괴델 계량

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1. 개요

괴델 계량은 로렌츠 시공간의 한 유형으로, 국소적 좌표 조각을 통해 계량 텐서를 제공한다. 이 해는 아인슈타인 장 방정식의 정규 해의 드문 예시이며, 닫힌 시간꼴 곡선을 갖는 것이 특징이다. 괴델 시공간은 5차원 킬링 벡터를 허용하고, 먼지 입자를 은하로 해석하여 회전하는 우주의 우주론적 모델로 해석될 수 있다. 이 모델은 허블 팽창을 나타내지 않으며, 일부는 아인슈타인의 마흐 원리에 대한 반례로, 다른 이들은 마흐 원리와 일치하는 것으로 해석한다.

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괴델 계량
개요
유형	정확한 해
분야	일반 상대성 이론
발견자	쿠르트 괴델
발견 년도	1949년
기하학적 속성
시공간	균질하며, 회전하는 우주
곡률	우주 상수에 의해 결정되는 상수 곡률
특이점	존재하지 않음
인과 관계	시간 여행이 가능 (닫힌 시간꼴 곡선)
물리적 속성
물질	회전하는 먼지 (압력이 없는 유체)
에너지 조건	에너지 조건 위반
수학적 속성
계량 텐서	특정한 형태의 계량 텐서를 가짐
킬링 벡터	5개의 킬링 벡터를 가짐
관련 개념
관련 개념	일반 상대성 이론, 우주론, 시간 여행
다른 해	FLRW 계량

2. 정의

괴델 해는 로렌츠 시공간의 일종으로, 국소적 좌표 조각을 통해 계량 텐서를 제공한다. 괴델이 원래 사용한 좌표 조각에서 계량(또는 이에 상응하는 선요소)은 다음과 같다.

: $g = \frac{1}{2\omega^2} \left[ -(dt + e^x \, dy)^2 + dx^2 + \tfrac{1}{2} e^{2x} \, dy^2 +dz^2\right], \qquad -\infty < t, x, y, z < \infty,$

여기서 $\omega$ 는 먼지 알갱이 중 하나를 타고 있는 "회전하지 않는" 관찰자가 측정한 ''y''축 주위의 주변 먼지 알갱이의 각속도에 해당하는 0이 아닌 실수 상수이다. "회전하지 않는"은 관찰자가 원심력을 느끼지 않는다는 것을 의미하지만, 이 좌표 조각에서는 ''y'' 축에 평행한 축을 중심으로 회전한다. 먼지 알갱이는 ''x'', ''y'', ''z'' 의 일정한 값을 유지한다. 이 좌표 조각에서 밀도는 ''x'' 에 따라 증가하지만, 자신의 기준 틀에서 밀도는 모든 곳에서 동일하다.

3. 성질

괴델 해의 성질을 연구하기 위해 틀장을 사용할 수 있다.

'먼지 알갱이와 함께 움직이는' 관성 관찰자들의 틀은 다음과 같다.

: $\vec{e}_0 = \sqrt{2} \omega \, \partial_t$

: $\vec{e}_1 = \sqrt{2} \omega \, \partial_x$

: $\vec{e}_2 = \sqrt{2} \omega \, \partial_y$

: $\vec{e}_3 = 2 \omega \, \left( \exp(-x) \, \partial_z - \partial_t \right).$

$\vec{e}_0$ 에 대하여 페르미-워커 도함수를 계산하면, 공간 틀이 $\vec{e}_2$ 에 대해 각속도 $-\omega$ 로 회전하고 있음을 알 수 있다. 따라서 먼지 알갱이와 함께 움직이는 '비회전 관성틀'은 다음과 같다.

: $\vec{f}_0 = \vec{e}_0$

: $\vec{f}_1 = \cos(\omega t) \, \vec{e}_1 - \sin(\omega t) \, \vec{e}_3$

: $\vec{f}_2 = \vec{e}_2$

: $\vec{f}_3 = \sin(\omega t) \, \vec{e}_1 + \cos(\omega t) \, \vec{e}_3.$

3. 1. 아인슈타인 텐서

아인슈타인 텐서의 구성 요소는 다음과 같다.

:

G^{\hat{a}\hat{b}} = \omega^2 \operatorname{diag} (-1,1,1,1) + 2 \omega^2 \operatorname{diag} (1,0,0,0).

