타원면

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
4. 매개변수 표현
5. 성질
6. 핀-끈 구성
7. 응용
참조

1. 개요

타원면은 3차원 공간에서 x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 형태의 방정식을 만족하는 점들의 집합으로 정의되는 곡면이다. 여기서 a, b, c는 양의 실수이며, 반주축이라고 불린다. 세 반주축 중 두 개가 같으면 회전타원면, 모두 같으면 구가 된다. 타원면의 내부는 타원체라고 하며, 회전타원면의 내부는 회전타원체라고 한다. 타원면은 부피, 표면적 등의 성질을 가지며, 핀-끈 구성을 통해 만들 수 있다. 지구 타원체, 푸아소 타원체, 굴절률 타원체 등 다양한 분야에 응용된다.

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타원면
정의
설명	타원면(楕円面, ellipsoid)은 구를 변형한 것과 같은 이차 곡면이다.
방정식	' + + = 1}}'
종류
구	''
회전 타원면 (Spheroid)	''
삼축 타원면 (Tri-axial ellipsoid)	''

2. 정의

3차원 공간에서 타원면은 다음 조건을 만족하는 점들로 이루어진 곡면이다.

: $\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\colon x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1\}$

여기서 $a,b,c\in\mathbb R^+$ 는 양의 실수이며, 타원면의 반주축(半主軸, semiprincipal axis^영어)이라고 한다. 세 반주축 중 적어도 두 개가 같으면 회전타원면(回轉楕圓面, spheroid^영어)이라 하고, 세 반주축이 모두 같으면 구라고 한다.

타원면의 내부, 즉

: $\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\colon x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2\le1\}$

는 타원체(楕圓體, ellipsoidal solid^영어)라고 한다. 회전타원면의 내부는 회전타원체(回轉楕圓體, spheroidal solid^영어)라고 한다.

일반 타원체는 삼축 타원체라고도 하며, 데카르트 좌표계에서 다음과 같이 정의되는 이차 곡면이다.

: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,$

여기서 $a$ , $b$ , $c$ 는 반축의 길이이다.

점 $(a, 0, 0)$ , $(0, b, 0)$ , $(0, 0, c)$ 는 타원면 위에 있다. 원점에서 이 점까지의 선분은 타원체의 주 반축이라고 한다. 이들은 주축 길이의 절반이므로 장반경과 단반경에 해당한다.

$(x,y,z)=(r\sin\theta\cos\varphi, r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\theta)$ 인 구면 좌표계에서 일반 타원체는 다음과 같이 정의된다.

: ${r^2\sin^2\theta\cos^2\varphi\over a^2}+{r^2\sin^2\theta\sin^2\varphi \over b^2}+{r^2\cos^2\theta \over c^2}=1,$

여기서 $\theta$ 는 극각이고 $\varphi$ 는 방위각이다.

$a=b=c$ 일 때, 타원체는 구이다.
$a=b\neq c$ 일 때, 타원체는 회전 타원체이다.
$a = b > c$ 이면, 납작 타원체이다.
$a = b < c$ 이면, 긴 타원체이다.

과타원체는

n

차원 유클리드 공간에서

n - 1

차원의 타원체는 이차 사차곡면으로 정의되며, 이차의 동차 다항식을 가지고 있으며, 이는 양의 정부호 이차 형식이다.

과타원체는 가역적인 아핀 변환 하에서 구의 이미지로 정의할 수도 있다. 스펙트럼 정리를 다시 사용하여 다음 형식의 표준 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+\cdots + \frac{x_n^2}{a_n^2}=1.

n

차원 ''과타원체''의 부피는 초구의 부피 공식에서

R^n

을 반축

a_1 a_2 ... a_n

의 곱으로 대체하여 얻을 수 있다.

:

V = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}a_1a_2\cdots a_n \approx  \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \cdot \left(\frac{2 e \pi}{n}\right)^{n/2} a_1a_2\cdots a_n

(여기서

\Gamma

는 감마 함수이다).

만약

\mathbf{A}

가 실수, 대칭,

n \times n

양의 정부호 행렬이고,

\mathbf{v}

가

\R^n

의 벡터라면, 다음 방정식을 만족하는 점

\mathbf{x}

의 집합

:

(\mathbf{x}-\mathbf{v})^\mathsf{T}\! \boldsymbol{A}\, (\mathbf{x}-\mathbf{v}) = 1

는

\mathbf{v}

를 중심으로 하는

n

차원 타원체이다.

