모래알을 세는 사람

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1. 개요
2. 큰 수의 이름
3. 우주의 크기
4. 평가 및 현대적 의의
참조

1. 개요

《모래알을 세는 사람》은 아르키메데스가 매우 큰 수를 표현하기 위해 고안한 방법과 이를 통해 우주의 크기를 추정한 내용을 담고 있다. 아르키메데스는 고대 그리스의 수 체계를 확장하여 10,000을 기준으로 하는 만진법을 활용, 10의 거듭제곱을 사용하여 큰 수를 표현했다. 그는 지구, 태양, 달의 크기와 거리에 대한 가정을 바탕으로 우주의 반지름을 추정하고, 우주를 모래알로 채울 경우 그 개수를 계산했다. 그의 계산 결과는 현대 과학적 관점에서는 정확하지 않지만, 당시의 지식 수준에서 합리적인 추론을 통해 이루어졌으며, 큰 수에 대한 개념을 발전시키고 우주의 크기를 가늠하려는 시도였다는 점에서 의의가 있다.

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모래알을 세는 사람 - [서적]에 관한 문서
작품 정보
제목	모래알을 세는 사람 (아레나리우스)
저자	아르키메데스
언어	라틴어
장르	구골로지 천문학

2. 큰 수의 이름

아르키메데스는 수를 다루기 위해, 우선 큰 수를 어떻게 부를지 정해야 했다. 당시 사용되던 숫자 체계는 미리아드(μυριάς, 만)까지 표현 가능했고, "미리아드"를 사용하여 미리아드 미리아드(1억)까지 명명할 수 있었다.^[3] 아르키메데스는 10⁸까지의 숫자를 "1차"라고 부르고, 10⁸ 자체를 "2차의 단위"라고 불렀다. 이 단위의 배수는 두 번째 차수가 되었고, 이 단위를 미리아드-미리아드 번, 즉 10⁸·10⁸=10¹⁶번 취했다. 이것이 "3차의 단위"가 되었고, 그 배수는 3차수 등이 되었다. 아르키메데스는 이런 식으로 10⁸차수의 단위의 미리아드-미리아드 배수, 즉 (10⁸)^(10⁸)까지 숫자의 이름을 계속 지었다.

이렇게 한 후, 아르키메데스는 그가 정의한 차수를 "제1 주기의 차수"라고 부르고, 마지막 차수 $(10^8)^{(10^8)}$ 를 "제2 주기의 단위"라고 불렀다. 그런 다음 그는 제1 주기의 차수가 구성된 방식과 유사한 방식으로 이 단위의 배수를 취하여 제2 주기의 차수를 구성했다. 이러한 방식으로 계속해서, 그는 결국 미리아드-미리아드 번째 주기의 차수에 도달했다. 아르키메데스가 명명한 가장 큰 숫자는 이 주기의 마지막 숫자였으며, 이는 다음과 같다.

:: $\left(\left(10^8\right)^{(10^8)}\right)^{(10^8)}=10^{8\cdot 10^{16}}.$

이 숫자는 1 다음에 8000경(80·10¹⁵) 개의 0이 오는 것이다.

아르키메데스의 시스템은 밑수가 10⁸인 자리값 기수법을 연상시키는데, 고대 그리스인들이 1에서 9까지, 10에서 90까지, 100에서 900까지를 나타내기 위해 27개의 서로 다른 알파벳 문자를 사용하는 단순한 숫자 표기법을 사용했기 때문에 주목할 만하다.

아르키메데스는 우주의 크기가 (당시 믿어지던 것보다) 크고, 모래알의 크기는 작게 추정하여 논의했으며^[9], 그럼에도 우주를 채우는 데 필요한 모래알의 개수는 말로 표현할 수 있다는 것을 보이는 것이 이 책의 주제였다^[10]。

아르키메데스는 만까지의 수에 고유한 명칭이 있었고, 만을 세는 것으로 만의 만(억, 10⁸)까지 셀 수 있었다는 점을 이용하였다. 그래서 10⁸까지의 수를 "제1급의 수", 10⁸을 "제2급의 수의 단위"라고 부르고, 이것을 억까지 세는 것으로 10⁸부터 10¹⁶까지를 "제2급의 수"라고 불렀다. 마찬가지로 제3급의 수, 제4급의 수로 진행하여 제억급의 수까지 생각했다. 이 마지막 수는

