으뜸 아이디얼

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1. 개요

으뜸 아이디얼은 환 R의 적절한 아이디얼 Q에 대해 R/Q에서 모든 영인자가 멱영원일 때를 말한다. 으뜸 아이디얼은 소 아이디얼과 밀접한 관련이 있으며, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이고, 으뜸 아이디얼의 근호는 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼은 가환환과 비가환환 모두에서 정의되며, 뇌터 환에서 으뜸 분해는 아이디얼을 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

으뜸 아이디얼

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 추가 성질 (영어 위키)
- 3.2. 으뜸 분해
4. 예
- 4.1. 소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼
5. 역사

2. 정의

가환환 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak q$ 가 으뜸 아이디얼이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

* 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, $rs\in\mathfrak q$ 라면 $r\in\mathfrak q$ 이거나, $s^n\in\mathfrak q$ 인 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 이 존재한다.
* $R/\mathfrak q$ 의 모든 영인자는 멱영원이다.
* 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $rs\in\mathfrak q$ 라면 $r\in\mathfrak q$ 이거나, $s\in\mathfrak q$ 이거나, 아니면 $r,s\in\sqrt{\mathfrak q}$ 이다. 여기서 $\sqrt{$ 는 소근기이다.

$R$ 의 적절한 아이디얼 $Q$ 가 으뜸 아이디얼이라는 것은 $R/Q$ 에서 모든 영인자가 멱영원이라는 것을 의미한다. 모든 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이며, 어떤 아이디얼이 소 아이디얼이 될 필요충분조건은 으뜸 아이디얼이자 반소 아이디얼인 것이다. 모든 으뜸 아이디얼은 프라이멀 아이디얼이다.

$Q$ 가 으뜸 아이디얼이면, $Q$ 의 근호는 반드시 소 아이디얼 $P$ 가 되는데, 이때 $P$ 를 $Q$ 의 연관된 소 아이디얼이라고 부르며, $Q$ 는 $P$ -으뜸 아이디얼이라고 불린다. 그러나 근호가 소 아이디얼인 아이디얼이 반드시 으뜸 아이디얼인 것은 아니다.

근호가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다.

2.1. 으뜸 부분 가군

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_RM$ 의 부분 가군 $N\subseteq M$ 에 대하여, 몫가군 $M/N$ 이 여으뜸 왼쪽 가군이면 $N$ 을 $_RM$ 의 으뜸 부분 가군(primary submodule)이라고 한다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

2.2. 삼종 아이디얼

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_RM$ 이 주어졌을 때, $\operatorname{ter}_RM\subseteq R$ 을 다음과 같이 정의한다.
: $\operatorname{ter}_RM=\{r\in R\colon\forall m\in M\setminus\{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\},\;sm\ne0\}$
환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 여삼종 가군(餘三種加群, cotertiary module^영어)이라고 한다.
* 임의의 $r\in R$ 및 $m\in M\setminus\{0\}$ 에 대하여, 만약 $rRm=\{0\}$ 이라면, $r\in\operatorname{ter}_RM$ 이다.
소 아이디얼 $\mathfrak p$ 이 주어졌을 때, $\operatorname{Ass}(_RM)=\{\mathfrak p\}$ 인 왼쪽 가군 $_RM$ 을 $\mathfrak p$ -여삼종 가군( $\mathfrak p$ -cotertiary module^영어)이라고 한다.

왼쪽 뇌터 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 여삼종 가군이다.
* 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

환 $M$ 의 가군 $M$ 의 부분 가군 $N$ 에 대하여, 만약 몫가군 $M/N$ 이 여삼종 가군이라면, $N$ 을 삼종 부분 가군(tertiary submodule^영어)이라고 한다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 에 대하여 항상
: $\sqrt{\operatorname{Ann}_RM}\subseteq\operatorname{ter}_RM$
이며, 따라서 모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이다. 만약 $R$ 가 가환환이라면
: $\sqrt{\operatorname{Ann}_RM}=\operatorname{ter}_RM$
이며, 따라서 가환환의 경우 으뜸 부분 가군의 개념은 삼종 부분 가군의 개념과 동치이다.

2.3. 가환환의 경우

가환환 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak q$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 $R$ 의 으뜸 아이디얼이라고 한다.

