맨위로가기

천구좌표계

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

천구좌표계는 천문학에서 천체의 위치를 나타내기 위해 사용되는 좌표계이다. 지평좌표계, 적도좌표계, 황도좌표계, 은하좌표계, 초은하좌표계 등 여러 종류가 있으며, 각 좌표계는 기본 평면, 극, 기준 방향, 좌표 등을 기준으로 한다. 천문학에서는 필요에 따라 한 좌표계에서 다른 좌표계로 좌표 변환을 수행하며, 이를 위한 다양한 변환 공식이 존재한다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 구면천문학 - 동지점
    동지는 태양 황경이 270°인 시점으로 북반구에서 낮이 가장 짧고, 여러 문화권에서 축제와 풍습이 행해지며, 한국에서는 팥죽을 먹는 풍습이 있는 천문학적으로 중요한 날이다.
  • 구면천문학 - 추분점
    추분점은 천문학에서 태양이 적도에 위치하고 황경이 180°가 되는 지점을 의미하며, 지구 궤도 섭동을 고려하여 태양의 황경이 180°일 때를 추분점으로 정의하고 현재는 처녀자리에 위치한다.
  • 천구좌표계 - 천정
    천정은 관측자의 머리 바로 위 천구상의 점으로, 천정각 측정의 기준 방향으로 사용되며, 태양의 위치, 기블라 관측, 천정 망원경, 천체항해, 그리고 지심 천정과 측지 천정의 구분에 활용된다.
  • 천구좌표계 - 황도
    황도는 지구가 태양을 공전함에 따라 지구에서 보이는 태양의 연중 겉보기 운동 경로로, 천구 적도에 대해 약 23.4° 기울어져 천문학과 점성술에서 기준면으로 사용되며, 춘분점, 추분점 결정과 일식, 월식 이해에 중요한 역할을 한다.
  • 글로벌세계대백과를 인용한 문서/{{{분류 - 공 (악기)
    공은 금속으로 제작된 타악기로, 다양한 문화권에서 의식, 신호, 음악 연주 등에 사용되며, 형태와 용도에 따라 여러 종류로 나뉜다.
  • 글로벌세계대백과를 인용한 문서/{{{분류 - 국무회의
    국무회의는 대한민국 대통령을 의장으로, 예산, 법률안, 외교, 군사 등 국정 현안을 심의하는 중요한 기관이며, 대통령, 국무총리, 국무위원으로 구성되고, 정례회의는 매주 1회, 임시회의는 필요에 따라 소집된다.
천구좌표계
개요
천체의 좌표계 방향
별의 은하, 황도, 적도 좌표는 천구에 투영됩니다. 황도 좌표와 적도 좌표는 3월 춘분점을 주요 방향으로 공유하며, 은하 좌표는 은하 중심을 기준으로 합니다. 좌표의 원점("구의 중심")은 모호합니다. 자세한 내용은 천구를 참조하십시오.
설명
유형천구상의 위치를 지정하는 시스템

2. 좌표계 종류

천문학계에서 사용하는 좌표계는 다음과 같다.[10] 좌표계는 기본평면으로 천구를 둘로 나누며, 기본평면은 위도 계산의 기준이 된다. 이는 지구 표면의 적도와 같다. 극은 기본평면에서 ±90° 지점에 있다. 기준 방향은 경도 계산의 기준점이다. 좌표의 원점은 천구의 중심이지만, 천구는 중심 정의가 명확하지 않다.

좌표계[10]중심
(원점)		기본평면
(위도 0°)		극좌표기준 방향
(경도 0°)
위도경도
지평좌표계관측자지평선천정, 천저고도 ()방위각 ()지평선에서의 북쪽 또는 남쪽 지점
적도좌표계지구의 중심 또는 태양의 중심천구적도천구의 극적위 ()적경 ()
(시각 ())		춘분점
황도좌표계황도황도의 극황위/황도 위도영어 ()황경/황도 경도영어 ()
은하좌표계태양의 중심은하면은하의 극은위/은하 위도영어 ()은경/은하 경도영어 ()은하중심
초은하좌표계초은하면초은하 극초은위/초은하 위도영어 ()초은경/초은하 경도영어 ()초은하면과 은하면의 교차점