: $P:=10^{8 \cdot 10^8}$

이다. 더 나아가, 여기까지의 수를 통칭하여 "제1기의 수"라고 부르고, ''P''를 "제2기 제1급의 수의 단위"라고 불렀다. 이것을 억까지 세는 것으로 P부터 P × 10⁸까지의 수를 "제2기 제1급의 수"라고 부르고, 마찬가지로 "제2기 제억급의 수"까지 생각하면, 그 마지막 수는 ''P''²이다. ''P''부터 ''P''²까지의 수를 통칭하여 "제2기의 수"라고 불렀다. 마찬가지로, "제억기의 수"까지 생각했다. 그 마지막 수는

: $P^{10^8}=10^{8 \cdot 10^{16}}$

이다^[11]。 이것은 1 다음에 0이 8경개 늘어선 수이며, 고대에 테트레이션 수준에 접근할 정도의 거대한 수를 상정한 몇 안 되는 예가 된다.

아르키메데스의 수 체계는 현대의 그리스어, 중국어, 일본어의 만진법과 공통점이 있다^[12]。

다음은 현대 표기법으로 나타낸 주기 및 차수와 그들의 구간을 나타낸 표이다.^[2]

주기	차수	구간	구간의 log₁₀
1	1	(1, Ơ], 여기서 Ơ = 10⁸	(0, 8]
	2	(Ơ, Ơ²]	(8, 16]
	...
	k	(Ơ^{k − 1}, Ơ^k]	(8k − 8, 8k]
	...
	Ơ	(Ơ^{Ơ − 1}, Ƥ], 여기서 Ƥ = Ơ^Ơ = 10⁸	(8 − 8, 8] = (799,999,992, 800,000,000]
2	1	(Ƥ, ƤƠ]	(8, 8 × (10⁸ + 1)] = (800,000,000, 800,000,008]
	2	(ƤƠ, ƤƠ²]	(8 × (10⁸ + 1), 8 × (10⁸ + 2)]
	...
	k	(ƤƠ^{k − 1}, ƤƠ^k]	(8 × (10⁸ + k − 1), 8 × (10⁸ + k)]
	...
	Ơ	(ƤƠ^{Ơ − 1}, ƤƠ^Ơ] = (Ƥ²Ơ⁻¹, Ƥ²]	(8 × (2 − 1), 8 × (2)] = (1.6 − 8, 1.6] = (1,599,999,992, 1,600,000,000]
...
'Ơ'	1	(Ƥ^{Ơ − 1}, Ƥ^{Ơ − 1}Ơ]	(8 × (10⁸ − 1), 8 × (10⁸ × (10⁸ − 1) + 1)] = (79,999,999,200,000,000, 79,999,999,200,000,008]
	2	(Ƥ^{Ơ − 1}Ơ, Ƥ^{Ơ − 1}Ơ²]	(8 × (10⁸ × (10⁸ − 1) + 1), 8 × (10⁸ × (10⁸ − 1) + 2)]
	...
	k	(Ƥ^{Ơ − 1}Ơ^{k − 1}, Ƥ^{Ơ − 1}Ơ^k]	(8 × (10⁸ × (10⁸ − 1) + k − 1), 8 × (10⁸ × (10⁸ − 1) + k)]
	...
	Ơ	(Ƥ^{Ơ − 1}Ơ^{Ơ − 1}, Ƥ^{Ơ − 1}Ơ^Ơ] = (Ƥ^ƠƠ⁻¹, Ƥ^Ơ]	(8 × (2 − 1), 8 × (2)] = (8 − 8, 8] = (79,999,999,999,999,992, 80,000,000,000,000,000]

2. 1. 고대 그리스의 수 체계

아르키메데스는 매우 큰 수를 다루기 위해 고대 그리스의 수 체계를 확장했다. 당시 고대 그리스에서는 만 단위로 수를 끊어 읽는 방식을 사용했는데, 이를 미리아드(μυρίος^el)라고 불렀다. 예를 들어 1억은 "미리아드 미리아드"로 표현했다.^[20]

2. 2. 아르키메데스의 확장된 수 체계

아르키메데스는 매우 큰 수를 다루기 위해 고대 그리스의 수 체계를 확장했다. 당시 그리스에서는 만(미리아드) 단위로 수를 읽었는데, 예를 들어 1억은 "미리아드 미리아드"로 읽었다. 아르키메데스는 1억(10⁸)까지를 '1차수'로 정의하고, 10⁸을 '2차수의 단위'로 설정했다. 이를 바탕으로, 10⁸•10⁸ = 10¹⁶ 까지를 '2차수', 10¹⁶을 단위로 10²⁴까지를 '3차수'와 같이 정의하여 10⁸ 차수, 즉 10^{8 • 10⁸} 까지를 명명했다.^[20]

