부분군

3. 성질

• 부분군의 항등원은 전체 군의 항등원과 같다.
• 부분군 내 원소의 역원은 전체 군 내 원소의 역원과 같다.
• 부분군 와 의 교집합은 다시 부분군이 된다.^[3] 예를 들어, 덧셈 아래에서 ℝ²의 x축과 y축의 교집합은 원점만을 원소로 하는 자명한 부분군이다.
• 부분군 와 의 합집합은 또는 인 경우에만 부분군이다.^[3] 예를 들어, $2\backslash mathbb\; Z$와 $3\backslash mathbb\; Z$는 $(\backslash mathbb\; Z,+)$의 부분군이지만, 이들의 합집합은 부분군이 아니다.
• 가 의 부분집합이면, 를 포함하는 가장 작은 부분군이 존재하는데, 이는 를 포함하는 모든 부분군의 교집합이며, 로 표기하고, 에 의해 생성된 부분군이라고 한다.
• 군 의 모든 원소 는 순환 부분군 를 생성한다. 만약 가 어떤 양의 정수 에 대해 (정수)과 동형이면, 은 를 만족하는 가장 작은 양의 정수이며, 을 의 위수 order^영어라고 한다.
• 주어진 군의 부분군들은 포함 관계 아래에서 완비 격자를 형성하며, 이를 부분군 격자라고 한다.^[3] 이 격자에서 하한은 교집합이며, 상한은 부분군들의 합집합을 포함하는 최소의 부분군이다.

3. 1. 필요충분조건

• $H\; \backslash le\; G$
• $H\; \backslash ne\; \backslash varnothing$이며, 임의의 $a,\; b\; \backslash in\; H$에 대하여 $ab\; \backslash in\; H$이고, 임의의 $a\; \backslash in\; H$에 대하여 $a^\{-1\}\; \backslash in\; H$이다.
• $H\; \backslash ne\; \backslash varnothing$이며, 임의의 $a,\; b\; \backslash in\; H$에 대하여 $ab^\{-1\}\; \backslash in\; H$이다.

• $H\; \backslash le\; G$
• $H\; \backslash ne\; \backslash varnothing$이며, 임의의 $a,\; b\; \backslash in\; H$에 대하여 $ab\; \backslash in\; H$이다.

• $H$는 공집합이 아니고 곱셈과 역에 대해 닫혀있어야 한다.
• ''곱셈에 대해 닫혀있다''는 것은 $H$의 모든 $a$와 $b$에 대해 곱 $ab$가 $H$에 있다는 것을 의미한다.
• ''역에 대해 닫혀있다''는 것은 $H$의 모든 $a$에 대해 역 $a^\{-1\}$이 $H$에 있다는 것을 의미한다.

• $H$가 ''유한''인 경우, $H$는 공집합이 아니고 곱셈에 대해 닫혀 있으면 부분군이다.

3. 2. 합집합과 교집합

3. 3. 부분군 격자

3. 4. 잉여류와 라그랑주 정리

3. 5. 정규 부분군과 몫군

4. 예

• 짝수 정수 집합은 정수의 덧셈군의 부분군이다. 두 짝수를 더하면 짝수가 되기 때문이다.^[3]
• 환의 이데알은 덧셈군의 부분군이다.
• 벡터 공간의 선형 부분 공간은 벡터 덧셈군의 부분군이다.
• 아벨 군에서 유한 위수를 갖는 원소들의 집합은 꼬임 부분군을 형성한다.
• 원소가 {0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7}이고, 군 연산이 모듈로 8 덧셈인 순환군 Z|Z^영어의 케일리 표는 다음과 같다.

이 군은 ''J'' = {0, 4}와 ''H'' = {0, 4, 2, 6} 두 개의 비자명 부분군을 가지며, ''J''는 ''H''의 부분군이다.

