M이론

3. 성질

M이론은 로런츠 계량 부호수를 가진 (10,1)차원 시공간에 존재하며, 32개의 초전하를 갖는 $\backslash mathcal\; N=1$ 초대칭을 가진다. 축소화되지 않은 M이론의 낮은 에너지 유효 작용은 11차원 초중력이다. M이론은 스칼라장을 포함하지 않으므로 끈 이론과 달리 모듈라이를 갖지 않는다.

M이론은 2차원 막인 '''M2-막'''(M2-brane^영어)과 5차원 막인 '''M5-막'''(M5-brane^영어)을 다룬다. M이론은 1차원 막인 끈을 포함하지 않아 엄밀히 끈 이론은 아니지만, M이론을 축소화하여 다양한 끈 이론을 얻을 수 있다.

이 이론의 저에너지 유효 이론은 11차원 초중력 이론이다. 이 이론은 중력장, 그래비티노장, 3형식장만을 포함하며, 10차원 초중력 이론보다 단순하다. 또한, 등장하는 장의 스핀이 2 이하인 초중력 이론의 최고 차원은 11차원이다(시간 차원이 1개일 때). 따라서 11차원 초중력 이론은 초끈 이론 등장 이전에는 궁극 이론으로 여겨졌으나, 재규격화 불가능 및 다양체로의 콤팩트화로 키랄한 이론을 만들 수 없다는 문제로 무시되었다.

1995년 에드워드 위튼이 제창한 M이론은 11차원 초중력 이론의 난점을 극복할 수 있다고 여겨졌으며, 제2차 초끈 이론 혁명의 계기가 되었다.

현재 M이론은 초끈 이론보다 미완성이며, 현실 물리 법칙과의 일치도 불분명하다. 수학적 가설 단계로 여겨지기도 하며, 일부 연구자들은 M이론의 심오함에 의문을 제기한다. M이론 정식화의 큰 문제는 2차원 막 양자화 방법을 알 수 없다는 점이다. IIA형 초끈 이론의 D0-브레인을 자유도로 한 행렬 모형(BFSS, BMN)을 통해 M이론을 정식화하려는 연구가 진행 중이다.

3. 1. 축소화

3. 1. 1. ⅡA종 끈 이론

여기서 $\backslash ell\_\backslash text\{s\}=\backslash sqrt\{\backslash alpha\text{'}\}$은 끈 길이(string length^영어)이며, $g\_\backslash text\{s\}=\backslash exp(\backslash langle\backslash Phi\backslash rangle)$는 닫힌 끈 결합 상수다. 위 표에서, 끈 이론에서의 장력들은 끈 틀(string frame^영어)의 계량 텐서를 사용한다. 즉, 끈 틀로 계산한 단위 초부피당 작용이다.^[2]

D6-막에 해당하는 ‘칼루차-클라인 자기 홀극’은 다음과 같다. M이론을 $\backslash mathbb\; R^\{1,6\}\backslash times\backslash mathbb\; R^3\backslash times\backslash mathbb\; S^1$ 위에 축소화할 때, $\backslash mathbb\; R^3$의 등각 무한인 $\backslash mathbb\; S^2$ 위에서 $\backslash mathbb\; S^1$이 자명하지 않은 원다발을 이룬다고 하자. 이러한 원다발은 천 특성류의 적분인 정수에 따라서 분류되며, 이는 D6-막의 수와 같다. (하나의 D6-막이 존재할 때, 이는 토브-너트 공간에 해당한다. 일반적으로, 이러한 꼴의 공간은 점근 국소 평탄 공간이라고 한다.)^[2]

D8-막은 여차원이 1인데, 이는 D9-막에 T-이중성을 가하여 얻을 수 있다. ⅡB종 초끈 이론에는 D9-막을 임의로 추가할 수 없으며, 가능한 경우는 (O9-평면과 함께) 32개의 ½ D9-막을 갖는 Ⅰ종 초끈 이론이다. 이에 T-이중성을 가하면, Ⅰ′ 초끈 이론을 얻는다. 이는 선분 위에 ⅡA를 축소화한 것으로, 선분의 양끝(O8-평면)에 각각 16개의 ½ D8-막이 존재한다 (즉, $\backslash operatorname\{SO\}(16)^2$ 게이지 대칭을 갖는다). 이는 M이론을 원기둥 $\backslash mathbb\; S^1\; \backslash times\; \backslash mathbb\; I$ 위에 축소화한 것에 해당하며, 이때 D8-막 + O8-평면 위에 존재하는 SO(16) 양-밀스 이론은 M-이론의 경계 9-막에 존재하는 E₈ 양-밀스 이론의 게이지 군이 부분군

:$\backslash operatorname\{SO\}(16)\; \backslash le\; \backslash operatorname\; E\_8$

으로 깨진 것이다.^[2]

3. 1. 2. E₈×E₈ 잡종 끈 이론

이 경우, 다음이 성립한다.

