자유 리 대수

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1. 개요

자유 리 대수는 주어진 집합 S로부터 생성되는 리 대수이며, 범주론적으로 리 대수의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상으로 정의된다. 체 K 위의 자유 리 대수는 텐서 대수의 부분 집합으로 구체적으로 묘사할 수 있으며, 자연수 등급 리 대수를 이룬다. 자유 리 대수는 린든 기저와 같은 기저를 가지며, 차원, 부분 리 대수, 보편 포락 대수 등의 성질을 갖는다. 자유 리 대수는 반단순 리 대수의 세르 정리, 밀너 불변량, 리 오퍼라드의 구성 등 다양한 분야에 응용된다.

자유 리 대수

기본 정보

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자유 리 대수의 생성자 집합 X

분야	수학, 추상대수학
하위 분야	리 대수, 대수적 조합론

정의

정의	주어진 집합에서 생성된 "가장 일반적인" 리 대수

성질

보편 성질	임의의 리 대수로의 사상 확장이 유일하게 존재
괄호 단어	괄호 단어를 사용하여 표현 가능

예시

예시	자유 리 대수의 보편 포락 대수는 자유 결합 대수

관련 개념	리 대수, 텐서 대수, 자유 대수, 보편 포락 대수

2. 정의

가환환 $R$ 위의 리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 주어진 집합 $S$ 위의 $R$ 계수의 자유 리 대수 $L(S)$ 를 정의할 수 있다.

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집합 X에 의해 생성된 자유 리 대수는 다음과 같이 정의한다.

: X를 집합, $i\colon X \to L$ 를 X에서 리 대수 L로의 사상 (함수)이라고 하자. 리 대수 L은 $i$ 가 보편 사상일 경우 X에 대해 자유라고 한다. 즉, 집합의 사상 $f\colon X \to A$ 를 갖는 임의의 리 대수 A에 대해, $f = g \circ i$ 가 되도록 하는 고유한 리 대수 사상 $g\colon L\to A$ 가 존재한다.
집합 X가 주어지면, X에 의해 생성된 고유한 자유 리 대수 $L(X)$ 가 존재함을 보일 수 있다.

자유 리 대수는 자연스럽게 등급을 갖는다. 자유 리 대수의 1-등급 성분은 단순히 해당 집합에 대한 자유 벡터 공간이다.

2.1. 범주론적 정의

범주론적으로, 가환환 $R$ 위의 리 대수의 범주 $\operatorname{LieAlg}_R$ 에서 집합의 범주 $\operatorname{Set}$ 로 가는 망각 함자
: $\operatorname{Forget}\colon\operatorname{LieAlg}_R\to\operatorname{Set}$
의 왼쪽 수반 함자 $L$ 이 존재하며,
: $L\dashv\operatorname{Forget}$
집합 $S$ 로부터 생성되는 자유 리 대수는 이 함자의 상 $L(S)$ 이다. 즉, 자유 리 대수는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의될 수 있다.

다른 정의로는, 집합 $X$ 를 $X$ 에 의해 생성된 리 대수로 보내는 함자는 집합의 범주에서 리 대수의 범주로 가는 자유 함자이다. 이는 망각 함자에 대한 왼쪽 수반이다.

또는, 체 K 위의 리 대수에서 체 K 위의 벡터 공간으로 가는 망각 함자, 즉 리 대수의 구조는 잊지만 벡터 공간의 구조는 기억하는 함자의 왼쪽 수반으로서 벡터 공간 V에 대한 자유 리 대수를 정의할 수도 있다.

2.2. 구체적인 구성

체 $K$ 위의 자유 리 대수는 다음과 같이 구체적으로 묘사할 수 있다. 집합 $S$ 위의 자유 리 대수를 $L(S)$ 라고 하고, $S$ 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 $K\langle S\rangle$ 라고 하자. 그러면 $L(S)$ 는 자연스럽게 $K\langle S\rangle$ 의 부분 집합을 이루며, $K\langle S\rangle$ 는 $L(S)$ 의 보편 포락 대수이다. $L(S)$ 는 $K\langle S\rangle$ 속에서, $S$ 로 생성되는 부분 리 대수이다.

체 위의 자유 리 대수는 자연스럽게 자연수 등급 리 대수를 이룬다. 여기서 등급은 린든 기저에 대응하는 린든 문자열의 길이(즉, 리 대수의 원소를 생성하기 위한 최소 항의 수)와 같다.

