2. 정의
범주 \mathcal C 속의 '''여과 체계'''(함자]] I^{\operatorname{op/filtered system}}) ((X_i)_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j}) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.상향 원순서 집합 (I,\lesssim) 임의의 i\in I 에 대하여, 대상 X_i\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 임의의 i\lesssim j 에 대하여, 사상 f_{ij}\colon X_j\to X_i * 임의의 i\in I 에 대하여, f_{ii}=\operatorname{id}_{X_i} * 임의의 i\lesssim j\lesssim k 에 대하여, f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk} 범주 \mathcal C 속의 여과 체계 ((X_i)_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j}) 의 '''사영 극한''' (X,(\pi_i\colon X\to X_i)_{i\in I}) 은 이 여과 체계의 극한 이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다.대상 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 임의의 i\in I 에 대하여, 사상 \pi_i\colon X\to X_i 보편 성질 을 만족시켜야 한다.임의의 i\lesssim j 에 대하여, \pi_i=f_{ij}\circ\pi_j 만약 Y\in\operatorname{op}(\mathcal C) 와 (\psi_i\colon Y\to X_i)_{i\in I} 가 임의의 i\lesssim j 에 대하여 \psi_i=f_{ij}\circ\psi_j 를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 u\colon Y\to X 가 존재한다. * 임의의 i\in I 에 대하여, \psi_i=\pi_i\circ u 역극한의 보편성 X=\varprojlim X_i 로 쓴다.2. 1. 대수적 대상
임의의 대수 구조 다양체 \mathcal V 에서, 대수 구조 와 준동형 들의 여과 체계 ((A_i)_{i\in(I,\lesssim)},(\phi_{ij}\colon A_j\to A_i)_{i\lesssim j}) 의 사영 극한은 직접곱 의 부분 대수\varprojlim A_i=\left\{a\in\prod_{i\in I}A_i\colon a_i=\phi_{ij}(a_j)\qquad(i\lesssim j)\right\} \varprojlim A_i\to A_i\qquad(i\in I) 군 과 준동형사상의 역계(사영계)는 방향 부분 순서 집합 (I, \leq) (모든 저자가 ''I''가 방향 집합일 것을 요구하는 것은 아니다)에 대하여, 군의 족 (A_i)_{i\in I} 와 모든 i \leq j 에 대해 준동형사상 f_{ij}: A_j \to A_i 의 족이 다음 속성을 만족할 때 정의된다.f_{ii} 는 A_i 에 대한 항등사상이다.f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk} \quad \text{for all } i \leq j \leq k. ((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j\in I}) 를 I 에 대한 군과 사상의 역계라고 하며, 사상 f_{ij} 를 이 시스템의 전이 사상이라고 한다.((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j\in I}) 의 역극한은 ''A_i ''들의 직접곱 의 특정 부분군 으로 정의된다.A = \varprojlim_{i\in I}{A_i} = \left\{\left.\vec a \in \prod_{i\in I}A_i \;\right|\; a_i = f_{ij}(a_j) \text{ for all } i \leq j \text{ in } I\right\}. A 에는 각 I 의 i 에 대해 직접곱의 번째 성분을 선택하는 자연 사영 ''i'' : ''A'' → ''A''''i'' }}가 딸려 있다.A_i 가 집합,반군 ,위상 공간 ,환 , 가군 (고정된 환 위), 대수 (고정된 환 위) 등인 경우에 수행할 수 있으며, 준동형사상은 해당 범주 의 사상이다. 역극한 또한 해당 범주에 속하게 된다.2. 2. 일반적인 정의
