단위 반복 소수

3. 성질

• 자릿수가 합성수인 임의의 기수에서 임의의 반복 단위 소수는 반드시 합성수이다. 예를 들어 35 = 7 × 5 = 5 × 7이기 때문에, ''R''₃₅^(''b'') = ''R''₇^(''b'') × (1 + ''b''⁷ + ''b''¹⁴ + ''b''²¹ + ''b''²⁸) = ''R''₅^(''b'') × (1 + ''b''⁵ + ''b''¹⁰ + ''b''¹⁵ + ''b''²⁰ + ''b''²⁵ + ''b''³⁰)이다. 이 반복 단위 소인수 분해는 반복 단위가 표현되는 기수-''b''에 의존하지 않는다.
• 소수 자릿수를 갖는 반복 단위 (임의의 기수에서) 만이 소수가 될 수 있다. 이것은 필요 조건이지만 충분 조건은 아니다. 예를 들어, ''R''₁₁⁽²⁾ = 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89이다.
• 레피유닛은 2와 5를 제외한 소수의 곱으로 구성되어 있다.^[32]
• 100을 법으로 11과 합동인 제곱수는 존재하지 않으므로, 레피유닛으로 제곱수가 되는 것은 1뿐이다. 일반적으로, 레피유닛으로 거듭제곱수가 되는 것은 1뿐인 것으로 알려져 있다.^[16]

3. 1. 일반적인 성질

• ''m''이 ''n''을 나누면, ''R_m''은 ''R_n''을 나눈다. 따라서 자릿수가 합성수인 레피유닛은 반드시 합성수이다. 소수 자릿수를 갖는 레피유닛만이 소수가 될 수 있다. (필요조건)^[16]
• ''p''가 홀수 소수이면, ''R''_''p''^(''b'')를 나누는 모든 소수 ''q''는 1 + 2''p''의 배수이거나 ''b'' − 1의 약수여야 한다. 그 이유는 소수 ''p''가 ''q''가 ''b^p'' − 1을 나누는 1보다 큰 가장 작은 지수이기 때문이다. 따라서 ''q''가 ''b'' − 1을 나누지 않으면 ''p''는 카마이클 함수 of ''q''를 나누는데, 이는 짝수이고 ''q'' − 1과 같다.
• 반복 단위 ''R''_''n''^(''b'')의 임의의 양의 배수는 기수-''b''에서 최소한 ''n''개의 0이 아닌 숫자를 포함한다.
• 임의의 숫자 ''x''는 기수 x − 1에서 두 자리 반복 단위 숫자이다.
• 둘 이상의 기수에서 3자리 이상인 반복 단위인 것으로 알려진 유일한 숫자는 31 (기수-5에서 111, 기수-2에서 11111)과 8191 (기수-90에서 111, 기수-2에서 1111111111111)이다. 구르마흐티그 추측은 이 두 경우만 있다고 말한다.
• 비둘기집 원리를 사용하면 서로소인 자연수 ''n''과 ''b''에 대해 기수-''b''에서 ''n''의 배수인 반복 단위가 존재함을 쉽게 알 수 있다.
• 페이트-톰슨 추측은 두 개의 서로 다른 소수 ''p''와 ''q''에 대해 ''R''_''q''^(''p'')가 ''R''_''p''^(''q'')를 나누지 않는다는 것이다.
• 반복 단위 정의에 대한 유클리드 호제법을 사용하면 임의의 연속적인 반복 단위는 임의의 기수에서 서로소이다.
• ''m''과 ''n''이 공약수 ''d''를 가지면, ''R''_''m''^(''b'')와 ''R''_''n''^(''b'')는 임의의 ''m''과 ''n''에 대해 임의의 기수-''b''에서 공약수 ''R_d''^(''b'')를 갖는다. 즉, 고정된 기수의 반복 단위는 강한 나눗셈 수열을 형성한다. 결과적으로, ''m''과 ''n''이 서로소이면, ''R''_''m''^(''b'')와 ''R''_''n''^(''b'')는 서로소이다.
• 100을 법으로 11과 합동인 제곱수는 존재하지 않으므로, 레피유닛으로 제곱수가 되는 것은 1뿐이다. 일반적으로, 레피유닛으로 거듭제곱수가 되는 것은 1뿐인 것으로 알려져 있다.^[16]
• 레피유닛은 각 자리 숫자의 총곱이 1이 되므로, 모두 즈커만 수이다.
• ''R_n''은, ''n''이 3의 거듭제곱수일 때 (''n''이 1 = 3⁰일 때도 포함) 모두 하샤드 수이다.
• ''n''의 값과 반드시 포함되는 약수는 다음과 같다.