(\mathbf{x}-\mathbf{v})^\mathsf{T}\! \boldsymbol{A}\, (\mathbf{x}-\mathbf{v})

는

\mathbf{x} - \mathbf{v}

의 타원 노름이라고도 한다. 모든 타원체에 대해, 위 방정식을 만족하는 고유한

\mathbf{A}

와

\mathbf{v}

가 존재한다.^[19]

\mathbf{A}

의 고유벡터는 타원체의 주축이며,

\mathbf{A}

의 고유값은 반축의 제곱의 역수이다(3차원에서 이는

a^{-2}

,

b^{-2}

,

c^{-2}

이다).^[18]

타원체의 지름은 가장 긴 반축의 두 배이며, 이는 $\mathbf{A}$ 의 가장 큰 고유값의 역수의 제곱근의 두 배이다.
타원체의 폭은 가장 짧은 반축의 두 배이며, 이는 $\mathbf{A}$ 의 가장 작은 고유값의 역수의 제곱근의 두 배이다.

가역 선형 변환을 구에 적용하면 타원체가 생성되며, 이는 적절한 회전을 통해 위 표준 형식으로 변환될 수 있다. 이는 극 분해의 결과이다(스펙트럼 정리 참조). 선형 변환이 대칭 3 × 3 행렬로 표현되는 경우, 행렬의 고유벡터는 직교하며 (스펙트럼 정리로 인해) 타원체의 축의 방향을 나타낸다. 반축의 길이는 고유값에서 계산된다. 특이값 분해와 극 분해는 이러한 기하학적 관찰과 밀접하게 관련된 행렬 분해이다.

모든 양의 정부호 행렬

\boldsymbol{A}

에 대해,

\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^{1/ 2}\boldsymbol{A}^{1/ 2}

를 만족하는 고유한 양의 정부호 행렬

\boldsymbol{A}^{1/2}

가 존재한다. 이 표기법은 이 행렬이

\boldsymbol{A}

의 "양의 제곱근"으로 간주될 수 있다는 사실에서 비롯되었다.

(\mathbf{x}-\mathbf{v})^\mathsf{T}\! \boldsymbol{A}\, (\mathbf{x}-\mathbf{v}) = 1

로 정의된 타원체는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.^[19]

$A^{-1/2}\cdot S(\mathbf{0},1) + \mathbf{v}$

여기서

S(\mathbf{0},1)

은 원점 주위의 단위 구이다.

3. 분류

3차원 공간 속의 타원면은 다음과 같은 꼴의 조건을 만족시키는 점으로 구성된 곡면이다.

: $\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\colon x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1\}$

여기서 $a,b,c\in\mathbb R^+$ 는 양의 실수이며, 타원면의 반주축(半主軸, semiprincipal axis^영어)이라고 한다.

축에 따라 다음과 같이 분류된다.

반주축의 관계	종류	특징
$a>b>c$	부등타원체	내부에 초곡면(超曲面)적 초곡면(焦曲面)이 존재.
$a=b>c$	납작한 회전타원면	회전축이 단축으로, 초환(焦環)이 존재.
$a=b$	길쭉한 회전타원면	회전축이 장축으로, 두 초점이 존재.
$a=b=c$	구	(초점)=(중심)

4. 매개변수 표현

타원체는 여러 가지 방법으로 매개변수화될 수 있으며, 타원체 축이 좌표축과 일치할 때 더 간단하게 표현할 수 있다. 일반적인 선택은 다음과 같다.^[1]

: $\begin{align}x &= a\sin\theta\cos\varphi,\\y &= b\sin\theta\sin\varphi,\\z &= c\cos\theta,\end{align}\,\!$

여기서

: $0 \le \theta \le \pi,\qquad0 \le \varphi < 2\pi.$

이러한 매개변수는 구면 좌표계로 해석될 수 있으며, $\theta$ 는 극각이고 $\varphi$ 는 타원체의 점 $(x, y, z)$ 의 방위각이다.

극이 아닌 적도로부터 측정하면,

: $\begin{align}x &= a\cos\theta\cos\lambda,\\y &= b\cos\theta\sin\lambda,\\z &= c\sin\theta,\end{align}\,\!$

여기서

:

\tfrac{\pi}2 \le \theta \le \tfrac{\pi}2,\qquad

0 \le \lambda < 2\pi,

\theta

는 환원 위도, 매개변수 위도, 또는 이심 이상이며

\lambda

는 방위각 또는 경도이다.

