합성열

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 존재
- 3.2. 유일성
4. 예시
5. 일반화
참조

1. 개요

합성열은 군의 구조를 연구하기 위해 사용되는 개념으로, 군 또는 가군을 단순한 "조각"으로 분해하는 방법을 제공한다. 군 G의 합성열은 유한한 길이를 갖는 준정규열로, 각 잉여군이 단순군인 경우를 말하며, 가군의 경우 부분 가군의 열로 정의된다. 합성열의 잉여군은 합성 인자라고 불리며, 합성열의 길이는 합성 길이로 정의된다. 조르당-횔더 정리에 따르면, 임의의 작용소군의 두 합성열은 동형이며, 모든 유한군은 합성열을 가지지만 무한군은 합성열을 갖지 않을 수 있다. 합성열은 순환군의 소인수분해와 관련이 있으며, 일반화된 개념은 연산자 집합을 가진 군과 아벨 범주에서도 정의된다.

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합성열
정의
설명	군론에서, 주어진 대수 구조를 더 작은 부분 구조로 분해하는 방법 중 하나이다. 특히, 군의 경우, 주어진 군을 더 이상 분해할 수 없는 단순군들의 열로 나타내는 것을 의미한다.
군론
군론에서의 의미	주어진 군을 더 이상 분해할 수 없는 단순군들의 열로 나타내는 것
수학
분야	군론, 추상대수학
주요 개념
관련 개념	조르당-횔더 정리, 부분군, 정규 부분군, 단순군, 가해군
용어
영어	Composition series
일본어	組成列 (そせいれつ)
한자 표기	組成列

2. 정의

합성열은 주어진 군, 가군, 아벨 범주의 대상에 대해, 그보다 작은 부분 대상들로의 분해를 나타낸다.

'''군'''(group) ''G''의 합성열은 유한한 길이를 갖는 준정규열이다.

: $1 = H_0\triangleleft H_1\triangleleft \cdots \triangleleft H_n = G,$

여기서 엄격한 포함 관계를 가지며, 각 ''H''_''i''는 ''H''_''i''+1의 극대 고유 정규 부분군이다. 동등하게, 합성열은 각 잉여군 ''H''_''i''+1 / ''H''_''i''가 단순군인 준정규열이다. 이러한 잉여군은 '''합성 인자'''라고 불린다.^[2]

준정규열은 최대 길이를 가질 때, 다시 말해 합성열에 추가적인 부분군을 삽입할 수 없을 때 합성열이 된다. 이 열의 길이 ''n''은 '''합성 길이'''라고 한다.

군 ''G''에 대해 합성열이 존재한다면, ''G''의 모든 준정규열은 부분군을 최대가 될 때까지 열에 삽입함으로써 합성열로 세분화될 수 있다. 모든 유한군은 합성열을 가지지만, 모든 무한군이 합성열을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 정수군 $\mathbb{Z}$ 는 합성열을 가지지 않는다.

'''가군'''에 대한 합성열의 정의는 부분 모듈에만 주목하며, 부분 모듈이 아닌 모든 가법 부분군은 무시한다. 링 ''R''과 ''R''-가군 ''M''이 주어졌을 때, ''M''에 대한 합성열은 부분 모듈의 열이다.

: $\{0\} = J_0 \subset \cdots \subset J_n = M$

여기서 모든 포함 관계는 엄격하며, 각 ''k''에 대해 ''J''_''k''는 ''J''_''k''+1의 최대 부분 모듈이다. 이 경우, (단순) 몫 모듈 ''J''_''k''+1/''J''_''k''는 ''M''의 '''합성 인자'''로 알려져 있으며, 조르당-횔더 정리에 따라 각 단순 ''R''-가군의 동형 유형이 합성 인자로 나타나는 횟수는 합성열의 선택에 의존하지 않는다.

모듈이 유한 합성열을 갖는 것은 아르틴 가군이면서 뇌터 가군인 경우와 같다.^[2] ''R''이 아르틴 환이면, 모든 유한 생성 ''R''-가군은 아르틴 모듈이자 뇌터 모듈이므로 유한 합성열을 갖는다.

'''아벨 범주'''에서 대상의 '''조성열'''은 부분 대상의 열

: $X=X_n\supsetneq \dots \supsetneq X_0=0$

이며, (에 대해) 각 몫 대상 이 단순 대상인 것이다. 가 조성열을 가지면, 정수 은 에만 의존하며, 의 길이라고 불린다.^[1]

2. 1. 작용소군

모노이드 Ω 위의 작용소군

_\Omega G

의 '''부분정규열'''은 다음 두 조건을 만족시키는

G

의 부분 작용소군들의 열이다.

