위상 공간 국소화

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

위상 공간 국소화는 위상수학에서 단순 공간의 국소화를 다루는 개념이다. 유리수의 부분환 A에 대한 공간 X의 국소화는 A-국소적인 CW 복합체 Y와 X에서 Y로의 사상으로 정의되며, Y는 호모토피 동치까지 유일하다. 특히 소수 p에 대한 Z의 국소화는 p에서의 국소화라고 불린다. 단순 공간 X의 R에서의 국소화는 R-국소 공간 Y와 호모토피류 f: X → Y로 주어지며, 보편 성질을 만족해야 한다. 국소화는 소수 집합과 유리수체 부분환 사이의 전단사 함수를 통해 소수 집합과 연관되며, 유리수화는 S가 공집합일 때의 국소화, 즉, Q에서의 국소화를 의미한다. 모든 단순 공간의 국소화는 존재하며 호모토피 동치 아래 유일하다. 이 개념은 1970년 데니스 설리번에 의해 도입되었다.

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위상 공간 국소화

2. 정의

유리수의 부분환을 $A$ 라고 하고, $X$ 를 단순 연결 CW 복합체라고 하자. 이때, 다음 두 가지 조건을 만족하는 단순 연결 CW 복합체 $Y$ 와 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 사상 $f: X \to Y$ 가 존재한다.

$Y$ 는 $A$ -국소적이다. 이는 $Y$ 의 모든 호몰로지 군이 $A$ 위의 가군이라는 의미이다.
사상 $f$ 는 $X$ 에서 다른 임의의 $A$ -국소적 CW 복합체로 가는 사상에 대해 보편적 성질을 만족한다. (자세한 내용은 국소화 섹션 참조)

이러한 공간

Y

는 호모토피 동치라는 개념 아래에서 유일하게 결정되며,

X

의

A

에서의 '''국소화'''라고 부른다.

특히, 만약

A

가 특정 소수

p

에 대한 정수환

\mathbb{Z}

의 국소화

\mathbb{Z}_{(p)}

(즉, 분모가

p

의 배수가 아닌 유리수들의 환)와 같다면, 공간

Y

는

X

의 '''

p

에서의 국소화'''라고 불린다.

국소화 사상

f: X \to Y

는

X

의 호몰로지 군과 호모토피 군의

A

-국소화와

Y

의 해당 군들 사이에 동형 사상 관계를 유도한다. 이는 국소화 과정이 공간의 호몰로지 및 호모토피 정보를 특정 환

A

에 맞춰 변환하면서도 핵심적인 대수적 구조는 보존한다는 것을 의미한다.

2. 1. 단순 공간

위상 공간의 국소화는 주로 단순 공간을 대상으로 이루어진다. 단순 공간의 구체적인 정의는 하위 섹션에서 다룬다.

유리수의 부분환을

A

라고 하고,

X

를 단순 연결 CW 복합체라고 하자. 그러면 다음 조건을 만족하는 단순 연결 CW 복합체

Y

와

X

에서

Y

로의 사상

f: X \to Y

가 존재한다.

$Y$ 는 $A$ -국소적이다. 즉, 모든 호몰로지 군 $H_n(Y)$ 이 $A$ 위의 가군이다.
사상 $f$ 는 $X$ 에서 임의의 $A$ -국소적 CW 복합체 $Z$ 로 가는 사상 $g: X \to Z$ 에 대해, $g = h \circ f$ 를 만족하는 유일한 사상 $h: Y \to Z$ 가 존재한다는 보편성을 만족한다.

이러한 공간

Y

는 호모토피 동치 아래에서 유일하며,

X

의

A

에서의 '''국소화'''라고 불린다.

특히, 만약

A

가 소수

p

에서 정수환

\mathbb{Z}

의 국소화라면, 즉

A = \mathbb{Z}_{(p)}

(분모가

p

와 서로소인 유리수들의 환)이라면, 공간

Y

는

X

의

p

에서의 '''국소화'''라고 불린다.

국소화 사상

f: X \to Y

는

X

의 호몰로지 군 및 호모토피 군의

A

-국소화로부터

Y

의 호몰로지 군 및 호모토피 군으로의 동형 사상을 유도한다. 즉, 다음 사상들은 동형 사상이다.

$H_n(X) \otimes A \xrightarrow{\cong} H_n(Y)$
$\pi_n(X) \otimes A \xrightarrow{\cong} \pi_n(Y)$ (단, $n \ge 1$ )

2. 1. 1. 정의

다음 조건을 만족시키는 위상 공간

X

를 '''단순 공간'''이라고 한다.