2. 1. 지평좌표계

지평좌표계(고도-방위각 좌표계)는 지구의 관측자를 중심으로 하며, 관측자가 있는 지점의 이론상의 수평선과 별 사이의 관계를 나타낸다. 지구는 항성일 (23시간 56분 4.091초)마다 한 번씩 자전하며, 이로 인해 별의 배경에 대한 상대적인 위치가 변한다. 지평좌표계를 이용한 천체의 위치는 시간에 따라 변하지만, 지구상의 관측자가 천체를 찾고 추적하는 데 유용한 좌표계이다. 이는 관측자의 이상적인 지평선에 대한 별의 위치를 기준으로 한다. 한국에서는 전통적으로 지평좌표계를 사용하여 천체를 관측해 왔다.

2. 2. 적도좌표계

적도좌표계는 지구의 중심이 기준이 되지만, 천구의 극과 춘분점을 기준으로 조정된 좌표계로, 좌표는 별들을 무한한 거리 바깥으로 투영했을 때의 별의 위치와 지구의 적도의 위치의 상대적이 차이로 결정된다. 적도좌표계는 태양계에서 보이는 별의 모습을 보여주며, 현대 사용되는 성도 대부분은 적도좌표계를 사용하고 있다.

적도 좌표계는 대부분의 전문 천문학자와 야간 동안 하늘의 움직임을 따라가는 적도 좌표대(equatorial mount)를 가진 많은 아마추어 천문학자들에게 일반적인 좌표계이다. 관측할 대상을 선택하면, 망원경 또는 다른 기기의 눈금을 조정하여 선택한 대상의 적도 좌표와 일치시켜 천체를 찾는다.

극과 적도의 일반적인 선택으로는 구식인 B1950과 현대적인 J2000 시스템이 있지만, "현재 날짜"의 극과 적도도 사용할 수 있다. 이는 행성 또는 우주선의 위치를 측정할 때와 같이 고려 중인 날짜에 적합한 것을 의미한다. 또한 칭동을 평균하거나 무시하는 "평균 날짜" 좌표와 칭동을 포함하는 "실제 날짜" 좌표로 세분된다.

2. 3. 황도좌표계

황도면을 기본 평면으로 사용하는 천구좌표계이다. 황도좌표계는 지구 중심의 지심 황도좌표계와 태양계 질량 중심을 기준으로 하는 일심 황도좌표계로 나뉜다.[11][3]

지심 황도좌표계는 고대부터 사용되었으며, 태양, 달, 행성들의 겉보기 운동을 계산하는 데 유용하다.[3] 황도대의 열두 별자리를 정의하는 데 사용되었다.

일심 황도좌표계는 태양계의 질량 중심을 중심으로 하며, 태양을 공전하는 행성들의 궤도 운동을 나타내고 궤도 요소 계산에 주로 사용된다.

2. 4. 은하좌표계

은하좌표계는 우리은하의 은하면을 기준면으로 사용하는 좌표계이다. 좌표계의 중심은 태양계이며, 기준 방향은 은하중심이다. 은하 위도(은위)는 은하면으로부터 떨어진 거리를, 은하 경도(은경)는 은하 중심에서 떨어진 거리를 뜻한다. 우리은하 내 천체의 분포와 운동을 연구하는 데 사용된다.

2. 5. 초은하좌표계

초은하좌표계는 지구에서 보이는 은하의 평균 수보다 은하가 더 많이 포함된 기준면을 설정하여 좌표를 정의한다. 국부 은하군의 분포를 기준으로 초은경과 초은위를 측정하며, 더 넓은 우주 공간에서의 천체 분포를 연구하는 데 사용된다.

3. 좌표 변환

천문학에서는 필요에 따라 한 좌표계에서 다른 좌표계로 좌표 변환을 수행한다.[12]

방위각은 ''A'', 고도는 ''a''로 나타낸다. 적경은 ''α'', 적위는 ''δ'', 시간각은 ''h''로 나타낸다. 황경은 ''λ'', 황위는 ''β''로 나타낸다. 은경은 ''l'', 은위는 ''b''로 나타낸다. 관측자의 경도는 ''λ''o, 관측자의 위도는 ''ϕ''o로 나타낸다. 황도 경사는 ''ε''이며, 약 23.4°이다. 지방 항성시는 ''θ''L, 그리니치 항성시는 ''θ''G로 나타낸다.

