단사 대상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 단사 껍질과 사영 덮개
6. 역사
참조

1. 개요

단사 대상은 범주 이론에서 특정 사상에 대한 조건을 만족하는 대상이다. 범주 $\mathcal C$ 의 단사 대상 $Q$ 는 모든 사상 $f \colon A \to Q$ 와 단사 사상 $h \colon A \hookrightarrow B$ 에 대해 $g \circ h = f$ 를 만족하는 사상 $g \colon B \to Q$ 가 존재한다. 사영 대상은 단사 대상의 쌍대 개념이다. 국소적으로 작은 범주에서 단사 대상은 표현 가능 함자가 전사 사상을 보존하는 것과 동치이며, 아벨 범주에서는 hom 함자가 완전 함자가 되는 것과 동치이다. 단사 대상의 분할 부분 대상과 단사 대상들의 곱은 단사 대상이며, 섀뉴얼 보조정리는 단사 대상과 사영 대상의 성질을 보여주는 중요한 정리이다. 단사 대상과 사영 대상의 개념은 호몰로지 대수학의 발전과 함께 등장했으며, 단사 껍질과 사영 덮개는 각각 단사 분해와 사영 분해를 구성하는 데 사용된다.

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단사 대상
개요
유형	범주론적 대상
분야	수학
하위 분야	범주론
정의
단사 대상	임의의 사상에 대해 확장이 존재하는 대상
성질
아벨 범주	단사 대상은 분해 가능 대상을 형성
관련 개념
사영 대상	단사 대상의 쌍대 개념
단사 분해	단사 대상을 사용하여 대상을 근사하는 방법
예시
집합론	완비 부울 대수
군론	나눗셈 가능한 아벨 군
환론	단사 가군
일반화
모형 이론	단사 모형

2. 정의

범주론에서 단사 대상과 사영 대상은 서로 쌍대적인 개념이다. 즉, 한쪽 정의에서 화살표 방향을 반대로 돌리면 다른 쪽 정의를 얻는다.

보다 일반적으로, 단사 사상 또는 전사 사상 대신 다른 종류의 사상 $\mathcal{H}$ 를 써서 비슷한 개념을 정의할 수 있다. 이 경우를 $\mathcal{H}$ -단사 대상(''H''-injective object^영어) 및 $\mathcal{H}$ -사영 대상( $H$ -projective object^영어)이라고 한다.

2. 1. 단사 대상

범주

\mathcal C

의 '''단사 대상'''은 다음 성질을 만족하는 대상

Q\in\operatorname{ob}(\mathcal C)

이다.

모든 사상 $f\colon A\to Q$ 와 단사 사상 $h\colon A\hookrightarrow B$ 에 대하여, $g\circ h=f$ 인 사상 $g\colon B\to Q$ 가 존재한다.
: $\begin{matrix}$

A&\overset{\forall h}\hookrightarrow&B\\{\scriptstyle\forall f}\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists g\\Q\end{matrix}

만약

\mathcal C

가 끝 대상

1\in\mathcal C

을 가진다면, '''단사 대상'''

Q

는 유일한 사상

Q\to1

이 모든 단사 사상에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 대상이다.

대상 $Q$ 는 $\mathcal{H}$ 의 모든 사상 $h\colon A\to B$ 에 대해, 모든 $f\colon A\to Q$ 가 $h$ 를 통해 분해될 때 $\mathcal{H}$ -주입적이다.

$Q$ 가 $H$ 단사적이라는 것은, $H$ 에서의 사상 $A\to B$ 가 주어졌을 때, 임의의 $A\to Q$ 가 $B\to Q$ 로 확장될 수 있음을 의미한다.

객체

Q

가 범주

\mathbf{C}

에서 '''주입적'''이라고 함은 모든 단사 사상

f: X \to Y

와 모든 사상

g: X \to Q

에 대해

g

를

Y

로 확장하는 사상

h: Y \to Q

, 즉

h \circ f = g

가 존재할 때를 말한다.^[1]

다시 말해, 모든 사상

X \to Q

는 모든 단사 사상

X \hookrightarrow Y

를 통과하여 인수분해된다.

