E₆

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
5. 역사
참조

1. 개요

E₆는 여러 가지 방법으로 정의될 수 있는 리 군의 한 유형이다. 요르단 대수, 팔원수, Spin(10)을 통해 정의할 수 있으며, 78차원의 리 대수와 72개의 근을 가진다. E₆는 대수적 성질, 위상수학적 성질, 근계, 표현론, 대수기하학적 성질을 가지며, 입자물리학의 대통일 이론 등 다양한 분야에 응용된다. E₆는 빌헬름 킬링과 엘리 카르탕에 의해 발견되었으며, 딕슨과 스타인버그에 의해 슈발레 군과 스타인버그 군이 발견되었다.

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E₆

2. 정의

E₆는 팔원수를 사용하여 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다.^[9]

2. 1. 요르단 대수를 사용한 정의

3×3 팔원수 에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수

\operatorname H(3;\mathbb O)

가 존재하며, 이는 실수 요르단 대수의 분류에서 유일한 예외적 요르단 대수이다. 이는 실수 27차원 대수이다.

\operatorname H_3(\mathbb O)

위의 '''행렬식'''을 다음과 같이 정의한다.^[9]

:

\det M=\frac13\operatorname{tr}M^3-\frac12\operatorname{tr}M^2\operatorname{tr}M+\frac16(\operatorname{tr}M)^3

성분으로 표기하면 이는 다음과 같다.

:

\det\begin{pmatrix}a&z&y\\\bar z&b&x\\\bar y&\bar x&c\end{pmatrix}=abc-(a|x|^2+b|y|^2+c|z|^2)+2\operatorname{Re}(xyz)

\operatorname{GL}(27;\mathbb R)

에서, 3×3 팔원수 에르미트 행렬의 행렬식을 보존하는 부분군은 E₆의 비콤팩트 형식 E_6(-26)과 동형이다.^[9]

옥토니언의 자기 동형 사상군이 대수군 G₂이고, 알버트 대수의 자기 동형 사상군이 특이 조르당 대수인 대수군 F₄인 것과 마찬가지로, 대수군 E₆는 "행렬식"이라고 불리는 특정 3차 형식을 보존하는 알버트 대수의 선형 자기 동형 사상군이다.^[3]

2. 2. 팔원수를 사용한 정의

두 나눗셈 대수

K

,

K'

이 주어졌을 때, 이를 사용하여 '''프로이덴탈 마방진'''이라는 리 대수의 작도가 존재한다.^[9] E₆의 리 대수는

(K,K')=(\mathbb O,\mathbb C)

를 사용하여 정의할 수 있다. 구체적으로, 마방진을 사용하여 다음과 같은 벡터 공간에 자연스러운 리 대수를 줄 수 있으며, 이는 E₆의 리 대수와 같다.^[9]

:

\mathfrak e_6\cong\mathfrak{der}(\mathbb O)\oplus\mathfrak{su}(3;\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb O)\cong\mathfrak{der}(\mathfrak h(3;\mathbb O))\oplus\mathfrak{sh}(3;\mathbb O)

여기서

$\mathfrak{der}(\mathbb O)\cong\mathfrak g_2$ 는 팔원수 대수 위의 미분들의 리 대수이며, 14차원이다. 이는 G₂의 리 대수와 같다.
$\mathfrak{su}(3;\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb O)$ 는 $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb O$ 계수의 3×3 반에르미트 행렬 가운데, 대각합이 모두 0인 것들이다. 이는 리 대수를 이루지 않으며, 64차원이다.
$\mathfrak{der}(\mathfrak h(3;\mathbb O))\cong\mathfrak f_4$ 는 예외적 요르단 대수 위의 미분들의 리 대수이며, 52차원이다. 이는 F₄의 리 대수와 같다.
$\mathfrak{sh}(3;\mathbb O)$ 는 예외적 요르단 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬) 가운데, 대각합이 0인 것들이다. 이는 26차원이다.

따라서, E₆의 차원은 78인 것을 알 수 있다.

이 밖에도, E₆의 실수 형식 E_6(-26)은 "팔원수에 대한 3차원 특수직교군"으로 여길 수 있다.^[10]^[11] (물론 팔원수는 환을 이루지 않으므로, 팔원수에 대한 특수직교군은 실제로 존재하지 않는다.)