시간각(''h'')과 적경 (''α'') 사이에는 다음 관계가 성립한다.

:''h'' = ''θ''L - ''α'' 또는 ''h'' = ''θ''G + ''λ''o - ''α''

:''α'' = ''θ''L - ''h'' 또는 ''α'' = ''θ''G + ''λ''o - ''h''

여기서 ''θ''L는 지방 항성시, ''θ''G는 그리니치 항성시, ''λ''o는 관측자의 경도이다.

구면삼각법에서 유도된 원초적인 공식은 중괄호 오른쪽에 표시되어 있으며, 첫 식을 둘째 식으로 나누면 왼쪽의 단순한 탄젠트에 대한 식이 된다.[13] 회전 행렬 등가는 식 아래에 주어져 있다.[14] 이 식은 모호한 점이 있는데, 탄젠트의 주기는 180°이지만 사인과 코사인의 주기는 360°이기 때문이다.

:\begin{align}

\tan\left(\lambda\right) &= {\sin\left(\alpha\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \tan\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \over \cos\left(\alpha\right)}; \qquad\begin{cases}

\cos\left(\beta\right) \sin\left(\lambda\right) = \cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \sin\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right); \\

\cos\left(\beta\right) \cos\left(\lambda\right) = \cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right).

\end{cases} \\

\sin\left(\beta\right) &= \sin\left(\delta\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \cos\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \sin\left(\alpha\right)

\end{align}

:\begin{bmatrix}

\cos\left(\beta\right)\cos\left(\lambda\right) \\

\cos\left(\beta\right)\sin\left(\lambda\right) \\

\sin\left(\beta\right)

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos\left(\varepsilon\right) & \sin\left(\varepsilon\right) \\

0 & -\sin\left(\varepsilon\right) & \cos\left(\varepsilon\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix}

:\begin{align}

\tan\left(\alpha\right) &= {\sin\left(\lambda\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \tan\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \over \cos\left(\lambda\right)} ; \qquad \begin{cases}

\cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) = \cos\left(\beta\right) \sin\left(\lambda\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \sin\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right); \\

\cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right) = \cos\left(\beta\right) \cos\left(\lambda\right).

\end{cases} \\

\sin\left(\delta\right) &= \sin\left(\beta\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \cos\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \sin\left(\lambda\right).

\end{align}

:\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos\left(\varepsilon\right) & -\sin\left(\varepsilon\right) \\

0 & \sin\left(\varepsilon\right) & \cos\left(\varepsilon\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\beta\right)\cos\left(\lambda\right) \\

\cos\left(\beta\right)\sin\left(\lambda\right) \\

\sin\left(\beta\right)

\end{bmatrix}.

적도좌표계와 지평좌표계 사이의 변환 공식은 다음과 같다.[15][17][7]

방위각(''A'')은 남쪽을 기준으로 측정하며, 서쪽으로 갈수록 양의 값을 갖는다.[7] 천정으로부터 대원을 따라 천체까지 잰 각도를 뜻하는 천정거리는 고도의 여각으로, 90° − a이다.[16][8]

:\begin{align}

\tan\left(A\right) &= {\sin\left(h\right) \over \cos\left(h\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) - \tan\left(\delta\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)}; \qquad \begin{cases}

\cos\left(a\right) \sin\left(A\right) = \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right) ;\\

\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) = \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) - \sin\left(\delta\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)

\end{cases} \\[3pt]

\sin\left(a\right) &= \sin\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(\delta\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right);

\end{align}

''A''에 대해 \tan(A)을 풀 때 아크탄젠트의 모호성을 피하기 위해서 두 변수 아크탄젠트인 \arctan(x, y)를 사용하는 것이 권장된다. \arctan(x, y) = 로, 계산되는 사분면을 묘사한다. 따라서 방위각을 남쪽부터 시작해 서쪽으로 잰다고 한다면, 다음과 같다.

:''A'' = -arctan(''x'',''y'')

여기서,

:\begin{align}

x &= -\sin\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(\delta\right) \\

y &= \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right)

\end{align}

만약 위 식에서 A가 음수라면, 360°를 더해 양수로 만들 수 있다.