:

1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_n=G

모든 $G_i$ 는 $G_{i+1}$ 의 부분 작용소군이다.
모든 $G_i$ 는 $G_{i+1}$ 의 정규 부분군이다 ( $G_i\vartriangleleft G_{i+1}$ ).

부분정규열에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분정규열을 '''합성열'''이라고 한다.

몫 작용소군 $G_{i+1}/G_i$ 들은 단순 작용소군(=자명군과 스스로를 제외한 정규 부분 작용소군이 없는 비자명 작용소군)이다. 이 몫군들을 '''합성인자'''라고 부른다.
모든 $i$ 에 대하여, $G_i\ne G_{i+1}$ 이며, $G_i\vartriangleleft H\vartriangleleft G_{i+1}$ 인 부분 작용소군 $H\ne G_i,G_{i+1}$ 가 존재하지 않는다.
모든 $G_i$ 는 $G_{i+1}$ 의 극대 정규 부분 작용소군이다.

즉, 합성열은 더 큰 부분정규열의 일부가 아닌 부분정규열이다.

왼쪽 가군은 그 환의 작용을 갖춘 작용소군으로 여길 수 있다. 이 경우, 부분 작용소군·정규 부분 작용소군·부분 가군의 개념이 일치한다. 따라서, 환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

의 '''부분정규열'''은 단순히 부분 가군의 열

:

0=M_0\subset M_1\subset M_2\subset\cdots\subset M_n=M

이며, 모든 몫가군

M_{i+1}/M_i

가 단순 가군일 때 이 열은 '''합성열'''이다.

연산자 집합을 가진 군은 군 작용과 환 작용을 군으로 일반화한다. 군 ''G''는 집합 Ω의 원소(연산자)의 작용을 받는 것으로 간주된다. Ω의 원소의 작용에 대해 불변인 부분군, 즉 Ω-부분군에만 주의를 기울인다. 따라서 Ω-조성열은 Ω-부분군만 사용해야 하고, Ω-조성 인자는 Ω-단순이어야 한다.

복구된 특수한 경우로 Ω = ''G''여서 ''G''가 자기 자신에 작용하는 경우가 있다. 이의 중요한 예는 ''G''의 원소가 내부 자기 동형 사상에 의해 작용하여 연산자 집합이 내부 자기 동형 사상으로 구성되는 경우이다. 이러한 작용에 따른 조성열은 정확히 주요 열이다. 가군 구조는 Ω가 환이고 몇 가지 추가 공리를 만족하는 Ω-작용의 한 예이다.

작용역을 갖는 군은 군에 대한 군의 작용과 환의 작용을 일반화한다. 군

G

를 집합

\Omega

에서 원소(작용소)에 의해 작용한다고 생각한다. 주의할 점은

\Omega

의 원소의 작용으로 불변인 부분군(

\Omega

-부분군)으로만 제한된다는 것이다. 따라서

\Omega

-조성열은

\Omega

-부분군만 사용해야 하며,

\Omega

-조성인자는

\Omega

-단순하면 된다.

특별한 경우로

\Omega=G

이고

G

가 자기 자신에 작용하는 경우가 있다. 중요한 예는

G

의 원소가 켤레로 작용하고 작용소의 집합이 내부 자기 동형 사상으로 구성될 때이다. 이 작용 하에서의 조성열은 정확히 chief series^영어이다. 가군의 구조는

\Omega

가 환이고 몇 가지 추가적인 공리를 만족할 때의

\Omega

-작용의 경우이다.

2. 2. 군

군

G

에 대해, 다음과 같은 부분군의 열을 정의할 수 있다.

:

1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_n=G

이에 대해 다음을 정의한다.

'''부분정규열''': 모든 $G_i$ 가 $G_{i+1}$ 의 정규 부분군인 경우.
'''합성열''': 부분정규열이며, 몫군 $G_{i+1}/G_i$ 들이 단순군인 경우 (즉, $G_i\ne G_{i+1}$ 이며, $G_i$ 를 포함하는 $G_{i+1}$ 의 정규 부분군이 $G_i$ 와 $G_{i+1}$ 밖에 없는 경우).
'''정규열''': 모든 $G_i$ 가 $G$ 의 정규 부분군인 경우.
'''주합성열''': 정규열이며, 몫군 $G_{i+1}/G_i$ 들이 $G/G_i$ 의 극소 정규 부분군인 경우 (즉, $G_i\ne G_{i+1}$ 이며, $G_i$ 와 $G_{i+1}$ 사이에 $G$ 의 정규 부분군이 $G_i$ 와 $G_{i+1}$ 밖에 없는 경우).

