작용소군

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1. 개요

작용소군은 군 G와 모노이드 Ω, 그리고 모노이드 준동형 φ: Ω → End(G)로 구성된다. Ω의 원소를 작용소라고 하며, Ω-작용소군에서 Ω의 구조를 보존하는 부분군은 허용 가능 부분군이라고 한다. 작용소군 (G, Ω)은 군 G와 집합 Ω의 G에 대한 작용으로 정의될 수 있으며, 이 작용은 군 연산에 대해 분배적이다. 작용소 영역 Ω와 연관된 자기 준동형사상은 G의 동형사상이라고 불리며, 동일한 작용소 영역을 가진 두 군 G, H 사이의 준동형사상은 군 준동형사상 φ: G → H로 정의된다. G의 부분군 S가 동형사상을 존중하면 안정 부분군, Ω-부분군 또는 Ω-불변 부분군이라고 한다. 작용소군은 범주론에서 함자 범주의 대상으로 정의될 수 있으며, 조르당-횔더 정리를 일반화하는 데 응용된다.

작용소군

개요

정의	군 G와 집합 Ω가 주어졌을 때, Ω의 원소가 G의 원소에 작용하는 작용소군
용어	Ω를 작용소역이라고 함 G를 Ω-군이라고도 함
관련 개념	군 작용
참고	작용소군은 군 G에 대한 외부 작용을 일반화한 개념

예시

벡터 공간	벡터 공간 V는 스칼라 곱셈을 통해 체 F의 작용소군으로 볼 수 있음
가군	가군 M은 환 R의 작용소군으로 볼 수 있음

성질

Ω-부분군	G의 부분군 H가 Ω의 모든 원소 ω에 대해 Hω ⊆ H를 만족하면 Ω-부분군이라고 함
Ω-준동형 사상	군 G에서 군 H로의 준동형 사상 f가 Ω의 모든 원소 ω와 G의 모든 원소 g에 대해 f(gω) = f(g)ω를 만족하면 Ω-준동형 사상이라고 함

응용

보편 대수학	작용소군은 보편 대수학에서 대수 구조를 연구하는 데 사용됨
무한-군	∞-군 (infinity-group) 연구에 활용

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1. 개요
2. 정의
3. 범주론적 관점
4. 예
5. 응용
- 5.1. 조르당-횔더 정리
- 5.2. 조성열과 콤팩트성

2. 정의

작용소군 $(G, \Omega, \phi)$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* $G$ 는 군이다.
* $\Omega$ 는 모노이드이다. 이 모노이드의 원소를 작용소(operator^영어)라고 한다.
* $\phi\colon\Omega\to\operatorname{End}(G)$ 는 모노이드의 준동형이다.

작용소 모노이드가 $\Omega$ 인 작용소군을 $\Omega$ -작용소군( $\Omega$ -group^영어)이라고 한다. 주어진 $\Omega$ 에 대하여, $\Omega$ -작용소군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. $\Omega$ -작용소군에서, $\Omega$ 의 구조를 보존시키는 부분군을 허용 가능 부분군(admissible subgroup^영어)이라고 한다.

작용소군 $(G, \Omega)$ 은 군 $G = (G, \cdot)$ 과 집합 $\Omega$ 의 $G$ 에 대한 작용으로 정의될 수 있다.
: $\Omega \times G \rightarrow G : (\omega, g) \mapsto g^\omega$
이 작용은 군 연산에 대해 분배적이다.
: $(g \cdot h)^\omega = g^\omega \cdot h^\omega.$

각 $\omega \in \Omega$ 에 대해, 사상 $g \mapsto g^\omega$ 는 G의 자기 준동형사상이다. 이로부터 Ω-군은 G의 자기 준동형사상의 색인족 $\left(u_\omega\right)_{\omega \in \Omega}$ 를 가진 군 G로 볼 수도 있다.

$\Omega$ 는 작용소 영역이라고 불린다. 연관된 자기 준동형사상은 G의 동형사상이라고 불린다.