이후, 10⁸ 차수까지를 '첫 번째 주기의 수'로 정의하고, 첫 번째 주기의 마지막 수인 10^{8 • 10⁸}를 단위로 곱하여 10⁸ 번째 주기의 수를 제시했다. 10⁸ 번째 주기의 마지막 수는 ((10⁸)^(10⁸))^(10⁸)=10^{8• 10¹⁶} 이 된다.^[20]

아르키메데스의 수 체계는 10⁸을 밑으로 하는 지수 함수의 결과를 이용하며, 지수 법칙 10^a•10^b = 10^a+b를 사용했다.

아르키메데스의 수 체계는 만(萬) 단위로 수를 세는 현대 한국어 수 체계와 유사한 면모를 보인다.^[12]

2. 3. 지수 법칙

아르키메데스는 큰 수를 계산하는 과정에서 지수 법칙 가운데 하나인 10^a• 10^b = 10^a+b를 사용하였다.^[20] 그는 10의 거듭제곱을 다루는 데 필요한 이 지수 법칙을 발견하고 증명했다.^[9]

3. 우주의 크기

아르키메데스는 사모스의 아리스타르코스의 태양중심설을 바탕으로 우주의 크기를 추정했다. 아리스타르코스의 원래 이론은 소실되었지만, 아르키메데스의 《모래알을 세는 사람》에 그 내용이 남아있다.^[21] 당시 기술로는 연주 시차를 관측할 수 없었기 때문에, 아리스타르코스의 태양중심설은 널리 받아들여지지 못했다.^[22]

아르키메데스는 아리스타르코스가 제시한 우주의 크기에 대한 구체적인 정보를 알 수 없었기 때문에, 몇 가지 가정을 통해 우주의 크기를 추정해야 했다.^[23] 그는 다음과 같은 가정을 사용했다.

지구 반지름은 최대 500000km를 넘지 않는다.^[24]
달은 지구보다 크지 않고, 태양은 달보다 30배 이상 크지 않다.
지구와 태양 사이의 거리는 달과 태양 사이 거리의 200배 정도이다.
별들은 지구와 같은 속도로 태양 주위를 공전하며, 별들 사이의 거리는 태양과 지구 사이 거리의 두 배 정도이다. (별의 연주 시차가 관측되지 않았기 때문)

이러한 가정을 바탕으로, 아르키메데스는 우주의 반지름을 약 2 광년 (10¹⁴ 스타디아)으로 추정했다.

3. 1. 아리스타르코스의 태양중심설

사모스의 아리스타르코스의 태양중심설은 원본이 소실되어 전해지지 않으며, 아르키메데스의 《모래알을 세는 사람》을 통해서만 그 내용을 알 수 있다.^[21] 아르키메데스는 이 책에서 아리스타르코스의 태양중심설을 소개하며, 태양은 움직이지 않고 지구가 태양을 공전한다고 설명한다.^[4]

아리스타르코스의 태양중심설은 연주 시차를 통해 증명되어야 했으나, 당시 기술로는 연주 시차를 관측할 수 없었기 때문에 후대에 받아들여지지 않았다.^[22] 당시 그리스인들은 별의 시차를 관측할 기술이 없었으므로, 아리스타르코스의 모델에서는 별들이 지구로부터 매우 멀리 떨어져 있어야 했다.^[5]

아르키메데스는 아리스타르코스의 주장을 다음과 같이 인용했다.

3. 2. 아르키메데스의 우주 크기 추정

아르키메데스는 사모스의 아리스타르코스의 태양중심설을 바탕으로 우주의 크기를 정했다. 아리스타르코스의 태양중심설은 소실되어 전해지지 않지만, 아르키메데스의 《모래알을 세는 사람》을 통해 그 내용을 알 수 있다.^[21] 당시 기술로는 연주 시차를 확인할 수 없었기 때문에 태양중심설은 후대에 받아들여지지 않았다.^[22]

아르키메데스는 아리스타르코스가 지구와 별들 사이의 거리를 밝히지 않았기 때문에 다음과 같은 가정을 통해 우주의 크기를 추정했다.^[23]

지구의 반지름은 300 미리아드 스타디아(약 5 × 10⁵ km)를 넘지 않는다.^[24]
달은 지구보다 크지 않고, 태양은 달의 30배 이상 크지 않다.
지구와 태양 사이의 거리는 달과 태양 사이 거리의 200배 정도이다.
별의 연주 시차가 없으므로 별들은 지구와 같은 속도로 태양 주위를 돌고, 별들 사이의 거리는 태양과 지구 사이 거리의 두 배 정도이다.

