점 더 짧은(따라서 더 많은) 선을 사용하면 합이 곡선의 실제 길이에 접근하고, 해당 길이는 모든 그러한 근사의 ''최소 상계'' 또는 ''상한''이다. 이 길이에 대한 정확한 값은 무한히 작은 거리를 계산할 수 있게 해주는 수학 분야인 미적분학을 사용하여 찾을 수 있다.
이런 식으로 측정할 수 있는 곡선이 모두 그런 것은 아니다. 프랙탈은 정의상 측정 척도가 감소하지 않는 곡선이다. 매끄러운 곡선의 근사가 측정 정밀도가 증가함에 따라 단일 값으로 수렴하는 반면, 프랙탈에 대한 측정 값은 수렴하지 않는다.
프랙탈 곡선의 길이는 항상 무한대로 발산하므로, 무한대 또는 거의 무한대의 해상도로 해안선을 측정하면 해안선의 무한히 짧은 굴곡의 길이가 합산되어 무한대가 될 것이다.[8] 그러나 이 수치는 공간을 무한소 섹션으로 세분할 수 있다는 가정을 따른다.
해안선은 만델브로 집합과 같은 이상적인 프랙탈보다 구성이 덜 명확하다. 통계적 무작위 방식으로 패턴을 생성하는 다양한 자연 현상에 의해 형성되기 때문이다.[9]
리처드슨이 연구를 완료한 지 10년이 넘은 후, 브누아 망델브로는 무한한 해안선과 같이 자연에 존재하는 정류 불가능한 복합체를 설명하기 위해 수학의 새로운 분야인 프랙탈 기하학을 개발했다.
1967년 5월 5일에 출판된 "''영국의 해안선은 얼마나 긴가? 통계적 자기 유사성과 분수 차원''"에서[10] 망델브로는 1과 2 사이의 하우스도르프 차원을 갖는 자기 유사 곡선에 대해 논한다. 이 곡선은 ''프랙탈''의 예시이다.[11]
실증적 증거는 측정 단위를 작게 할수록 측정 길이가 길어진다는 것을 시사한다. 해안선 구간을 야드스틱으로 측정하면 같은 구간을 자로 측정하는 것보다 짧은 결과가 나올 것이다. 이는 자가 야드스틱보다 더 곡선적인 경로를 따라 놓이기 때문이다. 실증적 증거는 외삽하면 측정 척도가 0으로 감소함에 따라 측정 길이가 한계 없이 증가한다는 것을 보여주는 규칙을 시사한다. 이 논의는 해안선의 길이에 대해 이야기하는 것은 무의미하다는 것을 암시한다. 해안선을 정량화하는 다른 수단이 필요하다. 망델브로는 엄격하게 자기 유사적인 방식으로 정의된 코흐 눈송이와 관련된 다양한 수학적 곡선을 설명한다. 망델브로는 각 곡선의 하우스도르프 차원을 계산하는 방법을 보여주는데, 각 곡선은 1과 2 사이의 차원을 갖는다. 이 논문은 해안선이나 지리적 경계가 실제로 분수 차원을 "갖고" 있다고 주장하지 않는다. 대신, 리처드슨의 경험적 법칙이 해안선과 같은 지리적 곡선이 분수 차원의 임의의 자기 유사 도형으로 모델링될 수 있다는 생각과 호환될 수 있다는 점에 주목한다.
일부 프랙탈의 주요 속성은 자기 유사성이다. 즉, 모든 스케일에서 동일한 일반적인 구성이 나타난다. 해안선은 만과 곶이 교대로 나타나는 것으로 인식된다. 주어진 해안선이 이러한 자기 유사성 속성을 갖는 가상적인 상황에서, 해안선의 어떤 작은 부분이라도 확대하더라도 더 큰 만과 곶에 겹쳐진 더 작은 만과 곶의 유사한 패턴이 모래알까지 나타난다. 그러한 스케일에서 해안선은 순간적으로 변하는 잠재적으로 무한한 길이의 실처럼 보인다. 그러한 환경(매끄러운 곡선과 반대)에서 망델브로는 "해안선 길이는 그것을 파악하려는 사람들의 손가락 사이로 미끄러지는 파악하기 어려운 개념임이 밝혀졌다"고 주장한다.
프랙탈에는 여러 종류가 있다. 앞서 언급한 속성을 가진 해안선은 "프랙탈 차원이 1보다 큰 곡선, 즉 프랙탈의 첫 번째 범주"에 속한다. 리처드슨 효과에 대한 망델브로의 설명은 다음과 같다.