• 기수 ''a'' ≤ 100의 레피유닛이 거듭제곱수가 되는 것은 ''R''₅(3) = 11², ''R''₄(7) = 20², ''R''₃(18) = 7³의 경우뿐이다.^[34]

3. 2. 서로소 관계

3. 3. 제곱수/거듭제곱수와의 관계

3. 4. 기타 성질

• ''p''가 홀수 소수이면, ''R''_''p''^(''b'')를 나누는 모든 소수 ''q''는 1 + 2''p''의 배수이거나 ''b'' − 1의 약수여야 한다.
• 반복 단위 ''R''_''n''^(''b'')의 임의의 양의 배수는 기수-''b''에서 최소한 ''n''개의 0이 아닌 숫자를 포함한다.
• 임의의 숫자 ''x''는 기수 x − 1에서 두 자리 반복 단위 숫자이다.
• 둘 이상의 기수에서 3자리 이상인 반복 단위인 것으로 알려진 유일한 숫자는 31 (기수-5에서 111, 기수-2에서 11111)과 8191 (기수-90에서 111, 기수-2에서 1111111111111)이다. 구르마흐티그 추측은 이 두 경우만 있다고 말한다.
• 비둘기집 원리를 사용하면 서로소인 자연수 ''n''과 ''b''에 대해 기수-''b''에서 ''n''의 배수인 반복 단위가 존재함을 쉽게 알 수 있다.
• 페이트-톰슨 추측은 두 개의 서로 다른 소수 ''p''와 ''q''에 대해 ''R''_''q''^(''p'')가 ''R''_''p''^(''q'')를 나누지 않는다는 것이다.
• 반복 단위 정의에 대한 유클리드 호제법을 사용하면 임의의 연속적인 반복 단위 ''R''_''n''−1^(''b'')과 ''R''_''n''^(''b'')는 임의의 ''n''에 대해 임의의 기수-''b''에서 서로소이다.
• ''m''과 ''n''이 공약수 ''d''를 가지면, ''R''_''m''^(''b'')와 ''R''_''n''^(''b'')는 임의의 ''m''과 ''n''에 대해 임의의 기수-''b''에서 공약수 ''R''_''d''^(''b'')를 갖는다. 즉, 고정된 기수의 반복 단위는 강한 나눗셈 수열을 형성한다.
• 100을 법으로 11과 합동인 제곱수는 존재하지 않으므로, 레피유닛으로 제곱수가 되는 것은 1뿐이다. 일반적으로, 레피유닛으로 거듭제곱수가 되는 것은 1뿐인 것으로 알려져 있다.

• 짝수 - 11
• * 4의 배수 - 11 · 101
• * 6의 배수 - 3・7・11・13・37
• 3의 배수 - 3 · 37
• 5의 배수 - 41 · 271
• 7의 배수 - 239 · 4649
• 17의 배수 - 2071723 · 5363222357

4. 레피유닛 소수

레피유닛(Repunit)의 정의는 이러한 숫자의 정수 인수분해에서 소수를 찾는 레크리에이션 수학자들에 의해 동기 부여되었다.

만약 ''n''이 ''a''로 나누어 떨어진다면, ''R''_''n''^(''b'')는 ''R''_''a''^(''b'')로 나누어 떨어진다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

:$R\_n^\{(b)\}=\backslash frac\{1\}\{b-1\}\backslash prod\_\{d|n\}\backslash Phi\_d(b),$

여기서 $\backslash Phi\_d(x)$는 $d^\backslash mathrm\{th\}$ 원분 다항식이고 ''d''는 ''n''의 약수를 나타낸다. ''p''가 소수일 때,

:$\backslash Phi\_p(x)=\backslash sum\_\{i=0\}^\{p-1\}x^i,$

이것은 ''x''가 ''b''로 대체될 때 예상되는 레피유닛의 형태를 가진다.

