하샤드 수

3. 성질

수학적으로, 양의 정수 ''X''를 ''n''진법으로 표기했을 때 각 자릿수의 합으로 ''X''가 나누어떨어지면, ''X''를 ''n''진법 '''하샤드 수'''라고 한다. ''n''진법에서 ''X''가 $m$개의 자릿수 $a\_i$ ($i\; =\; 0,\; 1,\; \backslash ldots,\; m-1$)를 가질 때, $X=\backslash sum\_\{i=0\}^\{m-1\}\; a\_i\; n^i$ 이고, $X\; \backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\{\backslash sum\_\{i=0\}^\{m-1\}\; a\_i\}$ 이면 하샤드 수이다.

• ''n''진법에서 1부터 ''n''까지의 수는 모두 하샤드 수이다. 또한 밑수 ''n'' 자체와 그 거듭제곱(''n''^''k'', ''k''는 자연수)은 항상 그 밑수에서 하샤드 수이다.^[12] 이는 ''n''진법에서 ''n''^''k''는 "1" 뒤에 0이 ''k''개 오는 형태로 표기되고, 각 자릿수의 합은 1이 되어 항상 나누어떨어지기 때문이다.
• 모든 기수에서 하샤드 수가 되는 수는 '''전 하샤드 수'''(all-harshad number) 또는 '''전 니벤 수'''(all-Niven number)라고 하며, 1, 2, 4, 6 네 개뿐이다. 12는 8진법을 제외한 모든 기수에서 하샤드 수이다.
• 9의 배수 판정법과 유사하게 생각하여 9의 배수가 모두 하샤드 수라고 착각하기 쉽지만, 그렇지 않다. 예를 들어, 99는 9의 배수이지만, 각 자릿수의 합은 9 + 9 = 18이고, 99는 18로 나누어떨어지지 않으므로 하샤드 수가 아니다.
• 밑수 ''b''에서, 각 자릿수의 합이 ''b''−1을 나누는 모든 수는 밑수 ''b''에서 하샤드 수이다.
• 소수 ''p''가 하샤드 수가 되려면, 그 소수는 밑수 ''n''보다 작거나 같아야 한다. 만약 ''p'' > ''n''이라면, ''n''진법으로 나타낸 ''p''의 각 자릿수의 합은 1보다 크고 ''p''보다 작게 되어 ''p''를 나눌 수 없기 때문이다. 예를 들어, 10진법에서 소수 11은 각 자릿수의 합이 1 + 1 = 2이고, 11은 2로 나누어떨어지지 않으므로 하샤드 수가 아니다. 하지만 12진법에서 11은 보통 'B'와 같이 십진수 11에 해당하는 기호 하나로 표기되며, 이 경우 자릿수(값)의 합은 11이다. 11은 11로 나누어떨어지므로 12진법에서는 하샤드 수이다.
• 하샤드 수는 1자리의 소수와, 밑수 자체가 소수인 경우를 제외하면 모두 합성수이다.
• 계승(팩토리얼) 수열은 10진법에서 하샤드 수로 시작하는 경우가 많지만, 모든 계승이 하샤드 수는 아니다. 예를 들어, 432!는 10진법에서 하샤드 수가 아닌 첫 번째 계승이다. (432!의 각 자릿수 합은 3897 = 3² × 433이며, 432!는 3897로 나누어떨어지지 않는다.)
• 10진법에서는 21개 이상의 연속된 자연수가 모두 하샤드 수가 되는 경우는 없다는 것이 1994년 헬렌 G. 그룬드만에 의해 증명되었다. 또한 20개의 연속된 자연수가 모두 하샤드 수가 되는 가장 작은 경우는 10^44363342786을 초과하는 매우 큰 수이다.
• 이진법에서는 4개의 연속된 자연수가 모두 하샤드 수인 경우가 무수히 많이 존재하며, 삼진법에서는 6개의 연속된 자연수가 모두 하샤드 수인 경우가 무수히 많이 존재한다. 이러한 사실은 1996년 T. 카이에 의해 증명되었다.
• 수 사이에 0을 연속해서 넣어 무수히 많은 하샤드 수를 만들 수 있다. 예를 들어, 10진법에서 21이 하샤드 수이므로, 21, 201, 2001, 20001 등은 모두 각 자릿수의 합이 3이고 3으로 나누어떨어지므로 하샤드 수가 된다.
• 자연수 ''x'' 이하의 하샤드 수의 개수를 ''N''(''x'')라고 하면, 어떤 양수 ε에 대해서도 $x^\{1-\backslash varepsilon\}\; \backslash ll\; N(x)\; \backslash ll\; \backslash frac\{x\backslash log\backslash log\; x\}\{\backslash log\; x\}$ 이 성립한다. 또한 장마리 드 코닝크, 니콜라 도용(Nicolas Doyon), 임레 커터이(Imre Kátai)는 $N(x)\; =\; (c+o(1))\backslash frac\{x\}\{\backslash log\; x\}$ (단, ''c'' = (14/27) log10 ≈ 1.1939…) 임을 증명했다.
• 10진법에서 각 자리 숫자의 합이 1, 3, 9가 되는 수는 모두 하샤드 수이다. 특히 10의 거듭제곱 수는 각 자릿수의 합이 1이므로 항상 하샤드 수이다.