여기서 첫 번째 항은 람다 진공 해의 특성이고, 두 번째 항은 압력이 없는 완벽한 유체 또는 먼지 해의 특성을 나타낸다. 우주 상수는 먼지의 물질 밀도를 부분적으로 상쇄하기 위해 신중하게 선택된다.

3. 2. 위상수학적 성질

괴델 시공간은 아인슈타인 장 방정식의 정규(특이점이 없는) 해의 드문 예이다. 괴델의 원래 좌표 조각은 측지완비이고 특이점이 없다. 따라서 이것은 대역적 좌표 조각이고, 시공간은

\mathbb R^4

와 동형이므로 단일 연결 공간이다.

3. 3. 곡률 불변량

모든 로렌츠 시공간에서 4차 리만 텐서는 접벡터의 4차원 공간에 대한 다중 선형 연산자이지만, 이중 벡터의 6차원 공간에 대한 선형 연산자이다. 따라서 고유값이 근이 되는 특성 다항식을 갖는다. 괴델 시공간에서 이러한 고유값들은 간단하다.

고유값	중복도
0	삼중
$-\omega^2$	이중
$\omega^2$	단일

3. 4. 킬링 벡터

이 시공간은 5차원 리 대수의 킬링 벡터를 허용하며, 시간 병진 변환(

\partial_t

), 2개의 공간 병진 변환(

\partial_y, \; \partial_z

), 그리고 다음과 같은 2개의 추가적인 킬링 벡터장으로 생성된다.^[1]

:

\partial_x - z \, \partial_z

:

-2 \exp(-x) \, \partial_t + z \, \partial_x + \left( \exp(-2x) -z^2/2 \right) \, \partial_z.

등장사상 군은 병진적으로 작동하여 시공간은 균질하지만, 등방적이지는 않다.^[1]

x=x_0

인 초평면은 추이적 아벨 3차원 변환 군을 허용하므로, 해의 몫은 고정된 원통형 대칭 해로 재해석될 수 있다. 초평면

y=y_0

는 SL(2, '''R''' ) 작용을 허용하고 초평면

t=t_0

는 Bianchi III를 허용한다(네 번째 킬링 벡터 장 참조).^[1] 이를 통해 대칭 군이 Bianchi 유형 I, III 및 VIII의 3차원 하위 군 예를 포함한다고 설명할 수 있다.^[1] 5개의 킬링 벡터 중 4개와 곡률 텐서는 좌표 y에 의존하지 않는다.^[1] 괴델 해는 3차원 로렌츠 다양체(부호수 −++)가 있는 인수 '''R'''의 데카르트 곱이다.^[1]

괴델 해는 국소 등장사상까지 킬링 벡터의 5차원 리 대수를 허용하는 아인슈타인 장 방정식의 유일한 완벽한 유체 해라는 것이 증명되었다.^[1]

3. 5. 페트로프 분류 및 벨 분해

괴델 해의 바일 곡률 텐서는 페트로프 분류 '''D'''이다. 중력 자기 텐서는 다음과 같이 사라진다.^[4]

:

{B\left[ \vec{u} \right]}_{\hat{m}\hat{n}} = 0.

^[4]

리만 텐서의 주요 로런츠 불변량은 다음과 같다.^[4]

:

R_{abcd} \, R^{abcd} = 12 \omega^4, \; R_{abcd} {{}^\star R}^{abcd} = 0.

^[4]

3. 6. 강체 회전

위에 주어진 틀장은 모두 관성이며,

\nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = 0

이다. 그러나 시간적 단위 벡터에 의해 정의된 시간적 측지 합동의 ''와도 벡터''는 다음과 같다.

:

-\omega \vec{e}_2

이것은 근처 먼지 입자의 세계선이 서로 뒤틀리고 있음을 의미한다. 또한, 전단 텐서

\vec{e}_0

는 사라지므로 먼지 입자는 강체 회전을 나타낸다.

3. 7. 광학 효과

괴델 해의 속성을 연구하기 위해 틀 장을 채택할 수 있다. 먼지 입자를 타고 있는 회전하지 않는 관성 관찰자는 다른 먼지 입자들이 자신의 대칭축을 중심으로 각속도

\omega

로 시계 방향으로 회전하는 것을 볼 수 있다. 또한 광학 이미지는 회전 방향으로 확장되고 전단되는 것으로 나타난다.^[4]

3. 8. 절대 미래의 형태

호킹과 엘리스에 따르면, 괴델 계량 시공간의 놀라운 특징은 주어진 먼지 입자의 세계선 상의 사건에서 방출된 빛이 바깥쪽으로 나선 모양을 그리며 원형 첨점을 형성한 다음, 안쪽으로 나선 모양을 그려 원래 먼지 입자의 세계선 상의 후속 사건에서 다시 수렴한다는 사실이다. 이는 관찰자가

\vec{e}_2

방향에 수직으로 바라볼 때 유한한 거리만 볼 수 있으며, 더 이른 시간의 자신을 볼 수 있다는 것을 의미한다.