위 정의에서 사상

h

는

f

와

g

에 의해 유일하게 결정될 필요는 없다.

국소적으로 작은 범주에서는 hom 함자

\operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(-,Q)

가

\mathbf{C}

의 단사 사상을 전사 집합 사상으로 변환하도록 요구하는 것과 동등하다.

\mathbf{C}

를 범주,

\mathcal{H}

를

\mathbf{C}

의 사상들의 류라고 하자.

범주

\mathbf{C}

의 대상

Q

는 모든 사상

f: A \to Q

와

\mathcal{H}

의 모든 사상

h: A \to B

에 대해

g \circ h = f

를 만족하는 사상

g: B \to Q

가 존재할 경우 '''''

\mathcal{H}

''-주입적'''이라고 한다.

만약

\mathcal{H}

가 단사 사상들의 류라면, 앞에서 다루었던 주입적 대상들을 다시 얻게 된다.

범주

\mathbf{C}

는 모든 대상 ''X''에 대해, ''X''에서 ''

\mathcal{H}

''-주입적 대상으로 가는 ''

\mathcal{H}

''-사상이 존재할 경우, ''충분한

\mathcal{H}

-주입적 대상''을 가진다고 말한다.

\mathbf{C}

의 ''

\mathcal{H}

''-사상 ''g''는 임의의 사상 ''f''에 대해, 합성 ''fg''가 ''

\mathcal{H}

''에 속하는 것은 오직 ''f''가 ''

\mathcal{H}

''에 속할 때뿐일 경우 '''''

\mathcal{H}

''-본질적'''이라고 불린다.

만약 ''g''가 정의역이 ''X''이고 공역이 ''

\mathcal{H}

''-주입적인 ''G''인 ''

\mathcal{H}

''-본질적 사상이라면, ''G''는 ''X''의 '''

\mathcal{H}

-주입 덮개'''라고 불린다.^[1]

\mathfrak{C}

를 범주,

\mathcal{H}

를

\mathfrak{C}

의 사상의 어떤 클래스라고 하자.

\mathfrak{C}

의 대상

Q

가 '''

\mathcal{H}

-단사적'''이라는 것은,

\mathcal{H}

의 임의의 사상

f\colon A\to Q

와 임의의 사상

h\colon A\to B

에 대해, 어떤 사상

g\colon B\to Q

가 존재하여

f

(의 정의역)를 확장하는 것, 즉

g \circ h = f

가 성립하는 것을 말한다.

위 정의에서 사상

g

는

h

와

f

에 의해 유일하게 결정될 필요는 없다.

국소적으로 작은 범주에서는, 이는 hom 함자

Hom_{\mathfrak{C}}(-,Q)

가

\mathcal{H}

-사상을 전사로 보내는 것과 동치이다.

\mathcal{H}

의 고전적인 선택은 단사 사상 전체의 클래스이며, 이 경우, '''단사 대상'''이라는 표현을 사용한다.

\mathfrak{C}

를 범주로 하고,

H

를

\mathfrak{C}

의 사상의 클래스라고 하자. 범주

\mathfrak{C}

가 ''충분

H

단사 대상을 가진다''는 것은,

\mathfrak{C}

의 모든 대상

X

에 대해,

X

에서 어떤

H

-단사 대상으로 가는 어떤

H

사상이 존재한다는 것을 의미한다.

\mathfrak{C}

에서의 사상

g

가 '''

H

본질적'''이라는 것은, 임의의 사상

f

에 대해, 합성

fg

가

H

에 속하는 것은

f

가

H

에 속할 때에 한정됨을 의미한다.

H

가 단사 전체의 클래스일 때,

g

는 본질적 단사 사상(en:Essential monomorphism)이라고 불린다.

f

가

H

본질적

H

사상이고, 시작이

X

, 여역이

H

단사적인

G

일 때,

G

는

X

의 '''

H

단사적 포락'''이라고 불린다. 그러면 이

H

단사적 포락은, 표준적이지 않은 동형의 차이를 제외하고 유일하다.