CW 복합체와 호모토피 동치이다.
연결 공간이다.
기본군이 아벨 군이다.
기본군 $\pi_1(X)$ 은 $X$ 의 범피복 공간의 호모토피 군 및 호몰로지 군 위에 작용한다. 이 경우, 이 두 작용이 둘 다 자명해야 한다.

2. 2. 국소 공간

유리수의 부분환

A

와 단순 연결 CW 복합체

X

가 주어졌다고 하자. 이때 다음 조건을 만족시키는 단순 연결 CW 복합체

Y

와 사상

f: X \to Y

가 존재한다.

$Y$ 는 $A$ -국소적이다. 즉, 모든 호몰로지 군 $H_k(Y)$ 는 $A$ 위의 가군이다.
사상 $f$ 는 $X$ 에서 임의의 $A$ -국소적 CW 복합체로 가는 (호모토피 동치류의) 사상에 대해 보편적이다.

이러한 공간

Y

는 호모토피 동치 아래에서 유일하게 결정되며,

X

의

A

에서의 '''국소화'''라고 불린다.

특히, 만약

A

가 소수

p

에 대한 정수환

\mathbb{Z}

의 국소화

\mathbb{Z}_{(p)}

라면, 공간

Y

는

X

의

p

에서의 '''국소화'''라고 한다.

사상

f: X \to Y

는

X

의 호몰로지 군 및 호모토피 군의

A

-국소화로부터

Y

의 호몰로지 군 및 호모토피 군으로 가는 동형 사상을 유도한다. 즉, 다음이 성립한다.

$H_k(X) \otimes A \cong H_k(Y)$
$\pi_k(X) \otimes A \cong \pi_k(Y)$

2. 2. 1. 정의

유리수체의 부분환

R\subseteq\mathbb Q

이 주어졌다고 하자.

'''

R

-국소 공간'''(局所空間,

R

-local space|^영어)은 다음 조건을 만족시키는 단순 공간

X

이다.

모든 차수의 호모토피 군은 $R$ -가군이다. 즉, 임의의 $m/n\in R$ 및 $k\in\mathbb Z^+$ 및 $g\in\pi_k(X)$ 에 대하여, $mg=nh$ 가 되는 $h\in\pi_k(X)$ 가 유일하게 존재한다.

2. 3. 국소화

단순 공간

X

와 유리수체

\mathbb Q

의 부분환

R

이 주어졌을 때,

X

의

R

에서의 '''국소화'''는 특정한 조건을 만족하는

R

-국소 공간

Y

와 호모토피류

f\colon X\to Y

의 쌍으로 정의된다. 이 국소화는 중요한 보편 성질을 만족시킨다.

또한, 국소화는 특정 소수들의 집합

S

와 연관지어 정의되기도 한다. 이는

S

에 속하지 않는 소수들을 가역원으로 만드는 정수환의 특정 국소화 환

R_S

에 대한 국소화를 의미한다. 예를 들어,

S

가 공집합(

\varnothing

)일 경우, 이는 유리수체

\mathbb Q

에서의 국소화에 해당하며, 이를 특별히 '''유리수화'''(rationalization^영어)라고 부른다.

단순 연결 CW 복합체

X

와 유리수의 부분환

A

에 대해,

A

-국소적인 성질을 가지는 CW 복합체

Y

와 보편성을 만족하는 사상

f: X \to Y

가 존재한다. 이 공간

Y

는 호모토피 동치 아래에서 유일하게 결정되며,

X

의

A

에서의 국소화라고 불린다. 이 국소화 사상

f

는

X

의 호몰로지 군 및 호모토피 군의

A

-국소화와

Y

의 해당 군들 사이에 동형 사상 관계를 유도한다.