동일한 작용소 영역 $\Omega$ 를 가진 두 군 G, H가 주어졌을 때, $(G, \Omega)$ 에서 $(H, \Omega)$ 로의 작용소를 갖는 군의 준동형사상은 다음을 만족하는 군 준동형사상 $\phi: G \to H$ 이다.
: $\phi\left(g^\omega\right) = (\phi(g))^\omega$ 모든 $\omega \in \Omega$ 와 $g \in G$ 에 대해.

G의 부분군 S가 동형사상을 존중하는 경우, 즉
: $s^\omega \in S$ 모든 $s \in S$ 와 $\omega \in \Omega$ 에 대해, 안정 부분군, $\Omega$ -부분군 또는 $\Omega$ -불변 부분군이라고 불린다.

집합 Ω 위의 작용소를 갖는 군 (G, Ω)은 군 G와 그 위의 사상
: $\omega\colon G \to G$
으로 군의 연산에 대해 분배적인 것들로 이루어진 족 Ω를 함께 고려한 것이다. 이때 Ω를 작용역이라고 하며, 그 원소를 G 위의 작용소라고 한다.

변환 ω에 의한 군 G의 원소 g의 상을 g^ω로 표기하면, 작용의 분배성은
: $(gh)^{\omega} = g^{\omega}h^{\omega} \quad (\forall \omega \in \Omega, \forall g,h \in G)$

로 나타낼 수 있다.

2.1. 작용소군

2.2. 작용소 영역과 동형사상

$\Omega$ 는 작용소 영역이라고 불린다. 연관된 자기 준동형사상은 G의 동형사상이라고 불린다.

2.3. 작용소를 갖는 군의 준동형사상

동일한 작용소 영역 $\Omega$ 를 가진 두 작용소군 $(G, \Omega)$ 와 $(H, \Omega)$ 사이의 준동형사상은 다음을 만족하는 군 준동형사상 $\phi\colon G \to H$ 이다.

2.4. 안정 부분군

$G$ 의 부분군 $S$ 가 동형사상을 존중하는 경우, 즉 모든 $s \in S$ 와 $\omega \in \Omega$ 에 대해 $s^\omega \in S$ 가 성립하면, $S$ 를 안정 부분군(stable subgroup), $\Omega$ -부분군 또는 $\Omega$ -불변 부분군이라고 부른다. 한국에서는 안정 부분군을 "허용 가능 부분군"이라고도 한다.

3. 범주론적 관점

범주론에서, 작용소군은 Grp^M 함자 범주의 대상으로 정의될 수 있다. 여기서 M은 모노이드(즉, 하나의 객체를 가진 범주)이고, Grp는 군 범주를 나타낸다. 이 정의는 $\Omega$ 가 모노이드로 주어질 경우 이전 정의와 동등하다 (그렇지 않은 경우, 항등 함수와 모든 함수 합성을 포함하도록 확장할 수 있다).

작용소군은 또한 다음과 같은 사상이다.
: $\Omega \rightarrow \operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G),$

여기서 $\operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G)$ 는 G의 군 자기사상의 집합이다.

4. 예

작용소군의 대표적인 예는 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

군	작용소 집합 $\Omega$	작용	허용 가능 부분군
$G$	한원소 집합 $\{\bullet\}$	항등 함수	(임의의) 부분군
$G$	$G$	$g\colon h\mapsto ghg^{-1}$	정규 부분군
$G$	자기 동형군 $\operatorname{Aut}G$	자기 사상의 작용	특성 부분군(characteristic subgroup^영어)
$G$	자기 준동형 모노이드 $\operatorname{End}G$	자기 사상의 작용	완전 불변 부분군(fully invariant subgroup^영어)
$R$ 위의 왼쪽 가군 $M$	환의 곱셈 모노이드 $(R,\cdot)$	가군 작용	부분 가군

* 임의의 군 G가 주어지면, (G, ∅)는 연산자를 가진 자명한 군이다.
* 환 R 위의 가군 M이 주어지면, R은 M의 기본 아벨 군에 스칼라 곱셈으로 작용하므로 (M, R)은 연산자를 가진 군이다.
* 위의 특수한 경우로, 체 K 위의 모든 벡터 공간은 연산자를 가진 군 (V, K)이다.
* 임의의 군 G는 자명한 작용소를 갖는 군 (G, ∅)으로 간주할 수 있다.
* R-가군 M은 작용역 R의 스칼라 곱셈에 의한 작용소를 갖는 군 M이다. 더 구체적으로는 임의의 벡터 공간은 작용소를 갖는 군이다.