:\begin{align}

\begin{bmatrix}

\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\

\cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\

\sin\left(a\right)

\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}

\sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & -\cos\left(\phi_\text{o}\right) \\

0 & 1 & 0 \\

\cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(h\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(h\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} \\

&= \begin{bmatrix}

\sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & -\cos\left(\phi_\text{o}\right) \\

0 & 1 & 0 \\

\cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\theta_L\right) & \sin\left(\theta_L\right) & 0 \\

\sin\left(\theta_L\right) & -\cos\left(\theta_L\right) & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix}

\end{align}

:\begin{align}

\tan\left(h\right) &= {\sin\left(A\right) \over \cos\left(A\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) + \tan\left(a\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)}; \qquad \begin{cases}

\cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right) = \cos\left(a\right) \sin\left(A\right); \\

\cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) = \sin\left(a\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right) + \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{cases} \\[3pt]

\sin\left(\delta\right) &= \sin\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(a\right) - \cos\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(a\right) \cos\left(A\right);

\end{align}

''h''에 대해 \tan(h)을 풀 때도 마찬가지로, atan2를 사용하기를 권장한다. 따라서 방위각을 남쪽부터 시작해 서쪽으로 잰다고 한다면, 다음과 같다.

: ''h'' = arctan(''x'', ''y'')

여기서,

:\begin{align}

x &= \sin\left(\phi_\text{o}\right)\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right)\sin\left(a\right) \\

y &= \cos\left(a\right)\sin\left(A\right)

\end{align}

:\begin{align}

\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(h\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(h\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}

\sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \cos\left(\phi_\text{o}\right) \\

0 & 1 & 0 \\


  • \cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\

\cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\

\sin\left(a\right)

\end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right) \\

\cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}

\cos\left(\theta_L\right) & \sin\left(\theta_L\right) & 0 \\

\sin\left(\theta_L\right) & -\cos\left(\theta_L\right) & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \cos\left(\phi_\text{o}\right) \\

0 & 1 & 0 \\

  • \cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\

\cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\

\sin\left(a\right)

\end{bmatrix}.

\end{align}

적위를 \delta, 시각을 H, 관측자의 위도를 \phi, 고도를 h, 방위각을 A라고 할 때, 변환식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\sin h = \sin \phi \cdot \sin \delta + \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H

\cos A = \frac{\cos \phi \cdot \sin \delta - \sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H}{\cos h}

이 식으로부터 A, h를 구하려면 역삼각함수를 사용하면 된다.

밑의 공식들은 적도좌표계 좌표를 은하좌표계 좌표로 바꾸거나, 그 반대로 바꾸기 위한 공식이다.[18][9]

  • 은하좌표계를 적도좌표계로 변환

:\begin{align}

\sin\left(l - l_\text{NCP}\right)\cos(b) &= \sin\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(\delta\right)\sin\left(\delta_\text{G}\right)\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\

\cos\left(l - l_\text{NCP}\right)\cos(b) &= \cos(\delta)\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\

\sin\left(b\right) &= \sin\left(\delta\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)

\end{align}

  • 적도좌표계를 은하좌표계로 변환

:\begin{align}

\cos\left(l_\text{NCP} - l\right)\cos(b) &= \sin\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(\delta\right)\sin\left(\delta_\text{G}\right)\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\

\sin\left(l_\text{NCP} - l\right)\cos(b) &= \cos(\delta)\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\

\sin\left(b\right) &= \sin\left(\delta\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)

\end{align}

\alpha_\text{G}, \delta_\text{G}는 은하 북극점의 적도좌표계 좌표이며, l_\text{NCP}는 천구의 북극의 은하 경도이다. J2000 역기점에 따르면, 각 상수의 수치는 다음과 같다.

:\alpha_G = 192^\circ.85948 \qquad \delta_G = 27^\circ.12825 \qquad l_\text{NCP}=32^\circ.93192

J2000을 기준으로 은하좌표계를 적도좌표계로 변환하는 공식에서 사용되는 값은 다음과 같다.

:\alpha_G = 192.85948^\circ \qquad \delta_G = 27.12825^\circ \qquad l_\text{NCP}=122.93192^\circ

만약 적도좌표계가 다른 분점을 나타낸다면, 공식을 적용하기 전 J2000 당시의 위치로 세차운동을 감안하여 위치를 이동시켜야 한다.