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여기서 L은 해안선 길이로, 측정 단위 ε의 함수이며, 이 식으로 근사된다. F는 상수이고, D는 리처드슨이 L로 근사된 해안선에 따라 달라지는 것으로 발견한 매개변수이다. 그는 이론적인 설명을 제시하지 않았지만, 망델브로는 D를 하우스도르프 차원의 비정수 형태, 즉 나중에 프랙탈 차원과 동일시했다. 식을 재배열하면
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여기서 Fε-D는 L을 얻는 데 필요한 단위 ε의 수여야 한다. 해안을 측정하는 꺾인 선은 한 방향으로 확장되지 않으며, 면적을 나타내지도 않지만, 이 둘의 중간에 있으며 폭이 2ε인 띠로 생각할 수 있다. D는 1과 2 사이(일반적으로 1.5 미만)의 프랙탈 차원이다. 더 꺾인 해안선은 더 큰 D를 가지며, 따라서 L은 동일한 ε에 대해 더 길다. D는 남아프리카 공화국 해안선에 대해 약 1.02이고, 영국의 서해안에 대해 약 1.25이다.[5] 호수 해안선의 경우 D의 일반적인 값은 1.28이다.[13]
4. 프랙탈 기하학
유클리드 기하학에서 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 나타내지만, 프랙탈은 측정 축척에 따라 복잡성이 변하는 곡선이다. 매끄러운 곡선은 측정 정밀도가 높아짐에 따라 단일 값으로 수렴하는 경향이 있지만, 프랙탈의 측정값은 수렴하지 않는다.[20]
프랙탈 곡선의 길이는 항상 무한대로 발산한다. 따라서 무한대, 또는 거의 무한대에 가까운 해상도로 해안선을 측정하면 그 길이는 무한대가 된다.[20] 그러나 이러한 계산은 공간이 무한히 작은 부분으로 나뉠 수 있다는 가정에 기반하며, 이는 플랑크 길이와 같은 실제 측정 가능한 최소 단위와 상충될 수 있다.
해안선은 만델브로 집합과 같은 이상적인 프랙탈보다 불분명하다. 해안선은 다양한 자연 현상에 의해 통계적으로 무작위적인 패턴을 생성하는 반면, 만델브로 집합은 단순하고 정형적인 배열을 반복하여 생성되기 때문이다.[21]
4. 1. 망델브로의 프랙탈 이론
루이스 프라이 리처드슨이 국경선 길이에 대한 연구를 진행하던 중, 포르투갈과 스페인이 서로 다른 국경선 길이를 보고한 것을 발견했다. 이는 불규칙한 경계 측정의 불확실성, 즉 해안선 문제의 시작이었다.[6]일반적으로 국경선 길이는 지도나 항공 사진에서 동일한 길이의 직선 세그먼트를 분할 캘리퍼로 배치하여 추정했다. 리처드슨은 세그먼트의 길이가 감소할수록 측정된 국경선 길이가 증가하는 '리처드슨 효과'를 발견했다. 즉, 자가 짧을수록 측정된 국경선은 더 길어졌다. 스페인과 포르투갈은 서로 다른 길이의 자를 사용했던 것이다.
리처드슨은 특정 상황에서 측정 단위가 0에 가까워질수록 해안선 길이가 무한대에 가까워진다는 놀라운 결과를 얻었다. 그는 유클리드 기하학을 바탕으로 해안선이 고정된 길이에 가까워질 것이라고 믿었지만, 실제로는 그렇지 않았다. 기하 측정 이론에서 작은 직선 세그먼트로 근사될 수 있고 확실한 극한이 있는 곡선을 교정 가능한 곡선이라고 한다.[7]
리처드슨의 연구 이후, 브누아 망델브로는 무한한 해안선과 같은 복잡한 자연 현상을 설명하기 위해 프랙탈 기하학이라는 새로운 수학 분야를 개발했다. 그는 '불규칙한 조각'을 뜻하는 라틴어 형용사 fractusla에서 ''프랙탈''이라는 단어를 만들었다.