타원체의 표면에 직접 각도를 측정하며, 외접하는 구가 아닌 경우,

:

\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} =R \begin{bmatrix}\cos\gamma\cos\lambda\\\cos\gamma\sin\lambda\\\sin\gamma\end{bmatrix}\,\!

여기서

:

\begin{align}R ={} &\frac{abc}{\sqrt{c^2 \left(b^2\cos^2\lambda + a^2\sin^2\lambda\right) \cos^2\gamma+ a^2 b^2\sin^2\gamma}}, \\[3pt]&-\tfrac{\pi}2 \le \gamma \le \tfrac{\pi}2,\qquad0 \le \lambda < 2\pi.\end{align}

\gamma

는 지구의 지심 위도가 되고,

\lambda

는 경도이다. 이것들은 타원체의 중심을 원점으로 하는 진정한 구면 좌표계이다.

측지학에서 측지 위도는 쌍축 타원체에 대해 정의된, 수직선과 적도면 사이의 각도로 가장 일반적으로 사용된다. 보다 일반적인 삼축 타원체에 대해서는 타원체 위도를 참조한다.

극좌표계를 사용한 타원면의 매개변수 표시는 다음과 같다.

:

\begin{align}x&=a \sin \theta \cos \varphi\\y&=b \sin \theta \sin \varphi\\z&=c \cos \theta \end{align}

:

0 \le \theta \le \pi ,\quad 0 \le \varphi < 2 \pi

5. 성질

3차원 공간 속의 타원면은 다음과 같은 꼴의 조건을 만족시키는 점으로 구성된 곡면이다.

: $\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\colon x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1\}$

여기서 $a,b,c\in\mathbb R^+$ 는 양의 실수이며, 타원면의 '''반주축'''(半主軸, semiprincipal axis^영어)이라고 한다. 세 개의 반주축 가운데 적어도 두 개가 같다면, 이를 '''회전타원면'''이라고 하며, 세 개의 반주축이 모두 같다면 '''구'''라고 한다.

타원면의 내부, 즉

: $\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\colon x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2\le1\}$

를 '''타원체'''라고 한다.

축에 따라 다음과 같이 분류된다.

반주축의 관계	종류	특징
$a>b>c$	부등타원체	내부에 초곡면(超曲面)적 초곡면(焦曲面)이 존재.
$a=b>c$	납작 타원체	회전축이 단축으로, 초환(焦環)이 존재.
$a=b$	길쭉 타원체	회전축이 장축으로, 두 초점이 존재.
$a=b=c$	구	(초점)=(중심)

타원면의 매개변수 표시는 극좌표계를 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\begin{align}x&=a \sin \theta \cos \varphi\\y&=b \sin \theta \sin \varphi\\z&=c \cos \theta \end{align}$

: $0 \le \theta \le \pi ,\quad 0 \le \varphi < 2 \pi$

5. 1. 부피

타원면으로 둘러싸인 부피는 다음과 같다.

:

V = \tfrac{4}{3}\pi abc.

주 지름 (, , )로 나타내면 부피는 다음과 같다.

:

V = \tfrac16 \pi ABC

.

이 방정식은 세 타원 반경이 모두 같을 때 구의 부피로, 그중 두 개가 같을 때는 납작 타원체 또는 길쭉 타원체의 부피로 축소된다.

타원체의 부피는 외접하는 타원 기둥 부피의 2/3배이며, 외접하는 상자의 배이다. 내접 및 외접하는 직육면체의 부피는 각각 다음과 같다.

:

V_\text{inscribed} = \frac{8}{3\sqrt{3}} abc,\qquadV_\text{circumscribed} = 8abc.

차원 ''과타원체''의 부피는 초구의 부피 공식에서 을 반축 의 곱으로 대체하여 얻을 수 있다.

:

V = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}a_1a_2\cdots a_n \approx  \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \cdot \left(\frac{2 e \pi}{n}\right)^{n/2} a_1a_2\cdots a_n

(여기서 는 감마 함수이다).

타원체의 부피 ''V''는

:

V = \frac{4}{3} \pi abc

이다.

