F₄

1. 개요

F₄는 여러 방법으로 정의되는 예외적인 리 군이다. 예외적 요르단 대수와 스핀 군 Spin(9)을 사용하여 정의할 수 있으며, 8차원 초구를 사용한 구성도 알려져 있다. F₄는 세 개의 실수 형식을 가지며, 군론적 성질, 위상수학적 성질, 근계, 표현론, 대수기하학적 성질 등을 갖는다. F₄는 빌헬름 킬링과 엘리 카르탕에 의해 발견되었으며, 클로드 슈발레에 의해 유한체 위에서도 정의될 수 있음이 밝혀졌다.

2. 정의

F₄는 예외적 요르단 대수를 사용하거나 극대 부분군 Spin(9)를 사용하여 정의할 수 있다.

2.1. 예외적 요르단 대수를 통한 정의

F₄의 실수 콤팩트 형식은 예외적 요르단 대수(3×3 팔원수 에르미트 행렬 $\backslash mathcal\; H\_3(\backslash mathbb\; O)$)들의 대수의 자기동형사상군이다. 예외적 요르단 대수는 27차원이고, F₄는 그 위에 작용하게 되므로 F₄의 27차원 표현이 존재한다. 이 가운데 대각합 부분을 제외하면 26차원 표현을 얻는다. 이는 F₄의 가장 작은 자명하지 않은 복소 표현이다.

구체적으로, $M\backslash in\backslash mathcal\; H\_3(\backslash mathbb\; O)$이 3×3 팔원수 에르미트 행렬이라고 하면, F₄는 다음을 보존시키는 SO(27)의 부분군이다.

:$\backslash operatorname\{tr\}(M),\backslash operatorname\{tr\}(M^2),\backslash operatorname\{tr\}(M^3)$

3×3 팔원수 에르미트 행렬 M은 다음과 같다.

:$M\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
x & \overline{Z} & Y \\
Z & y & \overline{X} \\
\overline{Y} & X & z
\end{bmatrix}

여기서 x, y, z는 실수 값을 가지며, X, Y, Z는 팔원수 값을 가진다.

2.2. Spin(9)를 통한 정의

F₄는 Spin(9)를 극대 부분군으로 갖는다. 이 경우, F₄의 딸림표현 52는
:52 → 36 ⊕ 16
으로 분해된다. 여기서 36은 Spin(9)의 딸림표현이고, 16은 Spin(9)의 스피너 표현이다.

따라서, F₄의 실수 콤팩트 리 대수 $\backslash mathfrak\; f\_4$는 벡터 공간으로서 다음과 같다.
:$\backslash mathfrak\; f\_4=\backslash mathfrak\{so\}(9)\backslash oplus\backslash Gamma(\backslash mathbb\; R^9)$
여기서 $\backslash Gamma(\backslash mathbb\; R^9)$는 16차원 마요라나 스피너 벡터 공간이다. 이들은 다음과 같은 자연스러운 교환 관계를 가진다.
:$[J\_\{ij\},J\_\{kl\}]=\backslash delta\_\{jk\}J\_\{il\}-\backslash delta\_\{jl\}J\_\{ik\}-\backslash delta\_\{ik\}J\_\{jl\}+\backslash delta\_\{il\}J\_\{jk\}$ ($\backslash mathfrak\{so\}(9)$ 리 괄호)
:$[J\_\{ij\},Q\_a]\; =\; \backslash frac14\; (\backslash gamma\_i\backslash gamma\_j-\backslash gamma\_j\backslash gamma\_i)\_\{ab\}\; Q\_b$ ($\backslash mathfrak\{so\}(9)$의 스피너 작용)
여기서 $\backslash gamma\_i$는 9차원에서의 디랙 행렬들이다.

여기에 나머지 스피너 교환자
:$[Q\_a,Q\_b]=\backslash gamma^\{[i\}\_\{ac\}\backslash gamma^\{j]\}\_\{cb\}\; J\_\{ij\}$
를 추가하면, 야코비 항등식이 만족됨을 알 수 있다.

이 정의가 성립하려면, Spin(9)의 실수 형식에서 마요라나 스피너가 존재해야 한다. 9차원에서 마요라나 스피너가 존재할 수 있는 부호수는 (9,0), (8,1), (5,4) 세 가지이며, 이들은 각각 F₄의 세 실수 형식 F₄(-52)(콤팩트), F₄(-20), F₄(4)(분할)에 대응한다.

2.3. 기타 정의

이 밖에도, 8차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.

2.4. 실수 형식

F₄는 세 가지 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다(중심이 없는 형태).

