작용소군

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1. 개요
2. 정의
3. 범주론적 관점
4. 예
5. 응용
- 5.1. 조르당-횔더 정리
- 5.2. 조성열과 콤팩트성
참조

1. 개요

작용소군은 군 G와 모노이드 Ω, 그리고 모노이드 준동형 φ: Ω → End(G)로 구성된다. Ω의 원소를 작용소라고 하며, Ω-작용소군에서 Ω의 구조를 보존하는 부분군은 허용 가능 부분군이라고 한다. 작용소군 (G, Ω)은 군 G와 집합 Ω의 G에 대한 작용으로 정의될 수 있으며, 이 작용은 군 연산에 대해 분배적이다. 작용소 영역 Ω와 연관된 자기 준동형사상은 G의 동형사상이라고 불리며, 동일한 작용소 영역을 가진 두 군 G, H 사이의 준동형사상은 군 준동형사상 φ: G → H로 정의된다. G의 부분군 S가 동형사상을 존중하면 안정 부분군, Ω-부분군 또는 Ω-불변 부분군이라고 한다. 작용소군은 범주론에서 함자 범주의 대상으로 정의될 수 있으며, 조르당-횔더 정리를 일반화하는 데 응용된다.

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작용소군
개요
정의	군 G와 집합 Ω가 주어졌을 때, Ω의 원소가 G의 원소에 작용하는 작용소군
용어	Ω를 작용소역이라고 함 G를 Ω-군이라고도 함
관련 개념	군 작용
참고	작용소군은 군 G에 대한 외부 작용을 일반화한 개념
예시
벡터 공간	벡터 공간 V는 스칼라 곱셈을 통해 체 F의 작용소군으로 볼 수 있음
가군	가군 M은 환 R의 작용소군으로 볼 수 있음
성질
Ω-부분군	G의 부분군 H가 Ω의 모든 원소 ω에 대해 Hω ⊆ H를 만족하면 Ω-부분군이라고 함
Ω-준동형 사상	군 G에서 군 H로의 준동형 사상 f가 Ω의 모든 원소 ω와 G의 모든 원소 g에 대해 f(gω) = f(g)ω를 만족하면 Ω-준동형 사상이라고 함
응용
보편 대수학	작용소군은 보편 대수학에서 대수 구조를 연구하는 데 사용됨
무한-군	∞-군 (infinity-group) 연구에 활용

2. 정의

'''작용소군''' $(G, \Omega, \phi)$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[5]

$G$ 는 군이다.
$\Omega$ 는 모노이드이다. 이 모노이드의 원소를 '''작용소'''(operator^영어)라고 한다.
$\phi\colon\Omega\to\operatorname{End}(G)$ 는 모노이드의 준동형이다.

작용소 모노이드가

\Omega

인 작용소군을 '''

\Omega

-작용소군'''(

\Omega

-group^영어)이라고 한다. 주어진

\Omega

에 대하여,

\Omega

-작용소군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

\Omega

-작용소군에서,

\Omega

의 구조를 보존시키는 부분군을 '''허용 가능 부분군'''(admissible subgroup^영어)이라고 한다.^[5]

'''작용소군'''

(G, \Omega)

은 군

G = (G, \cdot)

과 집합

\Omega

의

G

에 대한 작용으로 정의될 수 있다.

:

\Omega \times G \rightarrow G : (\omega, g) \mapsto g^\omega

이 작용은 군 연산에 대해 분배적이다.

:

(g \cdot h)^\omega = g^\omega \cdot h^\omega.

각

\omega \in \Omega

에 대해, 사상

g \mapsto g^\omega

는 ''G''의 자기 준동형사상이다. 이로부터 Ω-군은 ''G''의 자기 준동형사상의 색인족

\left(u_\omega\right)_{\omega \in \Omega}

를 가진 군 ''G''로 볼 수도 있다.

\Omega

는 '''작용소 영역'''이라고 불린다. 연관된 자기 준동형사상은 ''G''의 '''동형사상'''이라고 불린다.