아르키메데스는 이러한 가정을 바탕으로 우주의 반지름이 약 10¹⁴ 스타디아, 즉 약 2 광년 정도라고 추정했다.

아르키메데스는 우주의 크기에 관해 다음과 같은 가정을 추가로 제시했다.^[15]

지구의 둘레는 약 300만 스타디아이며 그 이상은 아니다.
지구의 지름은 달의 지름보다 크고, 태양의 지름은 지구의 지름보다 크다.
태양의 지름은 달의 지름의 약 30배이며 그 이상은 아니다.
태양의 지름은 우주구의 대원에 내접하는 정1000각형의 한 변보다 크다.

이러한 가정들을 바탕으로 아르키메데스는 우주구의 지름이 100억(10¹⁰) 스타디아보다 작다고 결론지었다.

아리스타르코스는 항성까지의 거리가 매우 크다고 생각하여 우주구의 크기는 여러 항성까지의 거리에 비하면 무시할 수 있을 정도라고 했다.^[18] 아르키메데스는 항성구의 지름과 우주구의 지름의 비를 이용하여 항성구를 채우는 모래알의 개수가 천만의 제8급의 수(10⁶³, 1000나유타)보다 적다고 결론지었다.^[17]

3. 3. 모래알 개수 추정

아르키메데스는 당시 알려져 있던 사모스의 아리스타르코스의 태양중심설을 기준으로 우주의 크기를 정하고, 모래알로 우주 전체를 채울 경우 모래알의 개수는 8×10⁶³개를 넘지 않을 것이라고 추정했다.^[21] 아리스타르코스의 태양중심설은 연주 시차를 입증할 기술이 부족하여 후대에 받아들여지지 않았다.^[22]

아르키메데스는 아리스타르코스가 지구와 별들 사이의 거리를 밝히지 않았기 때문에 이를 추정해야 했다. 그는 다음과 같은 가정을 통해 우주의 크기를 어림잡았다.^[23]

지구의 반지름은 최대 500000km를 넘지 않는다.^[24]
달은 지구보다 크지 않고, 태양은 달의 30배 이상 크지 않다.
지구와 태양 사이의 거리는 달과 태양 사이 거리의 200배 정도이다.
별의 연주 시차가 없으므로 별들은 지구와 같은 속도로 태양 주위를 돌고, 별들 사이의 거리는 태양과 지구 사이 거리의 두 배 정도이다.

이러한 가정을 바탕으로 아르키메데스는 우주의 반지름이 약 2 광년에 해당하는 10¹⁴ 스타디아 정도라고 추정했다.

아르키메데스는 사모스의 아리스타르코스의 지동설을 사용하여 우주를 채우는 데 필요한 모래알의 상한값을 추정했다. 아리스타르코스의 지동설에 따르면, 태양은 움직이지 않고 지구는 태양을 공전한다.^[4]^[5] 당시 기술로는 별의 시차를 관측할 수 없었기 때문에, 별들은 지구로부터 매우 멀리 떨어져 있어야 했다.

아르키메데스는 우주의 지름과 태양을 중심으로 한 지구 궤도의 지름의 비율, 태양을 중심으로 한 지구 궤도의 지름과 지구 지름의 비율이 같다고 가정했다.

:

\frac{\text{우주의 지름}}{\text{태양을 중심으로 한 지구 궤도의 지름}} = \frac{ \text{태양을 중심으로 한 지구 궤도의 지름}}{ \text{ 지구의 지름}}

또한, 다음과 같은 추가적인 가정을 했다.

지구의 둘레는 555000km를 넘지 않는다.
달은 지구보다 크지 않으며, 태양은 달보다 30배 이상 크지 않다.
지구에서 보이는 태양의 각 지름은 0.45°도보다 크다.

이러한 가정을 바탕으로 아르키메데스는 우주의 지름이 2광년을 넘지 않으며, 우주를 채우는 데 10⁶³개 이상의 모래알이 필요하지 않다고 결론 내렸다. 이 측정값으로 계산했을 때, 모래알의 지름은 대략 19um였다.