B2000.0 역기점을 기준으로 한 공식은 다음과 같다.

  • 은하좌표계를 적도좌표계로 변환

:\begin{align}

\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \cos\left(b\right) \cos\left(l - l_\text{NCP}\right) \\

\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right)\sin\left(l - l_\text{NCP}\right) \\

\sin\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \sin\left(l - l_\text{NCP}\right)

\end{align}

  • 적도좌표계를 은하좌표계로 변환

:\begin{align}

\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \cos\left(b\right) \sin\left(l_\text{NCP} - l\right) \\

\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right)\cos\left(l_\text{NCP} - l\right) \\

\sin\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \cos\left(l_\text{NCP} - l\right)

\end{align}

좌표 변환 시에는 다음과 같은 사항들을 참고해야 한다.

  • 도(°), 분(′), 초(″) 형식의 육십진법 각도는 계산 전 십진법 각도나 라디안으로 변환해야 한다. 음수 각도의 경우, -10° 20′ 30″는 -10° -20′ -30″로 간주하고 변환해야 한다.
  • 시(h), 분(m), 초(s) 형식의 시간각은 계산 전 십진법 각도나 라디안으로 변환해야 한다. 1h = 15°, 1m = 15′, 1s = 15″이다.
  • 360°(2π)를 초과하거나 0° 미만인 각은 0°~360°(0~2π) 범위로 변환 후 계산하는 것이 편리하다.
  • 위도(적위, 은위, 초은위)의 코사인 값은 위도가 −90°~ +90° 사이이므로 항상 양수이다.
  • 역삼각함수 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트는 사분면을 여러 개로 해석할 수 있으므로, 결과를 신중히 평가해야 한다. 경도, 적경, 방위각을 계산할 때는 atan2(y, x) (또는 atan2(y, x) 형식) 함수를 사용하여 y/x의 아크탄젠트 값을 계산하는 것이 권장된다. 위도, 적위, 고도를 계산할 때는 아크사인이 뒤따르는 사인 함수를 찾는 방정식이 권장된다.
  • 방위각(A)은 보통 지평선의 남쪽을 기준으로 측정하며, 남쪽 자오선 위의 천체는 A = h = 0°가 된다. 하지만 방위각을 북쪽부터 동쪽으로 재는 경우도 많다. 한국에서는 방위각을 북쪽에서 동쪽으로 측정한다.
  • 고도(a)는 대기 굴절을 고려하지 않은 값이다.
  • 지평좌표계 공식에서는 일주시차를 고려하지 않는다. 일주시차는 달에서 가장 크고, 행성은 이보다 작으며, 항성은 거의 없다.
  • 관측자의 경도(λo)는 본초자오선으로부터 서쪽으로 재는 것이 일반적이나, 국제천문연맹(IAU)의 현재 표준과는 반대이다.

3. 1. 기호

방위각은 ''A'', 고도는 ''a''로 나타낸다. 적경은 ''α'', 적위는 ''δ'', 시간각은 ''h''로 나타낸다. 황경은 ''λ'', 황위는 ''β''로 나타낸다. 은경은 ''l'', 은위는 ''b''로 나타낸다. 관측자의 경도는 ''λ''o, 관측자의 위도는 ''ϕ''o로 나타낸다. 황도 경사는 ''ε''이며, 약 23.4°이다. 지방 항성시는 ''θ''L, 그리니치 항성시는 ''θ''G로 나타낸다.

3. 2. 시간각 ↔ 적경

시간각(h)과 적경 (\alpha) 사이에는 다음 관계가 성립한다.

:\begin{align}

h &= \theta_\text{L} - \alpha & &\mbox{또는} & h &= \theta_\text{G} + \lambda_\text{o} - \alpha \\

\alpha &= \theta_\text{L} - h & &\mbox{또는} & \alpha &= \theta_\text{G} + \lambda_\text{o} - h

\end{align}

여기서 \theta_\text{L}는 지방 항성시, \theta_\text{G}는 그리니치 항성시, \lambda_\text{o}는 관측자의 경도이다.