동일한 작용소 영역

\Omega

를 가진 두 군 ''G'', ''H''가 주어졌을 때,

(G, \Omega)

에서

(H, \Omega)

로의 작용소를 갖는 군의 '''준동형사상'''은 다음을 만족하는 군 준동형사상

\phi: G \to H

이다.

:

\phi\left(g^\omega\right) = (\phi(g))^\omega

모든

\omega \in \Omega

와

g \in G

에 대해.

''G''의 부분군 ''S''가 동형사상을 존중하는 경우, 즉

:

s^\omega \in S

모든

s \in S

와

\omega \in \Omega

에 대해, '''안정 부분군''', '''

\Omega

-부분군''' 또는 '''

\Omega

-불변 부분군'''이라고 불린다.

집합 Ω 위의 '''작용소를 갖는 군''' (''G'', Ω)은 군 ''G''와 그 위의 사상

:

\omega\colon G \to G

으로 군의 연산에 대해 분배적인 것들로 이루어진 족 Ω를 함께 고려한 것이다. 이때 Ω를 '''작용역'''이라고 하며, 그 원소를 ''G'' 위의 '''작용소'''라고 한다.

변환 ω에 의한 군 ''G''의 원소 ''g''의 상을 ''g''^ω로 표기하면, 작용의 분배성은

:

(gh)^{\omega} = g^{\omega}h^{\omega} \quad (\forall \omega \in \Omega, \forall g,h \in G)

로 나타낼 수 있다.

2. 1. 작용소군

'''작용소군'''

(G, \Omega, \phi)

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[5]

$G$ 는 군이다.
$\Omega$ 는 모노이드이다. 이 모노이드의 원소를 '''작용소'''(operator^영어)라고 한다.
$\phi\colon\Omega\to\operatorname{End}(G)$ 는 모노이드의 준동형이다.

작용소 모노이드가

\Omega

인 작용소군을 '''

\Omega

-작용소군'''(

\Omega

-group^영어)이라고 한다. 주어진

\Omega

에 대하여,

\Omega

-작용소군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

\Omega

-작용소군에서,

\Omega

의 구조를 보존시키는 부분군을 '''허용 가능 부분군'''(admissible subgroup^영어)이라고 한다.^[5]

'''작용소군'''

(G, \Omega)

은 군

G = (G, \cdot)

과 집합

\Omega

의

G

에 대한 작용으로 정의될 수 있다.

:

\Omega \times G \rightarrow G : (\omega, g) \mapsto g^\omega

이 작용은 군 연산에 대해 분배적이다.

:

(g \cdot h)^\omega = g^\omega \cdot h^\omega.

각

\omega \in \Omega

에 대해, 사상

g \mapsto g^\omega

는 ''G''의 자기 준동형사상이다. 이로부터 Ω-군은 ''G''의 자기 준동형사상의 색인족

\left(u_\omega\right)_{\omega \in \Omega}

를 가진 군 ''G''로 볼 수도 있다.

\Omega

는 '''작용소 영역'''이라고 불린다. 연관된 자기 준동형사상은 ''G''의 '''동형사상'''이라고 불린다.

동일한 작용소 영역

\Omega

를 가진 두 군 ''G'', ''H''가 주어졌을 때,

(G, \Omega)

에서

(H, \Omega)

로의 작용소를 갖는 군의 '''준동형사상'''은 다음을 만족하는 군 준동형사상

\phi: G \to H

이다.

:

\phi\left(g^\omega\right) = (\phi(g))^\omega

모든

\omega \in \Omega

와

g \in G

에 대해.

''G''의 부분군 ''S''가 동형사상을 존중하는 경우, 즉

:

s^\omega \in S

모든

s \in S

와

\omega \in \Omega

에 대해, '''안정 부분군''', '''

\Omega

-부분군''' 또는 '''

\Omega

-불변 부분군'''이라고 불린다.

집합 Ω 위의 '''작용소를 갖는 군''' (''G'', Ω)은 군 ''G''와 그 위의 사상

:

\omega\colon G \to G

으로 군의 연산에 대해 분배적인 것들로 이루어진 족 Ω를 함께 고려한 것이다. 이때 Ω를 '''작용역'''이라고 하며, 그 원소를 ''G'' 위의 '''작용소'''라고 한다.

