다섯제곱수

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 수론적 성질
- 2.2. 대수적 성질
3. 자연수의 5제곱
참조

1. 개요

다섯제곱수는 정수를 다섯 번 곱한 값이다. 임의의 정수 n에 대해 n⁵의 마지막 십진 자릿수는 n의 마지막 자릿수와 같으며, n이 홀수일 때 n⁵ - n은 240으로 나누어 떨어진다. 다섯제곱수는 아벨-루피니 정리에 따라 5차 이상의 일반적인 다항 방정식의 해를 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 없다는 특징을 갖는다. 또한, 다섯제곱은 다른 k-1개의 k제곱의 합으로 표현될 수 있는 두 개의 거듭제곱 k 중 하나이며, 오일러 거듭제곱 합 추측에 대한 반례를 제공한다. 자연수의 다섯제곱은 기하학적으로 5차원 초입방체의 부피로 해석될 수 있으며, 0, 1, 32, 243, 1024, 3125 등의 수열을 이룬다.

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다섯제곱수
다섯제곱수
정의
정의	어떤 수 n을 다섯 번 곱한 값, 즉 n⁵을 의미함.
수식	n⁵ = n × n × n × n × n
특징
마지막 자릿수	n의 마지막 자릿수와 n⁵의 마지막 자릿수는 같음.
부호	n의 부호와 n⁵의 부호는 같음.
분수	(a/b)⁵ = a⁵/b⁵
예시
0의 다섯제곱	'0'
1의 다섯제곱	'1'
2의 다섯제곱	'32'
3의 다섯제곱	'243'
4의 다섯제곱	'1024'
5의 다섯제곱	'3125'
6의 다섯제곱	'7776'
7의 다섯제곱	'16807'
8의 다섯제곱	'32768'
9의 다섯제곱	'59049'
10의 다섯제곱	'100000'

2. 성질

(내용 없음)

2. 1. 수론적 성질

임의의 정수 ''n''에 대해, ''n''⁵의 마지막 십진법 자릿수는 ''n''의 마지막 자릿수와 같다. 즉, ''n'' ≡ ''n''⁵ (mod 10) 이다.

또한, ''n''이 홀수일 때, ''n''⁵ - ''n''은 240으로 나누어 떨어진다는 것이 알려져 있다.

다섯 제곱수의 열은 5계 등차수열이다. 제4계차수열은 공차가 120인 등차수열이며, 제5계차수열은 상수 120이다.

아벨-루피니 정리에 따르면, 미지수의 5제곱을 최고차항으로 갖는 일반적인 오차 방정식의 해를 근호를 사용하여 나타내는 대수 공식은 존재하지 않는다. 다섯제곱은 이러한 성질이 성립하는 가장 낮은 차수이다. (육차 방정식, 칠차 방정식도 마찬가지이다.)

다섯제곱은 네제곱과 함께, ''k'' − 1개의 ''k''제곱수의 합으로 표현될 수 있는 두 거듭제곱 ''k'' 중 하나이다. 이는 오일러 거듭제곱 합 추측에 대한 반례가 된다. 구체적인 예시는 다음과 같다.

: 27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966)^[2]^[3]

2. 2. 대수적 성질

임의의 정수 ''n''에 대해, ''n''⁵의 마지막 십진 자릿수는 ''n''의 마지막 자릿수와 같다. 이를 합동식으로 표현하면 다음과 같다.

:

n \equiv n^5 \pmod{10}

또한, ''n''이 홀수일 때 ''n''⁵ − ''n''은 항상 240으로 나누어 떨어진다는 성질이 있다.

다섯제곱수로 이루어진 수열 {''n''⁵}의 계차수열을 살펴보면, 제4계차수열은 공차가

120

인 등차수열이 되고, 제5계차수열은 모든 항이

120

인 상수 수열이 된다. 이는 다섯제곱수의 열이 5계 등차수열임을 의미한다.

아벨-루피니 정리에 따르면, 미지수의 다섯제곱을 최고차항으로 가지는 일반적인 오차 방정식의 해는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 거듭제곱근(근호 표현)만으로는 나타낼 수 없다. 즉, 오차 이상의 방정식에 대해서는 사차 방정식까지 존재했던 것과 같은 일반적인 대수적 해법이 존재하지 않는다. 다섯제곱은 이러한 성질이 성립하는 가장 낮은 차수이다.

다섯제곱은 네제곱과 함께, ''k'' > 2 일 때 ''k''개의 ''k''제곱수의 합이 또 다른 ''k''제곱수가 될 수 없다는 오일러 거듭제곱 합 추측의 반례가 존재하는 두 거듭제곱 중 하나이다. 오일러의 추측은 틀린 것으로 밝혀졌는데, 다섯제곱의 경우 다음과 같이 4개의 다섯제곱수의 합이 또 다른 다섯제곱수가 되는 반례가 발견되었다. (Lander & Parkin, 1966)^[2]

:

27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5

3. 자연수의 5제곱

자연수의 5제곱을 작은 순서대로 나열하면 다음과 같다.

:0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, ...

참조

_[1] 웹사이트 Webster's 1913 https://www.websters[...]
_[2] 논문 Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers
_[3] 논문 Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers

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