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꼬임 없는 가군

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1. 개요

꼬임 없는 가군은 환 R의 왼쪽 가군 M에 대해 특정 조건을 만족하는 가군을 의미한다. 꼬임 없는 가군은 다양한 조건, 예를 들어 rM ≠ 0 (r ∈ R, m ∈ M) 또는 Tor1R(R/rR, M) = 0을 만족하며, 평탄 가군과 밀접한 관련이 있다. 폰 노이만 정칙환의 경우 모든 가군은 꼬임 없는 가군이며, 뇌터 정역 위에서 꼬임 없는 가군은 유일한 연관 소수가 0인 가군이다. 또한, 모든 가군은 비꼬임 덮개를 가지며, 준연접층의 경우, 국소 비꼬임 단면이 없는 층을 꼬임 없는 층이라고 한다.

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꼬임 없는 가군
수학적 성질
정의모든 자유 가군의 부분가군인 가군
성질
나눗셈 가군꼬임 없는 가군은 일반적으로 나눗셈 가군이 아님
평탄 가군꼬임 없는 가군은 일반적으로 평탄 가군이 아님
완전열A → B → C가 완전열이고 A와 C가 꼬임 없으면, B도 꼬임 없음
완전열0 → A → B → C → 0이 완전열이고 B가 꼬임 없으면, A도 꼬임 없음
정역 R 위의 모든 꼬임 없는 가군은 평탄함
참고
관련 개념꼬임 부분가군
관련 개념꼬임 가군

2. 정의

R의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''꼬임 없는 왼쪽 가군'''(torsion-free left module영어)이라고 한다.


  • 임의의 r\in Rm\in M에 대하여, m\not\in\operatorname{Ann}(r_R)M이라면, rm\ne0이다.[3][5]
  • 임의의 r\in R에 대하여, \operatorname{Tor}^R_1(R/rR,M)=0이다.[3]
  • 임의의 r\in R에 대하여, 자연스러운 군 준동형 rR\otimes_RM\to rM아벨 군의 동형이다.[5]


여기서

:\operatorname{Ann}(r_R)=\{s\in R\colon rs=0\}

r의 오른쪽 소멸자이며,

:\operatorname{Ann}(r_R)M=\{s_1m_1+s_2m_2+\cdots+s_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec s\in R^k,\;\vec m\in M^k\}

이며, Tor는 Tor 함자이다.

가환환 R 위에서 전체 몫환 K를 갖는 가군 M\operatorname{Tor}_1(K/R, M)=0일 때 꼬임 없는 가군이다. 따라서 평탄 가군, 특히 자유 가군사영 가군은 꼬임 없는 가군이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 평탄하지 않은 꼬임 없는 가군의 예시로는 k 위의 다항식환 k[x, y]의 아이디얼 (x, y)k[x, y]-가군으로 본 경우가 있다.

임의의 비꼬임 가군은 꼬임 없는 가군이지만, 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 유리수의 집합 \mathbb{Q}정수 \mathbb{Z} 위의 꼬임 없는 가군이지만, 비꼬임 가군은 아니다.[2]

3. 성질

모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.[3][4] 이는 왼쪽 가군 M단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 _R\mathfrak A에 대하여 \operatorname{Ext}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0인 것이기 때문이다.[6]

R에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 '''폰 노이만 정칙환'''(von Neumann regular ring|영어) 또는 '''절대 평탄환'''(absolutely flat ring|영어)이라고 한다.


  • 임의의 r\in R에 대하여, r=rsrs\in R가 존재한다.
  • 모든 R-왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.[3]
  • 모든 R-오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.[3]
  • 모든 R-왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.[3]
  • 모든 R-오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.[3]
  • 모든 R-왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
  • 모든 R-오른쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
  • 모든 주 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r\in R에 대하여, Rr=Re이자 e^2=ee\in R가 존재한다.
  • 모든 주 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r\in R에 대하여, rRr=eR이자 e^2=ee\in R가 존재한다.
  • 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r_1,r_2,\dots,r_k\in R에 대하여, Rr_1+Rr_2+\cdots+Rr_k=Re이자 e^2=ee\in R가 존재한다.
  • 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 r_1,r_2,\dots,r_k\in R에 대하여, Rr_1+Rr_2+\cdots+Rr_k=Re이자 e^2=ee\in R가 존재한다.