4. 10진법에서의 하샤드 수

10진법에서 어떤 자연수가 그 수의 각 자릿수의 합으로 나누어 떨어지면 그 수를 하샤드 수라고 한다.

• 숫자 18은 10진법에서 하샤드 수이다. 왜냐하면 숫자 1과 8의 합은 9이고, 18은 9로 나누어 떨어지기 때문이다.
• 하디-라마누잔 수(1729)는 10진법에서 하샤드 수이다. 왜냐하면 이 숫자는 자릿수의 합인 19로 나누어 떨어지기 때문이다(1729 = 19 × 91).
• 숫자 19는 10진법에서 하샤드 수가 아니다. 왜냐하면 숫자 1과 9의 합은 10이고, 19는 10으로 나누어 떨어지지 않기 때문이다.
• 10진법에서, 숫자 R_''n''이 숫자 1이 ''n''개로 이루어져 있고, ''n'' > 0이며, ''a''_''n''이 10^''n''보다 작고 ''n''의 배수인 양의 정수인 9R_''n''''a''_''n'' 형태의 모든 자연수는 하샤드 수이다. (R. D’Amico, 2019). 숫자 9R₃''a''₃ = 521478이고, 여기서 R₃ = 111, ''n'' = 3, ''a''₃ = 3×174 = 522일 때, 하샤드 수이다. 실제로, 521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314이다.^[2]
• 10진법에서의 하샤드 수는 다음의 정수 수열을 이룬다.
• : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... (A005349)
• 0과 ''n'' 사이의 모든 정수는 ''n''-하샤드 수이다.

위의 표에서 알 수 있듯이, 하샤드 수는 3의 배수(기수, 자연수 모두)인 경우가 많다.

• 각 기수에서의 최소 하샤드 수는 A002998을, 두 번째는 A245065를 참조.
• 각 기수 ''n''에서의 ''n''번째 하샤드 수는 A082260을 참조.

4. 1. 연속된 하샤드 수

앞서 언급했듯이, 10진법에서는 ''n'' > 20인 경우, 즉 21개 이상의 연속된 하샤드 수는 존재하지 않으므로 해당 ''x'' 값도 존재하지 않는다.

5. 다른 진법에서의 하샤드 수

12진법에서의 하샤드 수는 다음과 같다. (여기서 A는 10, B는 11을 나타낸다.)

: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200, ...

$k\; \backslash cdot\; n$이 12진법 하샤드 수가 되게 하는 가장 작은 ''k'' (10진법으로 표기):

: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

$k\; \backslash cdot\; n$이 12진법 하샤드 수가 되지 않게 하는 가장 작은 ''k'' (10진법으로 표기):

: 13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

10진법과 마찬가지로, 모든 팩토리얼이 12진법 하샤드 수는 아니다. 7! (= 5040 = 12진법에서 2B00)은 12진법에서 자릿수 합이 13 (2+B+0+0 = 2+11=13)이고, 13은 7!을 나누지 않으므로 하샤드 수가 아니다. 다음으로 1276!은 12진법에서 자릿수 합이 14201 (= 11 × 1291)이므로, 1276!을 나누지 않아 하샤드 수가 아니다.