:

E_{6(-26)}\cong\text{``}\operatorname{SL}(3;\mathbb O)\text{''}

2. 3. Spin(10)을 통한 정의

Spin(10)은 16차원 바일 스피너를 가지는데, 이에 따라 E₆의 리 대수를 다음과 같이 구성할 수 있다.

:

\mathfrak e_6 = \mathfrak{so}(10) \oplus \mathfrak{so}(2) \oplus \mathbf{16}^{-3}\oplus\overline{\mathbf{16}}^{+3}

여기서 두 스피너 사이의 적절한 리 괄호를 정의한다.

이 구성에서 실수 형식을 취하려면, SO(2)를

\operatorname U(1)

또는

\operatorname{SO}(1,1)

가운데 하나로 선택해야 한다. 전자의 경우 정의 표현은 1차원 복소수 표현으로 간주되며, 후자의 경우 정의 표현은 2차원 실수 표현이다.

전자의 경우, 두 바일 스피너가 서로 상호 켤레이어야 한다. 즉, 계량 부호수 $(p,q)$ 에서, $|(p-q)\bmod8| = 2$ 이어야 한다. 이 경우는 (10,0), (8,2), (6,4) 세 가지가 있다. 이들은 각각 단순 리 대수 D₅₍₋₄₅₎, D₅₍₋₁₃₎, D₅₍₃₎에 대응하며, 각각 E₆₍₋₇₈₎ (콤팩트), E₆₍₋₁₄₎, E₆₍₂₎를 구성한다.
후자의 경우, 마요라나-바일 스피너가 존재해야 한다. 즉, 계량 부호수 $(p,q)$ 에서, $p\equiv q\pmod8$ 이어야 한다. 이 경우는 (5,5), (9,1) 두 가지가 있다. 이들은 각각 단순 리 대수 D₅₍₅₎ 및 D₅₍₋₂₇₎에 대응하며, 각각 E₆₍₆₎ (분할) 및 E₆₍₋₂₆₎을 구성한다.

2. 4. 실수 형식

E₆는 다섯 개의 실수 형식을 가진다.^[12] 이들은 중심이 없는 형태로, 다음과 같이 분류된다.

\bullet-\bullet-\bullet

||

\circ-\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ-\circ

|-

| E₆₍₆₎ || EⅠ || 분할(split) 형식 || Cyc(2) || Cyc(2) || USp(8)/{±1} ||

\circ-\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ-\circ

|

\underbrace{\circ-\underbrace{\circ-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\circ-\circ}-\,\circ}

|-

| E₆₍₂₎ || EⅡ || 준분할 형식 || Cyc(6) || Cyc(2) || SU(2)×PSU(6)||

\underbrace{\circ-\underbrace{\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ}-\,\circ}

|

\circ-\circ-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\circ-\circ-\circ

|-

| E_6(-14) || EⅢ || || Cyc(∞) || 1 || SO(2)×Spin(10)||

\underbrace{\circ-\bullet-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\circ}

|

\bullet-\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ-\circ

|-

| E_6(-26) || EⅣ || || 1 || Cyc(2) || F₄ ||

\circ-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\circ

|

\underbrace{\circ-\underbrace{\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ}-\,\circ}

|}

위 표에서 사용된 사타케 도표와 보건 도표에서 중괄호(

\underbrace{\color{White}m}

)는 화살표(

\leftrightarrow

)를 나타낸다.

E₆ 타입에는 고유한 복소 리 대수가 있으며, 이는 복소 차원 78의 복소 그룹에 해당한다. 복소 딸림 리 군 E₆은 실수 차원 156의 단순 실 리 군으로 간주될 수 있다. 이 군은 기본군이 '''Z'''/3'''Z'''이고, 최대 콤팩트 부분군은 E₆의 콤팩트 형태이며, 외부 자기 동형 사상군은 복소 켤레와 복소 자기 동형 사상으로 이미 존재하는 외부 자기 동형 사상에 의해 생성된 4차 비순환군이다.

E₆ 타입의 복소 리 군 외에도, 리 대수의 다섯 가지 실수 형식이 있으며, 이에 따라 중심이 자명한 다섯 가지 실수 형태의 군이 존재한다(이들은 모두 대수적 이중 덮개를 가지며, 세 개는 추가적인 비대수적 덮개를 가져 추가적인 실수 형태를 제공한다). 모두 실 차원이 78이며, 다음과 같다.