1967년 논문 "''영국의 해안선은 얼마나 긴가? 통계적 자기 유사성과 분수 차원''"에서[10] 망델브로는 1과 2 사이의 하우스도르프 차원을 갖는 자기 유사 곡선, 즉 ''프랙탈''의 예시에 대해 논했다.[11] 측정 단위를 작게 할수록 측정 길이가 길어지는 현상은 자가 곡선을 따라 더 굴곡지게 놓이기 때문이다. 망델브로는 해안선을 정량화하기 위해 코흐 눈송이와 관련된 다양한 수학적 곡선을 설명하고, 각 곡선의 하우스도르프 차원을 계산하는 방법을 제시했다. 그는 해안선이 실제로 분수 차원을 '갖고' 있다고 주장하지는 않았지만, 리처드슨의 경험적 법칙이 분수 차원의 임의적 자기 유사 도형으로 해안선을 모델링할 수 있다는 생각과 일치한다고 보았다.
일부 프랙탈은 자기 유사성을 가지는데, 이는 모든 스케일에서 동일한 일반적인 구성이 나타남을 의미한다. 해안선은 만과 곶이 교대로 나타나는 것으로 인식되며, 확대하더라도 더 작은 만과 곶이 겹쳐진 유사한 패턴이 나타난다. 망델브로는 이러한 환경에서 "해안선 길이는 파악하기 어려운 개념"이라고 주장했다.
망델브로는 리처드슨 효과를 다음과 같은 식으로 설명했다.
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여기서 은 해안선 길이, 는 측정 단위, 는 상수, 는 프랙탈 차원이다. 는 1과 2 사이의 값으로, 꺾인 정도가 심할수록 커진다. 남아프리카 공화국 해안선은 약 1.02, 영국의 서해안은 약 1.25,[5] 호수 해안선은 일반적으로 1.28이다.[13]
유클리드 기하학에서 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 나타내지만, 프랙탈 곡선은 복잡성이 측정 스케일에 따라 변하므로 길이가 무한대로 발산한다. 따라서 무한한 분해능으로 해안선을 측정하면 그 길이는 무한대가 된다.[20] 그러나 이는 공간이 무한소 부분으로 분할될 수 있다는 가정에 기반하며, 이는 플랑크 길이와 같은 물리적 한계와 상충될 수 있다.
해안선은 만델브로 집합과 같은 이상적인 프랙탈보다 불분명한데, 이는 자연계의 다양한 사건에 의해 무작위로 형성되기 때문이다.[21]
4. 2. 자기 유사성과 프랙탈 차원
루이스 프라이 리처드슨은 국경선의 길이가 전쟁 가능성에 미치는 영향을 연구하던 중, 포르투갈이 스페인과의 국경 길이를 987km로 보고한 반면, 스페인은 1214km로 보고한 것을 발견했다. 이는 불규칙한 경계 측정의 불확실성, 즉 해안선 문제의 시작이었다.[6]일반적으로 국경선(또는 해안선)의 길이는 지도나 항공 사진에서 길이 인 개의 동일한 직선 세그먼트를 분할 캘리퍼로 배치하여 추정한다. 각 세그먼트의 끝은 경계선에 있어야 한다. 리처드슨은 국경 추정의 불일치를 조사하면서 "리처드슨 효과"를 발견했다. 즉, 세그먼트의 공통 길이가 감소할 때 세그먼트의 합이 단조롭게 증가한다. 자가 짧을수록 측정된 국경선이 더 길어지는 것이다. 스페인과 포르투갈의 지리학자들은 단순히 서로 다른 길이의 자를 사용했던 것이다.
리처드슨에게 가장 놀라운 결과는 특정 상황에서 이 0에 가까워질수록 해안선의 길이가 무한대에 가까워진다는 것이다. 리처드슨은 유클리드 기하학을 바탕으로 해안선이 정규 기하학적 도형의 유사한 추정치와 마찬가지로 고정된 길이에 가까워질 것이라고 믿었다. 예를 들어, 원에 내접하는 정다각형의 둘레는 변의 수가 증가함에 따라 (그리고 한 변의 길이가 감소함에 따라) 원주에 가까워진다. 기하 측정 이론에서 작은 직선 세그먼트로 근사될 수 있고 확실한 극한이 있는 원과 같은 부드러운 곡선을 교정 가능한 곡선이라고 한다.[7] 브누아 망델브로는 가 와 독립적임을 보여주었다.
리처드슨이 연구를 완료한 지 10년이 넘은 후, 브누아 망델브로는 무한한 해안선과 같이 자연에 존재하는 정류 불가능한 복합체를 설명하기 위해 수학의 새로운 분야인 프랙탈 기하학을 개발했다.
