헬름홀츠 방정식

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1. 개요
2. 정의
3. 헬름홀츠 방정식의 유도 및 활용
4. 변수 분리를 이용한 헬름홀츠 방정식의 풀이
- 4.1. 2차원 헬름홀츠 방정식
- 4.2. 3차원 헬름홀츠 방정식
5. 근축 근사
6. 비동차 헬름홀츠 방정식
7. 응용
참조

1. 개요

헬름홀츠 방정식은 라플라스 연산자와 상수 k를 포함하는 편미분 방정식으로, 파동 방정식의 시간 독립 형태를 나타낸다. 이 방정식은 전자기파, 지진학, 음향학 등 다양한 물리학 분야에서 활용되며, 변수 분리법을 통해 풀 수 있다. 헬름홀츠 방정식의 해는 좌표계에 따라 구면 베셀 함수, 베셀 함수, 구면 조화 함수 등으로 표현되며, 경계 조건에 따라 달라진다. 또한, 헬름홀츠 방정식은 근축 근사, 비동차 방정식 형태로 변형되어 광학 및 기타 분야에 적용된다.

2. 정의

$n$ 차원 유클리드 공간 위의 함수 $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ 에 대해, $f$ 에 대한 '''헬름홀츠 방정식'''은 다음과 같다.

: $(\nabla^2 + k^2)f(\mathbf x)= 0.$

여기서 $\nabla^2$ 는 라플라스 연산자이고, $k$ 는 상수다.

헬름홀츠 방정식은 파동 방정식의 '''시간 독립''' 형태를 나타내며, 변수 분리법을 적용한 결과이다.

예를 들어, 파동 방정식

$\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) u(\mathbf{r},t)=0.$

에서 변수 분리를 하면, 파동 함수는 다음과 같다.

$u(\mathbf{r},t) =A (\mathbf{r}) T(t).$

이를 파동 방정식에 대입하고 단순화하면 다음 방정식을 얻는다.

$\frac{\nabla^2 A}{A} = \frac{1}{c^2 T} \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d} t^2}.$

여기서 왼쪽은 공간 $(\mathbf{r})$ 에만, 오른쪽은 시간 $(t)$ 에만 의존한다. 따라서, 이 방정식은 양변이 동일한 상수 값과 같을 경우에만 유효하다.

이로부터, 다음 두 방정식을 얻는다.

$\frac{\nabla^2 A}{A} = -k^2$

$\frac{1}{c^2 T} \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}t^2} = -k^2,$

여기서 상수 값으로 $-k^2$ 를 선택했다. (임의의 상수 $k$ 를 분리 상수로 사용해도 된다.)

첫 번째 방정식을 재배열하면 (동차) 헬름홀츠 방정식을 얻는다.

$\nabla^2 A + k^2 A = (\nabla^2 + k^2) A = 0.$

마찬가지로, $\omega = kc$ 을 대입하면 ( $k$ 는 파수, $\omega$ 는 각주파수) 두 번째 방정식은 다음과 같다.

$\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2T = \left( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 \right) T = 0.$

결과적으로 공간 변수 $\mathbf{r}$ 에 대한 헬름홀츠 방정식과 시간에 대한 2차 상미분 방정식을 얻게 된다. 시간에 대한 해는 사인 및 코사인 함수의 선형 결합이며, 공간에서의 해는 경계 조건에 따라 달라진다. 라플라스 변환 또는 푸리에 변환과 같은 적분 변환을 통해 쌍곡선 편미분 방정식을 헬름홀츠 방정식 형태로 변환하기도 한다.

3. 헬름홀츠 방정식의 유도 및 활용

헬름홀츠 방정식은 파동 방정식의 시간 독립적인 형태이며, 변수 분리법을 사용하여 유도할 수 있다.

파동 방정식은 다음과 같다.

\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) u(\mathbf{r},t)=0.

여기서 $u(\mathbf{r},t)$ 는 파동 함수이며, 공간 변수 $\mathbf{r}$ 과 시간 변수 $t$ 의 함수이다. $c$ 는 파동의 속도를 나타낸다.

변수 분리법을 적용하기 위해 파동 함수를 다음과 같이 분리한다.

u(\mathbf{r},t) =A (\mathbf{r}) T(t).

여기서 $A(\mathbf{r})$ 는 공간 변수에만 의존하는 함수이고, $T(t)$ 는 시간 변수에만 의존하는 함수이다.

이 식을 파동 방정식에 대입하고 정리하면, 다음과 같은 두 개의 방정식을 얻는다.

\frac{\nabla^2 A}{A} = -k^2

\frac{1}{c^2 T} \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}t^2} = -k^2,

여기서 $-k^2$ 는 분리 상수이다.