아르키메데스는 40개의 양귀비 씨앗을 나란히 놓으면 대략 19mm 길이의 그리스 다크틸(손가락 너비)과 같다고 했다. 지름이 1 다크틸인 구는 64,000개의 양귀비 씨앗을 담을 수 있고, 각 양귀비 씨앗은 10,000개의 모래 알갱이를 담을 수 있다고 가정했다. 따라서 지름이 1 다크틸인 구에 들어갈 수 있는 모래 알갱이 수는 6억 4천만 개였다.

계산을 쉽게 하기 위해 6억 4천만 개를 10억 개로 반올림하고, 그리스 경기장의 길이는 600그리스 피트였고 각 피트는 16 다크틸이므로 경기장에는 9,600 다크틸이 있다고 했다. 이를 다시 10,000(미리어드)으로 반올림하여 계산했다.

10,000의 세제곱은 1조(10¹²)이고, 10억(다크틸-구에 들어있는 모래 알갱이 수)에 1조(경기장-구에 들어있는 다크틸-구 수)를 곱하면 10²¹, 즉 경기장-구에 들어있는 모래 알갱이 수가 된다. 아르키메데스는 아리스타르쿠스 우주의 지름이 10¹⁴ 스타디아라고 추정했으므로, 우주에는 (10¹⁴)³ 경기장-구가 있게 되며, 이는 10⁴²이다. 10²¹에 10⁴²를 곱하면 10⁶³, 즉 아리스타르쿠스 우주의 모래 알갱이 수가 된다.^[6]

아르키메데스의 추정에 따르면, 양귀비 씨앗에는 10,000개의 모래 알갱이가 있고, 다크틸-구에는 64,000개의 양귀비 씨앗, 경기장 길이는 10,000 다크틸, 다크틸 너비는 19mm이므로, 모래 알갱이의 지름은 18.3um가 된다.^[9]^[10]

아르키메데스는 만까지의 수에 고유한 명칭을 사용했고, 만을 세는 것으로 억(10⁸)까지 셀 수 있었다. 10⁸까지의 수를 "제1급의 수", 10⁸을 "제2급의 수의 단위"라고 불렀다. 제억급의 수까지 생각한 마지막 수는

:

P:=10^{8 \cdot 10^8}

이다. 더 나아가 제억기의 수까지 생각한 마지막 수는

:

P^{10^8}=10^{8 \cdot 10^{16}}

이다.^[11] 아르키메데스의 수 체계는 만을 기본으로 하는 현대 그리스어, 중국어, 일본어의 만진법과 공통점이 있다.^[12]

아르키메데스는 10의 거듭제곱 계산을 위해 지수 법칙

:

a^n \times a^m=a^{n+m}

에 해당하는 사실을 언급했다.

아르키메데스는 우주의 크기에 대해 다음과 같은 가정을 했다.^[15]

지구의 둘레는 약 300만 스타디아이며 그 이상은 아니다.
지구의 지름은 달의 지름보다 크고, 태양의 지름은 지구의 지름보다 크다.
태양의 지름은 달의 지름의 약 30배이며 그 이상은 아니다.
태양의 지름은 우주구의 대원에 내접하는 정1000각형의 한 변보다 크다.

이러한 가정을 바탕으로 우주구의 지름은 100억(10¹⁰) 스타디아보다 작다고 결론지었다.

모래알의 크기에 관해서는 다음과 같은 가정을 했다.^[16]

1개의 개양귀비 알의 부피는 1만 개의 모래알의 부피보다 크지 않다.
1개의 개양귀비 알의 지름은 1/40 디지트보다 작지 않다.

이러한 가정에서 지름 1 디지트의 구를 채우는 모래알의 개수는 10억(10⁹)보다 적고, 1 스타디온은 1만 디지트보다 작다는 것을 이용하여, 지름 1 스타디온의 구를 채우는 모래알의 개수는 10²¹보다 적다고 계산했다. 우주의 크기 추정과 함께 우주구를 채우는 모래알의 개수는 10⁵¹보다 적다고 결론지었다.^[17]

아리스타르코스는 항성까지의 거리가 매우 커서 우주구의 크기는 무시할 수 있을 정도라고 했다.^[18] 아르키메데스는 항성구의 지름과 우주구 지름의 비, 우주구 지름과 지구 지름의 비가 같다는 가정을 세우고, 항성구를 채우는 모래알의 개수는 10⁶³보다 적다고 결론지었다.^[17]

4. 평가 및 현대적 의의

아르키메데스의 큰 수 체계와 우주 크기 추정은 현대 과학의 관점에서 보면 부정확하지만, 당대의 지식 수준에서 합리적인 추론을 통해 이루어졌다는 점에서 중요한 가치를 지닌다.