3. 성질

F₄는 48개의 근으로 구성된 근계를 가지며, 24개의 긴 근과 24개의 짧은 근으로 이루어져 있다. 이들은 4차원에서 서로 쌍대인 두 개의 정이십사포체(24-cell)를 이룬다.

F₄의 근은 다음과 같이 표현된다.

* (±1, ±1, 0, 0) 형태의 긴 근 24개 (좌표축 치환)
* (±1, 0, 0, 0) 형태의 짧은 근 8개 (좌표축 치환)
* (±½, ±½, ±½, ±½) 형태의 짧은 근 16개

F₄는 4개의 단순근을 가지며, 그 예시는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{pmatrix\}$
0&1&-1&0 \\
0&0&1&-1 \\
0&0&0&1 \\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}

이에 해당하는 카르탕 행렬은 다음과 같다.

:$$
\begin{pmatrix}
2&-1&0&0\\
-1&2&-2&0\\
0&-1&2&-1\\
0&0&-1&2
\end{pmatrix}


F₄의 바일 군은 크기가 $2^7\backslash times3^2=1152$인 가해군이며, 4차원 정이십사포체의 대칭군이다.

--

F₄의 딘킨 도표는 네 개의 꼭짓점을 가진 선형이며, 2번째와 3번째 사이의 변은 2겹 화살표로 연결되어 있다.

F₄의 기약 표현 차원은 다음과 같다: 1, 26, 52, 273, 324, 1053 (두 개), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829 등. 이 중 52차원 표현은 딸림표현이고, 26차원 표현은 27차원 예외적 요르단 대수 작용에서 대각합을 제외한 것이다. 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이며, 딘킨 도표의 네 노드에 대응한다.

F₄의 바일 군은 원소 $v\backslash mapsto-v$를 포함하므로 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. F₄는 사원수 표현이 없고, 모든 표현은 실수 표현이다.

콤팩트 형태의 F₄의 21차 이하 호모토피 군은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

차수	호모토피 군
3	$\backslash pi\_3(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(\backslash infty)$
8	$\backslash pi\_8(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)$
9	$\backslash pi\_9(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)$
11	$\backslash pi\_\{11\}(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(\backslash infty)\; \backslash oplus\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)$
14	$\backslash pi\_\{14\}(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)$
15	$\backslash pi\_\{15\}(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(\backslash infty)$
16	$\backslash pi\_\{16\}(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)\; \backslash oplus\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)$
17	$\backslash pi\_\{17\}(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)$
18	$\backslash pi\_\{18\}(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(720)\; \backslash oplus\; \backslash operatorname\{Cyc\}(3)$
19	$\backslash pi\_\{19\}(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(2)$
21	$\backslash pi\_\{21\}(F\_4)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Cyc\}(3)\; \backslash oplus\; \backslash operatorname\{Cyc\}(3)$

여기서 $\backslash operatorname\{Cyc\}(k)$는 $k$차 순환군이다. 21차 이하에서 위에 언급되지 않은 호모토피 군은 자명군이다.

$\backslash mathfrak\; f\_4$의 불변 다항식 차수는 2, 6, 8, 12이다. 즉, 그 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 23차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

3.1. 군론적 성질

F₄ 콤팩트 형식의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.

* Spin(9)
* (USp(2) × USp(6))/(ℤ/2)
* (SU(3) × SU(3))/(ℤ/3)

F₄는 E₆의 부분군이다. 이는 E₆의 딘킨 도표를 ℤ/2 대칭을 따라 접어서 얻는다.

3.2. 위상수학적 성질

콤팩트 형태의 F₄의 21차 이하 호모토피 군은 다음과 같다.

여기서 $\backslash operatorname\{Cyc\}(k)$는 $k$차 순환군이다. 위에 수록되지 않은 21 이하 차수의 호모토피 군은 자명군이다.

$\backslash mathfrak\; f\_4$의 불변 다항식 차수는 2, 6, 8, 12이다. 즉, 그 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 23차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

3.3. 근계 (Root System)

F₄의 근계는 48개의 근으로 구성되며, 24개의 긴 근과 24개의 짧은 근으로 이루어져 있다. 4차원에서 정이십사포체(24-cell)가 존재하며, F₄의 긴 근과 짧은 근은 각각 서로 쌍대인 두 개의 정이십사포체를 이룬다.

F₄의 근은 다음과 같다.
* (±1, ±1, 0, 0) 꼴의 긴 근 24개 (좌표축 치환)
* (±1, 0, 0, 0) 꼴의 짧은 근 8개 (좌표축 치환)
* (±½, ±½, ±½, ±½) 꼴의 짧은 근 16개

F₄는 4개의 단순근을 가지며, 단순근을 고르는 한 방법은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{pmatrix\}$
0&1&-1&0 \\
0&0&1&-1 \\
0&0&0&1 \\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}

이에 따른 카르탕 행렬은 다음과 같다.