첨점은 측지선이 아닌 닫힌 널 곡선이다.

3. 9. 닫힌 시간꼴 곡선 (CTC)

시공간의 균질성과 시간꼴 측지선 계열의 상호 뒤틀림 때문에 괴델의 시공이 닫힌 시간 곡선(CTC)을 갖는 것은 어느 정도 불가피하다. 실제로 괴델 시공간의 모든 사건을 통하는 CTC들이 있다. 괴델은 중력 방정식이 우리가 직관적으로 이해하는 시간과 일치하지 않는다는 것을 증명하기 위해 노력했으며, 이 인과 관계의 특이성을 괴델 우주의 요점으로 보았다.^[2]

아인슈타인은 괴델의 해법을 인지하고 있었고 ''Albert Einstein: Philosopher-Scientist''^[10]에서 다음과 같이 언급하였다. "계열 자체가 닫혀 있는"(즉, 닫힌 시간꼴 곡선) 일련의 인과 관계가 있는 사건들이 있는 경우, 이 사건들의 열에서 주어진 사건이 다른 사건보다 "이전" 또는 "나중에" 발생했는지 여부를 정의하는 좋은 물리적 방법이 없음을 나타낸다.

>그 경우에 우주론적 의미에서 멀리 떨어져 있는 세계 점들에 대해서는 "이전-나중"의 구분이 포기되고, 괴델 씨가 말한 대로 인과 관계의 방향에 관한 역설이 발생한다.

>

>(A-상수가 사라지지 않는) 중력 방정식의 그러한 우주론적 해는 괴델 씨에 의해 발견되었다. 이것들이 물리적인 근거에서 제외되지 않아야 하는지 여부를 저울질하는 것은 흥미로울 것이다.

괴델은 이 현상을 통해 아인슈타인의 시공간 방정식이 우리가 직관적으로 이해하는 시간(즉, 시간이 흐르고 과거는 더 이상 존재하지 않는다는, 철학자들이 현재주의라고 부르는 것)과 일치하지 않음을 증명하려 했다. 반면에 괴델은 영원주의 철학과 비슷한 무언가를 주장하려 했던 것으로 보인다.^[7]

3. 10. 대역적으로 비쌍곡적

괴델 시공간은 경계가 없는 시간 초평면(예: 코시 곡면)을 허용한다면, 그러한 닫힌 시간꼴 곡선(CTC)은 시공간이 단순히 연결되어 있다는 사실과 모순되게 홀수 번 교차해야 한다. 따라서 이 시공간은 대역적 쌍곡 시공간이 아니다.

4. 원통형 좌표 조각

괴델 해에 대한 또 다른 좌표 조각을 소개하면, 앞에서 언급한 일부 기능을 더 쉽게 확인할 수 있다. 괴델 해는 다른 모든 로렌츠 시공간과 마찬가지로, 국소 계량 텐서를 좌표계로 나타낸다.

4. 1. 유도

괴델은 자신의 해를 어떻게 찾았는지 설명하지 않았지만, 실제로 가능한 유도 방법들이 많이 있다. 여기서는 그 중 하나를 간략하게 살펴보고, 위에서 언급된 주장들 중 일부를 확인한다.

먼저, 방사형 좌표의 두 가지 미정 함수를 포함하는 '원통형' 좌표계의 간단한 틀로 시작한다.

:

\vec{e}_3 = \frac{1}{r} \, \partial_\varphi + O \left( \frac{1}{r^2} \right)

여기서 시간꼴 단위 벡터장

\vec{e}_0

는 먼지 입자의 세계선에 접하고, 이 세계선은 일반적으로 0이 아닌 소용돌이를 갖지만 팽창과 전단은 사라진다.

이제 아인슈타인 텐서가 먼지 항과 진공 에너지 항과 일치하도록 요구한다. 이는 완벽한 유체와 일치하도록 요구하는 것과 같다. 즉, 틀에 대해 계산된 아인슈타인 텐서의 구성 요소가 다음 형식을 취해야 한다.