아벨 군의 경우, 모든 부분군이 정규 부분군이므로, 부분정규열과 정규열, 합성열과 주합성열의 개념이 일치한다.

군 ''G''의 '''합성열'''은 유한한 길이를 갖는 준정규열이다.

:

1 = H_0\triangleleft H_1\triangleleft \cdots \triangleleft H_n = G,

여기서 엄격한 포함 관계를 가지며, 각 ''H''_''i''는 ''H''_''i''+1의 극대 고유 정규 부분군이다. 동등하게, 합성열은 각 잉여군 ''H''_''i''+1 / ''H''_''i''가 단순군인 준정규열이다. 이러한 잉여군은 '''합성 인자'''라고 불린다.

준정규열은 최대 길이를 가질 때, 다시 말해 합성열에 추가적인 부분군을 삽입할 수 없을 때 합성열이 된다. 이 열의 길이 ''n''은 '''합성 길이'''라고 한다.

군 ''G''에 대해 합성열이 존재한다면, ''G''의 모든 준정규열은 부분군을 최대가 될 때까지 열에 삽입함으로써 합성열로 세분화될 수 있다. 모든 유한군은 합성열을 가지지만, 모든 무한군이 합성열을 가지는 것은 아니다. 예를 들어,

\mathbb{Z}

는 합성열을 가지지 않는다.

군

G

의 조성열은 다음과 같이 정의된다. 군

G

가 서로 다른 부분군의 유한 열

:

G = G_n \supsetneq \cdots \supsetneq G_0 = 1

을 가지고, 각 첨자

1 \le i \le n

에 대해

G_{i-1}

는

G_i

의 정규 부분군이고 (

G_i \supsetneq G_{i-1}

), 잉여군

G_i/G_{i-1}

이 단순군일 때, 이 부분군의 유한 열

(G_i)_{0\le i\le n}

를 '''조성열'''이라고 부르고, 잉여군의 열

(G_{i-1}/G_i)_{1 \le i \le n}

를 '''잉여 인자군''' 또는 '''조성 인자'''라고 부른다. 또한, 부분군의 개수

n

을 조성열의 '''길이'''라고 한다.^[2]

위의 정의에서, 군

G

의 각 부분군

G_i

는

G

의 정규 부분군일 것 (

G \triangleright G_i

)이 요구되지 않는다. 이 요구를 만족하는 경우,

(G_i)_{0\le i\le n}

를 '''주 조성열'''이라고 한다.

군

G

가 유한 개의 단순군의 직적으로 분해 가능한 경우,

G

는 '''완전 가약군''' 또는 '''반단순군'''이라고 한다.

군

G

가 직적 분해 가능한지 여부에 관계없이, 조성열이 존재하면, 조성 인자는 순서와 동형의 차이를 제외하고는 유일하다. 즉,

:

G = H_s \triangleright \cdots \triangleright H_0 = 1

:

G = K_t \triangleright \cdots \triangleright K_0 = 1

를 각각

G

의 조성열로 하면,

s = t

이며, 잉여군

(H_{i-1}/H_i)_{1 \le i \le s}

과

(K_{j-1}/K_j)_{1 \le j \le t}

는 적당한

s

차의 치환

\sigma

에 의해

H_i/H_{i-1} \cong K_{\sigma(i)}/K_{\sigma(i)-1}

로 할 수 있다 ('''조르당-횔더 정리''').

군은 여러 개의 조성열을 가질 수 있다. 그러나 '''조르당-횔더 정리'''는 주어진 군의 임의의 조성열은 동치라고 주장한다. 즉, 조성열의 길이는 같고, 조성 인자도 순서와 동형의 차이를 제외하면 같다.

2. 3. 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

의 '''부분정규열'''은 부분 가군의 열

:

0=M_0\subset M_1\subset M_2\subset\cdots\subset M_n=M

이며, 모든 몫가군

M_{i+1}/M_i

가 단순 가군일 때 이 열은 '''합성열'''이다.^[2]

모듈에 대한 합성열의 정의는 부분 모듈에만 주목하며, 부분 모듈이 아닌 모든 가법 부분군은 무시한다. 링 ''R''과 ''R''-모듈 ''M''이 주어졌을 때, ''M''에 대한 합성열은 부분 모듈의 열이다.