:$$
\begin{pmatrix}
2&-1&0&0\\
-1&2&-2&0\\
0&-1&2&-1\\
0&0&-1&2
\end{pmatrix}


F₄의 바일 군은 크기가 $2^7\backslash times3^2=1152$인 가해군이며, 4차원 정이십사포체의 대칭군이다.

--

F₄의 딘킨 도표는 네 개의 꼭짓점을 가진 선형이며, 2번째와 3번째 사이의 변은 2겹 화살표로 연결되어 있다.

3.4. 표현론 (Representation Theory)

F₄의 기약 표현의 차원은 1, 26, 52, 273, 324, 1053 (두 개), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829 등이다. 이 가운데 52차원 표현은 딸림표현이며, 26차원 표현은 27차원 예외적 요르단 대수 위의 작용에서 대각합을 제외한 것이다. 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현들이며, 이는 딘킨 도표의 네 노드에 대응한다.

F₄의 바일 군은 원소 $v\backslash mapsto-v$를 포함하며, 따라서 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. F₄는 사원수 표현을 갖지 않으며, 모든 표현은 실수 표현이다.

52차원 표현은 리 대수의 수반 표현이고, 26차원 표현은 27차원 알베르트 대수에 대한 F₄의 작용에서 무자취 부분이다.

1053, 160056 등의 차원을 갖는 두 개의 비동형 기약 표현이 있다.

3.5. 대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 $\backslash mathfrak\; f\_4(\backslash mathbb\; Z)$ 및 군 $F\_4(\backslash mathbb\; Z)$을 정의할 수 있다. 이는 임의의 가환환 $R$에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 $\backslash mathbb\; F\_q$에 대한 계수의 슈발레 군 $F\_4(\backslash mathbb\; F\_q)$의 크기는 다음과 같다.
:$|F\_4(\backslash mathbb\; F\_q)|=q^\{24\}(q^\{12\}-1)(q^8-1)(q^6-1)(q^2-1)$
이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다.
:$|F\_4(\backslash mathbb\; F\_2)|\backslash approx3.31\backslash times10^\{15\}$
:$|F\_4(\backslash mathbb\; F\_3)|\backslash approx5.73\backslash times10^\{24\}$
:$|F\_4(\backslash mathbb\; F\_4)|\backslash approx1.90\backslash times10^\{31\}$

F₄는 표수가 2인 체 위에서 추가 대칭을 갖는다. 체의 크기가 $2^\{2n+1\}$ 꼴인 경우, 이 대칭을 체의 프로베니우스 자기 동형으로 뒤틀어 대수군 $\{\}^2F\_4(\backslash mathbb\; F\_\{2^\{2n+1\}\})$을 정의할 수 있다. 이 군들은 발견자 이임학의 이름을 따 이임학 군(Ree group^영어)이라고 한다. 이 군들의 크기는 다음과 같다.
:$|\{\}^2F\_4(\backslash mathbb\; F\_q)|=\; q^\{12\}(q^6+1)(q^4-1)(q^3+1)(q-1)\backslash qquad(q=2^\{2n+1\})$
이들은 $q=2$인 경우를 제외하면 모두 유한 단순군을 이룬다. $q=2$일 경우 이는 단순군이 아니지만, 그 교환자 부분군 $\{\}^2F\_4(\backslash mathbb\; F\_2)\text{'}$은 지표가 2인 단순 부분군을 이룬다. 이 단순군은 발견자 자크 티츠의 이름을 따 티츠 군(Tits group^영어)이라고 한다. 티츠 군의 크기는 다음과 같다.
:$|\{\}^2F\_4(\backslash mathbb\; F\_2)\text{'}|=\backslash frac12|\{\}^2F\_4(\backslash mathbb\; F\_2)|=2^\{11\}\backslash times3^3\backslash times5^2\backslash times13=17\backslash ,971\backslash ,200$

4. 역사

리 대수 $\backslash mathfrak\; f\_4$는 빌헬름 킬링이 복소수 단순 리 대수를 분류하면서 두 번 독립적으로 발견하였다. 그러나 킬링은 이 두 리 대수가 서로 동형이라는 것을 알아차리지 못했다. 이후 엘리 카르탕이 1894년에 복소수 단순 리 군을 분류하면서 그 존재와 유일함을 엄밀히 증명하였다.

이후 클로드 슈발레가 1955년에 F₄를 비롯한 다른 모든 단순 리 군을 유한체 위에서 정의할 수 있음을 보였다. 표수 3의 체 위의 뒤틀린 F₄는 이임학이 1961년에 발견하였다. 티츠 군은 자크 티츠가 1964년에 발견하였다.