* $R$ 의 으뜸 부분 가군이다.
* $R$ 의 삼종 부분 가군이다.
* 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $rs\in\mathfrak q$ 라면 $r\in\mathfrak q$ 이거나, $s^n\in\mathfrak q$ 인 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 이 존재한다.
* 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $rs\in\mathfrak q$ 라면 $r\in\mathfrak q$ 이거나, $s\in\mathfrak q$ 이거나, 아니면 $r,s\in\sqrt{\mathfrak q}$ 이다. 여기서 $\sqrt{}$ 는 소근기이다.
* $R/\mathfrak q$ 의 모든 영인자는 멱영원이다.
* 정의는 더 대칭적인 방식으로 재정의될 수 있다. 즉, 적절한 아이디얼 $\mathfrak{q}$ 는, $x y \in \mathfrak{q}$ 일 때, $x \in \mathfrak{q}$ 이거나 $y \in \mathfrak{q}$ 이거나 $x, y \in \sqrt{\mathfrak{q}}$ 일 경우, 1차 아이디얼이다. (여기서 $\sqrt{\mathfrak{q}}$ 는 $\mathfrak{q}$ 의 근호를 나타낸다.)
* R의 적절한 아이디얼 Q는 R/Q에서 모든 영인자가 멱영일 때 1차 아이디얼이다. (이것을 소 아이디얼의 경우와 비교해 보면, P가 소수 아이디얼인 경우는 R/P에서 모든 영인자가 실제로 0일 때이다.)
* 모든 소 아이디얼은 1차 아이디얼이며, 또한 아이디얼이 소수 아이디얼인 것은 1차 아이디얼이자 반소수 아이디얼일 경우와 같다(가환의 경우 근호 아이디얼이라고도 함).
* 모든 1차 아이디얼은 프라이멀 아이디얼이다.
* Q가 1차 아이디얼이면, Q의 근호는 반드시 소 아이디얼 P가 되고, 이 아이디얼을 Q의 연관된 소 아이디얼이라고 부른다. 이 경우, Q는 P-1차라고 한다.
* 근호가 소수 아이디얼인 아이디얼이 반드시 1차 아이디얼인 것은 아니다. 예를 들어, $R = k[x,y,z]/(x y - z^2)$ , $\mathfrak{p} = (\overline{x}, \overline{z})$ , 그리고 $\mathfrak{q} = \mathfrak{p}^2$ 일 때, $\mathfrak{p}$ 는 소수이고 $\sqrt{\mathfrak{q}} = \mathfrak{p}$ 이지만, $\overline{x} \overline{y} = {\overline{z}}^2 \in \mathfrak{p}^2 = \mathfrak{q}$ , $\overline{x} \not \in \mathfrak{q}$ , 그리고 모든 n > 0에 대해 ${\overline{y}}^n \not \in \mathfrak{q}$ 이므로 $\mathfrak{q}$ 는 1차 아이디얼이 아니다. $\mathfrak{q}$ 의 1차 분해는 $(\overline{x}) \cap ({\overline{x}}^2, \overline{x} \overline{z}, \overline{y})$ 이다. 여기서 $(\overline{x})$ 는 $\mathfrak{p}$ -1차이고 $({\overline{x}}^2, \overline{x} \overline{z}, \overline{y})$ 는 $(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})$ -1차이다.
* 근호가 극대인 아이디얼은 1차 아이디얼이다.
* P가 극대 소 아이디얼이면, P의 멱을 포함하는 모든 아이디얼은 P-1차이다. 모든 P-1차 아이디얼이 P의 멱일 필요는 없지만, 적어도 P의 멱을 포함한다. 예를 들어, 아이디얼 (x, y²)는 링 k[x, y]에서 아이디얼 P = (x, y)에 대해 P-1차이지만, P의 멱은 아니지만 P²을 포함한다.
* $\mathfrak{p}$ -1차 아이디얼의 유한하고 비어 있지 않은 곱은 $\mathfrak{p}$ -1차이지만, $\mathfrak{p}$ -1차 아이디얼의 무한한 곱은 $\mathfrak p$ -1차일 수 없다. 예를 들어, 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 을 갖는 노터 국소 링에서 $\cap_{n > 0} \mathfrak{m}^n = 0$ (크룰 교차 정리) 여기서 각 $\mathfrak{m}^n$ 은 $\mathfrak{m}$ -1차이며, 예를 들어 국소 링 $K[x,y]/\langle x^2, xy\rangle$ 의 극대(따라서 소수이자 1차) 아이디얼 $m=\langle x,y \rangle$ 의 무한한 곱은 0 아이디얼을 생성하며, 이 경우 1차 아이디얼이 아니다(영인자 $y$ 가 멱영이 아니기 때문). 실제로, 노터 링에서 $\mathfrak{p}$ -1차 아이디얼 $Q_i$ 의 비어 있지 않은 곱은 $\mathfrak{p}$ -1차인 것은 정수 $n > 0$ 이 존재하여 $\mathfrak{p}^n \subset \cap_i Q_i$ 일 경우에만 해당한다.
* 정의로부터 명백히 소 아이디얼은 준소 아이디얼이다.
* 소인수 분해 정역에서, 소원 p의 거듭제곱 pn로 생성된 아이디얼 (pn'')은 준소 아이디얼이다.
* 뇌터 환의 임의의 아이디얼은 유한 개의 준소 아이디얼의 교집합으로 쓸 수 있다 (준소 분해).
* 데데킨트 환의 준소 아이디얼은 소 아이디얼의 거듭제곱이다.
* 준소 아이디얼의 근기는 소 아이디얼이다.

