아인슈타인-카르탕 이론

3. 일반 상대성 이론과의 관계

일반 상대성이론은 스핀-궤도 결합, 즉 물체의 진성 각운동량과 궤도 각운동량 간의 상호작용을 설명할 수 없다는 한계점을 가지고 있다. 이 때문에 스핀을 가진 물질이 존재하는 경우, 일반 상대성이론은 아인슈타인-카르탕 이론으로 확장되어야 한다.^[2] 그러나 거시적인 물체의 스핀은 매우 작고, 꼬임은 중력파와 달리 전파되지 않기 때문에, 아인슈타인-카르탕 이론의 효과는 현재 기술로는 관측하기 어렵다.

아인슈타인-카르탕 이론은 리만 기하학을 기반으로 하는 일반 상대성이론과 달리, 리만-카르탕 기하학을 기반으로 한다. 또한, 비틀림과 스핀을 연결하는 추가적인 방정식을 제시한다.^[2]

일반 상대성 이론을 리만-카르탕 기하학으로 재구성하는 과정은 다음과 같다.

:: 일반 상대성 이론 (아인슈타인-힐베르트) → 일반 상대성 이론 (팔라티니) → '''아인슈타인-카르탕'''

1. 아인슈타인-힐베르트 작용을 팔라티니 작용으로 대체한다.

2. 팔라티니 작용에서 비틀림이 0이라는 제약을 제거하여, 스핀과 비틀림에 대한 추가적인 방정식과 아인슈타인 장 방정식에 스핀 관련 항을 추가한다.^[2]

일반 상대성 이론은 원래 리만 기하학에서 아인슈타인-힐베르트 작용을 통해 아인슈타인 장 방정식을 유도했다. 하지만 당시에는 리만-카르탕 기하학의 개념이 없었고, 게이지 대칭성에 대한 이해 부족으로 리만 기하학이 국소적 로렌츠 대칭성을 구현하는 데 필요한 구조를 갖추지 못했다. 이후 스피너를 설명하기 위해 스핀 구조를 포함하면서 리만-카르탕 기하학이 등장했다.^[2]

3. 1. 리만 기하학과 리만-카르탕 기하학

3. 2. 비틀림(Torsion) 텐서

3. 3. 팔라티니 작용

• 장 방정식은 레비-치비타 접속이 아닌 아핀 접속으로 표현되며, 뒤틀림과 관련된 추가 항을 포함한다.
• 물질의 고유 각운동량(스핀)과 비틀림을 연결하는 추가적인 방정식이 존재한다.

4. 장 방정식

일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식과 마찬가지로, 아인슈타인-카르탕 이론의 장 방정식도 아인슈타인-힐베르트 작용을 시공간의 실제 작용으로 가정하고 계량 텐서에 대해 변분하여 유도할 수 있다. 하지만, 아인슈타인-카르탕 이론에서는 대칭적인 레비치비타 접속 대신 일반적인 비대칭 아핀 접속을 가정한다. 즉, 시공간에 곡률뿐만 아니라 비틀림도 존재한다고 가정한다.

물질의 라그랑주 밀도를 $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{M\}$, 중력장의 라그랑주 밀도를 $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{G\}$라고 하면, 아인슈타인-카르탕 이론에서 중력장의 라그랑주 밀도는 리치 스칼라 곡률에 비례한다.

:$\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{G\}=\backslash frac\{1\}\{2\backslash kappa\}R\; \backslash sqrt$

여기서 $R\_\{ab\}$는 리치 곡률 텐서이고 $P\_\{ab\}$는 정준 응력-에너지-운동량 텐서이다. 접속에 0이 아닌 비틀림 텐서가 포함되어 있기 때문에 리치 곡률 텐서는 더 이상 대칭이 아니다. 따라서 방정식의 우변도 대칭이 될 수 없으며, $P\_\{ab\}$는 스핀 텐서와 관련된 것으로 표시될 수 있는 비대칭 기여도를 포함해야 함을 의미한다. 이 정준 에너지-운동량 텐서는 벨린판테-로젠펠드 절차에 의해 더 친숙한 ''대칭'' 에너지-운동량 텐서와 관련된다.

비틀림 텐서 $\{T^\{ab\}\}\_c$에 대한 변분은 카르탕 스핀 접속 방정식을 산출한다.

:$\backslash frac\{\backslash delta\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{G\}\}\{\backslash delta\; \{T^\{ab\}\}\_c\}\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\{\backslash sigma\_\{ab\}\}^c\; =0$

여기서 $\{\backslash sigma\_\{ab\}\}^c$는 스핀 텐서이다. 비틀림 방정식은 대수적 제약이기 때문에 비틀림 장은 파동으로 전파되지 않고 물질 밖에서 사라진다. 따라서 원칙적으로 비틀림은 물질 내부에서 효과적인 "스핀-스핀" 비선형 자기 상호 작용을 생성하는 스핀 텐서에 찬성하여 이론에서 대수적으로 제거될 수 있다.