• 11차원 초중력을 선분 위에 축소화하려면, 변칙을 피하기 위하여 선분의 양끝에 각각 E₈ 양-밀스 이론이 존재하여야 한다.^[81]
• M2-막은 BPS이려면 오비폴드의 양끝에 붙어 있어야 한다. 이에 따라서, 이는 10차원에서 1차원 막을 이룬다.^[82]
• M5-막은 오비폴드 양끝에 붙어 있으면 BPS일 수 없다.^[82] 따라서, 이는 10차원에서 5차원 막을 이룬다.

3. 1. 3. 9차원으로의 축소화

이 모듈라이 공간은 대각선을 따른 반사 $(R\_\{10\},R\_\{11\})\; \backslash mapsto\; (R\_\{11\},R\_\{10\})$에 대하여 불변이다. 원환면의 $\backslash operatorname\{SL\}(2;\backslash mathbb\; Z)$ 사상류군이 이 모듈라이 공간 위에 작용하는데, 이는 ⅡB 끈 이론의 S-이중성에 해당한다.^[80]

3. 1. 4. 유질량 ⅡA 끈 이론

3. 1. 5. K3 위의 축소화

3. 2. M-막

3. 2. 1. M2-막

여기서 $\backslash phi^i$는 M2-막의 3차원 세계부피에 수직인 $11-3=8$개의 방향들과 대응한다.

M2-막의 장력은 다음과 같다.

:$T\_\backslash text\{M2\}=\backslash frac1\{(2\backslash pi)^2\backslash ell\_\backslash text\{p\}^3\}$

여기서 $\backslash ell\_\backslash text\{p\}$는 11차원 시공간의 플랑크 길이다.

3. 2. 2. M5-막

여기서 $\backslash phi^i$는 M5-막의 6차원 세계부피에 수직인 $11-6=5$개의 방향들과 대응한다.

M5-막의 장력은 다음과 같다.

:$T\_\backslash text\{M5\}=\backslash frac1\{(2\backslash pi)^5\backslash ell\_\backslash text\{p\}^6\}$

이는 ⅡA종 끈 이론으로 환산하면 NS5-막의 장력과 같은데, 이는 NS5-막이 감기지 않은 M5-막이기 때문이다.

M2-막의 1+1차원 경계는 M5-막에 붙어 있을 수 있다. 이는 ⅡA 끈 이론에서, D2-막(또는 기본 끈)이 D4-막에 붙어 있는 것에 해당한다. M5-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것은 끈 이론에서 기본 끈이 D-막에 붙어 있을 때 D-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것과 같다.

4. 배경

4. 1. 양자 중력과 끈

4. 2. 차원의 수

4. 3. 이중성

4. 4. 초대칭

4. 5. 브레인

5. 역사

1990년대 초, 초끈 이론 5개가 알려져 있었다. 이들은 10차원에 존재하는, 끈을 포함하는 이론이며, 이들 사이에는 T-이중성과 S-이중성 등 여러 관계가 존재했다. 1995년 에드워드 위튼은 이 5가지 초끈 이론이 끈을 포함하지 않고 11차원에 존재하는 "M이론"에서 비롯된다는 증거를 제시했다.^[94] 즉, 5개의 초끈 이론은 M이론의 다양한 극한(모듈러스 공간의 귀퉁이)에 해당한다는 것이다. 이 사건을 '''제2차 초끈 혁명'''(the Second Superstring Revolution^영어)이라고 한다.

위튼에 따르면 M이론의 ‘M’은 magic|매직^영어, mystery|미스터리^영어, 또는 membrane|멤브레인^영어의 머리글자다.^[95][96][97] membrane|멤브레인^영어은 막을 뜻하는데, 이는 M이론이 끈을 포함하지 않고 2차원 및 5차원 막을 포함하기 때문이다.

1996년 톰 뱅크스(Tom Banks^영어), 빌리 피스흘러르(Willy Fischler^nl), 스티븐 하트 솅커(Stephen Hart Shenker^영어), 레너드 서스킨드는 축소화하지 않은 M이론을 행렬 변수에 대한 양자역학의 특정한 극한으로 정의했다.^[98] 이를 '''행렬 이론'''(M(atrix) theory^영어)이라고 한다. 영어 이름 "M(atrix)^영어"는 행렬을 뜻하는 matrix|메이트릭스^영어의 머리글자가 M이론과 같다는 점을 이용한 것이다.

1997년 후안 말다세나는 AdS/CFT 대응성을 발표하면서 AdS₄×S⁷ 또는 AdS₇×S⁴에 축소화한 M이론을 겹친 M2-막 또는 M5-막의 세계 부피 이론으로 비섭동적으로 정의할 수 있음을 보였다.