1967년 5월 5일에 출판된 "''영국의 해안선은 얼마나 긴가? 통계적 자기 유사성과 분수 차원''"에서[10] 망델브로는 1과 2 사이의 하우스도르프 차원을 갖는 자기 유사 곡선에 대해 논한다. 이 곡선은 망델브로가 1975년까지 이 용어를 만들지 않았기 때문에 논문에서는 이 용어를 사용하지 않았지만, ''프랙탈''의 예시이다.[11]
실증적 증거는 측정 단위를 작게 할수록 측정 길이가 길어진다는 것을 시사한다. 해안선 구간을 야드스틱으로 측정하면 같은 구간을 자로 측정하는 것보다 짧은 결과가 나올 것이다. 이는 자가 야드스틱보다 더 곡선적인 경로를 따라 놓이기 때문이다. 실증적 증거는 외삽하면 측정 척도가 0으로 감소함에 따라 측정 길이가 한계 없이 증가한다는 것을 보여주는 규칙을 시사한다. 이 논의는 해안선의 길이에 대해 이야기하는 것은 무의미하다는 것을 암시한다. 해안선을 정량화하는 다른 수단이 필요하다. 망델브로는 엄격하게 자기 유사적인 방식으로 정의된 코흐 눈송이와 관련된 다양한 수학적 곡선을 설명한다. 망델브로는 각 곡선의 하우스도르프 차원을 계산하는 방법을 보여주는데, 각 곡선은 1과 2 사이의 차원 를 갖는다(그는 또한 차원이 정확히 2인 공간을 채우는 페아노 곡선에 대해 언급했지만 구조는 제시하지 않는다). 이 논문은 해안선이나 지리적 경계가 실제로 분수 차원을 "갖고" 있다고 주장하지 않는다. 대신, 리처드슨의 경험적 법칙이 해안선과 같은 지리적 곡선이 분수 차원의 임의의 자기 유사 도형으로 모델링될 수 있다는 생각과 호환될 수 있다는 점에 주목한다. 논문의 거의 마지막 부분에서 망델브로는 프랙탈과 유사하지만 규칙적인 것이 아닌 임의적으로 보이는 자연 속 객체에 대한 연구에 어떻게 접근할 수 있는지 간략하게 논한다. 이를 위해 그는 통계적으로 자기 유사한 도형을 정의하고 자연에서 이러한 도형이 발견된다고 말한다.
일부 프랙탈의 주요 속성은 자기 유사성이다. 즉, 모든 스케일에서 동일한 일반적인 구성이 나타난다. 해안선은 만과 곶이 교대로 나타나는 것으로 인식된다. 해안선의 어떤 작은 부분이라도 확대하더라도 더 큰 만과 곶에 겹쳐진 더 작은 만과 곶의 유사한 패턴이 모래알까지 나타난다. 그러한 스케일에서 해안선은 순간적으로 변하는 잠재적으로 무한한 길이의 실처럼 보인다. 그러한 환경(매끄러운 곡선과 반대)에서 망델브로는 "해안선 길이는 그것을 파악하려는 사람들의 손가락 사이로 미끄러지는 파악하기 어려운 개념임이 밝혀졌다"고 주장한다.
프랙탈에는 여러 종류가 있다. 앞서 언급한 속성을 가진 해안선은 "프랙탈 차원이 1보다 큰 곡선, 즉 프랙탈의 첫 번째 범주"에 속한다. 리처드슨 효과에 대한 망델브로의 설명은 다음과 같다.
여기서 은 해안선 길이로, 측정 단위 의 함수이며, 이 식으로 근사된다. 는 상수이고, 는 리처드슨이 로 근사된 해안선에 따라 달라지는 것으로 발견한 매개변수이다. 그는 이론적인 설명을 제시하지 않았지만, 망델브로는 를 하우스도르프 차원의 비정수 형태, 즉 나중에 프랙탈 차원과 동일시했다. 식을 재배열하면
여기서 는 을 얻는 데 필요한 단위 의 수여야 한다. 해안을 측정하는 꺾인 선은 한 방향으로 확장되지 않으며, 면적을 나타내지도 않지만, 이 둘의 중간에 있으며 폭이 인 띠로 생각할 수 있다. 는 1과 2 사이(일반적으로 1.5 미만)의 프랙탈 차원이다. 더 꺾인 해안선은 더 큰 를 가지며, 따라서 은 동일한 에 대해 더 길다. 는 남아프리카 공화국 해안선에 대해 약 1.02이고, 영국의 서해안에 대해 약 1.25이다.[5] 호수 해안선의 경우 의 일반적인 값은 1.28이다.[13]
프랙탈 곡선의 길이는 항상 무한대로 발산하므로, 무한 또는 거의 무한의 분해능으로 해안선을 측정하는 경우, 해안선의 길이는 무한대가 된다.[20] 하지만 이 그림은 공간이 무한소 부분으로 분할될 수 있다는 가정을 기반으로 한다.