2. 3. 1. 정의

단순 공간

X

의

R

에서의 '''국소화'''는 다음 두 가지 데이터로 구성된다.^[1]

$R$ -국소 공간 $Y$
호모토피류 $f\colon X\to Y$

이 데이터는 특정한 보편 성질을 만족해야 한다. 즉, 임의의 다른

R

-국소 공간

Y'

과 호모토피류

f'\colon X\to Y'

에 대해, 아래의 그림을 가환하게 만드는 유일한 호모토피류

\iota\colon Y\to Y'

가 존재해야 한다.^[1]

\begin{matrix}X&\overset f\to &Y\\\|&&\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle\color{White}\exists!\iota}\downarrow{\scriptstyle\exists!\iota}\!\!\!\!\!\!\\X&\underset{f'}\to&Y'\end{matrix}

소수들의 집합

S\subseteq\mathbb P=\{2,3,5,7,\dotsc\}

와 유리수체

\mathbb{Q}

의 부분환들의 집합 사이에는 자연스러운 전단사 함수 관계가 성립한다. 이 관계는 정수환

\mathbb{Z}

를

S

에 속하지 않는 소수들의 곱셈 모노이드

\mathbb P\setminus S

에 대해 국소화하여 얻는 환으로 구체화된다.^[1]

S\mapsto (\mathbb P\setminus S)^{-1}\mathbb Z

이 국소화 환

(\mathbb P\setminus S)^{-1}\mathbb Z

에서는

S

에 속하지 않는 모든 소수들이 가역원이 된다. 이 관계를 이용하여, 단순 공간의 '''

S

에서의 국소화'''는 위에서 정의한 환

(\mathbb P\setminus S)^{-1}\mathbb Z

에서의 국소화와 동일한 의미로 사용된다.^[1]

예를 들어,

S

가 공집합

\varnothing

일 경우, 대응하는 환은 모든 정수를 포함하는 유리수체

\mathbb Q

가 된다. 반대로

S

가 모든 소수의 집합

\mathbb P

일 경우, 대응하는 환은 정수환

\mathbb Z

그대로이다. 특히,

S=\varnothing

일 때, 즉

\mathbb{Q}

에서의 국소화를 '''유리수화'''(rationalization^영어)라고 부른다.^[1]

유리수의 부분환을

A

라고 하고,

X

를 단순 연결 CW 복합체라고 가정하자. 그러면 다음 조건을 만족하는 단순 연결 CW 복합체

Y

와 사상

f: X \to Y

가 존재한다.

$Y$ 는 $A$ -국소적이다. 이는 $Y$ 의 모든 호몰로지 군이 $A$ 위의 가군임을 의미한다.
사상 $f$ 는 $X$ 에서 임의의 $A$ -국소적 CW 복합체로 가는 (호모토피류의) 사상에 대해 보편성을 가진다.

이러한 공간

Y

는 호모토피 동치를 제외하고 유일하게 결정되며,

X

의

A

에서의 '''국소화'''라고 불린다.

만약

A

가 특정 소수

p

에 대한 정수환

\mathbb{Z}

의 국소화, 즉

\mathbb{Z}_{(p)}

(

p

를 제외한 모든 소수를 가역원으로 만든 환)라면, 위에서 얻어진 공간

Y

를

X

의

p

에서의 '''국소화'''라고 한다.

국소화 사상

f: X \to Y

는

X

의 호몰로지 군과 호모토피 군 각각의

A

-국소화로부터

Y

의 호몰로지 군과 호모토피 군으로 가는 동형 사상을 유도한다.

2. 3. 2. 소수 집합과의 관계

소수의 집합과 유리수체

\mathbb Q

의 부분환들의 집합 사이에는 표준적인 전단사 함수가 존재한다. 구체적으로, 소수의 집합

S \subseteq \mathbb P = \{2, 3, 5, 7, \dotsc\}

가 주어졌을 때, 이에 대응하는 유리수체의 부분환은 정수환

\mathbb Z

의

S

에서의 국소화 환

:

R_S = (\mathbb P \setminus S)^{-1}\mathbb Z

이다. 이 환

R_S

에서는

S

에 속하지 않는 모든 소수가 가역원이 된다.

이 대응 관계를 통해, 단순 공간

X

의 '''

S

에서의 국소화'''는 위에서 정의된 환

R_S = (\mathbb P \setminus S)^{-1}\mathbb Z

에서의 국소화로 정의된다.

예를 들어 몇 가지 경우를 살펴보면 다음과 같다.

$S = \varnothing$ (공집합)일 경우, 대응하는 환은 $(\mathbb P \setminus \varnothing)^{-1}\mathbb Z = \mathbb P^{-1}\mathbb Z = \mathbb Q$ , 즉 유리수체 전체이다. 이 경우의 국소화를 특별히 '''유리수화'''(有理數化, rationalization^영어)라고 부른다.
$S = \mathbb P$ (모든 소수의 집합)일 경우, 대응하는 환은 $(\mathbb P \setminus \mathbb P)^{-1}\mathbb Z = \varnothing^{-1}\mathbb Z = \mathbb Z$ , 즉 정수환이다. 이 경우 국소화는 원래 공간과 같다.

