베르트랑의 정리

1. 개요

베르트랑의 정리는 중심력 하에서 입자의 궤도가 닫히기 위한 조건을 제시하는 정리이다. 이 정리에 따르면, 닫힌 궤도를 갖는 중심력은 역제곱 힘 법칙(예: 중력)과 방사형 조화 진동자 포텐셜의 두 가지 경우뿐이다. 이 정리는 궤도의 안정성을 분석하고, 특정 힘 법칙이 궤도에 미치는 영향을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 유도

모든 인력 중심력은 자연스럽게 원형 궤도를 생성할 수 있다. 유일한 요구 사항은 중심력이 정확히 구심력과 같아야 하며, 이는 주어진 원형 반경에 필요한 각속도를 결정한다. 비중심력(즉, 반경뿐만 아니라 각 변수에 의존하는 힘)은 일반적으로 원형 궤도를 생성하지 않으므로 여기서는 무시된다.

질량 $m$인 입자가 중심력 $V(r)$에서 움직이는 반경 $r$에 대한 운동 방정식은 운동 방정식으로 주어지며, 다음과 같다.

:$m\backslash frac\{d^2\; r\}\{dt^2\}\; -\; mr\; \backslash omega^2\; =\; m\backslash frac\{d^2\; r\}\{dt^2\}\; -\; \backslash frac\{L^2\}\{mr^3\}\; =\; -\backslash frac\{dV\}\{dr\},$

여기서 $\backslash omega\; \backslash equiv\; \backslash frac\{d\backslash theta\}\{dt\}$이고, 각운동량 $L\; =\; mr^2\backslash omega$는 보존된다. 예를 들어, 왼쪽의 첫 번째 항은 원형 궤도에서는 0이고, 가해지는 안쪽 힘 $\backslash frac\{dV\}\{dr\}$은 예상대로 구심력 요건 $mr^2\backslash omega$과 같다.

각운동량의 정의에 따라 독립 변수를 $t$에서 $\backslash theta$로 변경할 수 있다.

:$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{L\}\{mr^2\}\; \backslash frac\{d\}\{d\backslash theta\},$

시간에 독립적인 새로운 운동 방정식을 제공한다.

:$\backslash frac\{L\}\{r^2\}\; \backslash frac\{d\}\{d\backslash theta\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{L\}\{mr^2\}\; \backslash frac\{dr\}\{d\backslash theta\}\; \backslash right)\; -\; \backslash frac\{L^2\}\{mr^3\}\; =\; -\backslash frac\{dV\}\{dr\}.$

이 방정식은 변수 $u\; \backslash equiv\; \backslash frac\{1\}\{r\}$을 변경하고 양변에 $\backslash frac\{mr^2\}\{L^2\}$를 곱하면 준선형이 된다 (또한 Binet 방정식 참조).

:$\backslash frac\{d^2\; u\}\{d\backslash theta^2\}\; +\; u\; =\; -\backslash frac\{m\}\{L^2\}\; \backslash frac\{d\}\{du\}\; V\backslash left(\backslash frac\{1\}\{u\}\backslash right).$

위에 언급했듯이, 모든 중심력은 적절한 초기 속도가 주어지면 원형 궤도를 생성할 수 있다. 그러나 약간의 방사형 속도가 도입되면 이러한 궤도는 안정적이지 않거나(즉, 무기한 궤도에 남아 있음) 닫히지 않을 수 있다(정확히 동일한 경로로 반복적으로 돌아옴). 여기서는 안정적이고 정확하게 닫힌 비원형 궤도에 대한 필요 조건이 역제곱 힘 또는 방사형 조화 진동자 포텐셜임을 보여준다. 다음 섹션에서는 이러한 두 가지 힘 법칙이 안정적이고 정확하게 닫힌 궤도를 생성함을 보여준다.

$J(u)$를 다음과 같이 정의한다.

:$$
\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u =
J(u) \equiv -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left(\frac{1}{u}\right) =
-\frac{m}{L^2 u^2} f\left(\frac{1}{u}\right),


여기서 $f$는 방사형 힘을 나타낸다. 반경 $r\_0$에서 완벽한 원형 운동에 대한 기준은 왼쪽의 첫 번째 항이 0이 되는 것이다.

