후르비츠 제타 함수

3. 해석적 연속

Hurwitz zeta function^영어는 s ≠ 1인 모든 복소수 s에 대해 정의되는 유리형 함수로 해석적 연속에 의해 확장된다.^[1] s = 1에서, 유수가 1인 단순 극점을 갖는다.^[1] 상수항은 다음과 같이 주어진다.^[1]

:$\backslash lim\_\{s\backslash to\; 1\}\; \backslash left[\; \backslash zeta\; (s,q)\; -\; \backslash frac\{1\}\{s-1\}\backslash right]\; =\; \backslash frac\{-\backslash Gamma\text{'}(q)\}\{\backslash Gamma(q)\}\; =\; -\backslash psi(q)$

여기서 Γ는 감마 함수이고, ψ는 디감마 함수이다.^[1]

4. 적분 표현

:$\backslash zeta(s,a)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(s)\}\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{x^\{s-1\}e^\{-ax\}\}\{1-e^\{-x\}\}\; dx$

여기서 $\backslash operatorname\{Re\}(s)>1$이고 $\backslash operatorname\{Re\}(a)>0$이다. (이 적분은 멜린 변환으로 볼 수 있다.)^[3]

위의 적분 표현은 다음과 같은 경로 적분 표현으로 변환될 수 있다.

:$\backslash zeta(s,a)\; =\; -\backslash Gamma(1-s)\backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\; i\}\; \backslash int\_C\; \backslash frac\{(-z)^\{s-1\}e^\{-az\}\}\{1-e^\{-z\}\}\; dz$

여기서 $C$는 양의 실수축을 반시계 방향으로 도는 한켈 경로이며, 주치는 복소 지수 $(-z)^\{s-1\}$에 사용된다. 이전 적분과는 달리, 이 적분은 모든 ''s''에 대해 유효하며, 실제로 ''s''의 전해석 함수이다.^[4]

경로 적분 표현은 $\backslash zeta(s,a)$의 해석적 연속을 $s\; \backslash ne\; 1$인 모든 값으로 제공한다. $s\; =\; 1$에서, 이는 잔류가 $1$인 단순 극을 갖는다.^[5]

5. 함수 방정식

후르비츠 제타 함수는 모든 정수 $1\backslash le\; m\backslash le\; n$에 대하여 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

:$\backslash zeta\; \backslash left(1-s,\backslash frac\{m\}\{n\}\; \backslash right)\; =$

\frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s }

\sum_{k=1}^n \left[\cos

\left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\;

\zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)\right]

이 함수 방정식은 복소 평면 내에서 제타 함수의 좌변과 우변의 값을 관련시킨다.

5. 1. 후르비츠 공식

6. 급수 표현

후르비츠 제타 함수는 헬무트 하세가 제시한 뉴턴 급수 표현, 전방 차분을 이용한 표현, 함수의 두 번째 변수에 대한 편미분을 이용한 테일러 급수 표현 등으로 나타낼 수 있다.^[14][15] 로랑 급수 전개를 통해 일반화된 슈틸체스 상수를 정의할 수도 있다.

6. 1. 뉴턴 급수 표현

6. 2. 테일러 급수

6. 3. 로랑 급수

7. 특이값

''ζ''(''s'', ''a'')의 ''s'' = 0, −1, −2, ...에서의 값은 베르누이 다항식과 관련이 있다.^[17]

:$\backslash zeta(-n,a)\; =\; -\backslash frac\{B\_\{n+1\}(a)\}\{n+1\}.$

예를 들어, $n=0$인 경우:^[18]

:$\backslash zeta(0,a)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; -\; a.$

7. 1. 음의 정수

7. 2. s에 대한 미분

8. 다른 함수와의 관계

=== 디리클레 L-함수 ===

후르비츠 제타 함수는 ''a'' = 1일 때 리만 제타 함수 ζ(''s'')와 일치하며, ''a'' = 1/2일 때는 (2^''s''-1)ζ(''s'')와 같다.^[24] ''a'' = ''n''/''k''이고 ''k'' > 2, (''n'',''k'') > 1, 0 < ''n'' < ''k''이면 다음과 같다.