6. 니벤모픽 수 (하샤드모픽 수)

주어진 기수에서 '''니벤모픽 수'''(Nivenmorphic number) 또는 '''하샤드모픽 수'''(Harshadmorphic number)는, 어떤 하샤드 수 N이 존재하여 그 자릿수 합이 t이고, 같은 기수에서 표기된 t가 N으로 끝나는 정수 t를 말한다.

예를 들어, 18은 10진법에서 니벤모픽 수이다.

• 16218은 하샤드 수이다.
• 16218의 자릿수 합은 1 + 6 + 2 + 1 + 8 = 18이다.
• 18은 16218의 마지막 두 자리 숫자이다. 즉, 16218은 18로 끝난다.

7. 다중 하샤드 수

Bloem(2005)은 다중 하샤드 수를 하샤드 수로 정의하며, 그 수의 자릿수의 합으로 나눴을 때 또 다른 하샤드 수가 나오는 경우를 말한다.^[11] 그는 6804가 다음과 같은 이유로 "MHN-4"라고 설명한다.

:$\backslash begin\{align\}$

6804 / (6+8+0+4) = 6804 / 18 &= 378\\

378 / (3+7+8) = 378 / 18 &= 21\\

21 / (2+1) = 21 / 3 &= 7\\

7 / 7 &= 1

\end{align}

(1 / 1 = 1이지만, 1은 정의에 따라 "또 다른" 하샤드 수가 아니므로 6804는 MHN-5가 아니다.)

또한 Bloem은 20,165,028,585,798,844,661,760이 MHN-12임을 보였다. 1008 × 10¹⁰ = 10,080,000,000,000과 같이 더 작은 수도 MHN-12가 될 수 있다. 일반적으로 1008 × 10^''n''은 MHN-(''n''+2)이다.

8. 관련 수

다음은 하샤드 수이면서 다른 종류의 수에도 속하는 예시들이다.

• 피보나치 수인 하샤드 수:

• 삼각수인 하샤드 수:

• 제곱수인 하샤드 수:

• 쐐기수인 하샤드 수:

• 오각수인 하샤드 수:

• 세제곱수인 하샤드 수:

• * 세제곱수이면서 하샤드 수인 수 중에서, 각 자리 숫자의 합과 그 세제곱수의 밑(n³의 n)이 같은 수:

• 팰린드롬 수인 하샤드 수:

• 반소수인 하샤드 수:

• (원래 수) ÷ (각 자리 숫자의 합)으로 구해진 몫이 다시 하샤드 수가 되고, 이 과정을 반복하여 마지막에 1이 되는 수:

• 주커만 수(각 자리 숫자의 곱으로도 나누어 떨어지는 하샤드 수):

• 스미스 수(각 자리 숫자의 합과 소인수분해 결과의 각 숫자 합이 같은 하샤드 수):

• 거듭제곱수인 하샤드 수:
• * 2의 거듭제곱수 중 하샤드 수: 1 (2⁰), 2 (2¹), 4 (2²), 8 (2³), 512 (2⁹) 뿐이다.
• * 3의 거듭제곱수 중 하샤드 수: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 19683, 59049, 177147,…
• * 5의 거듭제곱수 중 하샤드 수: 1, 5, 390625 뿐이다.
• * 소수의 거듭제곱수 중 하샤드 수: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 27, 81, 243, 512, 2401, 4913,…

• 계승수 중에서는 432! 이전까지는 모두 하샤드 수이지만, 432!은 하샤드 수가 아닌 가장 작은 계승수이다.

참조

_[1] 논문 Multidigital Numbers
_[2] 논문 A method to generate Harshad numbers 2019-06
_[3] 논문 On consecutive Niven numbers http://www.fq.math.c[...]
_[4] 서적 Handbook of number theory II https://archive.org/[...] Kluwer Academic
_[5] 논문 Sequences of consecutive n-Niven numbers http://www.fq.math.c[...]
_[6] 논문 Construction of 2''n'' consecutive ''n''-Niven numbers http://www.fq.math.c[...]
_[7] 논문 On the number of Niven numbers up to x 2003-11
_[8] 논문 On the counting function for the Niven numbers
_[9] 논문 Additive bases and Niven numbers 2021-03
_[10] 논문 Nivenmorphic integers
_[11] 논문 Harshad numbers
_[12] 문서