3. 3. 적도 ↔ 황도

구면삼각법에서 유도된 원초적인 공식은 중괄호 오른쪽에 표시되어 있으며, 첫 식을 둘째 식으로 나누면 왼쪽의 단순한 탄젠트에 대한 식이 된다.[13] 회전 행렬 등가는 식 아래에 주어져 있다.[14] 이 식은 모호한 점이 있는데, 탄젠트의 주기는 180°이지만 사인과 코사인의 주기는 360°이기 때문이다.

:\begin{align}

\tan\left(\lambda\right) &= {\sin\left(\alpha\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \tan\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \over \cos\left(\alpha\right)}; \qquad\begin{cases}

\cos\left(\beta\right) \sin\left(\lambda\right) = \cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \sin\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right); \\

\cos\left(\beta\right) \cos\left(\lambda\right) = \cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right).

\end{cases} \\

\sin\left(\beta\right) &= \sin\left(\delta\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \cos\left(\delta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \sin\left(\alpha\right) \\[3pt]

\begin{bmatrix}

\cos\left(\beta\right)\cos\left(\lambda\right) \\

\cos\left(\beta\right)\sin\left(\lambda\right) \\

\sin\left(\beta\right)

\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos\left(\varepsilon\right) & \sin\left(\varepsilon\right) \\

0 & -\sin\left(\varepsilon\right) & \cos\left(\varepsilon\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} \\[6pt]

\tan\left(\alpha\right) &= {\sin\left(\lambda\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \tan\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \over \cos\left(\lambda\right)} ; \qquad \begin{cases}

\cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) = \cos\left(\beta\right) \sin\left(\lambda\right) \cos\left(\varepsilon\right) - \sin\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right); \\

\cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right) = \cos\left(\beta\right) \cos\left(\lambda\right).

\end{cases} \\[3pt]

\sin\left(\delta\right) &= \sin\left(\beta\right) \cos\left(\varepsilon\right) + \cos\left(\beta\right) \sin\left(\varepsilon\right) \sin\left(\lambda\right). \\[6pt]

\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos\left(\varepsilon\right) & -\sin\left(\varepsilon\right) \\

0 & \sin\left(\varepsilon\right) & \cos\left(\varepsilon\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\beta\right)\cos\left(\lambda\right) \\

\cos\left(\beta\right)\sin\left(\lambda\right) \\

\sin\left(\beta\right)

\end{bmatrix}.

\end{align}

3. 4. 적도 ↔ 지평

적도좌표계와 지평좌표계 사이의 변환 공식은 다음과 같다.[15][17][7]

방위각(A)은 남쪽을 기준으로 측정하며, 서쪽으로 갈수록 양의 값을 갖는다.[7] 천정으로부터 대원을 따라 천체까지 잰 각도를 뜻하는 천정거리는 고도의 여각으로, 90° − a이다.[16][8]

:\begin{align}

\tan\left(A\right) &= {\sin\left(h\right) \over \cos\left(h\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) - \tan\left(\delta\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)}; \qquad \begin{cases}

\cos\left(a\right) \sin\left(A\right) = \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right) ;\\

\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) = \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) - \sin\left(\delta\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)

\end{cases} \\[3pt]

\sin\left(a\right) &= \sin\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(\delta\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right);

\end{align}

A에 대해 \tan(A)을 풀 때 아크탄젠트의 모호성을 피하기 위해서 두 변수 아크탄젠트인 \arctan(x, y)를 사용하는 것이 권장된다. \arctan(x, y) = 로, 계산되는 사분면을 묘사한다. 따라서 방위각을 남쪽부터 시작해 서쪽으로 잰다고 한다면, 다음과 같다.

:A = -\arctan(x,y),

여기서,

:\begin{align}

x &= -\sin\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(\delta\right) \\

y &= \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right)

\end{align}

만약 위 식에서 A가 음수라면, 360°를 더해 양수로 만들 수 있다.

