자유 리 대수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 범주론적 정의
- 2.2. 구체적인 구성
3. 성질
4. 응용
참조

1. 개요

자유 리 대수는 주어진 집합 S로부터 생성되는 리 대수이며, 범주론적으로 리 대수의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상으로 정의된다. 체 K 위의 자유 리 대수는 텐서 대수의 부분 집합으로 구체적으로 묘사할 수 있으며, 자연수 등급 리 대수를 이룬다. 자유 리 대수는 린든 기저와 같은 기저를 가지며, 차원, 부분 리 대수, 보편 포락 대수 등의 성질을 갖는다. 자유 리 대수는 반단순 리 대수의 세르 정리, 밀너 불변량, 리 오퍼라드의 구성 등 다양한 분야에 응용된다.

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자유 리 대수
기본 정보
자유 리 대수의 생성자 집합 X
분야	수학, 추상대수학
하위 분야	리 대수, 대수적 조합론
정의
정의	주어진 집합에서 생성된 "가장 일반적인" 리 대수
성질
보편 성질	임의의 리 대수로의 사상 확장이 유일하게 존재
괄호 단어	괄호 단어를 사용하여 표현 가능
예시
예시	자유 리 대수의 보편 포락 대수는 자유 결합 대수
관련 개념
관련 개념	리 대수, 텐서 대수, 자유 대수, 보편 포락 대수

2. 정의

가환환 $R$ 위의 리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 주어진 집합 $S$ 위의 $R$ 계수의 '''자유 리 대수''' $L(S)$ 를 정의할 수 있다.

집합 ''X''에 의해 생성된 자유 리 대수는 다음과 같이 정의한다.

: ''X''를 집합, $i\colon X \to L$ 를 ''X''에서 리 대수 ''L''로의 사상 (함수)이라고 하자. 리 대수 ''L''은 $i$ 가 보편 사상일 경우 '''''X''에 대해 자유'''라고 한다. 즉, 집합의 사상 $f\colon X \to A$ 를 갖는 임의의 리 대수 ''A''에 대해, $f = g \circ i$ 가 되도록 하는 고유한 리 대수 사상 $g\colon L\to A$ 가 존재한다.

집합 ''X''가 주어지면, ''X''에 의해 생성된 고유한 자유 리 대수 $L(X)$ 가 존재함을 보일 수 있다.

자유 리 대수는 자연스럽게 등급을 갖는다. 자유 리 대수의 1-등급 성분은 단순히 해당 집합에 대한 자유 벡터 공간이다.

2. 1. 범주론적 정의

범주론적으로, 가환환

R

위의 리 대수의 범주

\operatorname{LieAlg}_R

에서 집합의 범주

\operatorname{Set}

로 가는 망각 함자

:

\operatorname{Forget}\colon\operatorname{LieAlg}_R\to\operatorname{Set}

의 왼쪽 수반 함자

L

이 존재하며,

:

L\dashv\operatorname{Forget}

집합

S

로부터 생성되는 자유 리 대수는 이 함자의 상

L(S)

이다. 즉, 자유 리 대수는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의될 수 있다.

다른 정의로는, 집합

X

를

X

에 의해 생성된 리 대수로 보내는 함자는 집합의 범주에서 리 대수의 범주로 가는 자유 함자이다. 이는 망각 함자에 대한 왼쪽 수반이다.^[1]

또는, 체 ''K'' 위의 리 대수에서 체 ''K'' 위의 벡터 공간으로 가는 망각 함자, 즉 리 대수의 구조는 잊지만 벡터 공간의 구조는 기억하는 함자의 왼쪽 수반으로서 벡터 공간 ''V''에 대한 자유 리 대수를 정의할 수도 있다.^[2]

2. 2. 구체적인 구성

체

K

위의 자유 리 대수는 다음과 같이 구체적으로 묘사할 수 있다. 집합

S

위의 자유 리 대수를

L(S)

라고 하고,

S

위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를

K\langle S\rangle

라고 하자. 그러면

L(S)

는 자연스럽게

K\langle S\rangle

의 부분 집합을 이루며,

K\langle S\rangle

는

L(S)

의 보편 포락 대수이다.

L(S)

는

K\langle S\rangle

속에서,

S

로 생성되는 부분 리 대수이다.

체 위의 자유 리 대수는 자연스럽게 자연수 등급 리 대수를 이룬다. 여기서 등급은 린든 기저에 대응하는 린든 문자열의 길이(즉, 리 대수의 원소를 생성하기 위한 최소 항의 수)와 같다.

3. 성질

자유 리 대수는 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.

