사영 극한

1. 개요

사영 극한은 범주 $\backslash mathcal\; C$ 내의 여과 체계의 극한으로, 구체적으로 대상 X와 사상 $\backslash pi\_i$로 구성된다. 이는 $\backslash pi\_i\; =\; f\_\{ij\}\; \backslash circ\; \backslash pi\_j$를 만족시키고, 특정 조건을 만족하는 유일한 사상 u가 존재하도록 하는 보편 성질을 갖는다. 사영 극한은 대수적 대상, 군, 집합, 위상 공간 등 다양한 수학적 구조에서 정의되며, p진 정수, 형식적 멱급수, 프로유한군 등의 예시가 있다. 역 극한 함자는 좌 완전 함자이며, 미타그-레플러 조건은 그 완전성을 보장하는 조건이다. 사영 극한은 귀납 극한과 범주론적 극한 및 여극한과 관련된다.

2. 정의

범주 $\backslash mathcal\; C$ 속의 여과 체계(filtered system^영어) $((X\_i)\_\{i\backslash in\; I\},(f\_\{ij\})\_\{i\backslash lesssim\; j\})$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 상향 원순서 집합 $(I,\backslash lesssim)$
* 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, 대상 $X\_i\backslash in\backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; C)$
* 임의의 $i\backslash lesssim\; j$에 대하여, 사상 $f\_\{ij\}\backslash colon\; X\_j\backslash to\; X\_i$
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 함자 $I^\{\backslash operatorname\{op\}\}\backslash to\backslash mathcal\; C$를 이룬다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, $f\_\{ii\}=\backslash operatorname\{id\}\_\{X\_i\}$
임의의 $i\backslash lesssim\; j\backslash lesssim\; k$에 대하여, $f\_\{ik\}=f\_\{ij\}\backslash circ\; f\_\{jk\}$
범주 $\backslash mathcal\; C$ 속의 여과 체계 $((X\_i)\_\{i\backslash in\; I\},(f\_\{ij\})\_\{i\backslash lesssim\; j\})$의 사영 극한 $(X,(\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i)\_\{i\backslash in\; I\})$은 이 여과 체계의 극한이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다.
* 대상 $X\backslash in\backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; C)$
* 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, 사상 $\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i$
이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.
* 임의의 $i\backslash lesssim\; j$에 대하여, $\backslash pi\_i=f\_\{ij\}\backslash circ\backslash pi\_j$
* 만약 $Y\backslash in\backslash operatorname\{op\}(\backslash mathcal\; C)$와 $(\backslash psi\_i\backslash colon\; Y\backslash to\; X\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$가 임의의 $i\backslash lesssim\; j$에 대하여 $\backslash psi\_i=f\_\{ij\}\backslash circ\backslash psi\_j$를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 $u\backslash colon\; Y\backslash to\; X$가 존재한다.
** 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, $\backslash psi\_i=\backslash pi\_i\backslash circ\; u$

2.1. 대수적 대상

임의의 대수 구조 다양체 $\backslash mathcal\; V$에서, 대수 구조와 준동형들의 여과 체계 $((A\_i)\_\{i\backslash in(I,\backslash lesssim)\},(\backslash phi\_\{ij\}\backslash colon\; A\_j\backslash to\; A\_i)\_\{i\backslash lesssim\; j\})$의 사영 극한은 직접곱의 부분 대수
:$\backslash varprojlim\; A\_i=\backslash left\backslash \{a\backslash in\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}A\_i\backslash colon\; a\_i=\backslash phi\_\{ij\}(a\_j)\backslash qquad(i\backslash lesssim\; j)\backslash right\backslash \}$
및 사영 함수
:$\backslash varprojlim\; A\_i\backslash to\; A\_i\backslash qquad(i\backslash in\; I)$
들로 주어진다.

군과 준동형사상의 역계(사영계)는 방향 부분 순서 집합 $(I,\; \backslash leq)$ (모든 저자가 I가 방향 집합일 것을 요구하는 것은 아니다)에 대하여, 군의 족 $(A\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$와 모든 $i\; \backslash leq\; j$에 대해 준동형사상 $f\_\{ij\}:\; A\_j\; \backslash to\; A\_i$의 족이 다음 속성을 만족할 때 정의된다.
# $f\_\{ii\}$는 $A\_i$에 대한 항등사상이다.
# $f\_\{ik\}\; =\; f\_\{ij\}\; \backslash circ\; f\_\{jk\}\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; all\; \}\; i\; \backslash leq\; j\; \backslash leq\; k.$
이 때, 쌍 $((A\_i)\_\{i\backslash in\; I\},\; (f\_\{ij\})\_\{i\backslash leq\; j\backslash in\; I\})$를 $I$에 대한 군과 사상의 역계라고 하며, 사상 $f\_\{ij\}$를 이 시스템의 전이 사상이라고 한다.