해안선은 만델브로 집합과 같은 이상적인 프랙탈보다 불분명하다. 전자는 통계적으로 무작위로 패턴을 생성하는 다양한 자연계의 사건에 의해 형성되는 반면, 후자는 단순하고 정형적인 배열을 반복함으로써 생성되기 때문이다.[21]
4. 3. 해안선 길이 공식
1951년 이전, 루이스 프라이 리처드슨은 국경선의 길이가 전쟁 가능성에 미치는 영향을 연구하던 중, 포르투갈이 스페인과의 국경 길이를 987km로 보고한 반면, 스페인은 1214km로 보고했다는 사실을 발견했다. 이는 불규칙한 경계 측정에 내재된 수학적 불확실성, 즉 해안선 문제의 시작이었다.[6]일반적으로 국경선(또는 해안선)의 길이를 추정할 때는 지도나 항공 사진에서 길이 인 개의 동일한 직선 세그먼트를 분할 캘리퍼로 배치한다. 각 세그먼트의 끝은 경계선에 위치해야 한다. 리처드슨은 국경 추정의 불일치를 조사하면서 현재 "리처드슨 효과"라고 불리는 현상을 발견했다. 즉, 세그먼트의 공통 길이가 감소할수록 세그먼트의 합은 단조롭게 증가한다. 다시 말해, 자가 짧을수록 측정된 국경선은 더 길어진다. 스페인과 포르투갈의 지리학자들은 단순히 서로 다른 길이의 자를 사용했던 것이다.
리처드슨에게 가장 놀라운 결과는 특정 상황에서 이 0에 가까워질수록 해안선의 길이가 무한대에 가까워진다는 것이었다. 리처드슨은 유클리드 기하학을 바탕으로 해안선이 정규 기하학적 도형의 유사한 추정치와 마찬가지로 고정된 길이에 가까워질 것이라고 믿었다. 예를 들어, 원에 내접하는 정다각형의 둘레는 변의 수가 증가함에 따라 (그리고 한 변의 길이가 감소함에 따라) 원주에 가까워진다. 기하 측정 이론에서 작은 직선 세그먼트로 근사될 수 있고 확실한 극한이 있는 원과 같은 부드러운 곡선을 교정 가능한 곡선이라고 한다.[7]
리처드슨의 연구가 완료된 지 10년이 넘은 후, 브누아 망델브로는 무한한 해안선과 같이 자연에 존재하는 정류 불가능한 복합체를 설명하기 위해 수학의 새로운 분야인 프랙탈 기하학을 개발했다.
망델브로는 프랙탈의 주요 속성으로 자기 유사성을 제시했다. 즉, 모든 스케일에서 동일한 일반적인 구성이 나타난다는 것이다. 해안선은 만과 곶이 교대로 나타나는 것으로 인식된다. 주어진 해안선이 이러한 자기 유사성 속성을 갖는 가상적인 상황에서, 해안선의 어떤 작은 부분이라도 확대하더라도 더 큰 만과 곶에 겹쳐진 더 작은 만과 곶의 유사한 패턴이 모래알까지 나타난다. 그러한 스케일에서 해안선은 현재 손에 있는 작은 물체로 형성된 만과 곶의 확률적 배열을 가진, 순간적으로 변하는 잠재적으로 무한한 길이의 실처럼 보인다. 그러한 환경(매끄러운 곡선과 반대)에서 망델브로는 "해안선 길이는 그것을 파악하려는 사람들의 손가락 사이로 미끄러지는 파악하기 어려운 개념임이 밝혀졌다"고 주장한다.
프랙탈에는 여러 종류가 있는데, 앞서 언급한 속성을 가진 해안선은 "프랙탈 차원이 1보다 큰 곡선, 즉 프랙탈의 첫 번째 범주"에 속한다. 리처드슨 효과에 대한 망델브로의 설명은 다음과 같다.