4. 1. 순환군

이 군은 두 개의 비자명 부분군을 가진다: ''J'' = {0, 4} 그리고 ''H'' = {0, 4, 2, 6} 이며, ''J''는 ''H''의 부분군이기도 하다. ''H''에 대한 케일리 표는 ''G''의 케일리 표의 왼쪽 위 사분면이고, ''J''에 대한 케일리 표는 ''H''의 케일리 표의 왼쪽 위 사분면이다. 군 ''G''는 순환군이며, 부분군 또한 순환군이다. 일반적으로 순환군의 부분군은 순환군이다.^[3]

4. 2. 정이면체군

$n$차 정이면체군 $\backslash operatorname\{Dih\}(n)=\backslash langle\; r,s|r^n=s^2=(rs)^2=1\backslash rangle$의 부분군들은 $\backslash \{d\backslash colon\; d\backslash mid\; n\backslash \}\backslash cup\backslash \{(d,i)\backslash colon\; d\backslash mid\; n,\backslash ;0\backslash le\; i\backslash le\; d-1\backslash \}$의 원소들과 일대일 대응한다. 구체적으로, $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash langle\; r^d\backslash rangle\backslash cong\backslash operatorname\{Cyc\}(n/d)$는 $n/d$차 순환 부분군이다. 마찬가지로, $d\backslash mid\; n$ 및 $0\backslash le\; i\backslash le\; d-1$에 대하여, $\backslash langle\; r^d,sr^i\backslash rangle\backslash cong\backslash operatorname\{Dih\}(n/d)$는 부분군이며, $n/d$차 정이면체군과 동형이다. 또한, 이 목록은 겹치지 않는다.

$n$이 홀수인 경우, $\backslash operatorname\{Dih\}\_n$의 부분군들의 켤레류 목록은 다음과 같다.

• $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash \{\backslash langle\; r^d\backslash rangle\backslash \}$
• $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash \{\backslash langle\; r^d,r^is\backslash rangle\backslash colon0\backslash le\; i\backslash le\; d-1\backslash \}$

$n$이 짝수인 경우, 다음과 같다.

• $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash \{\backslash langle\; r^d\backslash rangle\backslash \}$
• 홀수 $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash \{\backslash langle\; r^d,r^is\backslash rangle\backslash colon0\backslash le\; i\backslash le\; d-1\backslash \}$
• 짝수 $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash \{\backslash langle\; r^d,r^is\backslash rangle\backslash colon0\backslash le\; i\backslash le\; d-1,\backslash ;i\backslash equiv0\backslash pmod2\backslash \}$
• 짝수 $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash \{\backslash langle\; r^d,r^is\backslash rangle\backslash colon0\backslash le\; i\backslash le\; d-1,\backslash ;i\backslash equiv1\backslash pmod2\backslash \}$

특히, $\backslash operatorname\{Dih\}\_n$의 정규 부분군 목록은 다음과 같다. $n$이 홀수인 경우,

• $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash langle\; r^d\backslash rangle$
• $\backslash operatorname\{Dih\}\_n$

$n$이 짝수인 경우,

• $d\backslash mid\; n$에 대하여, $\backslash langle\; r^d\backslash rangle$
• $\backslash langle\; r^2,s\backslash rangle$
• $\backslash langle\; r^2,rs\backslash rangle$
• $\backslash operatorname\{Dih\}\_n$

4. 3. 대칭군

S₄^영어 (4차 대칭군)의 부분군은 총 30개이며, 11개의 켤레류를 갖는다. S₄^영어의 부분군 격자를 나타내는 하세 도형은 다음과 같다.

S₄^영어는 4개의 원소의 순열에 해당하는 원소를 가진 대칭군이다.

각 순열 p는 차수 2를 가지며, 부분군 {1, ''p''}을 생성한다. 이들은 2-사이클만을 가지는 순열이다.

• 6개의 전치가 있으며, 하나의 2-사이클을 갖는다. (녹색 배경)
• 두 개의 2-사이클을 갖는 3개의 순열이 있다. (흰색 배경, 굵은 숫자)

4. 4. 기타 예시

• 짝수 정수 집합은 정수 덧셈군의 부분군이다. 두 짝수를 더하면 짝수가 되기 때문이다.^[3]
• 환의 아이디얼은 덧셈군의 부분군이다.
• 벡터 공간의 선형 부분 공간은 벡터 덧셈군의 부분군이다.
• 아벨 군에서 유한 위수를 갖는 원소들의 집합은 꼬임 부분군을 형성한다.

참조

_[1] Youtube didactic proof in this video https://www.youtube.[...]
_[2] 서적 A Course in the Theory of Groups
_[3] 서적 Jacobson 2009
_[4] 서적