변환 ω에 의한 군 ''G''의 원소 ''g''의 상을 ''g''^ω로 표기하면, 작용의 분배성은

:

(gh)^{\omega} = g^{\omega}h^{\omega} \quad (\forall \omega \in \Omega, \forall g,h \in G)

로 나타낼 수 있다.

2. 2. 작용소 영역과 동형사상

\Omega

는 작용소 영역이라고 불린다.^[5] 연관된 자기 준동형사상은 ''G''의 동형사상이라고 불린다.

2. 3. 작용소를 갖는 군의 준동형사상

동일한 작용소 영역

\Omega

를 가진 두 작용소군

(G, \Omega)

와

(H, \Omega)

사이의 '''준동형사상'''은 다음을 만족하는 군 준동형사상

\phi\colon G \to H

이다.^[5]

2. 4. 안정 부분군

G

의 부분군

S

가 동형사상을 존중하는 경우, 즉 모든

s \in S

와

\omega \in \Omega

에 대해

s^\omega \in S

가 성립하면,

S

를 '''안정 부분군'''(stable subgroup), '''

\Omega

-부분군''' 또는 '''

\Omega

-불변 부분군'''이라고 부른다.^[5] 한국에서는 안정 부분군을 "허용 가능 부분군"이라고도 한다.^[5]

3. 범주론적 관점

범주론에서, '''작용소군'''은 '''Grp'''^''M'' 함자 범주의 대상으로 정의될 수 있다. 여기서 ''M''은 모노이드(즉, 하나의 객체를 가진 범주)이고, '''Grp'''는 군 범주를 나타낸다. 이 정의는 $\Omega$ 가 모노이드로 주어질 경우 이전 정의와 동등하다 (그렇지 않은 경우, 항등 함수와 모든 함수 합성을 포함하도록 확장할 수 있다).

작용소군은 또한 다음과 같은 사상이다.

: $\Omega \rightarrow \operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G),$

여기서 $\operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G)$ 는 ''G''의 군 자기사상의 집합이다.

4. 예

작용소군의 대표적인 예는 다음과 같다.

군	작용소 집합 $\Omega$	작용	허용 가능 부분군
$G$	한원소 집합 $\{\bullet\}$	항등 함수	(임의의) 부분군
$G$	$G$	$g\colon h\mapsto ghg^{-1}$	정규 부분군
$G$	자기 동형군 $\operatorname{Aut}G$	자기 사상의 작용	특성 부분군(characteristic subgroup^영어)
$G$	자기 준동형 모노이드 $\operatorname{End}G$	자기 사상의 작용	완전 불변 부분군(fully invariant subgroup^영어)
$R$ 위의 왼쪽 가군 $M$	환의 곱셈 모노이드 $(R,\cdot)$	가군 작용	부분 가군

임의의 군 ''G''가 주어지면, (''G'', ∅)는 연산자를 가진 자명한 군이다.
환 ''R'' 위의 가군 ''M''이 주어지면, ''R''은 ''M''의 기본 아벨 군에 스칼라 곱셈으로 작용하므로 (''M'', ''R'')은 연산자를 가진 군이다.
위의 특수한 경우로, 체 ''K'' 위의 모든 벡터 공간은 연산자를 가진 군 (''V'', ''K'')이다.
임의의 군 ''G''는 자명한 작용소를 갖는 군 (''G'', ∅)으로 간주할 수 있다.
''R''-가군 ''M''은 작용역 ''R''의 스칼라 곱셈에 의한 작용소를 갖는 군 ''M''이다. 더 구체적으로는 임의의 벡터 공간은 작용소를 갖는 군이다.

4. 1. 자명한 작용소군

임의의 군 ''G''는 자명한 작용소를 갖는 군 (''G'', ∅)으로 간주할 수 있다.