첫 번째 방정식을 재정리하면 헬름홀츠 방정식을 얻는다.

\nabla^2 A + k^2 A = (\nabla^2 + k^2) A = 0.

두 번째 방정식에서 $\omega = kc$ (여기서 $k$ 는 파수, $\omega$ 는 각주파수)를 대입하면 다음과 같다.

\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2T = \left( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 \right) T = 0.

결과적으로, 공간 변수 $\mathbf{r}$ 에 대한 헬름홀츠 방정식과 시간에 대한 2차 상미분 방정식을 얻게 된다. 시간에 대한 해는 사인 및 코사인 함수의 선형 결합으로 나타낼 수 있으며, 그 형태는 초기 조건에 의해 결정된다. 공간에서의 해는 경계 조건에 따라 달라진다.

라플라스 변환 또는 푸리에 변환과 같은 적분 변환을 사용하여 쌍곡선 편미분 방정식을 헬름홀츠 방정식 형태로 변환할 수도 있다.

헬름홀츠 방정식은 전자기파, 지진학, 음향학과 같은 물리학 분야에서 활용된다.

4. 변수 분리를 이용한 헬름홀츠 방정식의 풀이

헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 간단한 기하학적 구조에 대해 해를 구할 수 있다. 공간 헬름홀츠 방정식^[1]

: $(\nabla^2 + k^2) A = 0$

의 일반해는 변수 분리에 의해 구할 수 있으며, 경계 조건이 필요하다.^[1]

4. 1. 2차원 헬름홀츠 방정식

극좌표계에서 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 풀 수 있다. 일반적인 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

A(r,\theta)=  \sum_k \sum_{n=0}^\infty\{ a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta) \} \, J_n(kr)

여기서

J_n(kr)

은 베셀 함수이다. 이 해는 원점에서 정칙(regular)이며, 더 일반적인 해는 원점에서 정칙이 아닌 또 다른 베셀 함수

Y_n(kr)

을 포함한다.

Y_n(kr)

은 원점에서 발산하므로,

f

가 원점

r=0

에서 연속적이려면

d_n=0

이어야 한다.^[1]

이 극좌표계의 해는 원형 막의 진동을 설명하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 가장자리가 고정된 원형 막의 진동은 헬름홀츠 방정식의 해로 표현 가능하다. 1862년 알프레드 클레브슈는 원형 막에 대한 헬름홀츠 방정식의 해를 구했다.^[1] 이는 한국 전통 악기인 북의 진동을 이해하는 데에도 적용될 수 있다.^[1]

반지름이

a

인 원형 영역의 경우, 극좌표

r

과

\theta

를 도입하면 헬름홀츠 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

A_{rr} + \frac{1}{r} A_r + \frac{1}{r^2}A_{\theta\theta} + k^2 A = 0

경계 조건은

r=a

일 때

A(a,\theta) = 0

이다. 변수분리법을 사용하면, 해는 다음과 같은 형태를 가진다.^[1]

:

A(r,\theta) =  R(r)\Theta(\theta)

여기서

\Theta(\theta)

는 주기

2\pi

를 가지는 주기함수이다. 이를 통해 다음 두 방정식을 얻을 수 있다.^[1]

:

\Theta'' + n^2 \Theta = 0

:

r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R = 0

주기 조건에 따라

\Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta

이고,

n

은 정수여야 한다. 반경 방향 성분

R

은 다음과 같은 형태를 갖는다.^[1]

:

R = \gamma J_n(\rho)

여기서

J_n(\rho)

는 베셀 함수이며, 다음 베셀 방정식을 만족한다.^[1]

:

z^2 J_n'' + z J_n' + (z^2 - n^2) J_n = 0

(

z = kr

).

J_n

은

n

의 각 값에 대해 무한히 많은 근

\rho_{m,n}

을 가진다. 경계 조건

r=a

에서

A=0

을 만족하려면 파수(wavenumber)는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

k_{m,n} = \frac{1}{a} \rho_{m,n}

따라서 일반해

A

는

J_n(k_{m,n}r)

과

n\theta

의 사인(또는 코사인) 함수의 곱으로 이루어진 항들의 일반화된 푸리에 급수 형태를 가진다. 이러한 해는 원형 드럼 헤드의 진동 모드를 나타낸다.^[1]

4. 2. 3차원 헬름홀츠 방정식

구면좌표계에서 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 풀 수 있다. 이 방정식의 해는 파동 방정식과 확산 방정식의 공간적 해에서 나타난다.

일반해는 다음과 같이 표현된다.

:

f(r,\theta,\phi)=\sum_{m,l}Y_l^m(\theta,\phi)\left(c_nj_n(kr)+d_ny_n(kr)\right)

.