시르쇼프-비트 정리: 아나톨리 쉬르쇼프와 에른스트 비트가 증명한 정리로, 자유 리 대수의 임의의 부분 리 대수는 그 자체로 자유 리 대수이다.^[3]^[4]
기저: 자유 리 대수의 기저는 린든 단어나 마샬 홀이 제시한 '''홀 집합'''(Hall set)을 통해 구체적으로 나타낼 수 있다.^[1]^[2]
보편 포락 대수: 자유 집합 ''X''에 대한 자유 리 대수의 보편 포락 대수는 ''X''에 의해 생성된 자유 결합 대수이다.

3. 1. 차원

집합

S

에 의하여 생성되는 체

K

계수의 자유 리 대수를 생각하자.

S

가 공집합이라면,

L(S)

는 0차원 리 대수이다.

S

가 한원소 집합이라면,

L(S)

는 1차원 아벨 리 대수이다.

S

의 집합의 크기가 2 이상이라면,

L(S)

는 무한 차원 리 대수이다. 구체적으로, 다음과 같다.

:

\dim_KL(S)=\begin{cases}|S|&|S|\le1\\\aleph_0&2\le |S|\le\aleph_0\\|S|&S\ge\aleph_0\end{cases}

3. 2. 부분 리 대수

아나톨리 쉬르쇼프와 에른스트 비트는 자유 리 대수의 임의의 부분 리 대수는 그 자체로 자유 리 대수임을 보였다.^[3]^[4] 이를 시르쇼프-비트 정리(Ширшов-Witt定理, Shirshov–Witt theorem^영어)라고 한다.

3. 3. 기저

체 위의 자유 리 대수의 기저는 린든 단어를 통해 구체적으로 나타낼 수 있다. 린든 단어는 특정 조건을 만족하는 문자열로, 린든 기저를 형성한다.^[1]^[2] 자유 리 대수의 기저는 '''홀 집합'''(Hall set)으로도 주어질 수 있다.

3. 3. 1. 린든 단어

'''린든 단어'''(Lyndon word^영어)는 체 위의 자유 리 대수의 기저를 구성하는 데 사용되는 특별한 문자열이다. 크기가

k

인, 전순서가 주어진 알파벳

\Sigma

위의 길이

n

의 문자열

s=s_1s_2\cdots s_n\in\Sigma^*

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 조건을 만족하는 문자열을 린든 단어라고 정의한다.

$s$ 를 회전시켜 얻을 수 있는 모든 문자열 $R^i(s)=s_is_{i+1}\cdots s_ns_1s_2\cdots s_{i-1}$ 들을 생각했을 때, $s$ 는 이들 중 사전식 순서에서 유일하게 가장 작은 문자열이다.
$s$ 를 두 개의 문자열 $a,b\in\Sigma^*$ 로 분해했을 때 ( $s=ab$ ), 사전식 순서에서 항상 $a$ 가 $b$ 보다 작다.

린든 단어

s

는 더 짧은 두 린든 단어

u,v

를 이어 붙여 만들 수 있다. 이때,

v

가 가장 긴 경우를 '''표준 분해'''(standard factorization^영어)라고 한다.

유한 집합

\Sigma

위의, 길이가 1 이상인 린든 단어들은 자유 리 대수

L(\Sigma)

의 '''린든 기저'''(Lyndon basis^영어)와 일대일 대응한다. 린든 단어

s

에 대응하는 린든 기저 벡터

\gamma(s)

는 다음과 같이 정의된다.

$s$ 의 길이가 1이면, $\gamma(s)=s\in\operatorname{Span}_K\Sigma$ 이다.
$s$ 의 길이가 2 이상이고 표준 분해가 $s=uv$ 라면, $\gamma(s)=[\gamma(u),\gamma(v)]$ 이다.

예를 들어, 알파벳

\Sigma=\{0,1\}

위의 린든 단어들은 다음과 같다.

:0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...

크기

k

인 알파벳 위에서 길이

n

인 린든 단어의 개수는 목걸이 다항식

:

M_n(k)=\frac1n\sum_{d\mid n}\mu(n/d)k^d

로 주어지며, 여기서

\mu

는 뫼비우스 함수이다. 이는

k

개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의

n

차원 부분 공간의 차원과 같다.