3. 성질

가환환에서 아이디얼, 반소 아이디얼, 으뜸 아이디얼, 소 아이디얼, 극대 아이디얼 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 $R$ 의 전체 아이디얼 $(1)=R$ 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 소근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 $\mathfrak q$ 의 소근기가 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 이면, $\mathfrak q$ 를 $\mathfrak p$ -으뜸 아이디얼( $\mathfrak p$ -primary ideal^영어)이라고 한다. 반대로, 소근기가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다.

뇌터 가환환에서, 영가군이 아닌 유한 생성 가군 $M$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* 공으뜸 가군이다.
* 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

정수환 Z의 아이디얼 격자 구조 일부는

와 같다. 그림에서 자색 또는 청록색 아이디얼은 준소 아이디얼이다.

3.1. 추가 성질 (영어 위키)

* R의 적절한 아이디얼 Q에 대해, R/Q에서 모든 영인자가 멱영이면 Q는 1차 아이디얼이다. (이는 P가 소 아이디얼인 경우 R/P에서 모든 영인자가 실제로 0일 때와 비교된다.)
* 모든 소 아이디얼은 1차 아이디얼이며, 어떤 아이디얼이 소 아이디얼이 되는 것과 1차 아이디얼이자 반소수 아이디얼인 것은 동치이다.(가환의 경우 근호 아이디얼이라고도 함).
* 모든 1차 아이디얼은 프라이멀 아이디얼이다.
* Q가 1차 아이디얼이면, Q의 근호는 반드시 소 아이디얼 P가 되고, 이 아이디얼을 Q의 연관된 소 아이디얼이라고 부른다. 이 경우, Q는 P-1차라고 한다.
* 근호가 극대 아이디얼인 아이디얼은 1차 아이디얼이다.
* A가 노터 링이고 P가 소 아이디얼이면, $A \to A_P$ 의 커널(즉, A에서 P에서 A의 국소화로 가는 사상)은 모든 P''-1차 아이디얼의 교집합이다.
* $\mathfrak{p}$ -1차 아이디얼의 유한하고 비어 있지 않은 곱은 $\mathfrak{p}$ -1차이지만, $\mathfrak{p}$ -1차 아이디얼의 무한한 곱은 $\mathfrak p$ -1차일 수 없다. 예를 들어, 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 을 갖는 노터 국소 링에서 $\cap_{n > 0} \mathfrak{m}^n = 0$ (크룰 교차 정리)이고, 각 $\mathfrak{m}^n$ 은 $\mathfrak{m}$ -1차이다. 예를 들어 국소 링 $K[x,y]/\langle x^2, xy\rangle$ 의 극대(따라서 소수이자 1차) 아이디얼 $m=\langle x,y \rangle$ 의 무한한 곱은 0 아이디얼을 생성하며, 이 경우 1차 아이디얼이 아니다(영인자 $y$ 가 멱영이 아니기 때문). 실제로, 노터 링에서 $\mathfrak{p}$ -1차 아이디얼 $Q_i$ 의 비어 있지 않은 곱이 $\mathfrak{p}$ -1차인 것은 정수 $n > 0$ 이 존재하여 $\mathfrak{p}^n \subset \cap_i Q_i$ 일 경우에만 해당한다.

3.2. 으뜸 분해

왼쪽 뇌터 환 위의 유한 생성 왼쪽 가군은 유일한 삼종 분해를 갖는다. 즉, 왼쪽 뇌터 환 $R$ 위의 유한 생성 왼쪽 가군 $_RM$ 의 부분 가군 $_RN$ 에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 유한 개의 서로 다른 삼종 부분 가군 $N_1,\dots,N_k\subseteq M$ 및 소 아이디얼 $\{\mathfrak p_i\}=\operatorname{Ass}(_RM/N_i)$ 들이 존재한다.

* $N=N_1\cap N_2\cap\cdots\cap N_k$
* 임의의 $i=1,\dots,k$ 에 대하여, $N\ne N_1\cap N_2\cap N_{i-1}\cap N_{i+1}\cap\cdots\cap N_k$
* $\operatorname{Ass}(_RN)$ 은 유한 집합이며, 그 크기는 $k$ 이며, 또한 $\operatorname{Ass}_k(N_i)=\{\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k\}$ 이다.
* 임의의 $1\le i,j\le k$ 에 대하여, $i\ne j$ 라면 $\mathfrak p_i\ne\mathfrak p_j$ 이며 $N_i\ne N_j$ 이다.