4. 2. 가군과 벡터 공간

환 ''R'' 위의 가군 ''M''은 ''R''이 ''M''의 기본 아벨 군에 스칼라 곱셈으로 작용하는 작용소군 (''M'', ''R'')이다. 체 ''K'' 위의 벡터 공간은 작용소군 (''V'', ''K'')이다.

4. 3. 자기 동형군

군 G에 대한 자기 동형군 Aut(G)는 작용소 집합이 될 수 있으며, 이 때 허용 가능 부분군은 특성 부분군(characteristic subgroup)이 된다.

4. 4. 자기 준동형 모노이드

군

G

에 대한 자기 준동형 모노이드

\operatorname{End}G

는 작용소 집합이 될 수 있으며, 이 때 허용 가능 부분군은 완전 불변 부분군(fully invariant subgroup^영어)이 된다.

군	작용소 집합 $\Omega$	작용	허용 가능 부분군
$G$	자기 동형군 $\operatorname{Aut}G$	자기 사상의 작용	특성 부분군(characteristic subgroup^영어)
$G$	자기 준동형 모노이드 $\operatorname{End}G$	자기 사상의 작용	완전 불변 부분군
$R$ 위의 왼쪽 가군 $M$	환의 곱셈 모노이드 $(R,\cdot)$	가군 작용	부분 가군

5. 응용

조르당-횔더 정리는 적어도 하나의 합성열을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이를 통해, 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다. 군이 조성열을 갖는다는 요구 사항은 위상수학에서의 콤팩트성과 유사하며, 때로는 너무 강력한 요구 사항일 수 있다. "집합에 대한 콤팩트성", 즉, 각 (정규) 부분군이 문제의 군의 작용소 집합 ''X''에 대한 작용소-부분군인 조성열에 대해 이야기하는 것이 자연스럽다.

조르당-횔더 정리는 작용소를 갖는 군의 맥락에서도 성립한다. 군이 조성열을 갖는다는 가정은 위상수학에서의 콤팩트성과 유사하게, 종종 너무 강한 조건을 부여한다. 콤팩트성 대신 상대 콤팩트성을 고려하는 것이 더 자연스러운 경우가 많은 것처럼, 조성열에 대해서도 각 정규 부분군이 고려하고 있는 군의 작용역 ''X''에 대해 상대적인 작용 부분군이 되는 것만을 고려한다.

5. 1. 조르당-횔더 정리

조르당-횔더 정리는 적어도 하나의 합성열을 갖는 작용소군에 대하여 성립한다. 이는 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화할 수 있다. 군이 조성열을 갖는다는 요구 사항은 위상수학에서의 콤팩트성과 유사하며, 때로는 너무 강력한 요구 사항일 수 있다. "집합에 대한 콤팩트성", 즉, 각 (정규) 부분군이 문제의 군의 작용소 집합 ''X''에 대한 작용소-부분군인 조성열에 대해 이야기하는 것이 자연스럽다.

5. 2. 조성열과 콤팩트성

조르당-횔더 정리는 작용소를 갖는 군의 맥락에서도 성립하며, 이는 군에 대한 조르당-횔더 정리와 가군에 대한 조르당-횔더 정리를 공통적으로 일반화한다. 군이 조성열을 갖는다는 조건은 위상수학에서의 콤팩트성과 유사하며, 때로는 너무 강한 조건일 수 있다. 콤팩트성 대신 상대 콤팩트성을 고려하는 것이 더 자연스러운 경우가 많은 것처럼, 조성열에 대해서도 각 (정규) 부분군이 문제의 군의 작용소 집합 ''X''에 대한 작용소-부분군이 되는 것만을 고려하는 것이 더 자연스러울 수 있다.

참조

_[1] 서적 ブルバキ数学原論代数1 東京図書
_[2] 서적 岩波数学辞典第4版岩波書店
_[3] 서적 Lattice theory https://www.worldcat[...] American Mathematical Society 1993
_[4] 웹사이트 Omega-group in nLab https://ncatlab.org/[...] 2022-05-14
_[5] 서적 An introduction to the theory of groups Springer 1994

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