콤팩트 형태는 기본군이 '''Z'''/3'''Z'''이고 외부 자기 동형 사상군은 '''Z'''/2'''Z'''이다.
분할 형태 EI(또는 E₆₍₆₎)는 최대 콤팩트 부분군이 Sp(4)/(±1)이고, 기본군이 2차이며, 외부 자기 동형 사상군이 2차이다.
준분할 형태 EII(또는 E₆₍₂₎)는 최대 콤팩트 부분군이 SU(2) × SU(6)/(중심)이고, 기본군이 6차 순환군이며, 외부 자기 동형 사상군이 2차이다.
EIII(또는 E_6(-14))는 최대 콤팩트 부분군이 SO(2) × Spin(10)/(중심)이고, 기본군이 '''Z'''이며, 외부 자기 동형 사상군은 자명하다.
EIV(또는 E_6(-26))는 최대 콤팩트 부분군이 F₄이고, 기본군이 자명하며, 외부 자기 동형 사상군이 2차이다.

3. 성질

E₆는 78차원의 복소 리 대수에 해당하며, 여러 실수 형태를 가진다. E₆의 콤팩트 형태는 78차원 콤팩트 연결 매끄러운 다양체이며, 그 호모토피 군은 다음과 같다.^[13]

: $\pi_1(E_6)\cong\mathbb Z/3$

: $\pi_3(E_6)\cong\pi_9(E_6)\cong\mathbb Z$

: $\pi_n(E_6)\cong0,\qquad n<9,n\ne1,3$

$\mathfrak e_6$ 의 불변 다항식 차수는 2, 5, 6, 8, 9, 12이다. 즉, E₆ 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 9차 · 11차 · 15차 · 17차 · 23차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

E₆ 근계는 72개의 근으로 구성되며, 6차원이지만 9차원 벡터로 표현하는 것이 더 대칭적이다.^[14] 72개의 근은 다음과 같이 표현된다.

18개의 근: $(\pm1,\mp1,0)$ , $(\pm1,0,\mp1)$ , $(0,\pm1,\mp1)$ 6개 중 하나를 '''8'''로, $\mathbf1=(0,0,0)$ 로 정의했을 때, $(\mathbf8,\mathbf1,\mathbf1)$ , $(\mathbf1,\mathbf8,\mathbf1)$ , $(\mathbf1,\mathbf1,\mathbf8)$
27개의 근: $(2/3,-1/3,-1/3)$ , $(-1/3,2/3,-1/3)$ , $(-1/3,-1/3,2/3)$ 중 하나를 '''3'''으로 정의했을 때, $(\mathbf3,\mathbf3,\mathbf3)$
27개의 근: $(-2/3,1/3,1/3)$ , $(1/3,-2/3,1/3)$ , $(1/3,1/3,-2/3)$ 중 하나를 $\bar{\mathbf3}$ 으로 정의했을 때, $(\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3})$

이는 E₆ 딸림표현을 SU(3)³ 부분군으로 나타낸 것이다.

6차원에서 1₂₂라는 고른 폴리토프가 존재하는데, 이는 72개 꼭짓점을 가지며, E₆ 근계의 72개 근들은 1₂₂ 꼭짓점을 이룬다.

E₆ 바일 군은 크기가 51840인 유한군이다. 크기가 25920인 유일한 유한 단순군이 존재하는데, E₆ 바일 군은 그 자기 동형군이다.

E₆ 딘킨 도표는 여섯 개 꼭짓점을 가지며, 모든 변이 1겹이다(simply laced^영어).

:

\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet

E₆ 딘킨 도표는

\mathbb Z/2

대칭을 가진다.

E₆ 기약 표현 차원은 다음과 같다.^[15]

:1, 27 (×2), 78, 351 (×4), 650, 1728 (×2), 2430, 2925, 3003 (×2), 5824 (×2), 7371 (×2), 7722 (×2), 17550 (×2), 19305 (×4), 34398 (×2), 34749, 43758, 46332 (×2), 51975 (×2), 54054 (×2), 61425 (×2), 70070, 78975 (×2), 85293, 100386 (×2), 105600, 112320 (×2), 146432 (×2), 252252 (×2), 314496 (×2), 359424 (×4), 371800 (×2), 386100 (×2), 393822 (×2), 412776 (×2), 442442 (×2), …

(×''n'')은 같은 차원의 서로 다른 기약 표현들이 ''n''개 있다는 뜻이다. E₆는 사원수 표현을 가지지 않는다. 즉, 모든 표현은 실수 표현이거나 복소수 표현이다.