예를 들어, 9는 3으로 나누어 떨어지므로 ''R''₉는 ''R''₃으로 나누어진다. 실제로, 111111111 = 111 · 1001001이다. 해당 원분 다항식 $\backslash Phi\_3(x)$와 $\backslash Phi\_9(x)$는 각각 $x^2+x+1$과 $x^6+x^3+1$이다. 따라서, ''R''_''n''이 소수이려면 ''n''은 반드시 소수여야 하지만, ''n''이 소수라고 해서 충분한 것은 아니다. 예를 들어, ''R''₃ = 111 = 3 · 37은 소수가 아니다. 이 ''R''₃의 경우를 제외하고, 소수 ''p''는 ''p'' = 2''kn'' + 1인 경우에만 소수 ''n''에 대한 ''R''_''n''을 나눌 수 있다.^[22]

현재까지 알려진 레피유닛 소수는 ''R''_''n''에서 ''n'' = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453인 경우이다. 확률적 소수(PRP, probable prime)는 소수 판별이 어려워, 예를 들어 2022년 3월에 소수임이 증명된 ''R''₄₉₀₈₁은 1999년에 발견된 이후 소수 판별되기까지 23년이 걸렸다.^[26]

4. 1. 십진법 레피유닛 소수

2007년 4월 3일 하비 둡너는 ''R''₁₀₉₂₉₇이 가능성 있는 소수라고 발표했다.^[3] 2007년 7월 15일, 막심 보즈니는 ''R''₂₇₀₃₄₃이 가능성 있는 소수라고 발표했다.^[4] 2021년 4월 20일과 5월 8일, 세르게 바탈로프와 라이언 프로퍼는 각각 ''R''_5794777과 ''R''_8177207이 가능성 있는 소수임을 발견했다.^[5] 2022년 3월 22일, ''R''₄₉₀₈₁은 소수임이 증명되었고,^[6] 2023년 5월 15일 ''R''₈₆₄₅₃도 소수임이 증명되었다.^[7]

이러한 반복 소수는 소수 정리가 예측하는 것과 대략적으로 같은 빈도로 발생한다고 추측된다. ''N''번째 반복 소수의 지수는 일반적으로 (''N''−1)번째 지수의 고정된 배수 근처에 있다. 소수인 반복 소수는 순열 소수의 부분 집합이다.

''R''_''n''의 속성은 다음과 같다.

• ''R''_''n''을 3으로 나눈 나머지는 ''n''을 3으로 나눈 나머지와 같다.
• ''R''_''n''을 9로 나눈 나머지는 ''n''을 9로 나눈 나머지와 같다.^[22]

4. 2. 일반화된 레피유닛 소수

||

||

|}

''n'' > 1에 대한 ''R''_''n''의 가장 작은 소수 인수는 다음과 같다.

:11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ...

레피유닛의 정수 인수분해는 레크리에이션 수학자들의 연구 주제였다. ''n''이 ''a''로 나누어 떨어진다면, ''R''_''n''^(''b'')는 ''R''_''a''^(''b'')로 나누어진다.

:$R\_n^\{(b)\}=\backslash frac\{1\}\{b-1\}\backslash prod\_\{d|n\}\backslash Phi\_d(b),$

여기서 $\backslash Phi\_d(x)$는 $d$번째 원분 다항식이고 ''d''는 ''n''의 약수를 나타낸다. ''p''가 소수일 때,

:$\backslash Phi\_p(x)=\backslash sum\_\{i=0\}^\{p-1\}x^i,$

이것은 ''x''가 ''b''로 대체될 때 예상되는 repunit의 형태를 가진다.

예를 들어, 9는 3으로 나누어 떨어지므로 ''R''₉는 ''R''₃으로 나누어진다. 실제로, 111111111 = 111 · 1001001이다. 해당 원분 다항식 $\backslash Phi\_3(x)$와 $\backslash Phi\_9(x)$는 각각 $x^2+x+1$과 $x^6+x^3+1$이다. 따라서, ''R''_''n''이 소수이려면 ''n''은 반드시 소수여야 하지만, ''n''이 소수라고 해서 충분한 것은 아니다. 예를 들어, ''R''₃ = 111 = 3 · 37은 소수가 아니다. 이 ''R''₃의 경우를 제외하고, 소수 ''p''는 ''p'' = 2''kn'' + 1인 경우에만 소수 ''n''에 대한 ''R''_''n''을 나눌 수 있다.

''m''이 ''n''을 나누면, ''R_m''은 ''R_n''을 나눈다. 따라서 ''n''이 합성수이면 ''R_n''은 합성수가 된다.