:

\{0\} = J_0 \subset \cdots \subset J_n = M

여기서 모든 포함 관계는 엄격하며, 각 ''k''에 대해 ''J''_''k''는 ''J''_''k''+1의 최대 부분 모듈이다. 이 경우, (단순) 몫 모듈 ''J''_''k''+1/''J''_''k''는 ''M''의 '''합성 인자'''로 알려져 있으며, 조르당-횔더 정리에 따라 각 단순 ''R''-모듈의 동형 유형이 합성 인자로 나타나는 횟수는 합성열의 선택에 의존하지 않는다.

모듈이 유한 합성열을 갖는 것은 아르틴 모듈이면서 뇌터 모듈인 경우와 같다.^[2] ''R''이 아르틴 링이면, 모든 유한 생성 ''R''-모듈은 아르틴 모듈이자 뇌터 모듈이므로 유한 합성열을 갖는다.

3. 성질

군 $G$ 의 합성열은 유한한 길이를 갖는 준정규열

: $1 = H_0\triangleleft H_1\triangleleft \cdots \triangleleft H_n = G,$

이며, 여기서 엄격한 포함 관계를 가지며, 각 $H_i$ 는 $H_{i+1}$ 의 극대 고유 정규 부분군이다. 동등하게, 합성열은 각 잉여군 $H_{i+1} / H_i$ 가 단순군인 준정규열이다. 이러한 잉여군은 '''합성 인자'''라고 불린다.^[2]

준정규열은 최대 길이를 가질 때, 즉 합성열에 추가적인 부분군을 "삽입"할 수 없을 때 합성열이 된다. 이 열의 길이 $n$ 은 '''합성 길이'''라고 불린다.

군 $G$ 에 대해 합성열이 존재한다면, $G$ 의 모든 준정규열은 부분군을 최대가 될 때까지 열에 삽입함으로써 합성열로 세분화될 수 있다. 모든 유한군은 합성열을 가지지만, 모든 무한군이 합성열을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 정수 집합 $\mathbb{Z}$ 는 덧셈 연산에 대해 합성열을 가지지 않는다.^[2]

조르당-횔더 정리 (카미유 조르당 과 오토 횔더의 이름을 땀)에 따르면, 어떤 군이 하나 이상의 분해 연쇄를 가질 수 있지만, 주어진 군의 두 분해 연쇄는 서로 동치이다. 즉, 같은 분해 길이를 가지고, 순열과 동형 사상에 이르기까지 같은 분해 인자를 가진다. 이 정리는 슈라이어 보강 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 조르당-횔더 정리는 초한 ''상승'' 분해 연쇄에 대해서도 성립하지만, 초한 ''하강'' 분해 연쇄에 대해서는 성립하지 않는다.^[1]

3. 1. 존재

임의의 모노이드

\Omega

및

\Omega

-작용소군

_\Omega G

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

$G$ 는 합성열을 갖는다.
$G$ 의 부분정규 부분 작용소군의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족한다.
다음 두 조건이 성립한다.
* 임의의 $G$ 의 부분 작용소군의 열 $G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots$ 에 대하여, 만약 모든 $G_i$ 가 $G_{i+1}$ 의 정규 부분군이라면, $G_n=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots$ 인 $n\in\mathbb N$ 이 존재한다.
* 임의의 $G$ 의 부분 작용소군의 열 $G_0\vartriangleright G_1\vartriangleright\cdots$ 에 대하여, 만약 모든 $G_i$ 가 $G_{i-1}$ 의 정규 부분군이라면, $G_n=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots$ 인 $n\in\mathbb N$ 이 존재한다.

특히, 모든 유한군은 합성열을 갖는다. 무한군은 합성열을 갖지 않을 수 있다. 예컨대

\mathbb Z

는 합성열이 없다.