3. 성질

자유 리 대수는 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.

* 시르쇼프-비트 정리: 아나톨리 쉬르쇼프와 에른스트 비트가 증명한 정리로, 자유 리 대수의 임의의 부분 리 대수는 그 자체로 자유 리 대수이다.
* 기저: 자유 리 대수의 기저는 린든 단어나 마샬 홀이 제시한 홀 집합(Hall set)을 통해 구체적으로 나타낼 수 있다.
* 보편 포락 대수: 자유 집합 X에 대한 자유 리 대수의 보편 포락 대수는 X에 의해 생성된 자유 결합 대수이다.

3.1. 차원

집합 $S$ 에 의하여 생성되는 체 $K$ 계수의 자유 리 대수를 생각하자. $S$ 가 공집합이라면, $L(S)$ 는 0차원 리 대수이다. $S$ 가 한원소 집합이라면, $L(S)$ 는 1차원 아벨 리 대수이다. $S$ 의 집합의 크기가 2 이상이라면, $L(S)$ 는 무한 차원 리 대수이다. 구체적으로, 다음과 같다.

: $\dim_KL(S)=\begin{cases}|S|&|S|\le1\\\aleph_0&2\le |S|\le\aleph_0\\|S|&S\ge\aleph_0\end{cases}$

3.2. 부분 리 대수

아나톨리 쉬르쇼프와 에른스트 비트는 자유 리 대수의 임의의 부분 리 대수는 그 자체로 자유 리 대수임을 보였다. 이를 시르쇼프-비트 정리(Ширшов-Witt定理, Shirshov–Witt theorem^영어)라고 한다.

3.3. 기저

체 위의 자유 리 대수의 기저는 린든 단어를 통해 구체적으로 나타낼 수 있다. 린든 단어는 특정 조건을 만족하는 문자열로, 린든 기저를 형성한다. 자유 리 대수의 기저는 홀 집합(Hall set)으로도 주어질 수 있다.

3.3.1. 린든 단어

린든 단어(Lyndon word^영어)는 체 위의 자유 리 대수의 기저를 구성하는 데 사용되는 특별한 문자열이다. 크기가 $k$ 인, 전순서가 주어진 알파벳 $\Sigma$ 위의 길이 $n$ 의 문자열 $s=s_1s_2\cdots s_n\in\Sigma^*$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 조건을 만족하는 문자열을 린든 단어라고 정의한다.

* $s$ 를 회전시켜 얻을 수 있는 모든 문자열 $R^i(s)=s_is_{i+1}\cdots s_ns_1s_2\cdots s_{i-1}$ 들을 생각했을 때, $s$ 는 이들 중 사전식 순서에서 유일하게 가장 작은 문자열이다.
* $s$ 를 두 개의 문자열 $a,b\in\Sigma^*$ 로 분해했을 때 ( $s=ab$ ), 사전식 순서에서 항상 $a$ 가 $b$ 보다 작다.

린든 단어 $s$ 는 더 짧은 두 린든 단어 $u,v$ 를 이어 붙여 만들 수 있다. 이때, $v$ 가 가장 긴 경우를 표준 분해(standard factorization^영어)라고 한다.

유한 집합 $\Sigma$ 위의, 길이가 1 이상인 린든 단어들은 자유 리 대수 $L(\Sigma)$ 의 린든 기저(Lyndon basis^영어)와 일대일 대응한다. 린든 단어 $s$ 에 대응하는 린든 기저 벡터 $\gamma(s)$ 는 다음과 같이 정의된다.

* $s$ 의 길이가 1이면, $\gamma(s)=s\in\operatorname{Span}_K\Sigma$ 이다.
* $s$ 의 길이가 2 이상이고 표준 분해가 $s=uv$ 라면, $\gamma(s)=[\gamma(u),\gamma(v)]$ 이다.

예를 들어, 알파벳 $\Sigma=\{0,1\}$ 위의 린든 단어들은 다음과 같다.

:0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...

크기 $k$ 인 알파벳 위에서 길이 $n$ 인 린든 단어의 개수는 목걸이 다항식

: $M_n(k)=\frac1n\sum_{d\mid n}\mu(n/d)k^d$

로 주어지며, 여기서 $\mu$ 는 뫼비우스 함수이다. 이는 $k$ 개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의 $n$ 차원 부분 공간의 차원과 같다.