범주 \mathcal C 속의 '''여과 체계'''(함자]] I^{\operatorname{op/filtered system}}) ((X_i)_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j}) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.상향 원순서 집합 (I,\lesssim) 임의의 i\in I 에 대하여, 대상 X_i\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 임의의 i\lesssim j 에 대하여, 사상 f_{ij}\colon X_j\to X_i 임의의 i\in I 에 대하여, f_{ii}=\operatorname{id}_{X_i} 임의의 i\lesssim j\lesssim k 에 대하여, f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk} 범주 \mathcal C 속의 여과 체계 ((X_i)_{i\in I},(f_{ij})_{i\lesssim j}) 의 '''사영 극한''' (X,(\pi_i\colon X\to X_i)_{i\in I}) 은 이 여과 체계의 극한 이다. 이는 다음 데이터로 구성된다.대상 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 임의의 i\in I 에 대하여, 사상 \pi_i\colon X\to X_i 보편 성질 을 만족시켜야 한다.임의의 i\lesssim j 에 대하여, \pi_i=f_{ij}\circ\pi_j 만약 Y\in\operatorname{op}(\mathcal C) 와 (\psi_i\colon Y\to X_i)_{i\in I} 가 임의의 i\lesssim j 에 대하여 \psi_i=f_{ij}\circ\psi_j 를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 u\colon Y\to X 가 존재한다. * 임의의 i\in I 에 대하여, \psi_i=\pi_i\circ u X=\varprojlim X_i 로 쓴다.범주 에서 보편 성질 을 이용하여 추상적으로 정의될 수 있다. 만약 존재한다면 강한 의미에서 유일하다. 역 시스템의 두 역극한 ''X''와 ''X'''가 주어지면, 사영 사상과 가환하는 ''유일한'' 동형 사상 ''X''′ → ''X''가 존재한다.
3. 예시
p진 정수의 환은 \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} 의 환의 역극한이며 (모듈러 산술 참조), 지수 집합은 일반적인 순서를 갖는 자연수 이며, 사상은 "나머지 가져오기"이다. 즉, 수열의 각 요소가 이전 요소로 "사영"되는 정수 (n_1, n_2, \dots) 의 수열을 고려하는데, i일 때마다 n_i\equiv n_j \mbox{ mod } p^{i} 이다. p진 정수의 자연적인 위상은 여기에 암시된 위상, 즉 원기둥 집합을 열린 집합으로 하는 곱 위상이다.''p'' 는, 자연수 전체에 통상의 순서를 넣은 것을 첨자 집합으로 하는 정수 환의 잉여류 환의 족 '''Z'''/''p''''n'' '''Z''' 에서, 그들 사이의 사상으로 "잉여의 교체"로 얻어지는 준동형을 취한 것의 사영계로부터 사영 극한으로 얻어진다. ''p''-진 정수 환에서의 자연스러운 위상은 사영 극한으로서의 위상과 일치한다.\mathbb{R}/p^n\mathbb{Z} 의 역극한이며, 지수 집합은 일반적인 순서를 갖는 자연수이며, 사상은 "나머지 가져오기"이다. 즉, 수열의 각 요소가 이전 요소로 "사영"되는 실수 (x_1, x_2, \dots) 의 수열을 고려한다. 즉, i일 때마다 x_i\equiv x_j \mbox{ mod } p^{i} 이다. 그 요소는 정확히 n + r 의 형태이며, 여기서 n 은 p진 정수이고 r\in [0, 1) 는 "나머지"이다.형식적 멱급수 환 \textstyle Rt 는 \textstyle R[t]/t^nR[t] 의 환의 사영 극한으로 생각할 수 있다. 