5. 2. 표면적

일반적인 (삼축) 타원체의 표면적은 다음과 같이 표현된다.^[2]

:

S = 2\pi c^2 + \frac{2\pi ab}{\sin(\varphi)}\left(E(\varphi, k)\,\sin^2(\varphi) + F(\varphi, k)\,\cos^2(\varphi)\right),

여기서

:

\cos(\varphi) = \frac{c}{a},\qquadk^2 = \frac{a^2\left(b^2 - c^2\right)}{b^2\left(a^2 - c^2\right)},\qquada \ge b \ge c,

F(\varphi, k)

및

E(\varphi, k)

는 각각 제1종 및 제2종 불완전 타원 적분이다.^[3]

이 일반 타원체의 표면적은 칼슨 대칭 형태 중 하나인

R_G

를 사용하여 표현할 수도 있다.^[4]

:

S = 4\pi bc R_{G} {\left( \frac{b^2}{a^2} , \frac{c^2}{a^2} , 1\right)}

R_G

의 속성을 사용하여 위의 수식을 단순화하면,^[5] 타원체의 부피

V

로도 표현할 수 있다.

:

S = 3VR_{G}{\left(a^{-2},b^{-2},c^{-2}\right)}

F(\varphi, k)

및

E(\varphi, k)

를 사용한 표현과 달리

R_G

를 사용한 방정식은

a

,

b

,

c

의 순서 선택에 의존하지 않는다.

회전 타원체(또는 회전 타원체)의 표면적은 기본 함수로 표현할 수 있다.

:

S_\text{oblate} = 2\pi a^2\left(1 + \frac{c^2}{ea^2} \operatorname{artanh}e\right),\qquad\text{여기서 }e^2 = 1 - \frac{c^2}{a^2}\text{ 및 }(c < a),

또는

:

S_\text{oblate} = 2\pi a^2\left(1 + \frac{1 - e^2}{e} \operatorname{artanh}e\right)

또는

:

S_\text{oblate} = 2\pi a^2\ + \frac{\pi c^2}{e}\ln\frac{1+e}{1-e}

그리고

:

S_\text{prolate} = 2\pi a^2\left(1 + \frac{c}{ae}  \arcsin e\right)\qquad\text{여기서 } e^2 = 1 - \frac{a^2}{c^2}\text{ 및 } (c > a),

기본 삼각 함수 항등식에서 알 수 있듯이, 이는 동등한 표현이다(즉,

S_\text{oblate}

에 대한 공식은 편구 타원체의 표면적을 계산하는 데 사용할 수 있으며 그 반대도 마찬가지이다). 두 경우 모두

e

는 대칭 축을 통과하는 단면이 형성하는 이심률로 다시 식별될 수 있다. (타원). 이러한 결과의 유도는 표준 소스, 예를 들어 Mathworld에서 찾을 수 있다.^[6]

근사식은 다음과 같다.

:

S \approx 4\pi \sqrt[p]{\frac{a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p}{3}}.\,\!

여기서

p \approx 1.6075

는 상대 오차를 최대 1.061% 이내로 만들고;^[7]

p = \frac{8}{5} = 1.6

값은 거의 구형인 타원면에 최적이며, 상대 오차는 최대 1.178% 이내이다.

c

가

a

와

b

보다 훨씬 작은 "평평한" 극한의 경우, 면적은 대략

2\pi ab

이며, 이는

p = \log_2 3 \approx 1.5849625007

와 같다.

타원면의 매개변수 표시는 극좌표계를 사용하면

:

\begin{align}x&=a \sin \theta \cos \varphi\\y&=b \sin \theta \sin \varphi\\z&=c \cos \theta \end{align}

:

0 \le \theta \le \pi ,\quad 0 \le \varphi < 2 \pi

로 표시된다.

표면적 ''S''는

:

S = 2\pi\left(c^2+b\sqrt{a^2-c^2}E(o\!\varepsilon,m)+\frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(o\!\varepsilon,m)\right)

이 된다.

o\!\varepsilon

는 모듈러 각,

m=\frac{b^2-c^2}{b^2 \sin^2 o\!\varepsilon}

,

E(o\!\varepsilon,m)

,

F(o\!\varepsilon,m)

은 각각 제1종 및 제2종 타원 적분이다.