유리수의 부분환을

A

라고 하고,

X

를 단순 연결 CW 복합체라고 하자. 그러면 다음 조건을 만족하는 단순 연결 CW 복합체

Y

와

X

에서

Y

로 가는 사상(morphism)

f: X \to Y

가 존재한다.

$Y$ 는 $A$ -국소적이다. 즉, $Y$ 의 모든 호몰로지 군 $H_n(Y)$ 이 $A$ 위의 가군이다.
사상 $f$ 는 $X$ 에서 임의의 $A$ -국소적 CW 복합체로 가는 사상에 대해 보편적(universal) 성질을 만족한다.

이러한 공간

Y

는 호모토피 동치 아래에서 유일하게 결정되며,

X

의

A

에서의 '''국소화'''라고 불린다.

만약 환

A

가 특정 소수

p

에 대해

\mathbb Z_{(p)}

(즉, 분모가

p

의 배수가 아닌 유리수들의 환, 정수환

\mathbb Z

를 소 아이디얼

(p)

에서 국소화한 것)와 같다면, 위에서 얻어진 공간

Y

를

X

의 '''

p

에서의 국소화'''라고 부른다. 이는 소수 집합

S = \mathbb P \setminus \{p\}

에 해당한다.

국소화 사상

f: X \to Y

는

X

의 호몰로지 군과 호모토피 군의

A

-국소화로부터

Y

의 호몰로지 군과 호모토피 군으로 가는 동형 사상을 유도한다.

2. 3. 3. 유리수화

소수의 집합

S

를 이용하여 단순 공간의 국소화를 정의할 수 있다. 구체적으로,

S

에 속하지 않는 소수들을 가역원으로 만드는 정수환의 국소화 환

(\mathbb P\setminus S)^{-1}\mathbb Z

을 생각한다. 단순 공간의 '''

S

에서의 국소화'''는 바로 이 환

(\mathbb P\setminus S)^{-1}\mathbb Z

에서의 국소화를 의미한다.

특히, 소수의 집합

S

가 공집합, 즉

S=\varnothing

인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 대응하는 환은 모든 소수를 가역원으로 만드는 환이므로 유리수체

\mathbb Q

가 된다.

:

(\mathbb P\setminus \varnothing)^{-1}\mathbb Z = \mathbb P^{-1}\mathbb Z = \mathbb Q

이처럼

S=\varnothing

일 때의 국소화를 특별히 '''유리수화'''(有理數化, rationalization^영어)라고 한다.

3. 성질

임의의 유리수 집합의 부분환 $R \subseteq \mathbb{Q}$ 에 대하여, 임의의 단순 공간의 국소화는 항상 존재하며, (보편 성질에 의하여) 호모토피 동치 아래 유일하다.

유리수의 부분환을 $A$ 라고 하고, $X$ 를 단순 연결 CW 복합체라고 하자. 그러면 다음 조건을 만족시키는 단순 연결 CW 복합체 $Y$ 와 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 사상 $f: X \to Y$ 가 존재한다.

$Y$ 는 $A$ -국소적이다. 즉, 모든 호몰로지 군 $H_n(Y)$ 이 $A$ 위의 가군이다.
사상 $f: X \to Y$ 는 $X$ 에서 임의의 $A$ -국소적인 CW 복합체로 가는 (호모토피류의) 사상에 대해 보편 성질을 만족한다.

이 공간

Y

는 호모토피 동치 아래에서 유일하며,

X

의

A

에서의 '''국소화'''라고 불린다.

만약

A

가 소수

p

에 대한 정수환

\mathbb{Z}

의 국소화

\mathbb{Z}_{(p)}

라면, 공간

Y

는

X

의

p

에서의 '''국소화'''라고 불린다.

X

에서

Y

로의 국소화 사상

f: X \to Y

는

X

의 호몰로지 군

H_n(X)

과 호모토피 군

\pi_n(X)

의

A

-국소화로부터

Y

의 호몰로지 군

H_n(Y)

과 호모토피 군

\pi_n(Y)

으로 가는 동형 사상을 유도한다.

4. 역사

위상 공간의 국소화라는 개념은 1970년 데니스 설리번에 의해 처음으로 소개되었다. 하지만 설리번이 이 내용을 다룬 강의록은 상당한 시간이 흐른 뒤인 2005년에 이르러서야 출판되었다.^[1]

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