:$u\_0\; =\; J(u\_0)\; =\; -\backslash frac\{m\}\{L^2\; u\_0^2\}\; f\backslash left(\backslash frac\{1\}\{u\_0\}\backslash right),$

여기서 $u\_0\; \backslash equiv\; 1/r\_0$이다.

다음 단계는 완벽한 원형 궤도로부터의 작은 섭동 $\backslash eta\; \backslash equiv\; u\; -\; u\_0$에서 $u$에 대한 방정식을 고려하는 것이다. 오른쪽에 있는 $J$ 함수는 표준 테일러 급수로 확장될 수 있다.

:$J(u)\; \backslash approx\; J(u\_0)\; +\; \backslash eta\; J\text{'}(u\_0)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash eta^2\; J$(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J(u_0) + \cdots

이 확장을 $u$에 대한 방정식에 대입하고 상수 항을 빼면 다음이 생성된다.

:$\backslash frac\{d^2\; \backslash eta\}\{d\backslash theta^2\}\; +\; \backslash eta\; =\; \backslash eta\; J\text{'}(u\_0)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash eta^2\; J$(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J(u_0) + \cdots,

다음과 같이 작성할 수 있다.

:$\backslash frac\{d^2\; \backslash eta\}\{d\backslash theta^2\}\; +\; \backslash beta^2\; \backslash eta\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash eta^2\; J$(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J(u_{0}) + \cdots,

여기서 $\backslash beta^2\; \backslash equiv\; 1\; -\; J\text{'}(u\_0)$는 상수이다. $\backslash beta^2$는 음수가 아니어야 한다. 그렇지 않으면 궤도의 반경이 초기 반경에서 기하급수적으로 벗어난다. (해결책 $\backslash beta=0$은 완벽한 원형 궤도에 해당한다.) 오른쪽을 무시할 수 있는 경우(즉, 작은 섭동의 경우) 해는 다음과 같다.

:$\backslash eta(\backslash theta)\; =\; h\_1\; \backslash cos(\backslash beta\backslash theta),$

여기서 진폭 $h\_1$은 적분 상수이다. 궤도가 닫히려면 $\backslash beta$가 유리수여야 한다. 더 나아가, $\backslash beta$가 연속적으로 변경될 수 없으므로 모든 반경에 대해 동일한 유리수여야 한다. 유리수는 서로 완전 분리되어 있다. 방정식과 함께 $J$의 정의를 사용하면

:$$
J'(u_0) =
\frac{2}{u_0} \left[\frac{m}{L^2 u_0^2} f\left(\frac{1}{u_0}\right)\right] - \left[\frac{m}{L^2 u_0^2} f\left(\frac{1}{u_0}\right)\right]\frac{1}{f\left(\frac{1}{u_0}\right)} \frac{d}{du_0}f\left(\frac1{u_0}\right) =
-2 + \frac{u_0}{f\left(\frac{1}{u_0}\right)} \frac{d}{du_0}f\left(\frac1{u_0}\right) =
1 - \beta^2.


이는 $u\_0$의 모든 값에 대해 유지되어야 하므로,

:$\backslash frac\{df\}\{dr\}\; =\; (\backslash beta^2\; -\; 3)\; \backslash frac\{f\}\{r\},$

이는 힘이 멱법칙을 따라야 함을 의미한다.

:$f(r)\; =\; -\backslash frac\{k\}\{r^\{3-\backslash beta^2\}\}.$

따라서 $J$는 일반적인 형식을 가져야 한다.