만약 군 ''G''가 정규 부분군 ''N''을 가지고 있다면, 잉여군 ''G''/''N''을 형성할 수 있으며, ''G''의 구조 연구의 몇 가지 측면은 "더 작은" 군인 ''G/N''과 ''N''을 연구함으로써 분해될 수 있다. 만약 ''G''가 ''G''와 자명군과는 다른 정규 부분군을 가지고 있지 않다면, ''G''는 단순군이다. 그렇지 않다면, 자연스럽게 ''G''가 단순한 "조각"으로 축소될 수 있는지, 그렇다면 이러한 방식으로 수행할 수 있는 고유한 특징이 있는지에 대한 질문이 제기된다.^[2]

보다 공식적으로, 군 ''G''의 '''합성열'''은 유한한 길이를 갖는 준정규열이다.

:

1 = H_0\triangleleft H_1\triangleleft \cdots \triangleleft H_n = G,

여기서 엄격한 포함 관계를 가지며, 각 ''H''_''i''는 ''H''_''i''+1의 극대 고유 정규 부분군이다. 동등하게, 합성열은 각 잉여군 ''H''_''i''+1 / ''H''_''i''가 단순군인 준정규열이다. 이러한 잉여군은 '''합성 인자'''라고 불린다.

준정규열은 그것이 최대 길이를 가질 때 합성열이다. 즉, 합성열에 "삽입"될 수 있는 추가적인 부분군은 없다. 이 열의 길이 ''n''은 '''합성 길이'''라고 불린다.

군 ''G''에 대해 합성열이 존재한다면, ''G''의 모든 준정규열은 부분군을 최대가 될 때까지 열에 삽입함으로써 합성열로 "세분화"될 수 있다. 모든 유한군은 합성열을 가지지만, 모든 무한군이 합성열을 가지는 것은 아니다. 예를 들어,

\mathbb{Z}

는 합성열을 가지지 않는다.^[2]

3. 2. 유일성

조르당-횔더 정리에 따르면, 임의의 작용소군의 두 합성열은 동형이다.^[2] 즉, 두 합성열의 길이는 같고, 각 합성열의 몫군은 순열과 동형에 이르기까지 같다. 이 정리는 슈라이어 정리를 사용하여 증명할 수 있다.^[2] 슈라이어 정리에 따르면 두 합성열은 동형인 세분을 갖는다. 그러나 합성열의 몫군은 모두 단순 작용소군이므로 더 이상의 세분을 갖지 않는다. 따라서 임의의 두 합성열은 동형이다.

4. 예시

순환군 C₁₂는 다음과 같은 세 가지 서로 다른 조성열을 갖는다.

C₁₂ ▷ C₆ ▷ C₂ ▷ 1
C₁₂ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ 1
C₁₂ ▷ C₆ ▷ C₃ ▷ 1

각 조성열에서 얻어지는 조성 인자는 순서대로 다음과 같다.

C₂, C₃, C₂
C₃, C₂, C₂
C₂, C₂, C₃

이는 조르당-횔더 정리에 따라 조성 인자가 순서와 동형의 차이를 제외하고 유일하다는 것을 보여주는 예시이다.^[2]

5. 일반화

작용역을 갖는 군은 군에 대한 군의 작용과 환의 작용을 일반화한다. 군과 가군 모두에 대해 통일적으로 접근할 수 있으며, 설명의 일부가 간단해진다. 군 ''G''를 집합 Ω에서 원소(작용소)에 의해 작용한다고 생각한다. 주의할 점은 Ω의 원소의 작용으로 불변인 부분군(Ω-부분군이라고 불림)으로만 제한된다는 것이다. 따라서 Ω-조성열은 Ω-부분군만 사용해야 하며, Ω-조성인자는 Ω-단순하면 된다. 조르당-횔더 정리와 같은 표준적인 결과는 거의 동일한 증명으로 증명된다.^[1]

특별한 경우로 Ω = ''G''이고 ''G''가 자기 자신에 작용하는 경우가 있다. 중요한 예는 ''G''의 원소가 켤레로 작용하고 작용소의 집합이 내부 자기 동형 사상으로 구성될 때이다. 이 작용 하에서의 조성열은 정확히 주요 열이다. 가군의 구조는 Ω가 환이고 몇 가지 추가적인 공리를 만족할 때의 Ω-작용의 경우이다.^[1]

아벨 범주에서 대상 ''X''의 '''조성열'''은 부분 대상의 열

: $X=X_n\supsetneq \dots \supsetneq X_0=0$

이며, 각 몫 대상 이 단순 대상인 것이다. (에 대해) ''X''가 조성열을 가지면, 정수 ''n''은 ''X''에만 의존하며, ''X''의 길이라고 불린다.^[3]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적 群論岩波書店
_[3] 서적

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