2. 2. 사영 대상

범주

\mathcal C

의 '''사영 대상'''은 다음 성질을 만족하는 대상

P\in\operatorname{ob}(\mathcal C)

이다.

모든 사상 $f\colon P\to B$ 와 전사 사상 $h\colon A\twoheadrightarrow B$ 에 대하여, $h\circ g=f$ 인 사상 $g\colon P\to A$ 가 존재한다.
: $\begin{matrix}$

&&P\\&{\scriptstyle\exists g}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\forall f\\A&\underset{\forall h}\twoheadrightarrow&B\end{matrix}

만약

\mathcal C

가 시작 대상

0\in\mathcal C

을 가진다면, '''사영 대상'''

P

는 유일한 사상

0\to P

이 모든 전사 사상에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 대상이다.

2. 3. 일반화

단사 사상 또는 전사 사상 대신 다른 종류의 사상

\mathcal{H}

로 유사한 개념을 정의할 수 있다. 이 경우를

\mathcal{H}

-단사 대상(''H''-injective object^영어) 및

\mathcal{H}

-사영 대상(

H

-projective object^영어)이라고 한다.

3. 성질

국소적으로 작은 범주 $\mathcal C$ 의 대상 $Q$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$Q$ 는 단사 대상이다.
표현 가능 함자 $\hom_{\mathcal C}(-,Q)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$ 는 전사 사상을 보존한다. 즉, $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 의 전사 사상 (= $\mathcal C$ 의 단사 사상)은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다.

국소적으로 작은 범주

\mathcal C

의 대상

P

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$P$ 는 사영 대상이다.
표현 가능 함자 $\hom_{\mathcal C}(P,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}$ 는 전사 사상을 보존한다. 즉, $\mathcal C$ 의 전사 사상은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다.

임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다. 다시 말해, 어떤 대상의 부분 대상이 단사 대상이라면 이는 항상 분할 부분 대상이며, 어떤 대상의 몫 대상이 사영 대상이라면 이는 항상 분할 몫 대상이다.

'''증명:'''

단사 대상

Q\in\mathcal C

및 단사 사상

f\colon Q\hookrightarrow X

에 대하여, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

:

\begin{matrix}&Q\\{\scriptstyle\operatorname{id}}\!\!\!&\uparrow&\nwarrow&\!\!\!\!\!\!^\exists\\&Q&\underset f\hookrightarrow&X\end{matrix}

단사 대상의 정의에 의하여

f

의 왼쪽 역사상

g\colon X\to Q

이 존재하며, 따라서

f

는 분할 단사 사상이다.

사영 대상의 경우도 마찬가지로 증명된다.

\mathfrak{C}

를 범주,

\mathcal{H}

를

\mathfrak{C}

의 사상의 어떤 클래스라고 하자.

\mathfrak{C}

의 대상

Q

가 '''

\mathcal{H}

-단사적'''이라는 것은,

\mathcal{H}

의 임의의 사상

f\colon A \to Q

와 임의의 사상

h\colon A \to B

에 대해, 어떤 사상

g\colon B \to Q

가 존재하여

f

(의 정의역)를 확장하는 것, 즉

g \circ h = f

가 성립하는 것을 말한다.

위 정의에서 사상

g

는

h

와

f

에 의해 유일하게 결정될 필요는 없다.

국소적으로 작은 범주에서는, 이는 hom 함자

Hom_{\mathfrak{C}}(-,Q)

가

\mathcal{H}

-사상을 전사로 보내는 것과 동치이다.

\mathcal{H}

의 고전적인 선택은 단사 사상 전체의 클래스이며, 이 경우, '''단사 대상'''이라는 표현을 사용한다.

3. 1. 아벨 범주에서의 성질

아벨 범주

\mathcal A

의 대상

Q

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$Q$ 는 단사 대상이다.
함자 $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(-,Q)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}$ 는 완전 함자이다.