여기서

j_n(kr)

과

y_n(kr)

은 구면 베셀 함수이고,

Y_l^m(\theta,\phi)

는 구면 조화 함수이다.

좀 더 구체적으로 표현하면 다음과 같다.

:

A( r, \theta, \varphi ) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^{+\ell} \bigl(\ a_{\ell m}\ j_\ell( k r ) + b_{\ell m}\ y_\ell(kr)\ \bigr)\ Y^m_\ell(\theta,\varphi) ~.

이러한 형태는 일반적인 해이며, 특정 경우에 적용하려면 경계 조건을 지정해야 한다. 무한 외부 영역의 경우, 복사 조건도 필요할 수 있다.

5. 근축 근사

헬름홀츠 방정식의 근축 근사에서, 복소 진폭 A^영어는 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $A(\mathbf{r}) = u(\mathbf{r}) e^{ikz}$

여기서 u^영어는 지수 함수로 표현되는 정현파 평면파를 변조하는 복소수 값을 갖는 진폭을 나타낸다. 적절한 가정을 하면, u^영어는 대략적으로 다음 방정식을 만족한다.

: $\nabla_{\perp}^2 u + 2ik\frac{\partial u}{\partial z} = 0,$

여기서 $\nabla_\perp^2 \overset{\text{ def }}{=} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ 는 라플라시안의 횡 방향 부분이다.

이 방정식은 광학 과학에서 중요한 응용 분야를 가지며, 전자기파(빛)의 포물선파 또는 가우시안 빔 형태의 전파를 설명하는 해를 제공한다. 대부분의 레이저는 이러한 형태의 빔을 방출한다.

근축 근사가 유효하려면 진폭 함수 u^영어의 z^영어에 대한 미분 값이 z^영어의 천천히 변하는 함수여야 한다.

: $\left| \frac{ \partial^2 u }{ \partial z^2 } \right| \ll \left| k \frac{\partial u}{\partial z} \right| .$

이 조건은 파동 벡터와 광축 z^영어 사이의 각 θ^영어가 작다는 것과 같다.

헬름홀츠 방정식의 근축 형태는 복소 진폭에 대한 위 식을 헬름홀츠 방정식의 일반 형태에 대입하여 구한다.

: $\nabla^{2}(u\left( x,y,z \right) e^{ikz}) + k^2 u\left( x,y,z \right) e^{ikz} = 0.$

전개와 소거를 통해 다음을 얻는다.

: $\left( \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} \right) u(x,y,z) e^{ikz} + \left( \frac {\partial^2}{\partial z^2} u (x,y,z) \right) e^{ikz} + 2 \left( \frac \partial {\partial z} u(x,y,z) \right) ik{e^{ikz}}=0.$

위에 언급된 근축 부등식 때문에, 항은 항에 비해 무시된다. 이것은 근축 헬름홀츠 방정식을 생성한다. 를 대입하면, 원래 복소 진폭 A^영어에 대한 근축 방정식은 다음과 같다.

: $\nabla_{\perp}^2 A + 2ik\frac{\partial A}{\partial z} + 2k^2A = 0.$

프레넬 회절 적분은 근축 헬름홀츠 방정식의 정확한 해이다.

헬름홀츠 방정식의 근축(paraxial)에서의 표현은 다음과 같다.

: $\nabla_{\mathrm T}^2 A - j^2 k \frac{\partial A}{\partial z} = 0$

여기서

: $\nabla_{\mathrm{T}}^2= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$

는 라플라시안의 횡(transverse)성분이다.

이 방정식은 광학에서 중요하게 응용된다. 광학에서 이 방정식은 포물면파(paraboloidal waves)나 가우시안 빔 형태의 전자기파(빛) 전파에 대한 해를 제공한다. 많은 레이저 장치들이 방출하는 빔이 그러한 형태를 띤다.

근축 근사에서, 전장의 복소 강도(electric field complex magnitude) ''E''는

: $E(\boldsymbol{r}) = A(\boldsymbol{r})\,e^{-jkz}$

가 된다. 여기서 ''A''는 전장의 복소 진폭을 나타내며, 지수 함수로 표현되는 정현파적 변조가 걸려 있다.

근축 근사에서는 전장의 진폭 ''A''와 전파 방향의 길이 ''z'' 사이에 제한이 있다.

: $\left| \frac{\partial A}{\partial z} \right| \ll |kA|$

와

: $\left| \frac{\partial^2 A}{\partial z^2} \right| \ll |k^2 A|$

이다. 이 조건들은 광축(''z'' 축)과 파수 벡터'''''k'''''가 이루는 각도 ''θ''가 충분히 작아서

: $\sin\theta \simeq \theta, \quad \tan\theta \simeq \theta$

가 성립하는 것과 동치이다.