근사식으로

:

S \approx 4\pi\!\left(\frac{ a^p b^p+a^p c^p+b^p c^p }{3}\right)^{1/p}

라는 공식이 알려져 있다. 여기서 p는 상수이며, ''p'' = 1.6075일 때 오차는 최대 1.061%이다.

5. 3. 평면과의 교차

평면과 구의 교차는 원(또는 단일 점으로 축소되거나 비어 있음)이다. 모든 타원체는 어떤 아핀 변환 하에서 단위 구의 이미지이며, 모든 평면은 동일한 변환 하에서 다른 평면의 이미지이다. 따라서 아핀 변환은 원을 타원으로 매핑하기 때문에, 평면과 타원체의 교차는 타원 또는 단일 점이거나 비어 있다.^[8] 분명히, 회전 타원체는 원을 포함한다. 이것은 삼축 타원체에도 적용되지만 덜 명확하다(원 단면 참조).

'''주어진 조건:''' 타원체 x²/a² + y²/b² + z²/c²|x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1^영어와 방정식 n_xx + n_yy + n_zz|n_xx + n_yy + n_zz = d^영어를 만족하는 평면이 주어지며, 이 둘은 타원이라는 공통 부분을 가진다.

'''구하는 것:''' 타원을 다음과 같은 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있도록 하는 세 개의 벡터 '''f'''₀|'''f'''₀^영어 (중심)와 '''f'''₁|'''f'''₁^영어, '''f'''₂|'''f'''₂^영어 (공액 벡터)를 구하는 것이다.

:'''x''' = '''f'''₀ + '''f'''₁cos t + '''f'''₂sin t|'''x''' = '''f'''₀ + '''f'''₁cos t + '''f'''₂sin t^영어

(타원 참조).

'''해결 방법:''' 스케일링 u = x/a, v = y/b, w = z/c|u = x/a, v = y/b, w = z/c^영어을 통해 타원체를 단위 구 u² + v² + w²|u² + v² + w² = 1^영어로 변환하고, 주어진 평면을 방정식

:n_xau + n_ybv + n_zcw = d|n_xau + n_ybv + n_zcw = d^영어

를 만족하는 평면으로 변환한다.

새로운 평면의 헤세 노멀 폼을 m_uu + m_vv + m_ww|m_uu + m_vv + m_ww = δ^영어로 표현하고,

:'''m''' = [m_u, m_v, m_w]^T|'''m''' = [m_u, m_v, m_w]^T^영어

를 해당 평면의 단위 법선 벡터라고 하자. 그러면

:'''e'''₀ = δ'''m'''|'''e'''₀ = δ'''m'''^영어

는 교차 원의 ''중심''이며,

:ρ = √(1 - δ²)|ρ = √(1 - δ²)^영어

는 반경이다 (그림 참조).

m_w|m_w = ±1^영어 (즉, 평면이 수평)인 경우,

:'''e'''₁ = [ρ, 0, 0]^T, '''e'''₂ = [0, ρ, 0]^T|'''e'''₁ = [ρ, 0, 0]^T, '''e'''₂ = [0, ρ, 0]^T^영어

m_w|m_w ≠ ±1^영어인 경우,

:'''e'''₁ = (ρ/√(m_u² + m_v²)) [m_v, -m_u, 0]^T, '''e'''₂ = '''m''' × '''e'''₁|'''e'''₁ = (ρ/√(m_u² + m_v²)) [m_v, -m_u, 0]^T, '''e'''₂ = '''m''' × '''e'''₁^영어

어떤 경우든, 벡터 '''e'''₁|'''e'''₁^영어, '''e'''₂|'''e'''₂^영어는 교차 평면에 평행하고 직교하며, 길이 ρ|ρ^영어 (원의 반지름)를 갖는다. 따라서 교차 원은 다음 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다.

:'''u''' = '''e'''₀ + '''e'''₁cos t + '''e'''₂sin t|'''u''' = '''e'''₀ + '''e'''₁cos t + '''e'''₂sin t^영어

위에서 설명한 역 스케일링을 통해 단위 구를 다시 타원체로 변환하고, 벡터 '''e'''₀|'''e'''₀^영어, '''e'''₁|'''e'''₁^영어, '''e'''₂|'''e'''₂^영어는 교차 타원의 매개변수 표현에 필요한 벡터 '''f'''₀|'''f'''₀^영어, '''f'''₁|'''f'''₁^영어, '''f'''₂|'''f'''₂^영어로 매핑된다.