:$J(u)\; =\; \backslash frac\{mk\}\{L^2\}\; u^\{1-\backslash beta^2\}.$

원형에서 보다 일반적인 편차(즉, $J$의 테일러 전개에서 고차 항을 무시할 수 없는 경우)의 경우 $\backslash eta$는 푸리에 급수로 확장될 수 있다. 예를 들어,

:$\backslash eta(\backslash theta)\; =\; h\_0\; +\; h\_1\; \backslash cos\; \backslash beta\; \backslash theta\; +\; h\_2\; \backslash cos\; 2\backslash beta\; \backslash theta\; +\; h\_3\; \backslash cos\; 3\backslash beta\; \backslash theta\; +\; \backslash cdots$

이를 방정식에 대입하고 동일한 주파수에 속하는 계수를 동일하게 만들고 가장 낮은 차수의 항만 유지한다. 아래에서 보듯이 $h\_0$과 $h\_2$는 $h\_1$보다 작고 $h\_1^2$의 순서이다. $h\_3$ 및 모든 추가 계수는 최소 $h\_1^3$의 순서이다. 원형 궤도에 접근함에 따라 $h\_0,\; h\_2,\; h\_3,\; \backslash ldots$가 모두 $h\_1$보다 더 빨리 사라져야 하므로 이는 의미가 있다.

:$h\_0\; =\; h\_1^2\; \backslash frac\{J$(u_0)}{4\beta^2},
:$h\_2\; =\; -h\_1^2\; \backslash frac\{J$(u_0)}{12\beta^2},
:$h\_3\; =\; -\backslash frac\{1\}\{8\backslash beta^2\}\; \backslash left[\; h\_1\; h\_2\; \backslash frac\{J$(u_0)}{2} + h_1^3 \frac{J(u_0)}{24} \right].

$\backslash cos\backslash beta\backslash theta$ 항에서 다음을 얻는다.

:$$
0 =
(2 h_1 h_0 + h_1 h_2) \frac{J(u_0)}{2} + h_1^3 \frac{J(u_0)}{8} =
\frac{h_1^3}{24 \beta^2} \left(3 \beta^2 J(u_0) + 5 J(u_0)^2\right),


마지막 단계에서는 $h\_0$과 $h\_2$의 값을 대입했다.

방정식과 을 사용하여 $u\_0$에서 평가된 $J$의 2차 및 3차 도함수를 계산할 수 있다.

:$J$(u_0) = -\frac{\beta^2 (1 - \beta^2)}{u_0},
:$J$(u_0) = \frac{\beta^2 (1 - \beta^2) (1 + \beta^2)}{u_0^2}.

이러한 값을 마지막 방정식에 대입하면 베르트랑의 정리'의 주요 결과가 생성된다.

:$\backslash beta^2\; (1\; -\; \backslash beta^2)\; (4\; -\; \backslash beta^2)\; =\; 0.$

따라서 안정적인 닫힌 비원형 궤도를 생성할 수 있는 유일한 포텐셜은 역제곱 힘 법칙($\backslash beta=1$)과 방사형 조화 진동자 포텐셜($\backslash beta=2$)이다. 솔루션 $\backslash beta=0$은 위에 언급했듯이 완벽한 원형 궤도에 해당한다.

2.1. 고전장 포텐셜

역제곱 힘 법칙, 예를 들어 중력 또는 정전기적 위치 에너지의 경우, 퍼텐셜은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$V(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{-k\}\{r\}\; =\; -ku.$

궤도 u(θ)는 일반적인 방정식으로부터 유도될 수 있다.

:$\backslash frac\{d^2\; u\}\{d\backslash theta^2\}\; +\; u\; =\; -\backslash frac\{m\}\{L^2\}\; \backslash frac\{d\}\{du\}\; V\backslash left(\backslash frac\{1\}\{u\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{km\}\{L^2\},$

이 방정식의 해는 상수 $\backslash frac\{km\}\{L^2\}$와 간단한 사인파의 합이다.

:$u\; \backslash equiv\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; =\; \backslash frac\{km\}\{L^2\}\; [1\; +\; e\; \backslash cos(\backslash theta\; -\; \backslash theta\_0)],$

여기서 e (이심률)과 θ₀ (위상 오프셋)는 적분 상수이다.

이것은 원점을 초점으로 갖는 원뿔 곡선의 일반적인 공식이며, e = 0은 원, 0 < e < 1은 타원, e = 1은 포물선, e > 1은 쌍곡선에 해당한다. 이심률 e는 전체 에너지 E와 관련이 있다. (라플라스-룽게-렌츠 벡터 참조).