4. 2. 카르탕 스핀 접속 방정식

여기서 $\{\backslash sigma\_\{ab\}\}^c$는 스핀 텐서이다. 비틀림 방정식은 편미분방정식이 아닌 대수적 제약이기 때문에 비틀림 장은 파동으로 전파되지 않고 물질 밖에서 사라진다. 따라서 원칙적으로 비틀림은 물질 내부에서 효과적인 "스핀-스핀" 비선형 자기 상호 작용을 생성하는 스핀 텐서에 찬성하여 이론에서 대수적으로 제거될 수 있다. 비틀림은 그 근원 항과 같으며 "웜홀"과 같은 경계 또는 목을 가진 위상 구조로 대체될 수 있다.

5. 특이점 회피와 우주론적 함의

아인슈타인-카르탕 이론은 리만 기하학에서 성립하는 특이점 정리가 적용되지 않는 리만-카르탕 기하학을 기반으로 한다. 이 이론에서 비틀림과 디랙 스피너의 결합은 빅뱅 특이점 문제를 해결하고, 빅 바운스와 같은 새로운 우주론적 시나리오를 제시한다. 또한, 비틀림은 블랙홀 형성을 막고, 양자장 이론의 문제점을 해결하는 데 기여하며, 웜홀 형성을 통해 새로운 우주의 탄생을 설명한다. 최근에는 블랙홀 우주론, 정적 우주, 순환 모형 등 다양한 우주론적 모델에 적용되어 연구되고 있다.^[15][16][17]

5. 1. 특이점 정리의 회피

5. 2. 우주론적 응용

6. 초중력과의 관계

초중력은 그 스핀 접속이 자유 라리타-슈윙거 장(그래비티노)으로부터 발생하는 아인슈타인-카르탕 이론으로 생각할 수 있다.

참조

_[1] 논문 Einstein–Cartan–Dirac gravity with U(1) symmetry breaking 2019-12-01
_[2] 논문 Gravity theories with propagating torsion 1980-02-15
_[3] 논문 Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces à torsion https://gallica.bnf.[...] 1922-01-01
_[4] 논문 Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie) 1923-01-01
_[5] 논문 Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) 1924-01-01
_[6] 논문 Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (deuxième partie) 1925-01-01
_[7] 논문 On the History of Unified Field Theories 2004-01-01
_[8] 논문 The Physical Structure of General Relativity 1964-01-01
_[9] 논문 Lorentz Invariance and the Gravitational Field 1961-01-01
_[10] 논문 General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects 1976-07-01
_[11] 논문 Nonlinear Spinor Equation and Asymmetric Connection in General Relativity 1971-01-01
_[12] 논문 Note on the torsion tensor 2007-01-01
_[13] 논문 Dennis William Sciama. 18 November 1926 — 19 December 1999 2010-01-01
_[14] 논문 On the local geometry of rotating matter 1986-01-01
_[15] 서적 Regular Black Holes: Towards a New Paradigm of Gravitational Collapse Springer 2023-01-01
_[16] 논문 Stability of the Einstein static universe in Einstein-Cartan theory 2014-01-01
_[17] 논문 Cosmological bounces, cyclic universes, and effective cosmological constant in Einstein-Cartan-Dirac-Maxwell theory 2020-01-01
_[18] 논문 Cosmology with torsion: An alternative to cosmic inflation 2010-01-01
_[19] 논문 Nonsingular, big-bounce cosmology from spinor–torsion coupling 2012-01-01
_[20] 논문 Nonsingular Dirac particles in spacetime with torsion 2010-01-01
_[21] 논문 Universe in a black hole in Einstein-Cartan gravity 2016-01-01
_[22] 논문 Big Bounce and closed universe from spin and torsion 2019-01-01
_[23] 논문 Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces à torsion https://gallica.bnf.[...] 1922-01-01
_[24] 논문 Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie) 1923-01-01
_[25] 논문 Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) 1924-01-01
_[26] 논문 Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (deuxième partie) 1925-01-01
_[27] 논문 On the History of Unified Field Theories 2004-01-01
_[28] 논문 The Physical Structure of General Relativity 1964-01-01
_[29] 논문 Lorentz Invariance and the Gravitational Field 1961-01-01
_[30] 논문 General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects 1976-07-01
_[31] 논문 Nonlinear Spinor Equation and Asymmetric Connection in General Relativity 1971-01-01
_[32] 논문 Nonsingular Dirac particles in spacetime with torsion 2010-01-01
_[33] 논문 Cosmology with torsion: An alternative to cosmic inflation 2010-01-01
_[34] 논문 Nonsingular, big-bounce cosmology from spinor–torsion coupling 2012-01-01
_[35] 논문 Note on the torsion tensor 2007-01-01
_[36] 저널 Dennis William Sciama. 18 November 1926 — 19 December 1999 2010