타원의 꼭짓점과 반축을 찾는 방법은 타원에 설명되어 있다.

'''예시:''' 그림은 반축 a = 4, b = 5, c = 3|a = 4, b = 5, c = 3^영어을 갖는 타원체가 평면 x + y + z = 5|x + y + z = 5^영어에 의해 잘린 모습을 보여준다.

6. 핀-끈 구성

타원체의 핀-끈 구성은 핀과 끈을 사용하여 타원을 구성하는 방법을 응용한 것이다. (그림 참조)

회전 타원체의 핀-끈 구성은 회전된 타원의 핀-끈 구성과 유사하게 만들 수 있다.

삼축 타원체의 점을 구성하는 방법은 더 복잡하다. 최초의 아이디어는 스코틀랜드 물리학자 J. C. 맥스웰이 1868년에 제시하였다.^[9] 독일 수학자 O. 슈타우데는 1882년, 1886년, 1898년에 주요 연구 및 이차 곡면으로의 확장을 진행했다.^[10]^[11]^[12] D. 힐베르트와 S. 포센의 책 ''기하학과 상상력''에도 타원체 및 쌍곡면의 핀-끈 구성이 설명되어 있다.^[13]

핀-끈 구성을 위해 다음과 같은 단계를 거친다.

# 타원와 쌍곡선를 초점 원뿔 곡선의 쌍으로 선택한다.

:

\begin{align}E(\varphi) &= (a\cos\varphi, b\sin\varphi, 0) \\H(\psi) &= (c\cosh\psi, 0, b\sinh\psi),\quad c^2 = a^2 - b^2\end{align}

:타원의 꼭짓점과 초점은 다음과 같다.

:

S_1 = (a, 0, 0),\quad F_1 = (c, 0, 0),\quad F_2 = (-c, 0, 0),\quad S_2 = (-a, 0, 0)

:그리고 끈의 길이는 l이다(다이어그램에서 빨간색).

# 끈의 한쪽 끝을 꼭짓점 S₁에 고정하고 다른 쪽 끝을 초점 F₂에 고정한다. 끈은 양의 y- 및 z-좌표를 갖는 점 P에서 팽팽하게 유지된다. 이때 끈은 쌍곡선의 상부 뒤쪽에서 S₁에서 P로 연결되고 쌍곡선 위에서 미끄러질 수 있도록 한다(다이어그램 참조). P에서 F₂까지의 끈의 부분은 타원 앞에서 움직이고 미끄러진다. 끈은 거리 |S₁P| 가 임의의 쌍곡선 점보다 최소가 되는 쌍곡선 위의 점을 통과한다. 끈의 두 번째 부분과 타원에 대한 유사한 설명이 참이어야 한다.

# 그러면 P는 다음과 같은 방정식으로 표현되는 타원체의 점이다.

:

\begin{align}&\frac{x^2}{r_x^2} + \frac{y^2}{r_y^2} + \frac{z^2}{r_z^2} = 1 \\&r_x = \tfrac{1}{2}(l - a + c), \quadr_y = {\textstyle \sqrt{r^2_x - c^2}}, \quadr_z = {\textstyle \sqrt{r^2_x - a^2}}.\end{align}

# 타원체의 나머지 점은 초점 원뿔 곡선에서 끈을 적절히 조절하여 구성할 수 있다.

생성된 타원체의 반축에 대한 방정식은 점 P를 특별하게 선택하여 유도할 수 있다.

:Y = (0, r_y, 0), Z = (0, 0, r_z).

아래쪽 그림은 F₁과 F₂가 xy 평면에서 타원의 초점임을 보여준다. 따라서 이는 주어진 타원과 공초점 관계에 있으며, 끈의 길이는 2r_x + (a - c)이다. r_x에 대해 정리하면 r_x = 1/2(l - a + c)가 되며, 또한 r_y² = r_x² - c²이다.

위쪽 그림에서 S₁과 S₂가 xz 평면에서 타원체의 타원 단면의 초점이며, r_z² = r_x² - a²임을 알 수 있다.

반대로, 삼축 타원체가 방정식으로 주어지면, 3단계의 방정식으로부터 핀과 끈을 이용한 작도를 위한 변수 a, b, l을 구할 수 있다.