3. 1. 평탄 가군과의 관계

모든 왼쪽 평탄 가군 _RM은 항상 꼬임 없는 가군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, ''k'' 위의 다항식환 ''k''[''x'', ''y'']의 아이디얼 (''x'', ''y'')는 ''k''[''x'', ''y''] 위의 꼬임 없는 가군이지만 평탄 가군은 아니다.

하지만 특정 조건 하에서는 역이 성립한다. 만약 환 ''R''의 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, ''R''이 베주 정역인 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.[3][4] 이는 왼쪽 가군 M평탄 가군일 필요충분조건이 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A_R에 대하여 \operatorname{Tor}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0이기 때문이다.

가환환 ''R'' 위에서 전체 몫환 ''K''를 갖는 가군 ''M''에 대해, ''M''이 꼬임 없는 가군인 것은 Tor1(''K''/''R'',''M'') = 0인 것과 동치이다.[5] 따라서 평탄 가군, 특히 자유 가군사영 가군은 항상 꼬임 없는 가군이다.

꼬임 없는 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.[5]

  • M은 평탄 왼쪽 가군이다.
  • 임의의 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R에 대하여, \mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M이다.
  • 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 \mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R에 대하여, \mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M이다.

여기서 \mathfrak AM=\{a_1m_1+a_2m_2+\cdots+a_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec a\in\mathfrak A^k,\;\vec m\in M^k\}이다.

임의의 비꼬임 가군(:en:torsionless module)은 꼬임 없는 가군이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 유리수의 집합 '''Q'''는 정수 '''Z''' 위의 꼬임 없는 가군이지만, 비꼬임 가군은 아니다.[2]

4. 꼬임 없는 가군의 구조

뇌터 정역 위에서, 꼬임 없는 가군은 유일한 연관 소수가 0인 가군이다. 더 일반적으로, 뇌터 가환환 위에서 꼬임 없는 가군은 모든 연관 소수가 환의 연관 소수에 포함되는 가군이다.

뇌터 정수적으로 닫힌 정역 위에서, 유한 생성 꼬임 없는 가군은 아이디얼동형인 몫 가군을 갖는 자유 부분 가군을 갖는다.

데데킨트 정역 위에서, 유한 생성 가군이 꼬임 없는 것은 사영적인 것과 동치이지만, 일반적으로 자유 가군은 아니다. 이러한 가군은 유한 생성 자유 가군과 아이디얼의 합과 동형이며, 아이디얼의 클래스는 가군에 의해 유일하게 결정된다.

주 아이디얼 정역 위에서, 유한 생성 가군이 꼬임 없는 것은 자유 가군인 것과 동치이다.

5. 꼬임 없는 덮개

정수 영역 위에서, 모든 가군 ''M''은 꼬임 없는 가군 ''F''로부터 ''M'' 위로의 꼬임 없는 덮개 ''F'' → ''M''를 가지며, 다른 어떤 꼬임 없는 가군이 ''M'' 위로 사상될 때 ''F''를 통과하고, ''M'' 위의 ''F''의 모든 자기준동형사상은 ''F''의 자기동형사상이라는 성질을 만족한다. ''M''의 이러한 꼬임 없는 덮개는 동형사상까지 유일하다. 꼬임 없는 덮개는 평탄 덮개와 밀접한 관련이 있다.

6. 꼬임 없는 준연접층

준연접층 ''F''는 스킴 ''X'' 위의 \mathcal{O}_X-가군이다. 이는 임의의 열린 아핀 스킴 ''U'' = Spec(''R'')에 대해, ''F''를 ''U''에 제한한 ''F''|U가 ''R'' 위의 어떤 가군 ''M''과 연관된 \mathcal{O}_X-가군이라는 의미이다. 만약 이러한 가군 ''M''들이 각각의 환 위에서 모두 꼬임 없는 가군이라면, 층 ''F''를 '''꼬임 없는 층'''이라고 부른다. 다시 말해, ''F''가 꼬임 없다는 것은 꼬임이 있는 국소 단면(local torsion section)을 가지지 않는다는 것과 같은 의미이다.[1]

참조

[1] 간행물 Stacks Project, Tag 0AVQ http://stacks.math.c[...]
[2] 간행물 Stacks Project, Tag 0AVQ http://stacks.math.c[...]
[3] 논문 A foundation of torsion theory for modules over general rings http://projecteuclid[...] 1960
[4] 서적 Lectures on modules and rings Springer
[5] 서적 Rings close to regular Springer-Verlag
[6] 서적 An introduction to homological algebra http://www.math.rutg[...] Cambridge University Press 1994



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