100을 법으로 11과 합동인 제곱수는 존재하지 않으므로, 레피유닛으로 제곱수가 되는 것은 1뿐이다. 일반적으로 레피유닛으로 거듭제곱수가 되는 것은 1뿐인 것으로 알려져 있다.^[16]

레피유닛은 각 자리 숫자의 총곱이 1이 되므로, 모두 즈커만 수이다. ''R_n''은, ''n''이 3의 거듭제곱수일 때 (''n''이 1 = 3⁰일 때도 포함) 모두 하샤드 수이다.

; ''n''의 값과 반드시 포함되는 약수

• 짝수 - 11
• * 4의 배수 - 11 · 101
• * 6의 배수 - 3 · 7 · 11 · 13 · 37
• 3의 배수 - 3 · 37
• 5의 배수 - 41 · 271
• 7의 배수 - 239 · 4649
• 17의 배수 - 2071723 · 5363222357

5. 1. 십진법 레피유닛의 소인수분해

2022년 말 현재, 소인수 분해가 완전히 계산되지 않은 최소 레피유닛은 n=353에 해당하는 수이다.

5. 2. 일반화된 레피유닛의 인수분해

6. 특수한 형태

''R''_2n은 11 (''R''₂)로 나누어 떨어진다. 2 × ''n''자리의 ''R''_2n은 n자리의 ''R''_n으로 나누어 떨어진다. n이 홀수일 때, ''R''_n은 11로 나누어 떨어지지 않으므로, ''R''₂와 ''R''_n은 서로소이다. 따라서, ''R''_2n은 ''R''₂ × ''R''_n으로 나누어 떨어지며, 그 몫은 ''n''-1 자리 숫자 9090…91이다.^{[17][18][19][20]}

''n''이 짝수일 때의 ''R''_''2n'' 및 기타 예시는 다음과 같다.

• ''R''₁₂ = 11222211 × 990'''1'''
• ''R''₂₀ = 1222210000122221 × 909'''1'''
• ''R''₂₄ = 112233332211 × 99000099990'''1''' = 1111222222221111 × 9999000'''1'''
• ''R''₂₈ = 1222222100000012222221 × 90909'''1'''
• ''R''₃₆ = 111111222222222222111111× 99999900000'''1'''
• ''R''₃₉ = 123333333333321 × 90090090090099099099099'''1'''

• ''R''₆ = 11 × (9091 + 1010)
• ''R''₈ = 11 × (909091 + 101010)
• ''R''₁₀ = 11 × (90909091 + 10101010)

7. 역사

19세기 동안 많은 수학자들이 순환 소수의 순환 패턴을 파악하고 예측하기 위해 10진법 레피유닛(단위 반복 소수)을 연구했다.^[11]

초기에, 5보다 큰 소수 ''p''에 대해 1/''p''의 소수 전개의 주기는 ''p''로 나누어지는 가장 작은 단위 반복 수의 길이와 같다는 것이 밝혀졌다. 1860년까지 60,000까지의 소수의 역수의 주기에 대한 표가 출판되었고, Reuschle과 같은 수학자들이 ''R₁₆''까지 모든 단위 반복 수와 많은 더 큰 단위 반복 수를 인수분해할 수 있었다. 1880년까지 ''R₁₇''에서 ''R₃₆''까지 인수분해되었으며, 에두아르 루카스가 300만 미만의 소수가 19의 주기를 갖지 않는다는 것을 보였음에도 불구하고 20세기 초까지 소수성을 테스트하려는 시도가 없었다. 미국의 수학자 오스카 호페는 1916년에 ''R₁₉''가 소수임을 증명했고,^[12] 레머와 크라이치크는 1929년에 독립적으로 ''R₂₃''이 소수임을 발견했다.

1960년대까지 단위 반복 수 연구는 더 발전하지 못했는데, 컴퓨터가 단위 반복 수의 많은 새로운 인수들을 찾고 이전 소수 주기의 표에 있는 격차를 수정할 수 있게 해주었다. ''R₃₁₇''은 1966년경에 가능성 있는 소수로 발견되었고, 11년 후에 ''R₁₀₃₁''이 1만 자리 미만의 유일한 추가 소수 단위 반복 수임이 밝혀지면서 소수임이 증명되었다. 1986년에 ''R₃₁₇''은 소수임이 증명되었지만, 그 다음 10년 동안 더 많은 소수 단위 반복 수를 찾는 검색은 실패했다. 그러나 일반화된 단위 반복 수 분야에서 발전이 있었으며, 이로 인해 많은 수의 새로운 소수와 가능성 있는 소수가 생성되었다.