:
여기서 은 해안선 길이로, 측정 단위 의 함수이며, 이 식으로 근사된다. 는 상수이고, 는 리처드슨이 로 근사된 해안선에 따라 달라지는 것으로 발견한 매개변수이다. 그는 이론적인 설명을 제시하지 않았지만, 망델브로는 를 하우스도르프 차원의 비정수 형태, 즉 나중에 프랙탈 차원과 동일시했다. 식을 재배열하면
:
여기서 는 을 얻는 데 필요한 단위 의 수여야 한다. 해안을 측정하는 꺾인 선은 한 방향으로 확장되지 않으며, 면적을 나타내지도 않지만, 이 둘의 중간에 있으며 폭이 인 띠로 생각할 수 있다. 는 1과 2 사이(일반적으로 1.5 미만)의 프랙탈 차원이다. 더 꺾인 해안선은 더 큰 를 가지며, 따라서 은 동일한 에 대해 더 길다. 는 남아프리카 공화국 해안선에 대해 약 1.02이고, 영국의 서해안에 대해 약 1.25이다.[5] 호수 해안선의 경우 의 일반적인 값은 1.28이다.[13]
길이의 기본 개념은 유클리드 거리에서 유래한다. 유클리드 기하학에서 직선은 두 점 사이의 최단 거리를 나타낸다. 구면에서는 이것이 대원 거리로 대체된다. 대원 거리는 양쪽 끝점과 구의 중심을 포함하는 평면 상에 있는 구면의 곡선을 따라 측정된다. 호의 길이는 더 복잡하지만 계산 가능하다. 자로 측정하는 경우, 그림과 같이 점을 잇는 직선의 합을 구함으로써 곡선의 길이를 근사할 수 있다.
몇 개의 직선을 사용하여 곡선의 선 길이를 근사하면 실제 길이보다 짧은 근사값이 도출된다. 더 짧은(더 많은) 선을 사용하면 합계는 곡선의 실제 길이에 가까워진다. 이 길이의 정확한 값은 미적분학을 사용하여 찾을 수 있다. 아래 애니메이션은 매끄러운 곡선에 정확한 길이를 할당하는 방법을 보여준다.
그러나 이 방법으로 모든 곡선을 측정할 수 있는 것은 아니다. 프랙탈은 정의상 복잡성이 측정 스케일에 따라 변화하는 곡선이다. 매끄러운 곡선의 근사값은 측정 정밀도가 높아짐에 따라 단일 값으로 수렴하는 경향이 있지만, 프랙탈의 측정값은 수렴하지 않는다.
프랙탈 곡선의 길이는 항상 무한대로 발산하므로, 무한 또는 거의 무한의 분해능으로 해안선을 측정하는 경우, 해안선의 길이는 무한대가 된다.[20]
5. 적용 및 한계
해안선 역설은 강, 해변, 경계, 해안선 중 어떤 것이 가장 긴지에 대한 실제 적용 문제와 관련되며, 이는 치열한 논쟁의 대상이 되기도 한다.[14] 이 문제는 영토 경계, 재산권, 침식 감시 구분, 기하학적 모델링의 이론적 함의까지 확장된다.
이 문제를 해결하기 위해 여러 방안이 제안되었다.[14] 이들은 "해안선"의 정의를 설정하고, 해안선의 실제 물리적 한계를 정하며, 그 한계 내에서 수학적 정수를 사용하여 의미 있는 정밀도로 길이를 계산함으로써 실질적인 문제를 해결한다.[14] 이러한 해결책은 모델 내에서 이론적/수학적 개념으로 지속되는 동안 모든 실제 적용 문제를 해결할 수 있게 한다.[15]
하지만 실제로는 무한 자기 유사 도형 개념을 해안선에 적용하기 어렵다. 더 정밀한 측정 기구를 사용하면 다음과 같은 문제가 발생한다.
- 바다는 끊임없이 움직여 고정된 "해안선"은 존재하지 않는다.
- 하구에서 해안선의 위치를 정의하기 어렵다.
- 토지와 물 사이의 경계를 결정하기 어렵다.
- 측정 정밀도를 높이면 원자 경계 측정 문제가 발생한다.