:\begin{align}

\begin{bmatrix}

\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\

\cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\

\sin\left(a\right)

\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}

\sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & -\cos\left(\phi_\text{o}\right) \\

0 & 1 & 0 \\

\cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(h\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(h\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} \\

&= \begin{bmatrix}

\sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & -\cos\left(\phi_\text{o}\right) \\

0 & 1 & 0 \\

\cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\theta_L\right) & \sin\left(\theta_L\right) & 0 \\

\sin\left(\theta_L\right) & -\cos\left(\theta_L\right) & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix}; \\[6pt]

\tan\left(h\right) &= {\sin\left(A\right) \over \cos\left(A\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) + \tan\left(a\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)}; \qquad \begin{cases}

\cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right) = \cos\left(a\right) \sin\left(A\right); \\

\cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) = \sin\left(a\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right) + \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{cases} \\[3pt]

\sin\left(\delta\right) &= \sin\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(a\right) - \cos\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(a\right) \cos\left(A\right);

\end{align}

h에 대해 \tan(h)을 풀 때도 마찬가지로, atan2를 사용하기를 권장한다. 따라서 방위각을 남쪽부터 시작해 서쪽으로 잰다고 한다면, 다음과 같다.

: h = \arctan(x, y),

여기서,

:\begin{align}

x &= \sin\left(\phi_\text{o}\right)\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right)\sin\left(a\right) \\

y &= \cos\left(a\right)\sin\left(A\right) \\[3pt]

\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right)\cos\left(h\right) \\

\cos\left(\delta\right)\sin\left(h\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}

\sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \cos\left(\phi_\text{o}\right) \\

0 & 1 & 0 \\

  • \cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\

\cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\

\sin\left(a\right)

\end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}

\cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right) \\

\cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) \\

\sin\left(\delta\right)

\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}

\cos\left(\theta_L\right) & \sin\left(\theta_L\right) & 0 \\

\sin\left(\theta_L\right) & -\cos\left(\theta_L\right) & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \cos\left(\phi_\text{o}\right) \\

0 & 1 & 0 \\

  • \cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\

\cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\

\sin\left(a\right)

\end{bmatrix}.

\end{align}

적위를 \delta, 시각을 H, 관측자의 위도를 \phi, 고도를 h, 방위각을 A라고 할 때, 변환식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\sin h = \sin \phi \cdot \sin \delta + \cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H

\cos A = \frac{\cos \phi \cdot \sin \delta - \sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H}{\cos h}

이 식으로부터 A, h를 구하려면 역삼각함수를 사용하면 된다.

3. 5. 적도 ↔ 은하

밑의 공식들은 적도좌표계 좌표를 은하좌표계 좌표로 바꾸거나, 그 반대로 바꾸기 위한 공식이다.[18][9]

  • 은하좌표계를 적도좌표계로 변환

:\begin{align}

\sin\left(l - l_\text{NCP}\right)\cos(b) &= \sin\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(\delta\right)\sin\left(\delta_\text{G}\right)\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\

\cos\left(l - l_\text{NCP}\right)\cos(b) &= \cos(\delta)\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\

\sin\left(b\right) &= \sin\left(\delta\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)

\end{align}

  • 적도좌표계를 은하좌표계로 변환

:\begin{align}

\cos\left(l_\text{NCP} - l\right)\cos(b) &= \sin\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(\delta\right)\sin\left(\delta_\text{G}\right)\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\

\sin\left(l_\text{NCP} - l\right)\cos(b) &= \cos(\delta)\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right) \\

\sin\left(b\right) &= \sin\left(\delta\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(\delta\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)

\end{align}

\alpha_\text{G}, \delta_\text{G}는 은하 북극점의 적도좌표계 좌표이며, l_\text{NCP}는 천구의 북극의 은하 경도이다. J2000 역기점에 따르면, 각 상수의 수치는 다음과 같다.

:\alpha_G = 192^\circ.85948 \qquad \delta_G = 27^\circ.12825 \qquad l_\text{NCP}=32^\circ.93192

J2000을 기준으로 은하좌표계를 적도좌표계로 변환하는 공식에서 사용되는 값은 다음과 같다.

:\alpha_G = 192.85948^\circ \qquad \delta_G = 27.12825^\circ \qquad l_\text{NCP}=122.93192^\circ

만약 적도좌표계가 다른 분점을 나타낸다면, 공식을 적용하기 전 J2000 당시의 위치로 세차운동을 감안하여 위치를 이동시켜야 한다.

B2000.0 역기점을 기준으로 한 공식은 다음과 같다.