린든 단어는 홀 단어의 특수한 경우이며, 린든 단어에 해당하는 자유 리 대수의 기저가 있다. 이것은 로저 린던의 이름을 따서 린든 기저라고 불린다.

3.3.2. 린든 기저

체 위의 자유 리 대수의 기저는 린든 단어(Lyndon word^영어)로 주어진다. 린든 단어는 특정 조건을 만족하는 문자열로, 자유 리 대수의 린든 기저와 일대일 대응한다.

유한 집합 $\Sigma$ 위의, 길이가 1 이상인 린든 단어의 집합은 자유 리 대수 $L(\Sigma)$ 의 린든 기저와 표준적으로 일대일 대응한다. 린든 단어 $s$ 에 대응하는 린든 기저 벡터 $\gamma(s)$ 는 다음과 같이 정의된다.

* $s$ 의 길이가 1이라면, $\gamma(s)=s\in\operatorname{Span}_K\Sigma$
* $s$ 의 길이가 2 이상이고, 표준 분해가 $s=uv$ 라면, $\gamma(s)=[\gamma(u),\gamma(v)]$

여기서 표준 분해는 린든 단어 $s$ 를 더 짧은 두 린든 단어 $u,v$ 로 분해했을 때, $v$ 가 가장 긴 경우를 말한다.

예를 들어, 알파벳 $\Sigma=\{0,1\}$ 위의 린든 단어들은 다음과 같다.

:0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...

크기 $k$ 위의 알파벳에서 길이 $n$ 인 린던 단어의 수는 목걸이 다항식

: $M_n(k)=\frac1n\sum_{d\mid n}\mu(n/d)k^d$

로 주어지며, 여기서 $\mu$ 는 뫼비우스 함수이다. 이는 $k$ 개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의 등급 $n$ 부분 공간의 차원과 같다.

린든 기저는 로저 린던의 이름을 따서 붙여졌으며, 첸-폭스-린던 기저 또는 린던-쉬르쇼프 기저라고도 불린다. 이는 본질적으로 쉬르쇼프 기저와 동일하다.

3.3.3. 홀 집합

자유 리 대수의 명시적인 기저는 홀 집합의 관점에서 주어질 수 있는데, 이는 X 위의 자유 마그마 내의 특정 종류의 부분 집합이다. 자유 마그마의 원소는 X의 원소로 레이블된 잎을 가진 이진 트리이다. 홀 집합은 필립 홀의 그룹 연구에 기반하여 마샬 홀이 1950년에 소개하였다. 그 후, 빌헬름 마그누스는 홀 집합이 자유군 위의 하위 중심 열에 의해 주어진 여과와 관련된 등급 리 대수로 나타난다는 것을 보여주었다. 이 대응은 필립 홀과 에른스트 비트의 군론에서의 교환자 항등식에 의해 동기가 부여되었다.

3.4. 보편 포락 대수

자유 집합 X에 대한 자유 리 대수의 보편 포락 대수는 X에 의해 생성된 자유 결합 대수이다. 푸앵카레-비르코프-비트 정리에 의해 이는 자유 리 대수의 대칭 대수와 "크기가 같다". (즉, 양변 모두 X의 원소에 차수 1을 부여하여 등급을 매기면 등급 동형인 벡터 공간이다.) 이는 주어진 차수의 자유 리 대수의 부분 공간의 차원을 설명하는 데 사용될 수 있다.

4. 응용

자유 리 대수는 여러 분야에서 응용된다. 반단순 리 대수에 대한 세르 정리는 생성자와 관계로부터 반단순 대수를 구성하기 위해 자유 리 대수를 사용한다. 밀너 불변량은 링크 군의 구성 요소와 관련이 있다. 오퍼라드의 구성에 자유 리 대수를 사용하는 것에 대해서는 리 오퍼라드를 참조하라.

4.1. 반단순 리 대수

반단순 리 대수의 세르 정리는 자유 리 대수를 사용하여 생성자와 관계로부터 반단순 대수를 구성한다. 밀너 불변량은 링크 군의 구성 요소에 대한 자유 리 대수와 관련이 있다. 오퍼라드의 구성에 자유 리 대수를 사용하는 것에 대해서는 리 오퍼라드를 참조하라.

4.2. 밀너 불변량

밀너 불변량은 링크 군의 구성 요소에 대한 자유 리 대수와 관련이 있다.

4.3. 리 오퍼라드

오퍼라드의 구성에는 자유 리 대수가 사용될 수 있다.