E₆ 기본 표현은 '''27''', '''78''', '''351''', '''2925''' 여섯 개이다. '''27''' 기본 표현은 27차원 예외적 요르단 대수 위 작용에서 유래하며, 복소수 표현이다. '''78'''은 딸림표현이며, 실수 표현이다.

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수 리 대수

\mathfrak e_6(\mathbb Z)

및 군

E_6(\mathbb Z)

을 정의할 수 있다. 이는 임의의 가환환

R

에 대해 대수군으로 일반화할 수 있다.

특히, 유한체

\mathbb F_q

계수 슈발레 군

E_6(\mathbb F_q)

을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 구성이 가능하다.

$E_6$ 범피복군 $\tilde E_6$ 유한체 계수 형식 $\tilde E_6(\mathbb F_q)$
$E_6$ 무중심 형식 유한체 계수 형식 $E_6(\mathbb F_q)$

E₆ 딘킨 도표는

\mathbb Z/2

대칭을 가지므로 스타인버그 군

{}^2E_6(q)

및 그 범피복군

{}^2\tilde E_6(q)

를 정의할 수 있다.

3. 1. 대수적 성질

E₆의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.^[8]

(Spin(10)×U(1))/(ℤ/4): E₆의 ℤ/2 자기 동형에 대하여 고정된 원소들로 구성되며, 대통일 이론에서 중요한 역할을 한다.
(SU(6)×USp(2))/(ℤ/4): E₆의 또다른 ℤ/2 자기 동형에 대하여 고정된 원소들로 구성된다.
(SU(3)×SU(3)×SU(3))/(ℤ/3): E₆의 ℤ/3 자기 동형에 대하여 고정된 원소들로 구성된다.
F₄: E₆의 또다른 ℤ/2 자기 동형에 대하여 고정된 원소들로 구성된다.
USp(8)/(ℤ/2): E₆의 또다른 ℤ/2 자기 동형에 대하여 고정된 원소들로 구성된다. 이 부분군은 딘킨 도표로 나타낼 수 없는 특수 극대 부분군이다.

E₆는 E₇ 및 E₈의 부분군이다.

E₇은 (E₆×U(1))/(ℤ/3) 부분군을 가진다.^[8]
E₈은 (E₆×SU(3))/(ℤ/3) 부분군을 가진다.^[8]

E₆ 타입에는 고유한 복소 리 대수가 있으며, 복소 차원 78의 복소 그룹에 해당한다. 복소 차원 78의 복소 딸림 리 군 E₆은 실수 차원 156의 단순 실 리 군으로 간주될 수 있다. 이 군은 기본군이 ℤ/3ℤ이고, 최대 콤팩트 부분군은 E₆의 콤팩트 형태이며, 외부 자기 동형 사상군은 복소 켤레와 복소 자기 동형 사상으로 이미 존재하는 외부 자기 동형 사상에 의해 생성된 4차 비순환군이다.

E₆ 타입의 복소 리 군 외에도, 리 대수의 다섯 가지 실형태가 있으며, 이에 따라 중심이 자명한 다섯 가지 실형태의 군이 존재한다. 이들은 모두 대수적 이중 덮개를 가지며, 세 개는 추가적인 비대수적 덮개를 가져 추가적인 실형태를 제공한다. 모두 실 차원이 78이며, 그 내용은 다음과 같다.

기호	다른 기호	설명	기본군	외부자기동형군	극대 콤팩트 부분군	사타케 도표	보건 도표
E_6(-78)		콤팩트 형식	Cyc(3)	Cyc(2)	E_6(-78)	\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle>}

형태	최대 콤팩트 부분군	기본군	외부 자기 동형 사상군
콤팩트 형태		ℤ/3ℤ	ℤ/2ℤ
분할 형태 EI (E₆₍₆₎)	Sp(4)/(±1)	2차	2차
준분할 형태 EII (E₆₍₂₎)	SU(2) × SU(6)/(중심)	6차 순환군	2차
EIII (E_6(-14))	SO(2) × Spin(10)/(중심)	ℤ	자명
EIV (E_6(-26))	F₄	자명	2차

E₆의 EIV 형태는 옥토니언 사영 평면 '''OP'''²의 공선 변환(선 보존 변환) 그룹이다.^[1] 또한, 예외적인 조르당 대수의 행렬식을 보존하는 선형 변환 그룹이기도 하다. E₆의 콤팩트 실형태는 '바이옥토니언 사영 평면'으로 알려진 32차원 리만 다양체의 등거리 변환군이다.