역계 $((A\_i)\_\{i\backslash in\; I\},\; (f\_\{ij\})\_\{i\backslash leq\; j\backslash in\; I\})$의 역극한은 $A\_i$들의 직접곱의 특정 부분군으로 정의된다.
:$A\; =\; \backslash varprojlim\_\{i\backslash in\; I\}\{A\_i\}\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash left.\backslash vec\; a\; \backslash in\; \backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}A\_i\; \backslash ;\backslash right|\backslash ;\; a\_i\; =\; f\_\{ij\}(a\_j)\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; i\; \backslash leq\; j\; \backslash text\{\; in\; \}\; I\backslash right\backslash \}.$
역극한 $A$에는 각 $I$의 $i$에 대해 직접곱의 번째 성분을 선택하는 자연 사영 가 딸려 있다.

이와 동일한 구성은 $A\_i$가 집합, 반군, 위상 공간, 환, 가군 (고정된 환 위), 대수 (고정된 환 위) 등인 경우에 수행할 수 있으며, 준동형사상은 해당 범주의 사상이다. 역극한 또한 해당 범주에 속하게 된다.

2.2. 일반적인 정의

범주 $\backslash mathcal\; C$ 속의 여과 체계(filtered system^영어) $((X\_i)\_\{i\backslash in\; I\},(f\_\{ij\})\_\{i\backslash lesssim\; j\})$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 상향 원순서 집합 $(I,\backslash lesssim)$
* 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, 대상 $X\_i\backslash in\backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; C)$
* 임의의 $i\backslash lesssim\; j$에 대하여, 사상 $f\_\{ij\}\backslash colon\; X\_j\backslash to\; X\_i$
이 데이터는 함자 $I^\{\backslash operatorname\{op\}\}\backslash to\backslash mathcal\; C$를 이루어야 한다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
* 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, $f\_\{ii\}=\backslash operatorname\{id\}\_\{X\_i\}$
* 임의의 $i\backslash lesssim\; j\backslash lesssim\; k$에 대하여, $f\_\{ik\}=f\_\{ij\}\backslash circ\; f\_\{jk\}$

범주 $\backslash mathcal\; C$ 속의 여과 체계 $((X\_i)\_\{i\backslash in\; I\},(f\_\{ij\})\_\{i\backslash lesssim\; j\})$의 사영 극한 $(X,(\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i)\_\{i\backslash in\; I\})$은 이 여과 체계의 극한이다. 이는 다음 데이터로 구성된다.
* 대상 $X\backslash in\backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; C)$
* 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, 사상 $\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i$
이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.
* 임의의 $i\backslash lesssim\; j$에 대하여, $\backslash pi\_i=f\_\{ij\}\backslash circ\backslash pi\_j$
* 만약 $Y\backslash in\backslash operatorname\{op\}(\backslash mathcal\; C)$와 $(\backslash psi\_i\backslash colon\; Y\backslash to\; X\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$가 임의의 $i\backslash lesssim\; j$에 대하여 $\backslash psi\_i=f\_\{ij\}\backslash circ\backslash psi\_j$를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 $u\backslash colon\; Y\backslash to\; X$가 존재한다.
** 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, $\backslash psi\_i=\backslash pi\_i\backslash circ\; u$

3. 예시

p진 정수의 환은 $\backslash mathbb\{Z\}/p^n\backslash mathbb\{Z\}$의 환의 역극한이며 (모듈러 산술 참조), 지수 집합은 일반적인 순서를 갖는 자연수이며, 사상은 "나머지 가져오기"이다. 즉, 수열의 각 요소가 이전 요소로 "사영"되는 정수 $(n\_1,\; n\_2,\; \backslash dots)$의 수열을 고려하는데,