:$\backslash zeta(s,n/k)=\backslash frac\{k^s\}\{\backslash varphi(k)\}\backslash sum\_\backslash chi\backslash overline\{\backslash chi\}(n)L(s,\backslash chi),$

여기서 합은 법 ''k''에 대한 모든 디리클레 지표에 대해 이루어진다. 반대 방향으로는 다음과 같은 선형 결합이 있다.^[24]

:$L(s,\backslash chi)=\backslash frac\; \{1\}\{k^s\}\; \backslash sum\_\{n=1\}^k\; \backslash chi(n)\backslash ;\; \backslash zeta\; \backslash left(s,\backslash frac\{n\}\{k\}\backslash right).$

곱셈 정리는 다음과 같다.

:$k^s\backslash zeta(s)=\backslash sum\_\{n=1\}^k\; \backslash zeta\backslash left(s,\backslash frac\{n\}\{k\}\backslash right),$

이것의 유용한 일반화는 ''분포 관계''이다.^[22]

:$\backslash sum\_\{p=0\}^\{q-1\}\backslash zeta(s,a+p/q)=q^s\backslash ,\backslash zeta(s,qa).$

(이 마지막 형태는 ''q''가 자연수이고 1 - ''qa''가 아닐 때마다 유효하다.)

=== 폴리감마 함수 ===

양의 정수 ''m''에 대해 후르비츠 제타 함수는 폴리감마 함수와 다음과 같은 관계를 갖는다.^[38]

:$\backslash psi^\{(m)\}(z)=\; (-1)^\{m+1\}\; m!\; \backslash zeta\; (m+1,z)\; \backslash \; .$

=== 르장드르 카이 함수 ===

후르비츠 제타 함수의 차수 ''s''에 대한 이산 푸리에 변환은 르장드르 카이 함수이다.^[16]

=== 야코비 세타 함수 ===

야코비 세타 함수 $\backslash vartheta\; (z,\backslash tau)$에 대해,

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash left[\backslash vartheta\; (z,it)\; -1\; \backslash right]\; t^\{s/2\}\; \backslash frac\{dt\}\{t\}=$

\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right)

\left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]

는 $\backslash Re\; s\; >\; 0$이고 ''z''가 정수가 아닌 복소수일 때 성립한다. ''z''=''n''이 정수일 경우, 다음과 같이 단순화된다.

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash left[\backslash vartheta\; (n,it)\; -1\; \backslash right]\; t^\{s/2\}\; \backslash frac\{dt\}\{t\}=$

2\ \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s)

=2\ \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s).

여기서 ζ는 리만 제타 함수이다. 이 마지막 형태는 리만이 처음 제시한 리만 제타 함수의 함수 방정식이다. ''z''가 정수인지 아닌지에 따른 차이는 야코비 세타 함수가 $t\backslash rightarrow\; 0$일 때 ''z''에 대한 주기적인 델타 함수 또는 빗살 함수로 수렴한다는 사실에서 기인한다.

8. 1. 디리클레 L-함수

8. 2. 폴리감마 함수

8. 3. 르장드르 카이 함수

8. 4. 야코비 세타 함수

9. 응용

후르비츠 제타 함수는 여러 분야에서 나타난다. 가장 대표적으로는 이론이 가장 심오하고 발전된 수론에서 나타난다. 프랙탈 및 동역학계 연구에서도 활용된다. 응용 통계학에서는 지프의 법칙 및 지프-만델브로 법칙에서 나타난다. 입자 물리학에서는 줄리안 슈윙거의 공식^[27]에서 나타나며, 균일한 전기장에서 폴 디랙의 전자의 쌍 생성률에 대한 정확한 결과를 제공한다.^[37]

10. 일반화

양의 정수 ''m''을 갖는 후르비츠 제타 함수는 폴리감마 함수와 관련이 있다.^[38]

:$\backslash psi^\{(m)\}(z)=\; (-1)^\{m+1\}\; m!\; \backslash zeta\; (m+1,z)\; \backslash \; .$

바르네스 제타 함수는 후르비츠 제타 함수를 일반화한다.