리 대수(Lie algebra) E₆는 외부 자기 동형 사상의 고정 부분 대수인 F₄ 부분 대수와 SU(3) × SU(3) × SU(3) 부분 대수를 갖는다.

78차원 수반 표현 외에도 두 개의 이중 27차원 "벡터" 표현이 있다.

가장 작은 기약 표현의 차원은 다음과 같다.

: 1, 27 (2번), 78, 351 (4번), 650, 1728 (2번), 2430, 2925, 3003 (2번), 5824 (2번), 7371 (2번), 7722 (2번), 17550 (2번), 19305 (4번), 34398 (2번), 34749, 43758, 46332 (2번), 51975 (2번), 54054 (2번), 61425 (2번), 70070, 78975 (2번), 85293, 100386 (2번), 105600, 112320 (2번), 146432 (2번), 252252 (2번), 314496 (2번), 359424 (4번), 371800 (2번), 386100 (2번), 393822 (2번), 412776 (2번), 442442 (2번)...

위 시퀀스에서 밑줄 친 용어는 E₆의 수반 형태가 갖는 기약 표현의 차원인 반면, 전체 시퀀스는 E₆의 단일 연결 형태의 기약 표현의 차원을 제공한다.

기본 표현은 27, 351, 2925, 351, 27 및 78 차원을 갖는다.

3. 2. 위상수학적 성질

E₆의 콤팩트 형식은 78차원 콤팩트 연결 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.^[13]

:

\pi_1(E_6)\cong\mathbb Z/3

:

\pi_3(E_6)\cong\pi_9(E_6)\cong\mathbb Z

:

\pi_n(E_6)\cong0,\qquad n<9,n\ne1,3

\mathfrak e_6

의 불변 다항식의 차수는 2, 5, 6, 8, 9, 12이다. 즉, E₆의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 9차 · 11차 · 15차 · 17차 · 23차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

3. 3. 근계 (Root System)

E₆의 근계는 72개의 근으로 구성된다. E₆의 근계는 6차원이지만, 9차원 벡터로 표현하는 것이 더 대칭적이다. 72(=18+27+27)개의 근들은 다음과 같이 표현된다.^[14]

다음과 같은 18개의 근:
* '''8'''이 $(\pm1,\mp1,0),\;(\pm1,0,\mp1),\;(0,\pm1,\mp1)$ 6개 가운데 하나이고, $\mathbf1=(0,0,0)$ 이라 하였을 때, $(\mathbf8,\mathbf1,\mathbf1)$ , $(\mathbf1,\mathbf8,\mathbf1)$ , $(\mathbf1,\mathbf1,\mathbf8)$
다음과 같은 27개의 근:
* '''3'''이 $(2/3,-1/3,-1/3),\;(-1/3,2/3,-1/3),\;(-1/3,-1/3,2/3)$ 가운데 하나일 때, $(\mathbf3,\mathbf3,\mathbf3)$
다음과 같은 27개의 근:
* $\bar{\mathbf3}$ 이 $(-2/3,1/3,1/3),\;(1/3,-2/3,1/3),\;(1/3,1/3,-2/3)$ 가운데 하나일 때, $(\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3})$

이는 E₆의 딸림표현을 SU(3)³ 부분군으로 나타낸 것이다.

6차원에서는 1₂₂라는 고른 폴리토프가 존재하는데, 이는 72개의 꼭짓점을 가진다. E₆의 근계의 72개의 근들은 1₂₂의 꼭짓점들을 이룬다.

E₆의 바일 군은 크기가 51840인 유한군이다. 크기가 25920인 유일한 유한 단순군이 존재하는데, E₆의 바일 군은 그 자기 동형군이다.

E₆의 딘킨 도표는 여섯 개의 꼭짓점을 가지며, 모든 변이 1겹이다(simply laced^영어).

:

\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet

E₆의 딘킨 도표는

\mathbb Z/2

대칭을 가진다.