:

G^{\hat{i}\hat{j}} = \mu \operatorname{diag}(1,0,0,0) + p \operatorname{diag}(0,1,1,1)

이 조건으로부터 다음을 얻는다.

:

b^{\prime\prime\prime} = \frac{b^{\prime\prime} \, b^{\prime}}{b}, \; \left( a^\prime \right)^2 = 2 \, b^{\prime\prime} \, b

이것들을 아인슈타인 텐서에 대입하면

\mu = p

임을 알 수 있다. 이 방식으로 구성할 수 있는 가장 단순한 비자명 시공간은 이 계수가 0이 아니지만, 반경 좌표의 '상수' 함수인 경우이다. 구체적으로,

\mu = \omega^2

를 선택하면,

:

b(r) = \frac{\sinh(\sqrt{2} \omega \,r)}{\sqrt{2} \omega}, \; a(r) = \frac{\cosh(\sqrt{2} \omega r)}{\omega} + c

마지막으로, 이 틀이 다음을 만족하도록 한다.

:

\vec{e}_0=\partial_t, \; \vec{e}_1=\partial_z, \; \vec{e}_2=\partial_r, \; \vec{e}_3 = \frac{ \sqrt{2} \omega }{ \sinh( \sqrt{2} \omega r ) } \, \partial_\varphi - \frac{\sqrt{2}\sinh(\sqrt{2} \omega r)}{1+\cosh(\sqrt{2} \omega r)} \, \partial_t

그러면

c=-1/\omega

이고, 틀은 다음과 같이 결정된다.

:

\vec{e}_0=\partial_t, \; \vec{e}_1=\partial_z, \; \vec{e}_2=\partial_r, \; \vec{e}_3 = \frac{ \sqrt{2} \omega }{ \sinh( \sqrt{2} \omega r ) } \, \partial_\varphi - \frac{\sqrt{2}\sinh(\sqrt{2} \omega r)}{1+\cosh(\sqrt{2} \omega r)} \, \partial_t

4. 2. 빛원뿔의 모양

z^영어 좌표는 불필요하므로, 3차원 다양체에 집중하여 r^영어 = 0 대칭축에서 벗어날 때 빛원뿔이 어떻게 변하는지 살펴보면 다음과 같다.

괴델 람다 먼지 해에 대한 원통형 좌표 조각의 두 개의 빛원뿔(틀 벡터와 함께). 명목상 대칭 축에서 바깥쪽으로 이동함에 따라 원뿔은 ''앞으로 기울어지고,'' ''넓어진다''. 수직 좌표선(먼지 입자의 세계선을 나타냄)은 ''시간꼴''이다.

임계 반경에 도달하면 빛원뿔들은 닫힌 시간꼴 곡선에 접하게 된다.

4. 3. 닫힌 시간꼴 곡선의 합동

임계 반지름

r = r_c

에서 벡터장

\partial_\varphi

는 빛꼴이 된다. 더 큰 반지름에서는 시간꼴이 된다. 따라서 대칭 축에 해당하는 시간꼴 합동은 '원'으로 구성되고, 특정 관찰자에 해당한다. 그러나 이 합동은 ''원통''

r=r_c

''바깥에서만 정의된다.''

이것은 측지선 합동이 아니다. 오히려 이 계열의 각 관찰자는 자신의 진로를 유지하기 위해 ''일정한 가속도''를 유지해야 한다. 반경이 작은 관찰자는 더 세게 가속해야 한다.

r \rightarrow r_c

일 때 가속도의 크기가 발산하는데, 이는

r=r_c

가 널 곡선임을 감안하면 예상되는 바이다.

4. 4. 빛꼴 측지선

빛꼴 측지선은 대칭 축에서 관찰자를 향해 시계 반대 방향으로 나선형이다. 이것은 "위에서" 보여준다.

대칭축에서 사건의 과거 빛 원뿔을 조사하면 위와 같은 그림을 얻을 수 있다. 좌표 조각의 수직 좌표선은 먼지 입자의 세계선을 나타내지만, ''좌표 조각에서 직선''으로 보임에도 불구하고 이러한 곡선에 의해 형성되는 합동은 0이 아닌 소용돌이를 가지므로 세계선은 실제로 ''서로 뒤틀리고'' 있다. 빛꼴 측지선이 위와 같이 안쪽으로 나선을 그린다는 사실은 관찰자가 ''방사형으로 바깥쪽''을 볼 때, 현재 위치가 아니라 이전 위치에서 근처의 먼지 입자를 볼 수 있음을 의미한다. 이는 먼지 입자가 실제로 서로 회전하는 경우 예상할 수 있는 것이다.