만약 E̅가 E와 공초점을 이루는 타원면이고, 반축의 제곱이 다음과 같다면,

: r̅_x² = r_x² - λ, r̅_y² = r_y² - λ, r̅_z² = r_z² - λ

E의 방정식으로부터,

: r_x² - r_y² = c², r_x² - r_z² = a², r_y² - r_z² = a² - c² = b²

실을 이용한 작도에 사용되는 해당 초점 원뿔 곡선은 타원면 E와 동일한 반축 a, b, c를 갖는다는 것을 알 수 있다. 따라서 (타원의 초점과 유사하게) 삼축 타원면의 초점 원뿔 곡선을 (무한히 많은) 초점으로 간주하고 이를 타원면의 '''초점 곡선'''이라고 부른다.^[14]

역 또한 성립한다. 즉, 두 번째 실의 길이 l̅을 선택하고

:λ = r_x² - r̅_x²

로 정의하면,

:r̅_y² = r_y² - λ, r̅_z² = r_z² - λ

라는 방정식이 성립하며, 이는 두 타원면이 공초점이라는 것을 의미한다.

a < c (회전타원체)인 경우, S₁ = F₁ 및 S₂ = F₂를 얻게 되는데, 이는 초점 타원이 선분으로 축소되고, 초점 쌍곡선이 x축 상의 두 개의 무한 선분으로 붕괴됨을 의미한다. 타원체는 x축을 중심으로 회전 대칭이며,

:r_x = 1/2l, r_y = r_z = √(r_x² - c²).

'''상단:''' 초점 쌍곡선이 있는 3축 타원면.
'''하단:''' 타원면을 구처럼 보이도록 하는 평행 및 중심 투영, 즉 겉보기 모양은 원이다.

; 참 곡선

: 타원면의 초점 쌍곡선의 외부 점 V에서 타원면을 바라보면 구처럼 보이며, 겉보기 모양은 원이다. 동등하게, 점 V를 포함하는 타원면의 접선은 원뿔의 선이며, 그 회전축은 V에서의 쌍곡선의 접선이다.^[15]^[16] 중심 V가 무한대로 사라지게 하면 초점 쌍곡선의 해당 점근선을 방향으로 하는 직교 투영 평행 투영을 얻는다. 타원면의 ''참 모양 곡선'' (접점)은 원이 아니다. 그림의 하단은 왼쪽에는 점근선을 따라 타원면 (반축 60km, 40km, 30km)의 평행 투영을, 오른쪽에는 중심 V와 점 V에서의 쌍곡선의 접선에 있는 주요 점 H를 가진 중심 투영을 보여준다. (H는 V에서 이미지 평면으로의 수선의 발이다.) 두 투영 모두 겉보기 모양은 원이다. 평행한 경우 원점 O의 이미지는 원의 중심이고, 중심인 경우 주요 점 H가 중심이다.

; 배꼽점

: 초점 쌍곡선은 타원면과 네 개의 배꼽점에서 교차한다.^[17]

타원과 그 내부 부분은 a, b에 의해 결정되는 동심 타원 연필의 극한 표면(무한히 얇은 타원체)으로 간주될 수 있으며, r_z → 0일 때 해당한다. 극한의 경우 다음을 얻는다.

:r_x = a, r_y = b, l = 3a - c.

7. 응용

타원면은 다양한 분야에서 활용된다.

측지학
지구 타원체: 지구의 형태를 근사한 수학적 도형이다.
기준 타원체: 일반적으로 행성체의 형태를 근사한 수학적 도형이다.
역학
푸아소 타원체: 회전하는 강체의 토크가 없는 세차 운동을 시각화하기 위한 기하학적 방법이다.
라메 응력 타원체: 한 점에서의 응력 상태를 그래프로 나타내기 위한 모어 원의 대안이다.
조작 가능성 타원체: 로봇의 움직임 자유도를 설명하는 데 사용된다.
야코비 타원체: 회전하는 유체에 의해 형성된 삼축 타원체이다.
결정학
굴절률 타원체: 결정에서 굴절률의 방향과 상대적 크기를 나타내는 타원체 도표이다.
열 타원체: 결정 구조 내 원자의 열 진동의 크기와 방향을 나타내는 데 사용된다.
조명
타원 반사경 투광등
타원 반사경 스포트라이트
의학
전립선의 MRI 영상에서 얻은 측정값을 이용하여 전립선의 부피를 결정할 수 있다.^[21]
유체 역학
타원체는 고체 주위의 점성 유동을 계산할 수 있는 가장 일반적인 형태이며, 큰 분자의 크기와 모양 결정, 작은 입자의 침강 속도, 미생물의 수영 능력등에 활용된다.^[23]