3. 4. 표현론 (Representation Theory)

E₆의 기약 표현의 차원들은 다음과 같다.^[15]

:1, 27 (×2), 78, 351 (×4), 650, 1728 (×2), 2430, 2925, 3003 (×2), 5824 (×2), 7371 (×2), 7722 (×2), 17550 (×2), 19305 (×4), 34398 (×2), 34749, 43758, 46332 (×2), 51975 (×2), 54054 (×2), 61425 (×2), 70070, 78975 (×2), 85293, 100386 (×2), 105600, 112320 (×2), 146432 (×2), 252252 (×2), 314496 (×2), 359424 (×4), 371800 (×2), 386100 (×2), 393822 (×2), 412776 (×2), 442442 (×2), …

여기서 (×''n'')은 같은 차원의 서로 다른 기약 표현들이 ''n''개 있다는 뜻이다. E₆의 딘킨 도표가 대칭적이기 때문에 기약 표현들의 차원이 자주 중복된다. E₆는 사원수 표현을 가지지 않는다. 즉, 모든 표현은 실수 표현이거나 복소수 표현이다.

E₆의 기본 표현은 '''27''', '''78''', '''351''', '''2925''' 여섯 개이다. '''27''' 기본 표현은 27차원 예외적 요르단 대수 위의 작용으로부터 유래하며, 복소수 표현이다. '''78'''은 딸림표현이며, 따라서 실수 표현이다.

E₈은 E₆를 부분군으로 가진다. 이 경우, E₈의 딸림표현 '''248'''은 다음과 같이 분해된다.

:

\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf1,\mathbf8)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{78},\mathbf1)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{27},\mathbf3)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\overline{\mathbf{27}},\bar{\mathbf3})_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}

E₆의 부분군에 대하여, E₆의 표현들은 다음과 같이 분해된다.^[15]

:

\mathbf{27}_{E_6}\to\mathbf{16}^1_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\mathbf{10}^{-2}_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\mathbf1^4_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}

:

\mathbf{78}_{E_6}\to\mathbf{45}^0_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\mathbf{16}^{-3}_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\overline{\mathbf{16}}^3_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\mathbf1^0_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}

:

\mathbf{27}_{E_6}\to\mathbf{26}_{F_4}\oplus\mathbf1_{F_4}

:

\mathbf{78}_{E_6}\to\mathbf{52}_{F_4}\oplus\mathbf{26}_{F_4}

:

\mathbf{27}_{E_6}\to(\bar{\mathbf3},\mathbf3,\mathbf1})_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf3,\mathbf1,\bar{\mathbf3})_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf1,\bar{\mathbf3},\mathbf3})_{\operatorname{SU}(3)^3}

:

\mathbf{78}_{E_6}\to(\mathbf8,\mathbf1,\mathbf1})_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf1,\mathbf8,\mathbf1})_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf1,\mathbf1,\mathbf8})_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf3,\mathbf3,\mathbf3})_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3})_{\operatorname{SU}(3)^3}

특히, SO(10)으로 가는 분해는 대통일 이론에서 중요하다.

가장 작은 기약 표현의 차원은 다음과 같다.

:1, 27 (2번), 78, 351 (4번), 650, 1728 (2번), 2430, 2925, 3003 (2번), 5824 (2번), 7371 (2번), 7722 (2번), 17550 (2번), 19305 (4번), 34398 (2번), 34749, 43758, 46332 (2번), 51975 (2번), 54054 (2번), 61425 (2번), 70070, 78975 (2번), 85293, 100386 (2번), 105600, 112320 (2번), 146432 (2번), 252252 (2번), 314496 (2번), 359424 (4번), 371800 (2번), 386100 (2번), 393822 (2번), 412776 (2번), 442442 (2번)...

기본 표현은 27, 351, 2925, 351, 27 및 78 차원을 갖는다.

3. 5. 대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수

\mathfrak e_6(\mathbb Z)

및 군

E_6(\mathbb Z)

을 정의할 수 있다. 이는 임의의 가환환

R

에 대하여 대수군으로 일반화할 수 있다.

특히, 유한체

\mathbb F_q

에 대한 계수의 슈발레 군

E_6(\mathbb F_q)

을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 구성이 가능하다.

$E_6$ 의 범피복군 $\tilde E_6$ 의 유한체 계수 형식 $\tilde E_6(\mathbb F_q)$
$E_6$ 의 무중심 형식의 유한체 계수 형식 $E_6(\mathbb F_q)$

이들의 크기는 다음과 같다.