빛꼴 측지선은 ''기하학적으로 직선''이다. 그림에서 이들은 먼지 입자가 고정되어 나타나도록 하기 위해 좌표가 "회전"하기 때문에 나선형으로 보인다.

4. 5. 절대적인 미래

호킹과 엘리스에 따르면, 대칭축의 사건에서 방출된 모든 광선은 축의 이후 사건에서 다시 수렴되며 빛꼴 측지선은 원형 첨단을 형성한다.^[10]

대칭축에서 관찰자에 의해 방출된 빛의 퍼져나감과 재수렴에 대한 호킹과 엘리스의 그림.

이것은 괴델 람다먼지 해에서 각 사건의 절대 미래가 우리가 순진하게 예상할 수 있는 것과는 아주 다른 특성을 가지고 있음을 의미한다.

5. 우주론적 해석

괴델을 따라, 먼지 입자들을 은하들로 해석할 수 있으므로, 괴델 해는 ''회전하는 우주의 우주론적 모델''이 된다. 회전하는 것 외에 이 모델은 허블 팽창을 나타내지 않으므로, 우리가 살고 있는 우주의 현실적인 모델은 아니지만, 원칙적으로 일반 상대성 이론에 의해 허용되는 우주를 설명하는 것으로 볼 수 있다. 잘 알려지지 않은 다른 괴델의 해는 회전과 허블 확장을 모두 보여주고 그의 첫 번째 모델의 다른 특성을 가지고 있지만 과거로의 여행은 불가능하다. 스티븐 호킹에 ''따르면 이러한 모델은 우리가 관찰하는 우주에 대한 합리적인 설명'' 일 수 있지만 관측 데이터는 아주 낮은 회전 속도에서만 호환된다.^[11] 이러한 관찰의 질은 괴델이 죽을 때까지 계속해서 향상되었고, 괴델은 항상 "우주는 아직 회전하고 있는가?"라고 묻곤 했고, "아니오, 그렇지 않다."라는 말을 듣곤 했다.^[12]

어떤 사람들은 괴델 우주를 일반 상대성 이론이 일종의 마흐의 원리를 나타내야 한다는 아인슈타인의 희망에 대한 반례로 해석했다.^[13] 뚜렷한 회전축은 없지만 어떤 의미에서 특별한 방향을 고를 수 있는 예이기 때문이다.

다른 사람들은 마흐의 원리를 각 사건에서 회전하지 않는 관성 틀의 정의를, 우주의 모든 곳에서 물질의 전역 분포 및 운동에 연결하는 물리적 법칙을 의미하는 것으로 보고, 회전하지 않는 관성 틀이 정확하게 연결되어 있기 때문에 마흐 원리가 제안하는 방식으로 먼지의 회전에 대해 이 모델은 마흐의 원리와 일치한다고 말한다.

이 밖에도 회전하는 우주의 우주 모델로 해석될 수 있는 다른 많은 정확한 해가 알려져 있다.^[14]

참조

_[1] 논문 An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein's Field Equations of Gravitation 1949-07-01
_[2] 서적 A world without time: the forgotten legacy of Gödel and Einstein Basic Books
_[3] 웹사이트 Einstein's Reply to Criticisms http://www.marxists.[...] Cambridge University Press 2012-11-29
_[4] 서적 Collected works Clarendon Press ; Oxford University Press 1986
_[5] 서적 Reflections on Kurt Gödel MIT Press 2002
_[6] 서적 Homogeneous relativistic cosmologies Princeton University Press 1975
_[7] 서적 A world without time: the forgotten legacy of Gödel and Einstein Basic Books
_[8] 웹사이트 Einstein's Reply to Criticisms http://www.marxists.[...] Cambridge University Press 2012-11-29
_[9] 논문 An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein's Field Equations of Gravitation http://journals.aps.[...] published July 1, 1949
_[10] 웹인용 Einstein's Reply to Criticisms http://www.marxists.[...] Cambridge University Press 2012-11-29
_[11] 간행물 Introductory note to 1949 and 1952 Kurt Gödel
_[12] 서적 Reflections on Kurt Gödel MIT Press
_[13] 간행물 Introductory note to 1949 and 1952 Kurt Gödel
_[14] 서적 Homogeneous Relativistic Cosmologies https://archive.org/[...]

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