1999년 이후로, 네 개의 추가적인 가능성 있는 소수 단위 반복 수가 발견되었지만, 그들의 거대한 크기 때문에 가까운 미래에 그 중 어느 것도 소수임이 증명될 가능성은 낮다.

커닝햄 프로젝트는 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 그리고 12를 밑으로 하는 단위 반복 수의 정수 인수분해를 문서화하려 한다.

8. 뎀로(Demlo) 수

D. R. Kaprekar는 뎀로(Demlo) 수를 왼쪽 부분, 중간 부분, 오른쪽 부분을 연결한 것으로 정의했는데, 여기서 왼쪽 부분과 오른쪽 부분은 길이가 같아야 하며(왼쪽에 가능한 0이 앞에 올 수 있음) 자릿수가 모두 같은 숫자(repdigit)와 합산되어야 하며, 중간 부분은 이 반복되는 숫자의 추가적인 숫자를 포함할 수 있다.^[13] 이들은 Kaprekar가 그들을 연구하기 시작한 G.I.P. 철도의 봄베이에서 약 48.28km 떨어진 Dombivli(Demlo) 기차역의 이름을 따서 명명되었다. 그는 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321 형태의 숫자를 ''Wonderful Demlo 숫자''라고 불렀다. 이것들이 repunit의 제곱이라는 사실은 일부 저자들이 Demlo 숫자를 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ... 과 같은 무한한 수열이라고 부르도록 이끌었지만, ''p'' = 10, 19, 28, ...에 대한 Demlo 숫자가 아님을 확인할 수 있다.^[14]

참조

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_[2] 웹사이트 Factorization of repunit numbers http://stdkmd.net/nr[...]
_[3] 간행물 New Repunit R(109297) http://listserv.noda[...]
_[4] 간행물 New PRP Repunit R(270343) https://listserv.nod[...]
_[5] 웹사이트 Indices of prime repunits: numbers n such that 11...111 (with n 1's) = (10^n - 1)/9 is prime.
_[6] 웹사이트 PrimePage Primes: R(49081) https://primes.utm.e[...] 2022-03-21
_[7] 웹사이트 PrimePage Primes: R(86453) https://primes.utm.e[...] 2023-05-16
_[8] 웹사이트 repunit http://primes.utm.ed[...] Prime Pages
_[9] 웹사이트 Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture http://primes.utm.ed[...]
_[10] 웹사이트 Generalized Repunit Conjecture https://listserv.nod[...]
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 웹사이트 Demlo Number
_[15] 서적
_[16] 논문 On integers with identical digits
_[17] 블로그 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客 http://blog.sina.com[...]
_[18] 블로그 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客 http://blog.sina.com[...]
_[19] 블로그 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス http://www.ajimatics[...]
_[20] 웹사이트 Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016 https://www.mathe-we[...]
_[21] 웹사이트 Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1. http://www.swansea.a[...]
_[22] 웹사이트 World!Of Numbers http://www.worldofnu[...]
_[23] 웹사이트 Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem） http://science-log.c[...]
_[24] 웹사이트 nombre - onze en maths http://yoda.guillaum[...]
_[25] 웹사이트 persistance et repdigits http://villemin.gera[...]
_[26] 웹사이트 R49081 is prime! https://mersenneforu[...] MersenneForum 2022-03-29
_[27] 간행물 R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス https://listserv.nod[...]
_[28] 웹사이트 Yahoo! Groups https://groups.yahoo[...] 2018-04-06
_[29] 간행물 R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス https://listserv.nod[...]
_[30] 웹사이트 New repunit (PRP) primes found https://www.mersenne[...] MersenneForum 2022-03-29
_[31] 웹사이트 It is R8177207 https://www.mersenne[...] MersenneForum 2022-03-29
_[32] 웹사이트 레프유닛数
_[33] 웹사이트 11...11 (レピュニット) の素因数分解 https://stdkmd.net/n[...] STUDIO KAMADA 2022-03-29
_[34] 논문 On the diophantine equation $a\backslash frac\{x^n-1\}\{x-1\}=y^q$
_[35] 웹사이트
_[36] OEIS