린든 단어는 홀 단어의 특수한 경우이며, 린든 단어에 해당하는 자유 리 대수의 기저가 있다. 이것은 로저 린던의 이름을 따서 '''린든 기저'''라고 불린다.^[1]^[2]

3. 3. 2. 린든 기저

체 위의 자유 리 대수의 기저는 '''린든 단어'''(Lyndon word^영어)로 주어진다. 린든 단어는 특정 조건을 만족하는 문자열로, 자유 리 대수의 린든 기저와 일대일 대응한다.^[1]

유한 집합

\Sigma

위의, 길이가 1 이상인 린든 단어의 집합은 자유 리 대수

L(\Sigma)

의 린든 기저와 표준적으로 일대일 대응한다. 린든 단어

s

에 대응하는 린든 기저 벡터

\gamma(s)

는 다음과 같이 정의된다.

$s$ 의 길이가 1이라면, $\gamma(s)=s\in\operatorname{Span}_K\Sigma$
$s$ 의 길이가 2 이상이고, 표준 분해가 $s=uv$ 라면, $\gamma(s)=[\gamma(u),\gamma(v)]$

여기서 표준 분해는 린든 단어

s

를 더 짧은 두 린든 단어

u,v

로 분해했을 때,

v

가 가장 긴 경우를 말한다.

예를 들어, 알파벳

\Sigma=\{0,1\}

위의 린든 단어들은 다음과 같다.

:0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...

크기

k

위의 알파벳에서 길이

n

인 린던 단어의 수는 목걸이 다항식

:

M_n(k)=\frac1n\sum_{d\mid n}\mu(n/d)k^d

로 주어지며, 여기서

\mu

는 뫼비우스 함수이다. 이는

k

개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의 등급

n

부분 공간의 차원과 같다.

린든 기저는 로저 린던의 이름을 따서 붙여졌으며, 첸-폭스-린던 기저 또는 린던-쉬르쇼프 기저라고도 불린다. 이는 본질적으로 쉬르쇼프 기저와 동일하다.

3. 3. 3. 홀 집합

자유 리 대수의 명시적인 기저는 홀 집합의 관점에서 주어질 수 있는데, 이는 ''X'' 위의 자유 마그마 내의 특정 종류의 부분 집합이다. 자유 마그마의 원소는 ''X''의 원소로 레이블된 잎을 가진 이진 트리이다. 홀 집합은 필립 홀의 그룹 연구에 기반하여 마샬 홀^[1]이 1950년에 소개하였다. 그 후, 빌헬름 마그누스는 홀 집합이 자유군 위의 하위 중심 열에 의해 주어진 여과와 관련된 등급 리 대수로 나타난다는 것을 보여주었다. 이 대응은 필립 홀과 에른스트 비트의 군론에서의 교환자 항등식에 의해 동기가 부여되었다.

3. 4. 보편 포락 대수

자유 집합 ''X''에 대한 자유 리 대수의 보편 포락 대수는 ''X''에 의해 생성된 자유 결합 대수이다. 푸앵카레-비르코프-비트 정리에 의해 이는 자유 리 대수의 대칭 대수와 "크기가 같다". (즉, 양변 모두 ''X''의 원소에 차수 1을 부여하여 등급을 매기면 등급 동형인 벡터 공간이다.) 이는 주어진 차수의 자유 리 대수의 부분 공간의 차원을 설명하는 데 사용될 수 있다.

4. 응용

자유 리 대수는 여러 분야에서 응용된다. 반단순 리 대수에 대한 세르 정리는 생성자와 관계로부터 반단순 대수를 구성하기 위해 자유 리 대수를 사용한다. 밀너 불변량은 링크 군의 구성 요소와 관련이 있다. 오퍼라드의 구성에 자유 리 대수를 사용하는 것에 대해서는 리 오퍼라드를 참조하라.

4. 1. 반단순 리 대수

반단순 리 대수의 세르 정리는 자유 리 대수를 사용하여 생성자와 관계로부터 반단순 대수를 구성한다.^[1] 밀너 불변량은 링크 군의 구성 요소에 대한 자유 리 대수와 관련이 있다.^[2] 오퍼라드의 구성에 자유 리 대수를 사용하는 것에 대해서는 리 오퍼라드를 참조하라.^[3]

4. 2. 밀너 불변량

밀너 불변량은 링크 군의 구성 요소에 대한 자유 리 대수와 관련이 있다.^[1]

4. 3. 리 오퍼라드

오퍼라드의 구성에는 자유 리 대수가 사용될 수 있다.

참조

_[1] 논문 The origins of combinatorics on words http://www-igm.univ-[...]
_[2] 논문 The origins of combinatorics on words http://www-igm.univ-[...]
_[3] 저널 Подалгебры свободных лиевых алгебр http://mi.mathnet.ru[...]
_[4] 저널 Die Unterringe der freien Lieschen Ringe

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