이 경우, 일반적으로 순서가 지정된 자연수에 의해 인덱싱되며, \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t] 에서 \textstyle R[t]/t^nR[t] 로의 사상은 자연 사영에 의해 주어진다.유한군 의 사영 극한 으로 정의된다.''i'' , f_{ij} )의 지수 집합 ''I''에 최대 원소 ''m''이 있다고 가정하면, 자연 사영 ''m'' : ''X'' → ''X''''m'' 은 동형사상이다.칸토어 집합 (무한 문자열로)을 실현하는 한 가지 방법이다.''i'' 를 길이 ''i''의 유한 수열 전체로 이루어진 집합, ''f''''ij'' (''i''≤''j'') 를 수열을 ''i''항으로 자르는 사상이라고 하면, 그 사영 극한은 수열 전체의 집합이 된다.직적 이다.당김 이다.3. 1. p진 정수
p진 정수의 환은 \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} 의 환의 역극한이며 (모듈러 산술 참조), 지수 집합은 일반적인 순서를 갖는 자연수 이며, 사상은 "나머지 가져오기"이다. 즉, 수열의 각 요소가 이전 요소로 "사영"되는 정수 (n_1, n_2, \dots) 의 수열을 고려하는데, i일 때마다 n_i\equiv n_j \mbox{ mod } p^{i} 이다. p진 정수의 자연적인 위상은 여기에 암시된 위상, 즉 원기둥 집합을 열린 집합으로 하는 곱 위상이다.''p'' 는, 자연수 전체에 통상의 순서를 넣은 것을 첨자 집합으로 하는 정수 환의 잉여류 환의 족 '''Z'''/''p''''n'' '''Z''' 에서, 그들 사이의 사상으로 "잉여의 교체"로 얻어지는 준동형을 취한 것의 사영계로부터 사영 극한으로 얻어진다. ''p''-진 정수 환에서의 자연스러운 위상은 사영 극한으로서의 위상과 일치한다.3. 2. 형식적 멱급수
가환 환 ''R'' 위의 형식적 멱급수 환 \textstyle Rt 는 \textstyle R[t]/t^nR[t] 의 환의 사영 극한으로 생각할 수 있다. 이 경우, 일반적으로 순서가 지정된 자연수에 의해 인덱싱되며, \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t] 에서 \textstyle R[t]/t^nR[t] 로의 사상은 자연 사영에 의해 주어진다. ''p''-진 정수 전체로 이루어진 환 '''Z'''''p'' 는, 자연수 전체에 통상의 순서를 넣은 것을 첨자 집합으로 하는 정수 환의 잉여류 환의 족 '''Z'''/''p''''n'' '''Z''' 에서, 그들 사이의 사상으로 "잉여의 교체"로 얻어지는 준동형을 취한 것의 사영계로부터 사영 극한으로 얻어진다.3. 3. 프로유한군
프로유한군은 (이산) 유한군 의 사영 극한 으로 정의된다. 이는 ''p''-진 정수 전체로 이루어진 환 '''Z'''''p'' 를 잉여류 환의 족 '''Z'''/''p''''n'' '''Z''' 에서, 그들 사이의 사상으로 "잉여의 교체"로 얻어지는 준동형을 취한 것의 사영계로부터 사영 극한으로 얻는 것과 같다. p진 정수의 환은 \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} 의 환의 역극한이며, 지수 집합은 일반적인 순서를 갖는 자연수 이며, 사상은 "나머지 가져오기"이다. 즉, 수열의 각 요소가 이전 요소로 "사영"되는 정수 (n_1, n_2, \dots) 의 수열을 고려한다. 이때, i일 때마다 n_i\equiv n_j \mbox{ mod } p^{i} 이다. p진 정수의 자연적인 위상은 여기에 암시된 위상, 즉 원기둥 집합을 열린 집합으로 하는 곱 위상이다.3. 4. 위상 공간
위상 공간 과 연속 함수 의 범주 \operatorname{Top} 에서, 여과 체계 ((X_i)_{i\in(I,\lesssim)},(f_{ij})_{i\lesssim j}) 의 사영 극한은 집합 의 대수 구조 다양체 에서의 사영 극한 위에 곱위상 의 부분공간 위상 을 부여한 것이다.X_i 가 하우스도르프 공간 이라면, 사영 극한은 곱공간의 닫힌집합이다. 특히, 만약 모든 X_i 가 콤팩트 하우스도르프 공간 이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 사영 극한이 공집합 일 필요충분조건은 어떤 X_i 가 공집합인 것이다.칸토어 집합 (무한 문자열로)을 실현하는 한 가지 방법이다.