4.1. 자명한 작용소군

임의의 군 G는 자명한 작용소를 갖는 군 (G, ∅)으로 간주할 수 있다.

4.2. 가군과 벡터 공간

환 R 위의 가군 M은 R이 M의 기본 아벨 군에 스칼라 곱셈으로 작용하는 작용소군 (M, R)이다. 체 K 위의 벡터 공간은 작용소군 (V, K)이다.

4.3. 자기 동형군

군 G에 대한 자기 동형군 Aut(G)는 작용소 집합이 될 수 있으며, 이 때 허용 가능 부분군은 특성 부분군(characteristic subgroup)이 된다.

4.4. 자기 준동형 모노이드

군 $G$ 에 대한 자기 준동형 모노이드 $\operatorname{End}G$ 는 작용소 집합이 될 수 있으며, 이 때 허용 가능 부분군은 완전 불변 부분군(fully invariant subgroup^영어)이 된다.

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좌우로 밀어서 보기

군	작용소 집합 $\Omega$	작용	허용 가능 부분군
$G$	자기 동형군 $\operatorname{Aut}G$	자기 사상의 작용	특성 부분군(characteristic subgroup^영어)
$G$	자기 준동형 모노이드 $\operatorname{End}G$	자기 사상의 작용	완전 불변 부분군
$R$ 위의 왼쪽 가군 $M$	환의 곱셈 모노이드 $(R,\cdot)$	가군 작용	부분 가군

5. 응용

조르당-횔더 정리는 적어도 하나의 합성열을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이를 통해, 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다. 군이 조성열을 갖는다는 요구 사항은 위상수학에서의 콤팩트성과 유사하며, 때로는 너무 강력한 요구 사항일 수 있다. "집합에 대한 콤팩트성", 즉, 각 (정규) 부분군이 문제의 군의 작용소 집합 X에 대한 작용소-부분군인 조성열에 대해 이야기하는 것이 자연스럽다.

조르당-횔더 정리는 작용소를 갖는 군의 맥락에서도 성립한다. 군이 조성열을 갖는다는 가정은 위상수학에서의 콤팩트성과 유사하게, 종종 너무 강한 조건을 부여한다. 콤팩트성 대신 상대 콤팩트성을 고려하는 것이 더 자연스러운 경우가 많은 것처럼, 조성열에 대해서도 각 정규 부분군이 고려하고 있는 군의 작용역 X에 대해 상대적인 작용 부분군이 되는 것만을 고려한다.

5.1. 조르당-횔더 정리

조르당-횔더 정리는 적어도 하나의 합성열을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이는 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다. 군이 조성열을 갖는다는 요구 사항은 위상수학에서의 콤팩트성과 유사하며, 때로는 너무 강력한 요구 사항일 수 있다. "집합에 대한 콤팩트성", 즉, 각 (정규) 부분군이 문제의 군의 작용소 집합 X에 대한 작용소-부분군인 조성열에 대해 이야기하는 것이 자연스럽다.

5.2. 조성열과 콤팩트성

조르당-횔더 정리는 작용소를 갖는 군의 맥락에서도 성립하며, 이는 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화한다. 군이 조성열을 갖는다는 조건은 위상수학에서의 콤팩트성과 유사하며, 때로는 너무 강한 조건일 수 있다. 콤팩트성 대신 상대 콤팩트성을 고려하는 것이 더 자연스러운 경우가 많은 것처럼, 조성열에 대해서도 각 (정규) 부분군이 문제의 군의 작용소 집합 X에 대한 작용소-부분군이 되는 것만을 고려하는 것이 더 자연스러울 수 있다.