구체적으로 p-진 정수 전체로 이루어진 환 Z_p 는, 자연수 전체에 통상의 순서를 넣은 것을 첨자 집합으로 하는 정수 환의 잉여류 환의 족 Z/pⁿZ 에서, 그들 사이의 사상으로 "잉여의 교체"로 얻어지는 준동형을 취한 것의 사영계로부터 사영 극한으로 얻어진다. p-진 정수 환에서의 자연스러운 위상은 사영 극한으로서의 위상과 일치한다.

p진 솔레노이드는 위상군 $\backslash mathbb\{R\}/p^n\backslash mathbb\{Z\}$의 역극한이며, 지수 집합은 일반적인 순서를 갖는 자연수이며, 사상은 "나머지 가져오기"이다. 즉, 수열의 각 요소가 이전 요소로 "사영"되는 실수 $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots)$의 수열을 고려한다. 즉,

가환 환 R 위의 형식적 멱급수 환 $\backslash textstyle\; Rt$는 $\backslash textstyle\; R[t]/t^nR[t]$의 환의 사영 극한으로 생각할 수 있다. 이 경우, 일반적으로 순서가 지정된 자연수에 의해 인덱싱되며, $\backslash textstyle\; R[t]/t^\{n+j\}R[t]$에서 $\backslash textstyle\; R[t]/t^nR[t]$로의 사상은 자연 사영에 의해 주어진다.

프로유한군은 (이산) 유한군의 사영 극한으로 정의된다.

역 시스템 (X_i, $f\_\{ij\}$)의 지수 집합 I에 최대 원소 m이 있다고 가정하면, 자연 사영 _m: X → X_m은 동형사상이다.

집합 범주에서 모든 역 시스템은 역극한을 가지며, 이는 역 시스템을 형성하는 집합의 곱의 부분 집합으로 초등적으로 구성될 수 있다. 비어 있지 않은 유한 집합의 역 시스템의 역극한은 비어 있지 않다. 이는 그래프 이론의 쾨니그의 보조정리의 일반화이며, 유한 집합을 컴팩트 이산 공간으로 보고 유한 교차 속성의 컴팩트성 특성을 적용하여 티호노프의 정리로 증명할 수 있다.

위상 공간 범주에서 모든 역 시스템은 역극한을 갖는다. 이는 기본 집합론적 역극한에 시작 위상을 배치하여 구성된다. 이것은 극한 위상으로 알려져 있다. 무한 문자열의 집합은 유한 문자열의 역극한이며, 따라서 극한 위상이 부여된다. 원래 공간이 이산 위상이므로 극한 공간은 완전 분리된다. 이것은 p진수와 칸토어 집합 (무한 문자열로)을 실현하는 한 가지 방법이다.

A_i 를 길이 i의 유한 수열 전체로 이루어진 집합, f_ij (i≤j) 를 수열을 i항으로 자르는 사상이라고 하면, 그 사영 극한은 수열 전체의 집합이 된다.

첨자 집합이 자명한 순서를 가질 경우(즉, 유향이 아닌 집합), 그러한 임의의 역계에 대응하는 역 극한은 단순한 직적이다.

세 개의 원소로 이루어진 첨자 집합 I = {i, j, k} 로 i ≤ j 이고 i ≤ k 로 한다(이 역시 유향 집합이 아니다)면, 그러한 임의의 역계의 역 극한은 당김이다.

3.1. p진 정수

p진 정수의 환은 $\backslash mathbb\{Z\}/p^n\backslash mathbb\{Z\}$의 환의 역극한이며 (모듈러 산술 참조), 지수 집합은 일반적인 순서를 갖는 자연수이며, 사상은 "나머지 가져오기"이다. 즉, 수열의 각 요소가 이전 요소로 "사영"되는 정수 $(n\_1,\; n\_2,\; \backslash dots)$의 수열을 고려하는데,

구체적으로 p-진 정수 전체로 이루어진 환 Z_p 는, 자연수 전체에 통상의 순서를 넣은 것을 첨자 집합으로 하는 정수 환의 잉여류 환의 족 Z/pⁿZ 에서, 그들 사이의 사상으로 "잉여의 교체"로 얻어지는 준동형을 취한 것의 사영계로부터 사영 극한으로 얻어진다. p-진 정수 환에서의 자연스러운 위상은 사영 극한으로서의 위상과 일치한다.