레르히 초월 함수는 후르비츠 제타 함수를 일반화한 것으로, 다음과 같다.

:$\backslash Phi(z,\; s,\; q)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\; \{\; z^k\}\; \{(k+q)^s\}$

따라서,

:$\backslash zeta(s,a)=\backslash Phi(1,\; s,\; a).\backslash ,$

초기하 함수

:$\backslash zeta(s,a)=a^\{-s\}\backslash cdot\{\}\_\{s+1\}F\_s(1,a\_1,a\_2,\backslash ldots\; a\_s;a\_1+1,a\_2+1,\backslash ldots\; a\_s+1;1)$ 여기서 $a\_1=a\_2=\backslash ldots=a\_s=a\backslash text\{\; 이고\; \}a\backslash notin\backslash N\backslash text\{\; 이며\; \}s\backslash in\backslash N^+.$

메이어 G-함수

:$\backslash zeta(s,a)=G\backslash ,\_\{s+1,\backslash ,s+1\}^\{\backslash ,1,\backslash ,s+1\}\backslash left(-1\; \backslash ;\; \backslash left|\; \backslash ;\; \backslash begin\{matrix\}0,1-a,\backslash ldots,1-a\backslash \backslash 0,-a,\backslash ldots,-a\backslash end\{matrix\}\backslash right)\backslash right.\backslash qquad\backslash qquad\; s\backslash in\backslash N^+.$

참조

_[1] 논문 Einige Eigenschaften der Dirichlet'schen Functionen $F(s)\; =\; \backslash sum\; \backslash left(\backslash frac\{D\}\{n\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{n\}$, die bei der Bestimmung der Classenanzahlen binärer quadratischer Formen auftreten https://archive.org/[...] 1882
_[2] 웹사이트 Jupyter Notebook Viewer http://nbviewer.ipyt[...]
_[3] 간행물
_[4] 간행물
_[5] 간행물
_[6] 간행물
_[7] 간행물
_[8] 간행물
_[9] 논문 Contributions to the theory of the Hurwitz zeta-function 2007
_[10] 논문 Note on the Hurwitz Zeta-Function 1951-06
_[11] 논문 On the Hurwitz zeta-function 1972-Winter
_[12] 간행물
_[13] 논문 A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Elsevier 2014
_[14] 논문 Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe https://eudml.org/do[...]
_[15] 논문 An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions
_[16] 논문 Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments 1999
_[17] 간행물
_[18] 간행물
_[19] 논문 The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function 1985
_[20] 간행물
_[21] 웹사이트 Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa http://mixedmath.wor[...] 2013-02-08
_[22] 서적 Modular Units Springer-Verlag
_[23] 논문 On the zeros of certain Dirichlet series
_[24] 문서
_[25] 논문 Footnote to a note of Davenport and Heilbronn
_[26] 논문 Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments
_[27] 논문 On gauge invariance and vacuum polarization
_[28] 논문 Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe
_[29] arXiv An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions
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_[32] 논문 On the zeros of certain Dirichlet series
_[33] 논문 Footnote to a note of Davenport and Heilbronn
_[34] 문서
_[35] 논문 Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments
_[36] 문서 ベルヌーイ多項式とオイラー多項式やそれらの関係は、英語版では同じ記事ベルヌーイ多項式の中に記載されている。
_[37] 간행물 On gauge invariance and vacuum polarization
_[38] 서적 Apostol