:$e\; =\; \backslash sqrt\{1\; +\; \backslash frac\{2EL^2\}\{k^2\; m\}\}.$

이 공식들을 비교해 보면 E < 0은 타원에, E = 0은 포물선에, 그리고 E > 0은 쌍곡선에 해당한다는 것을 알 수 있다. 특히, 완벽한 원 궤도의 경우 $E\; =\; -\backslash frac\{k^2\; m\}\{2L^2\}$이다.

2.2. 조화 진동자

반경 방향 조화 진동자 포텐셜 하에서 궤도는 성분 r = (x, y, z)로 나타낼 수 있다. 포텐셜은 $V(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; kr^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; k\; (x^2\; +\; y^2\; +\; z^2).$ 와 같이 쓸 수 있다.

질량 m인 입자에 대한 운동 방정식은 세 개의 독립적인 오일러 방정식으로 주어진다.

: $\backslash frac\{d^2\; x\}\{dt^2\}\; +\; \backslash omega\_0^2\; x\; =\; 0,$
: $\backslash frac\{d^2\; y\}\{dt^2\}\; +\; \backslash omega\_0^2\; y\; =\; 0,$
: $\backslash frac\{d^2\; z\}\{dt^2\}\; +\; \backslash omega\_0^2\; z\; =\; 0,$

여기서 상수 $\backslash omega\_0^2\; \backslash equiv\; \backslash frac\{k\}\{m\}$은 양수여야 한다. 그렇지 않으면 입자는 무한대로 날아가 버린다. 이들 단순 조화 진동자 방정식의 해는 모두 유사하다.

: $x\; =\; A\_x\; \backslash cos(\backslash omega\_0\; t\; +\; \backslash phi\_x),$
: $y\; =\; A\_y\; \backslash cos(\backslash omega\_0\; t\; +\; \backslash phi\_y),$
: $z\; =\; A\_z\; \backslash cos(\backslash omega\_0\; t\; +\; \backslash phi\_z),$

여기서 양의 상수 A_x, A_y 및 A_z는 진동의 진폭을 나타내고, 각 φ_x, φ_y 및 φ_z는 그들의 위상을 나타낸다. 결과 궤도 r(t) = [x(t), y(y), z(t)]는 한 주기 $T\; \backslash equiv\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\_0\}.$가 지난 후 정확히 반복되기 때문에 닫혀 있다. 또한 시스템은 진폭과 위상의 작은 섭동이 전체 궤도에 상응하는 작은 변화를 일으키기 때문에 안정적이다.

3. 해 궤도

조화 진동자 포텐셜 $V\; =\; \backslash frac\{\; 1\; \}\{\; 2\; \}\; m\; \backslash omega^2\; r^2$의 경우, 해 궤도는 리사주 곡선이다.
:$x\; =\; A\; \backslash cos\; (\; \backslash omega\; t\; +\; \backslash phi\_x\; )\; ,\; \backslash \; \backslash \; y\; =\; B\; \backslash cos\; (\; \backslash omega\; t\; +\; \backslash phi\_y\; )$
이는 주기 $T\; =\; 2\; \backslash pi\; /\; \backslash omega$의 닫힌 곡선이다. 역제곱 포텐셜 $V\; =\; -\; \backslash mu\; /\; r$의 경우, 유계인 해 궤도는 타원이다.
:$r\; =\; \backslash frac\{\; a\; (\; 1\; -\; e^2\; )\; \}\{\; 1\; -\; e\; \backslash cos\; (\; \backslash theta\; -\; \backslash varpi\; )\; \}$
이는 닫힌 곡선이 되며, $a$는 장반경, $e$는 이심률, $\backslash varpi$는 근점 편각이다.

4. 응용

허버트 골드스타인은 자신의 교과서에서 많은 천체가 닫힌 곡선을 그린다는 관측 사실만으로 만유인력이 역제곱 법칙을 따른다는 것을 결론지을 수 있다고 지적했다. 조화 진동자형 상호 작용은 원거리에서 힘이 무한히 커지기 때문에 만유 인력의 법칙으로는 부적절하며, 베르트랑의 정리에 따르면 남은 가능성은 역제곱 법칙으로 한정되기 때문이다.

5. 한국의 관점