3.2. 형식적 멱급수

가환 환 R 위의 형식적 멱급수 환 $\backslash textstyle\; Rt$는 $\backslash textstyle\; R[t]/t^nR[t]$의 환의 사영 극한으로 생각할 수 있다. 이 경우, 일반적으로 순서가 지정된 자연수에 의해 인덱싱되며, $\backslash textstyle\; R[t]/t^\{n+j\}R[t]$에서 $\backslash textstyle\; R[t]/t^nR[t]$로의 사상은 자연 사영에 의해 주어진다. p-진 정수 전체로 이루어진 환 Z_p 는, 자연수 전체에 통상의 순서를 넣은 것을 첨자 집합으로 하는 정수 환의 잉여류 환의 족 Z/pⁿZ 에서, 그들 사이의 사상으로 "잉여의 교체"로 얻어지는 준동형을 취한 것의 사영계로부터 사영 극한으로 얻어진다.

3.3. 프로유한군

프로유한군은 (이산) 유한군의 사영 극한으로 정의된다. 이는 p-진 정수 전체로 이루어진 환 Z_p를 잉여류 환의 족 Z/pⁿZ 에서, 그들 사이의 사상으로 "잉여의 교체"로 얻어지는 준동형을 취한 것의 사영계로부터 사영 극한으로 얻는 것과 같다. p진 정수의 환은 $\backslash mathbb\{Z\}/p^n\backslash mathbb\{Z\}$의 환의 역극한이며, 지수 집합은 일반적인 순서를 갖는 자연수이며, 사상은 "나머지 가져오기"이다. 즉, 수열의 각 요소가 이전 요소로 "사영"되는 정수 $(n\_1,\; n\_2,\; \backslash dots)$의 수열을 고려한다. 이때,

3.4. 위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 $\backslash operatorname\{Top\}$에서, 여과 체계 $((X\_i)\_\{i\backslash in(I,\backslash lesssim)\},(f\_\{ij\})\_\{i\backslash lesssim\; j\})$의 사영 극한은 집합의 대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱위상의 부분공간 위상을 부여한 것이다.

만약 모든 $X\_i$가 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한은 곱공간의 닫힌집합이다. 특히, 만약 모든 $X\_i$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 사영 극한이 공집합일 필요충분조건은 어떤 $X\_i$가 공집합인 것이다.

위상 공간 범주에서 모든 역 시스템은 역극한을 가지며, 이는 기본 집합론적 역극한에 시작 위상을 배치하여 구성된다. 이것은 극한 위상으로 알려져 있다. 무한 문자열의 집합은 유한 문자열의 역극한이며, 따라서 극한 위상이 부여된다. 원래 공간이 이산 위상이므로 극한 공간은 완전 분리된다. 이것은 p진수와 칸토어 집합 (무한 문자열로)을 실현하는 한 가지 방법이다.

4. 사영 극한의 도래 함자

아벨 범주 C에 대해 역 극한 함자
:$\backslash varprojlim:C^I\backslash rightarrow\; C$
는 좌 완전 함자이다. I가 가산순서 집합 (단순히 반순서가 있다는 것이 아님)이고, C가 아벨 군의 범주 Ab일 때, 미타그-레플러 조건은 $\backslash varprojlim$의 완전성을 보장하는 전이 사상 f_ij에 관한 조건이다.

에일렌버그는 함자
:$\backslash varprojlim\backslash nolimits^1\backslash colon\; \backslash mathbf\{Ab\}^I\backslash to\backslash mathbf\{Ab\}$
를 사용하여, 세 개의 아벨 군의 역계(A_i, f_ij), (B_i, g_ij), (C_i, h_ij)가 단 완전열
:$0\backslash to\; A\_i\backslash to\; B\_i\backslash to\; C\_i\backslash to\; 0$
을 이루면,
:$0\backslash to\backslash varprojlim\; A\_i\backslash to\backslash varprojlim\; B\_i\backslash to\backslash varprojlim\; C\_i\backslash to\backslash varprojlim\backslash nolimits^1\; A\_i$
가 Ab에서의 완전열이 된다는 것을 구성했다.

; 미타그-레플러 조건
아벨 군의 역계 (A_i, f_ij)의 사상의 값역이 안정 (즉, 각 k에 대해, 적당한 j ≥ k가 존재하여 "i ≥ j인 모든 i에 대해 $f\_\{kj\}(A\_j)=f\_\{ki\}(A\_i)$가 성립한다")이면, 이 역계는 미타그-레플러 조건을 만족한다고 한다. 이 조건은 $\backslash varprojlim\backslash nolimits^1\; A\_i\; =\; 0$임을 함의한다.