이를 $N$ 의 삼종 분해(tertiary decomposition^영어)라고 한다. 또한, 삼종 분해는 다음과 같은 의미에서 유일하다.

* $N$ 의 두 삼종 분해 $\{(N_i,\mathfrak p_i)\}_{1\le i\le k}$ , $\{(N_j',\mathfrak p_j')\}_{1\le j\le k'}$ 가 주어졌을 때, $k=k'$ 이며, $\mathfrak p_i=\mathfrak p'_{\sigma(i)}$ 가 되는 순열 $\sigma\in\operatorname{Sym}\{1,\dots,k\}$ 이 존재한다. (그러나 $N_i=N'_{\sigma(i)}$ 일 필요는 없다.)

만약 $R$ 가 뇌터 가환환일 경우, 삼중 부분 가군의 개념은 으뜸 부분 가군의 개념과 일치하며, 이 경우를 으뜸 분해라고 한다. 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군이 으뜸 분해를 갖는다는 사실은 라스커-뇌터 정리(Lasker–Noether theorem^영어)라고 한다.

구체적으로, 뇌터 가환환 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak a$ 의 으뜸 분해는 다음과 같은 알고리즘으로 찾을 수 있다.

# 만약 $\mathfrak a$ 가 으뜸 아이디얼이라면, $\{\mathfrak a\}$ 는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, $rs\in\mathfrak a$ 인 $r,s \in R\setminus\sqrt{\mathfrak a}$ 를 찾을 수 있다.
# $\mathfrak a:r^\infty=\mathfrak a:r^n$ 이 되는 충분히 큰 자연수 $n\in\mathbb N$ 을 찾는다.
# 그렇다면, $\mathfrak a=(\mathfrak a+r^nR)\cap(\mathfrak a:r^n)$ 이므로, $\mathfrak a+r^nR$ 및 $\mathfrak a:r^n$ 의 으뜸 분해를 찾으면 $\mathfrak a$ 의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. ( $\mathfrak a+r^nR$ 와 $\mathfrak a:r^n$ 는 $\mathfrak a$ 보다 더 큰 아이디얼이므로, 뇌터 환 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.)

여기서

: $\mathfrak a:r^\infty=\bigcup_{n=0}^\infty(\mathfrak a:r^n)$
: $\mathfrak a:r^n=\{s\in R\colon sr^n\in\mathfrak a\}$
이다.

4. 예

정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 정수환에서 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 $p^n$ ( $n\in\mathbb Z^+$ )으로 생성되는 주 아이디얼 $(p^n)$ 이다.

정수환 Z의 아이디얼 격자의 일부. 자색 또는 청록색 아이디얼은 준소 아이디얼이다.

4.1. 소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, 다항식 환 $K[x,y,z]$ 를 $(xy-z^2)$ 로 나눈 몫환 $K[x,y,z]/(xy-z^2)$ 을 생각하자. 이 몫환에서 아이디얼 $\mathfrak p=(x,z)$ 를 정의하면, 이 아이디얼은 소 아이디얼이다. 즉, $\mathfrak p^2=(x^2,z^2,xz)$ 의 소근기 $\sqrt{\mathfrak p^2}=\mathfrak p$ 는 소 아이디얼이다. 그러나 $\mathfrak p^2$ 는 으뜸 아이디얼이 아니다. 왜냐하면 $xy=z^2\in\mathfrak p^2$ 이지만, $x\not\in\mathfrak p^2$ 이고, 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 $y^n\not\in\mathfrak p^2$ 이기 때문이다. $\mathfrak p^2$ 의 으뜸 분해는 다음과 같다.
: $\mathfrak p^2=(x)\cap(x^2,xz,y)$

5. 역사

소인수 분해를 정수환에서 보다 일반적인 환으로 일반화하는 것은 환론의 오래된 문제이다. 일부 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아니지만(즉, 환의 원소가 기약원으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), 데데킨트 정역이라는 것(즉, 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소 분해 대신 아이디얼의 분해가 대두되었다. 그러나 데데킨트 정역이 아닌 환들의 경우, 소 아이디얼로의 분해 역시 실패한다.

이를 해결하기 위하여, 에마누엘 라스커가 라스커-뇌터 정리를 다항식환에 대하여 증명하였고, 그 뒤 에미 뇌터가 라스커-뇌터 정리를 일반적 뇌터 가환환에 대하여 증명하였다. 이에 따라 임의의 뇌터 가환환에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.

비가환환의 경우, 레옹스 르시외르(Léonce Lesieur^프랑스어)와 로베르 크루아조(Robert Croisot^프랑스어)가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, 왼쪽 뇌터 환의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.