4. 사영 극한의 도래 함자
아벨 범주 ''C''에 대해 역 극한 함자\varprojlim:C^I\rightarrow C 가산 순서 집합 (단순히 반순서가 있다는 것이 아님)이고, ''C''가 아벨 군의 범주 '''Ab'''일 때, 미타그-레플러 조건은 \varprojlim 의 완전성을 보장하는 전이 사상 ''f''''ij'' 에 관한 조건이다.\varprojlim\nolimits^1\colon \mathbf{Ab}^I\to\mathbf{Ab} ''i'' , ''f''''ij'' ), (''B''''i'' , ''g''''ij'' ), (''C''''i'' , ''h''''ij'' )가 단 완전열0\to A_i\to B_i\to C_i\to 0 0\to\varprojlim A_i\to\varprojlim B_i\to\varprojlim C_i\to\varprojlim\nolimits^1 A_i ''i'' , ''f''''ij'' )의 사상의 값역이 '''안정''' (즉, 각 ''k''에 대해, 적당한 ''j'' ≥ ''k''가 존재하여 "''i'' ≥ ''j''인 모든 ''i''에 대해 f_{kj}(A_j)=f_{ki}(A_i) 가 성립한다")이면, 이 역계는 '''미타그-레플러 조건'''을 만족한다고 한다. 이 조건은 \varprojlim\nolimits^1 A_i = 0 임을 함의한다.
모든 사상 ''f''''ij'' 가 전사 사상인 역계 유한 차원 벡터 공간으로 구성된 역계 ''i'' = ''p''''i'' '''Z''', ''B''''i'' = '''Z''', ''C''''i'' = ''B''''i'' /''A''''i'' = '''Z'''/''p''''i'' '''Z'''로 두면,\varprojlim\nolimits^1 A_i = \mathbf{Z}_p/\mathbf{Z} ''p'' 는 ''p''-진 정수환을 나타낸다.4. 1. 미타그-레플러 조건
아벨 군의 역계열 (''A''''i'' , ''f''''ij'' )의 준동형사상의 치역이 정적인 경우, 즉 모든 ''k''에 대해 모든 ''i'' ≥ ''j''에 대해 f_{kj}(A_j)=f_{ki}(A_i) 를 만족하는 ''j'' ≥ ''k''가 존재할 때, 이 계열이 '''미타그-레플러 조건'''을 만족한다고 말한다.사상 ''f''''ij'' 가 전사인 계열 유한 차원 벡터 공간 또는 유한 아벨 군 또는 유한 길이를 갖는 가군 또는 아르틴 가군의 계열 \varprojlim{}^1 이 0이 아닌 예시는, ''I''를 음이 아닌 정수 로 놓고, ''A''''i'' = ''p''''i'' '''Z''', ''B''''i'' = '''Z''', ''C''''i'' = ''B''''i'' / ''A''''i'' = '''Z'''/''p''''i'' '''Z'''로 설정하여 얻을 수 있다. 그러면 \varprojlim{}^1A_i=\mathbf{Z}_p/\mathbf{Z} 이다. 여기서 '''Z'''''p'' 는 p진 정수를 나타낸다.4. 2. 추가적인 결과
일반적으로, ''C''가 충분한 단사 대상 을 가진 임의의 아벨 범주 라면, ''C''''I'' 도 마찬가지이며, 역극한 함자의 오른쪽 유도 함자들을 정의할 수 있다. ''n''번째 오른쪽 유도 함자는 다음과 같이 표기된다.R^n\varprojlim:C^I\rightarrow C. ''I'' 위의 함자 lim1 을 일련의 함자 limn 으로 일반화하여\varprojlim{}^n\cong R^n\varprojlim. 1 ''A''''i'' = 0임을 증명한 것으로 40년 동안 여겨졌으나, 2002년, 아므논 니만과 피에르 들린은 (AB4*) 외에 (AB4)를 만족하는 범주에서 그러한 시스템의 예시를 구성했으며, lim1 ''A''''i'' ≠ 0이다. Roos는 이후 그의 결과가 ''C''가 생성 집합을 가질 경우 (AB3) 및 (AB4*)를 만족하는 것 외에도 옳다는 것을 보였다.기수 \aleph_d (''d''번째 무한 기수)를 갖는다면, 모든 ''n'' ≥ ''d'' + 2에 대해 ''R''''n'' lim은 0이라고 보였다. 이는 가환환 ''R''을 갖는 ''R''-가군 범주에서 ''I''로 인덱싱된 다이어그램에 적용된다. 임의의 아벨 범주에서는 반드시 참이 아니다.