6. 비동차 헬름홀츠 방정식

$k^2$ 이 음수가 아닌 경우, 비동차 헬름홀츠 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $\nabla^2 A(\mathbf{x}) + k^2 A(\mathbf{x}) = -f(\mathbf{x}) \ \text { in } \R^n,$

여기서 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ 는 콤팩트 지지를 갖는 함수이고, $n=1,2,3$ 이다. 이 방정식은 스크린 푸아송 방정식과 매우 유사하며, $k$ 항 앞의 부호가 더하기(+)에서 빼기(-)로 바뀌면 동일하다.

이 방정식을 풀기 위해서는 무한대에서 경계 조건을 지정해야 하는데, 이는 일반적으로 Sommerfeld 방사 조건을 따른다.

: $\lim_{r \to \infty} r^{\frac{n-1}{2}} \left( \frac{\partial}{\partial r} - ik \right) A(\mathbf{x}) = 0$

여기서 $r = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ 이며 $x_i$ 는 벡터 $\mathbf{x}$ 의 좌표이다.

이 조건을 만족하는 비동차 헬름홀츠 방정식의 해는 다음과 같이 그린 함수를 사용하여 표현할 수 있다.

: $A(\mathbf{x})=\int_{\R^n}\! G(\mathbf{x},\mathbf{x'})f(\mathbf{x'})\,\mathrm{d}\mathbf{x'}$

이 적분은 $f$ 가 콤팩트 지지를 가지므로 유한한 영역에 대한 적분이다. 여기서 $G$ 는 이 방정식의 그린 함수이며, $f$ 가 디랙 델타 함수일 때 비동차 헬름홀츠 방정식의 해이다. 즉, $G$ 는 다음을 만족한다.

: $\nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) + k^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = -\delta(\mathbf{x},\mathbf{x'}) \in \R^n.$

그린 함수의 표현식은 공간의 차원 $n$ 에 따라 달라진다.

$n=1$ 일 때,

:

G(x,x') = \frac{ie^{ik|x - x'|}}{2k}

$n=2$ 일 때,

:

G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = \frac{i}{4}H^{(1)}_0(k|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|)

여기서

H^{(1)}_0

는 행켈 함수이다.

$n=3$ 일 때,

:

G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = \frac{e^{ik|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}}{4\pi |\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}

일반적인 n의 경우

:

G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = c_d k^p \frac{H_p^{(1)}(k|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|)}

7. 응용

헬름홀츠 방정식은

k^2 = -m^2

일 때 클라인-고든 방정식이 된다. 헬름홀츠 방정식의 그린 함수는 점입자의 퍼텐셜을 나타낸다. 유클리드 공간

\mathbb{R}^n

에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서

r = ||\mathbf{x}||

이다.

차원	그린 함수	$m=0$ 인 그린 함수
2	$-K_0(mx)/2\pi$	$(\ln r)/2\pi$
3	$-\exp(-mr)/(4\pi r)$	$-1/(4\pi r)$
n>2	$-(n-2)(2\pi)^{-1}(m/2\pi r)^{n/2-1}K_{n/2-1}(mr)$	$-1/(V_n r^{n-2})$

여기서 $V_n = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$ ( $n>2$ )는 반지름이 1인 $n-1$ 차원 초구의 (초)면적이고, $\Gamma$ 는 감마 함수다. $K_\alpha(x)$ 는 베셀 함수의 하나다. $m=0$ 인 경우 헬름홀츠 방정식은 푸아송 방정식이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한 $m$ 의 경우, 이 퍼텐셜은 유카와 퍼텐셜이 된다.

헬름홀츠 방정식은 시간과 공간을 모두 포함하는 편미분 방정식 관련 물리학 문제에서 변수 분리를 통해 얻어지기도 한다. 예를 들어 파동 방정식에서 변수 분리를 하면 공간 변수에 대한 헬름홀츠 방정식과 시간에 대한 2계 상미분 방정식을 얻을 수 있다. 시간 관련 상미분 방정식의 해는 각진동수 ''ω''의 sin과 cos의 선형 결합으로 나타내고, 공간 관련 미분 방정식의 해는 경계 조건에 의해 결정된다.

또한, 라플라스 변환이나 푸리에 변환 등의 적분 변환을 통해 쌍곡형 편미분 방정식을 헬름홀츠 방정식으로 변환할 수 있다.

헬름홀츠 방정식은 파동 방정식과 관련이 있으므로, 전자기파 방사, 지진학, 음향학 등의 물리학 분야에서 응용된다.

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