다음과 같은 상황은 미타그-레플러 조건을 만족하는 예가 된다.
* 모든 사상 f_ij가 전사 사상인 역계
* 유한 차원 벡터 공간으로 구성된 역계

또한, lim1이 0이 되지 않는 (따라서 미타그-레플러 조건을 만족하지 않는) 예로, I는 음이 아닌 정수 전체, A_i = pⁱZ, B_i = Z, C_i = B_i/A_i = Z/pⁱZ로 두면,
:$\backslash varprojlim\backslash nolimits^1\; A\_i\; =\; \backslash mathbf\{Z\}\_p/\backslash mathbf\{Z\}$
를 얻을 수 있다. 여기서 Z_p는 p-진 정수환을 나타낸다.

4.1. 미타그-레플러 조건

아벨 군의 역계열 (A_i, f_ij)의 준동형사상의 치역이 정적인 경우, 즉 모든 k에 대해 모든 i ≥ j에 대해 $f\_\{kj\}(A\_j)=f\_\{ki\}(A\_i)$를 만족하는 j ≥ k가 존재할 때, 이 계열이 미타그-레플러 조건을 만족한다고 말한다.

이 조건에 대한 "미타그-레플러"라는 이름은 부르바키가 완전 하우스도르프 균등 공간의 역극한에 대한 유사한 결과에 대한 균등 구조에 관한 장에서 명명했다. 미타그-레플러는 미타그-레플러 정리의 증명에서 이와 유사한 논증을 사용했다.

미타그-레플러 조건이 만족되는 경우는 다음과 같다:
* 사상 f_ij가 전사인 계열
* 유한 차원 벡터 공간 또는 유한 아벨 군 또는 유한 길이를 갖는 가군 또는 아르틴 가군의 계열

$\backslash varprojlim\{\}^1$이 0이 아닌 예시는, I를 음이 아닌 정수로 놓고, A_i = pⁱZ, B_i = Z, C_i = B_i / A_i = Z/pⁱZ로 설정하여 얻을 수 있다. 그러면 $\backslash varprojlim\{\}^1A\_i=\backslash mathbf\{Z\}\_p/\backslash mathbf\{Z\}$이다. 여기서 Z_p는 p진 정수를 나타낸다.

4.2. 추가적인 결과

일반적으로, C가 충분한 단사 대상을 가진 임의의 아벨 범주라면, C^I도 마찬가지이며, 역극한 함자의 오른쪽 유도 함자들을 정의할 수 있다. n번째 오른쪽 유도 함자는 다음과 같이 표기된다.

:$R^n\backslash varprojlim:C^I\backslash rightarrow\; C.$

C가 그로텐디크의 (AB4*) 공리를 만족하는 경우, 얀-에릭 로스는 Ab^I 위의 함자 lim¹을 일련의 함자 limⁿ으로 일반화하여

:$\backslash varprojlim\{\}^n\backslash cong\; R^n\backslash varprojlim.$

이 성립하도록 했다.

Roos가 전사적 변환 사상을 갖는 역 시스템 (Mittag-Leffler 시퀀스)에 대해 lim¹ A_i = 0임을 증명한 것으로 40년 동안 여겨졌으나, 2002년, 아므논 니만과 피에르 들린은 (AB4*) 외에 (AB4)를 만족하는 범주에서 그러한 시스템의 예시를 구성했으며, lim¹ A_i ≠ 0이다. Roos는 이후 그의 결과가 C가 생성 집합을 가질 경우 (AB3) 및 (AB4*)를 만족하는 것 외에도 옳다는 것을 보였다.

배리 미첼은 만약 I가 기수 $\backslash aleph\_d$ (d번째 무한 기수)를 갖는다면, 모든 n ≥ d + 2에 대해 Rⁿlim은 0이라고 보였다. 이는 가환환 R을 갖는 R-가군 범주에서 I로 인덱싱된 다이어그램에 적용된다. 임의의 아벨 범주에서는 반드시 참이 아니다.

5. 관련 개념

범주론적 쌍대는 귀납 극한(직접 극한 또는 순 극한)이다. 더 일반적인 개념은 범주론의 극한과 여극한으로 파악할 수 있다. 용어법이 다소 혼동될 수 있지만, 역극한은 (범주론적) 극한이며, 여극한이 아니라는 점에 유의해야 한다.