아르키메데스는 만까지의 수에 고유한 명칭을 부여하고, 만을 기준으로 억(10⁸)까지 센 후, 10⁸을 "제2급의 수의 단위"로 정의하는 방식으로 큰 수를 표현했다. 이러한 체계는 제억급의 수(P = 10^{8 * 10⁸})까지 확장되었고, 다시 P를 "제2기 제1급의 수의 단위"로 정의하여 P², P^10⁸까지 수를 표현할 수 있었다.^[11] 이는 1 다음에 0이 8경개 늘어선 수로, 고대에 테트레이션 수준에 접근할 정도로 거대한 수를 상정한 드문 예시이다.

아르키메데스의 수 체계는 만진법에 기반한 현대의 그리스어, 중국어, 일본어의 수 체계와 유사하며, 이는 동서양의 수학적 사고방식의 연관성을 시사한다.^[12]

우주 크기 추정을 위해 아르키메데스는 여러 천문학자들의 설을 참고했는데, 그중에는 사모스의 아리스타르코스가 주장한 태양 중심 우주론도 포함되어 있었다.^[13] 그는 지구 둘레, 지구와 달, 태양의 크기 비율 등에 대한 가정을 바탕으로 우주구의 지름이 100억(10¹⁰) 스타디아보다 작다고 추정했다.^[15]

또한, 아르키메데스는 개양귀비 씨앗과 모래알의 크기를 비교하여 지름 1 스타디온의 구를 채우는 모래알의 개수를 추정하고, 이를 바탕으로 우주구를 채우는 모래알의 개수는 10⁵¹(1000극)개보다 적다고 결론지었다.^[17] 더 나아가 아리스타르코스의 주장을 참고하여 항성구까지 고려하면, 모래알의 개수는 10⁶³(1000나유타)개보다 적다고 결론지었다.^[17]

아르키메데스의 우주 크기 추정은 천문학적 지식의 한계를 보여주는 동시에, 무한에 가까운 큰 수를 다루려는 시도를 통해 수학적 사고의 발전에 기여했다.

참조

_[1] 웹사이트 Archimedes, The Sand Reckoner 511 R U, by Ilan Vardi http://www.lix.polyt[...] 2007-02-28
_[2] 서적 Eureka Man: The Life and Legacy of Archimedes https://books.google[...] Bloomsbury Publishing USA 2009-09-08
_[3] 서적 A history of analysis https://www.worldcat[...] American Mathematical Society 2003
_[4] 웹사이트 Aristarchus biography at MacTutor http://www-groups.dc[...] 2007-02-26
_[5] 문서 Arenarius, I., 4–7
_[6] 웹사이트 Annotated translation of The Sand Reckoner https://web.archive.[...] Cal State University, Los Angeles
_[7] 문서 Smith, William — A Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology (1880), p. 272
_[8] 문서 Newman, James R. — The World of Mathematics (2000), p. 420
_[9] 문서 上垣 p. 59
_[10] 문서 ヒース p. 15
_[11] 문서 以上の議論は、原文（『ギリシアの科学』p. 495）、ヒース pp. 15-16、上垣 p.60 などを参照。ただし、訳語は種々ある。
_[12] 문서 上垣 pp. 60-61
_[13] 문서 原文（『ギリシアの科学』p. 489）、ヒース p. 265
_[14] 문서 ネッツ pp. 60-62
_[15] 문서 原文（『ギリシアの科学』pp. 489-490）、上垣 p. 57
_[16] 문서 原文（『ギリシアの科学』pp. 494-495）、ヒース p. 267、上垣 p. 59
_[17] 문서 原文（『ギリシアの科学』p. 500）、ヒース p. 267、上垣 p. 62
_[18] 문서 ヒース p. 266
_[19] 웹사이트 The Sand Reckoner http://www.lix.polyt[...] 2007-02-28
_[20] 웹인용 Archimedis Opera Omnia https://archive.org/[...]
_[21] 웹사이트 Aristarchus biography at MacTutor http://www-groups.dc[...] 2007-02-26
_[22] 문서 1727년이 되어서야 [[제임스 브래들리]]가 최초로 연주 시차를 확인하였다.
_[23] 문서 Smith, William — A Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology (1880) - p.272
_[24] 문서 지구의 실제 반지름은 약 6400km 이다
_[25] 문서 Newman, James R. — The World of Mathematics (2000) - p.420

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