7. 1. 역학

타원체와 직육면체는 장축 또는 단축을 따라 안정적으로 회전하지만, 중간 축을 따라 회전하지 않는다. 이것은 회전하는 지우개를 던져 실험적으로 확인할 수 있다. 또한, 관성 모멘트를 고려할 때, 장축을 따라 회전하는 것은 단축을 따라 회전하는 것보다 더 쉽게 섭동된다.^[22]

이것의 한 가지 실용적인 효과는 하우메아와 같은 사다리꼴 천체가 일반적으로 단축을 따라 회전한다는 것이다(단지 편구면체인 지구도 그렇다). 또한, 조석 고정 때문에 미마스와 같은 동기 궤도의 위성은 행성에 방사형으로 정렬된 장축을 가지고 공전한다.

균질한 자체 중력 유체의 회전하는 물체는 유체 정역학 상태에 있을 때 마클로린 구형체(편구면체) 또는 야코비 타원체(사다리꼴 타원체)의 형태를 취하며, 중간 속도로 회전한다. 더 빠른 회전에서는 비타원체 배 모양 또는 난형 형태가 예상될 수 있지만, 이것들은 안정적이지 않다.

7. 2. 컴퓨터 과학

타원체 방법: 볼록 최적화 알고리즘에서 이론적으로 중요하다.

7. 3. 조명

타원 반사경 투광등
타원 반사경 스포트라이트

7. 4. 의학

전립선의 MRI 영상에서 얻은 측정값을 사용하여 ''L'' × ''W'' × ''H'' × 0.52^영어 (여기서 0.52는 π/6에 대한 근사값) 공식을 사용하여 전립선의 부피를 결정할 수 있다.^[21]

7. 5. 유체 역학

타원체는 고체 주위의 점성 유동을 계산할 수 있는 가장 일반적인 형태이다. 이 계산에는 유체를 통과하여 이동하고 유체 내에서 회전하는 데 필요한 힘이 포함된다. 적용 분야로는 큰 분자의 크기와 모양 결정, 작은 입자의 침강 속도, 미생물의 수영 능력이 있다.^[23]

참조

_[1] 서적 # Harvtxt는 일반적으로 서적 인용에 사용됨 Kreyszig
_[2] 웹사이트 Triaxial Ellipsoids http://dlmf.nist.gov[...] 2012-01-08
_[3] 웹사이트 DLMF: 19.2 Definitions http://dlmf.nist.gov[...]
_[4] 웹사이트 Surface Area of an Ellipsoid https://analyticphys[...] 2024-07-23
_[5] 웹사이트 DLMF: §19.20 Special Cases ‣ Symmetric Integrals ‣ Chapter 19 Elliptic Integrals https://dlmf.nist.go[...] 2024-07-23
_[6] 웹사이트 Prolate Spheroid http://mathworld.wol[...] 2018-03-25
_[7] 웹사이트 Final answers http://www.numerican[...] 2011-09-30
_[8] 서적 Solid Analytic Geometry Dover
_[9] 간행물 # 일반적인 학술 자료 Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung
_[10] 간행물 Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides
_[11] 간행물 Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grades.
_[12] 간행물 Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung
_[13] 서적 Geometry and the imagination Chelsea New York
_[14] 서적 Analytische Geometrie des Raumes Teubner, Leipzig
_[15] 서적 Geometry and the Imagination
_[16] 서적 Analytische Geometrie des Raumes
_[17] 서적 Analytische Geometrie
_[18] 웹사이트 Archived copy http://see.stanford.[...] 2013-10-12
_[19] 서적 #불확실 Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization
_[20] 웹사이트 Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. http://www.mathemati[...] Uni Darmstadt 2013-11-10
_[21] 논문 Determination of Prostate Volume: A Comparison of Contemporary Methods
_[22] 서적 Classical Mechanics
_[23] 서적 Living at Micro Scale Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts
_[24] 논문 Elliptical copulas: applicability and limitations
_[25] 웹사이트 대한수학회 수학용어 https://www.kms.or.k[...]

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