5. 1. 칼루차-클라인 이론

5. 2. 초중력에 대한 초기 연구

5. 3. 끈 이론 간의 관계

5. 4. 막과 5-브레인

5. 5. 제2차 초끈 혁명

5. 6. 용어의 기원

6. 행렬 이론

M이론을 정식화하는 데 있어 가장 큰 문제는 2차원 막을 양자화하는 방법을 알 수 없다는 점이다. 이에 IIA형 초끈 이론에서 D0-브레인을 자유도로 하는 행렬 모형을 통해 M이론을 정식화하려는 연구가 진행되고 있다.^[1]

6. 1. BFSS 행렬 모형

6. 2. 비가환 기하학

7. AdS/CFT 대응성

AdS/CFT 대응성에 대한 내용은 원본 소스에 제공되지 않았으므로 이 섹션을 작성할 수 없다.

7. 1. 6D (2,0) 초등각장론

여기서 $\backslash phi^i$는 M5-막의 6차원 세계부피에 수직인 $11-6=5$개의 방향들과 대응한다.

M5-막의 장력은 다음과 같다.

:$T\_\backslash text\{M5\}=\backslash frac1\{(2\backslash pi)^5\backslash ell\_\backslash text\{p\}^6\}$

이는 ⅡA종 끈 이론으로 환산하면 NS5-막의 장력과 같은데, 이는 NS5-막이 감기지 않은 M5-막이기 때문이다.

M2-막의 1+1차원 경계는 M5-막에 붙어 있을 수 있다. 이는 ⅡA 끈 이론에서, D2-막(또는 기본 끈)이 D4-막에 붙어 있는 것에 해당한다. 끈 이론에서 기본 끈이 D-막에 붙어 있는 것은 D-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것이며, 이는 M5-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것에 해당한다.

8. 현상론

M이론은 일반 상대성 이론과 입자물리학 표준 모형을 결합하여 현실 세계의 물리학 모델을 만들기 위한 틀을 제공한다. 끈 현상론은 끈/M이론을 바탕으로 현실적인 입자 물리학 모델을 만들려는 시도이다.^[64]

이러한 모델은 일반적으로 끈 또는 M이론의 10차원 또는 11차원 시공간에서 추가 차원의 모양을 가정하는 컴팩트화 개념을 기반으로 한다. 이 모양을 적절하게 선택하면, 입자 물리학의 표준 모형과 유사한 모델을 구성할 수 있다.^[65] 끈 이론에서 현실적인 물리학을 유도하는 일반적인 방법 중 하나는 10차원의 헤테로틱 이론에서 시작하여 6개의 추가 차원이 6차원 칼라비-야우 다양체와 같은 모양을 갖는다고 가정하는 것이다.^[66] 칼라비-야우 다양체는 끈 이론에서 현실적인 물리학을 추출하는 여러 방법을 제공하며, M이론을 기반으로 4차원 세계와 유사한 물리학 모델을 구성하는 다른 방법들도 있다.^[67]

하지만, 이러한 이론을 실험적으로 검증하는 데 필요한 에너지가 매우 높고(가까운 미래에는 기술적으로 불가능), 이론적, 수학적 어려움 때문에, 이 모델들이 정확한 자연의 근본적인 설명인지 명확하게 보여주는 실험적 증거는 아직 없다. 이 때문에 일부 학계에서는 통일 접근 방식에 대한 비판과 지속적인 연구 가치에 대한 의문을 제기하기도 한다.^[68]

8. 1. 개요

8. 2. $G\_2$ 다양체 위의 콤팩트화

8. 3. 헤테로틱 M이론

참조

_[1] 서적 Duff 1996, sec. 1
_[2] 서적 Zwiebach 2009, p. 324
_[3] 서적 Becker, Becker, and Schwarz 2007, p. 12
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_[5] 서적 Zee 2010, Parts V and VI
_[6] 서적 Zwiebach 2009, p. 9
_[7] 서적 Zwiebach 2009, p. 8
_[8] 서적 Yau and Nadis 2010, Ch. 6
_[9] 서적 Becker, Becker, and Schwarz 2007, pp. 339–347
_[10] 서적 Becker, Becker, and Schwarz 2007
_[11] 서적 Zwiebach 2009, p. 376
_[12] 서적 Duff 1998, p. 64
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_[14] 서적 Yau and Nadis 2010, p. 9
_[15] 서적 Yau and Nadis 2010, p. 10
_[16] 서적 Yau and Nadis 2010, p. 12
_[17] 서적 Yau and Nadis 2010, p. 13
_[18] 서적 Wald 1984, p. 3
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_[20] 논문 Nahm 1978
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_[32] 논문 Duff et al. 1987
_[33] 논문 Strominger 1990
_[34] 서적 Duff 1998, pp. 66–67
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