5. 1. 실제 해안선 측정의 어려움
루이스 프라이 리처드슨은 국경선의 길이가 전쟁 가능성에 미치는 영향을 연구하던 중, 포르투갈이 보고한 스페인과의 국경 길이와 스페인이 보고한 국경 길이가 서로 다르다는 것을 발견했다. 포르투갈은 987km, 스페인은 1214km로 보고했는데, 이는 불규칙한 경계 측정의 불확실성, 즉 해안선 문제의 시작이었다.[6]일반적으로 국경선(또는 해안선) 길이는 지도나 항공사진에서 특정 길이의 동일한 직선 세그먼트를 분할 캘리퍼로 배치하여 추정한다. 각 세그먼트의 끝은 경계선에 있어야 한다. 리처드슨은 세그먼트의 공통 길이가 감소할수록 세그먼트의 합이 증가하는 "리처드슨 효과"를 발견했다. 즉, 자가 짧을수록 측정된 국경선이 더 길어지는 것이다. 스페인과 포르투갈의 지리학자들은 서로 다른 길이의 자를 사용했던 것이다.
리처드슨은 특정 상황에서 측정 단위가 0에 가까워질수록 해안선의 길이가 무한대에 가까워진다는 놀라운 결과를 얻었다. 그는 유클리드 기하학을 바탕으로 해안선이 고정된 길이에 가까워질 것이라고 믿었지만, 실제로는 그렇지 않았다. 기하 측정 이론에서 원과 같이 부드러운 곡선은 작은 직선 세그먼트로 근사될 수 있고 확실한 극한이 있는 교정 가능한 곡선이라고 한다.[7]
리처드슨의 연구 이후, 브누아 망델브로는 무한한 해안선과 같이 자연에 존재하는 복잡한 형태를 설명하기 위해 프랙탈 기하학을 개발했다. 그는 라틴어 형용사 fractusla에서 ''프랙탈''이라는 단어를 만들었는데, 이는 "불규칙한 조각"을 의미하며, 해당 동사 frangerela는 "부수다"를 의미한다.
1967년 논문 "''영국의 해안선은 얼마나 긴가? 통계적 자기 유사성과 분수 차원''"에서[10] 망델브로는 1과 2 사이의 하우스도르프 차원을 갖는 자기 유사 곡선, 즉 ''프랙탈''의 예시에 대해 논했다.[11] 측정 단위를 작게 할수록 측정 길이가 길어지는 현상은 자가 야드스틱보다 더 곡선적인 경로를 따르기 때문이다. 그는 외삽하면 측정 척도가 0으로 감소함에 따라 측정 길이가 한계 없이 증가한다고 보았다. 망델브로는 코흐 눈송이와 관련된 다양한 수학적 곡선을 설명하고, 각 곡선의 하우스도르프 차원을 계산하는 방법을 보여주었다. 그는 해안선이 실제로 분수 차원을 "갖고" 있다고 주장하지는 않았지만, 리처드슨의 경험적 법칙이 해안선이 분수 차원의 임의의 자기 유사 도형으로 모델링될 수 있다는 생각과 호환될 수 있다는 점에 주목했다.
일부 프랙탈은 자기 유사성을 가지는데, 이는 모든 스케일에서 동일한 구성이 나타남을 의미한다. 해안선은 만과 곶이 교대로 나타나는 것으로 인식되며, 확대하더라도 더 작은 만과 곶에 겹쳐진 유사한 패턴이 나타난다. 망델브로는 이러한 환경에서 "해안선 길이는 파악하기 어려운 개념"이라고 주장했다.
망델브로는 리처드슨 효과를 다음과 같이 설명했다.
:
여기서 은 측정 단위 의 함수인 해안선 길이, 는 상수, 는 프랙탈 차원이다. 는 남아프리카 공화국 해안선에서 약 1.02, 영국의 서해안에서 약 1.25이다.[5] 호수 해안선의 경우 의 일반적인 값은 1.28이다.[13]
해안선 역설은 실제 적용 문제에 대한 것이며, 여러 해결책이 제안되었다.[14] 이러한 해결책은 "해안선"의 정의를 설정하고, 실제 물리적 한계를 설정하며, 그 한계 내에서 수학적 정수를 사용하여 길이를 계산한다.[14]
그러나 무한 자기 유사 도형의 개념은 실제 해안선에 적용될 수 없다. 더 정확한 측정 기구를 사용하면 다음과 같은 문제가 발생한다.
- 바다는 끊임없이 움직여 고정된 "해안선"은 없다.
- 하구에서 해안선의 위치를 정의하기 어렵다.
- 토지와 물 사이의 경계를 결정하기 어렵다.
- 측정 정밀도를 높이면 원자 경계 측정 문제가 발생한다.