:

|\tilde E_6(\mathbb F_q)|=q^{36}(q^{12}-1)(q^9-1)(q^8-1)(q^6-1)(q^5-1)(q^2-1)

:

|E_6(\mathbb F_q)|=\frac1{\gcd\{3,q-1\}}|\tilde E_6(\mathbb F_q)|

E_6(\mathbb F_q)

는 모든 유한체

\mathbb F_q

에 대하여 유한 단순군이다. 이 가운데 가장 작은 군들의 크기는 다음과 같다.

체	크기
$\mathbb F_2$	$\approx 2.15\times10^{23}$
$\mathbb F_3$	$\approx 1.45\times10^{37}$
$\mathbb F_4$	$\approx 2.85\times10^{46}$
$\mathbb F_5$	$\approx 3.18\times10^{54}$

$E_6(\mathbb F_5)$ 부터는 괴물군보다 더 크다.

E₆의 딘킨 도표는 $\mathbb Z/2$ 대칭을 가진다. 유한체 $\mathbb F_{q^2}/\mathbb F_q$ 는 $\mathbb Z/2$ 프로베니우스 자기 동형 $x\mapsto x^q$ 을 가지며, 이에 따라 슈발레 군을 뒤틀어 스타인버그 군 ${}^2E_6(q)$ 및 그 범피복군 ${}^2\tilde E_6(q)$ 를 정의할 수 있다. 이들의 크기는 다음과 같다.

: $|{}^2\tilde E_6(\mathbb F_q)|=q^{36}(q^{12}-1)(q^9+1)(q^8-1)(q^6-1)(q^5+1)(q^2-1)$

: $|{}^2E_6(\mathbb F_q)|=\frac1{\gcd\{3,q+1\}}|{}^2\tilde E_6(\mathbb F_q)|$

${}^2E_6(\mathbb F_q)$ 역시 모든 유한체 $\mathbb F_q$ 에 대하여 유한 단순군이다. 이 가운데 가장 작은 군들의 크기는 다음과 같다.

체	크기
$\mathbb F_2$	$\approx 7.65\times10^{22}$
$\mathbb F_3$	$\approx 1.46\times10^{37}$
$\mathbb F_4$	$\approx 8.57\times10^{46}$
$\mathbb F_5$	$\approx 1.06\times10^{54}$

${}^2E_6(\mathbb F_5)$ 부터는 괴물군보다 더 크다.

4. 응용

입자물리학에서, E₈ 잡종 끈 이론을 기반으로 하는 현상론적 모형에서는 4차원 유효 이론에서 자연스럽게 E₈×E₈ 게이지 이론이 발생한다. 이를 SO(10) 대통일 이론과 연결시키려면, 통상적으로 다음과 같은 자발 대칭 깨짐이 존재한다고 추측된다.

:E₈×E₈ → E₈ → E₇ → E₆ → SO(10)

이는 E₆가 자연스럽게 SO(10)을 부분군으로 갖는 것에 의하여 가능하다.

5. 역사

빌헬름 킬링이 복소수 단순 리 대수를 분류하면서 리 대수 $\mathfrak e_6$ 를 발견하였다. 이후 엘리 카르탕이 1894년에 복소수 단순 리 군을 분류하면서 그 존재와 유일함을 엄밀히 증명하였다.^[16]

레너드 유진 딕슨이 1901년에 E₆에 대한 슈발레 군을 발견하였고,^[17]^[18] 로베르트 스테인베르그가 1959년에 스타인버그 군 ²E₆을 발견하였다.^[19]

참조

_[1] 서적 Geometry of Lie Groups
_[2] 서적 Алгебраические группы и теория чисел Наука
_[3] 서적 Octonions, Jordan Algebras, and Exceptional Groups Springer
_[4] 서적 ATLAS of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups Oxford University Press
_[5] 서적 Simple Groups of Lie Type John Wiley & Sons
_[6] 서적 The Finite Simple Groups Springer-Verlag
_[7] 서적 http://press.uchicag[...] 2013-09-15
_[8] 간행물
_[9] 간행물 http://math.ucr.edu/[...]
_[10] 간행물
_[11] 간행물
_[12] 간행물
_[13] 간행물 http://projecteuclid[...]
_[14] 서적 Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups Oxford University Press
_[15] 간행물 http://citeseerx.ist[...]
_[16] 간행물 https://archive.org/[...]
_[17] 간행물
_[18] 간행물
_[19] 간행물

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