  • 은하좌표계를 적도좌표계로 변환

:\begin{align}

\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \cos\left(b\right) \cos\left(l - l_\text{NCP}\right) \\

\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right)\sin\left(l - l_\text{NCP}\right) \\

\sin\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \sin\left(l - l_\text{NCP}\right)

\end{align}

  • 적도좌표계를 은하좌표계로 변환

:\begin{align}

\sin\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \cos\left(b\right) \sin\left(l_\text{NCP} - l\right) \\

\cos\left(\alpha - \alpha_\text{G}\right)\cos\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) - \cos\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right)\cos\left(l_\text{NCP} - l\right) \\

\sin\left(\delta\right) &= \sin\left(b\right) \sin\left(\delta_\text{G}\right) + \cos\left(b\right) \cos\left(\delta_\text{G}\right) \cos\left(l_\text{NCP} - l\right)

\end{align}

3. 6. 변환 시 참고 사항

좌표 변환 시에는 다음과 같은 사항들을 참고해야 한다.

  • 도(°), 분(′), 초(″) 형식의 육십진법 각도는 계산 전 십진법 각도나 라디안으로 변환해야 한다. 음수 각도의 경우, -10° 20′ 30″는 -10° -20′ -30″로 간주하고 변환해야 한다.
  • 시(h), 분(m), 초(s) 형식의 시간각은 계산 전 십진법 각도나 라디안으로 변환해야 한다. 1h = 15°, 1m = 15′, 1s = 15″이다.
  • 360°(2π)를 초과하거나 0° 미만인 각은 0°~360°(0~2π) 범위로 변환 후 계산하는 것이 편리하다.
  • 위도(적위, 은위, 초은위)의 코사인 값은 위도가 −90°~ +90° 사이이므로 항상 양수이다.
  • 역삼각함수 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트는 사분면을 여러 개로 해석할 수 있으므로, 결과를 신중히 평가해야 한다. 경도, 적경, 방위각을 계산할 때는 atan2(y, x) (또는 atan2(y, x) 형식) 함수를 사용하여 y/x의 아크탄젠트 값을 계산하는 것이 권장된다. 위도, 적위, 고도를 계산할 때는 아크사인이 뒤따르는 사인 함수를 찾는 방정식이 권장된다.
  • 방위각(A)은 보통 지평선의 남쪽을 기준으로 측정하며, 남쪽 자오선 위의 천체는 A = h = 0°가 된다. 하지만 방위각을 북쪽부터 동쪽으로 재는 경우도 많다. 한국에서는 방위각을 북쪽에서 동쪽으로 측정한다.
  • 고도(a)는 대기 굴절을 고려하지 않은 값이다.
  • 지평좌표계 공식에서는 일주시차를 고려하지 않는다. 일주시차는 달에서 가장 크고, 행성은 이보다 작으며, 항성은 거의 없다.
  • 관측자의 경도(λo)는 본초자오선으로부터 서쪽으로 재는 것이 일반적이나, 국제천문연맹(IAU)의 현재 표준과는 반대이다.

참조

[1] 논문 Star and Solar System Maps: A History of Celestial Cartography American Astronomical Society
[2] 웹사이트 Coordinate Systems http://www.faculty.v[...] UVa Department of Astronomy 2011-03-19
[3] 서적 Episodes from the Early History of Astronomy Springer-Verlag
[4] 서적 Astronomical Algorithms Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA
[5] 서적 Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac H.M. Stationery Office, London
[6] 서적 Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac University Science Books, Mill Valley, CA
[7] 서적 Astronomy on the Personal Computer Springer-Verlag Berlin Heidelberg
[8] 서적 The Astronomical Almanac for the Year 2010 U.S. Govt. Printing Office
[9] arXiv Transformation of the equatorial proper motion to the Galactic system
[10] 웹인용 Coordinate Systems http://www.faculty.v[...] UVa Department of Astronomy 2011-03-19
[11] 서적 Episodes from the Early History of Astronomy Springer-Verlag
[12] 서적 Astronomical Algorithms Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA 1991
[13] 서적 Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac H.M. Stationery Office 1961
[14] 서적 Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac https://archive.org/[...] University Science Books 1992
[15] 서적 Astronomy on the Personal Computer Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000
[16] 서적 The Astronomical Almanac for the Year 2010 U.S. Govt. Printing Office 2008
[17] 문서
[18] 웹인용 Transformation of the equatorial proper motion to the Galactic system https://arxiv.org/pd[...]


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com