5. 2. 해안선 역설의 비판과 오해
해안선 역설은 종종 비판과 오해를 받는다. 해안선이 유한하고 실제적인 특징을 가지므로, 그 길이에 대해 정량화 가능한 답이 있다는 주장이 제기된다.[14][16] 프랙탈과의 비교는 비유로서는 유용하지만, 해안선이 자기 반복적이지 않고 근본적으로 유한하다는 점에서 비판받는다.[14]역설의 근원은 현실을 측정하는 방식에 기반하며, 해안 지도를 만들 때 가장 관련이 있다.[16] LiDAR, GPS, 지리 정보 시스템과 같은 현대 기술은 역설 해결을 쉽게 만들었지만, 측량 측정 및 벡터 소프트웨어의 한계는 여전히 존재한다.[14] 비평가들은 이러한 문제가 계획자에게 실질적인 고려 사항이 아닌, 이론적인 문제에 가깝다고 주장한다.[14]
해안 "선"의 개념은 인간이 만든 것으로, 임의로 지정된 조위 기준면에 의존하며, 이는 어떠한 수직 기준면에 대해서도 평평하지 않다. 따라서 조간대의 육지와 바다 사이에서 구성된 모든 선은 반-임의적이며 조석에 따라 끊임없이 변동한다. 다양한 데이터 소스와 방법론을 사용하여, 각각 다른 길이를 가진 광범위한 "해안선"을 구성할 수 있다. 이는 해안선 길이에 의존하는 방법을 사용하여 생태계 서비스를 정량화하는 것을 복잡하게 만들 수 있다.[17]
실제로 무한 자기 유사 도형의 개념은 해안선에 적용될 수 없다. 더 정확한 측정 기구를 사용하면 다른 실제적인 측정상의 문제가 발생한다.
- 바다는 끊임없이 움직이고 있으며, 고정된 "해안선"은 존재하지 않는다.
- 측정 사이에 바다의 움직임을 멈출 수 있었다고 해도, 하구에서 해안선이 어디에 있는지를 자의적인 결정 없이 정의할 방법은 없다.
- 강의 문제가 극복되었다고 해도, 토지와 물 사이의 경계를 결정하는 것은 불가능하다.
- 정의가 합의되었다고 해도, 측정 정밀도를 극한까지 높이면, 원자의 경계를 측정하는 문제(최종적으로 정의된 경계를 가지지 않는다)가 발생한다.
5. 3. 현대 기술의 적용
해안선에는 무한 자기 유사 도형 개념을 실제로 적용하기 어렵다. 측정 횟수가 증가할수록 더 정밀한 측정 기구를 사용해야 하는데, 이 과정에서 여러 현실적인 문제가 발생한다.- 바다는 끊임없이 움직이므로 고정된 "해안선"은 존재하지 않는다.
- 설령 측정 사이에 바다의 움직임을 멈출 수 있다고 해도, 하구에서 해안선이 어디에 있는지 자의적인 결정 없이 정의하기 어렵다.
- 강의 문제를 해결하더라도, 토지와 물 사이의 경계를 명확하게 결정하는 것은 불가능하다.
- 경계에 대한 정의가 합의된다고 해도, 측정 정밀도를 극도로 높이면 원자 경계를 측정해야 하는 문제가 발생하는데, 원자는 명확한 경계를 가지지 않는다.
6. 한국의 해안선과 독도, 이어도
참조
[1]
논문
Length, shape and area
[2]
논문
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[3]
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http://ena.lp.edu.ua[...]
2021-05-21
[5]
서적
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[6]
서적
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[7]
논문
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https://agupubs.onli[...]
2021
[8]
문서
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[9]
서적
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2004
[10]
논문
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https://users.math.y[...]
1967
[11]
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Benoît Mandelbrot, Novel Mathematician, Dies at 85
https://www.nytimes.[...]
The New York Times
1967
[12]
서적
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1988
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논문
The Fractal Scaling Relationship for River Inlets to Lakes
https://agupubs.onli[...]
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논문
The Coastline Paradox: A New Perspective
2023
[15]
논문
The Coastline Paradox
2020-06-15
[16]
웹사이트
Mapping Monday: The Coastline Paradox
https://blog.educati[...]
2013-01-28
[17]
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https://doi.org/10.2[...]
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2023
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Coastline Paradox
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서적
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[20]
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서적
'Chaos and Fractals: New Frontiers of Science'
Spring
2004
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