아벨 범주

\mathcal A

의 대상

P

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$P$ 는 사영 대상이다.
함자 $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(P,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}$ 는 완전 함자이다.

아벨 범주

\mathcal A

의 짧은 완전열

:

0\to A\to B\to C\to0

에서,

$A$ 가 단사 대상이라면, 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
$C$ 가 사영 대상이라면, 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다.^[2]

3. 2. 연산에 대한 닫힘

단사 대상의 분할 부분 대상(=분할 몫 대상)은 단사 대상이다. 사영 대상의 분할 몫 대상은 사영 대상이다.^[1]

단사 대상들의 곱은 단사 대상이다. 사영 대상들의 쌍대곱은 사영 대상이다.^[1]

3. 3. 섀뉴얼 보조정리

아벨 범주

\mathcal A

에서 대상

A_0=A'_0

및 두 완전열

:

0\to A_n\to\cdots\to A_1\to A_0\to0

:

0\to A'_n\to\cdots\to A'_1\to A'_0\to0

이 주어졌으며, 다음이 성립한다고 하자.

$A_1,\dots,A_{n-1}$ 은 사영 대상이다.
$A'_1,\dots,A'_{n-1}$ 역시 사영 대상이다.

그렇다면, '''섀뉴얼 보조정리'''(Schanuel’s lemma^영어)에 따르면 다음이 성립한다.

만약 $n$ 이 짝수라면,
: $A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A'_2\oplus A_1$
만약 $n$ 이 홀수라면,
: $A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1'\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_2\oplus A'_1$

4. 예시

범주	단사 대상	사영 대상
아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$	나눗셈군	자유 아벨 군
유한 아벨 군의 범주 $\operatorname{finAb}$	자명군^[3]	자명군^[3]
유한 생성 아벨 군의 범주 $\operatorname{fgAb}$	자명군^[3]^[4]	유한 생성 자유 아벨 군
환 $R$ 에 대한 왼쪽 가군들의 범주 $R\text{-Mod}$	단사 가군	사영 가군
환 $R$ 에 대한 왼쪽 유한 생성 가군들의 범주 $R\text{-fgMod}$	유한 생성 단사 가군	유한 생성 사영 가군
체 $K$ 위의 벡터 공간의 범주 $\operatorname{Vect}_K$	모든 벡터 공간	모든 벡터 공간
작은 위치 $X$ 위의 아벨 군 값을 갖는 층의 범주 $\operatorname{Sh}(X,\operatorname{Ab})$	단사층	(이름이 없음)
환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 가군층의 범주 $\mathcal O_X\text{-Mod}$	단사 가군층	(이름이 없음)
대수다양체 $X$ 위의 준연접층의 범주 $\operatorname{QCoh}(V)$	단사 가군층인 준연접층	(이름이 없음)
대수다양체 $X$ 위의 연접층의 범주 $\operatorname{Coh}(V)$	단사 연접층	(이름이 없음)
집합의 범주 $\operatorname{Set}$	공집합이 아닌 집합	모든 집합
유한 집합의 범주 $\operatorname{finSet}$	공집합이 아닌 유한 집합	모든 유한 집합
군의 범주 $\operatorname{Grp}$	자명군^[5]	자유군^[6]
위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$	공집합이 아닌 비이산 공간	이산 공간

5. 단사 껍질과 사영 덮개

단사 대상을 충분히 가지는 범주에서, 대상 $X$의 '''단사 껍질'''(injective hull/envelope^영어) $(\iota, Q)$는 다음 데이터로 구성된다.^[1]

$Q$는 단사 대상이다.
$\iota\colon X\to Q$는 본질적 단사 사상이다.

마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, 대상 $X$의 '''사영 덮개''' $ (P, \pi) $는 다음 데이터로 구성된다.^[1]

$P$는 사영 대상이다.
$\pi\colon P\to X$는 잉여적 전사 사상이다.

어떤 범주가 모든 대상에 대해, 그 대상에서 단사 대상으로 가는 단사 사상이 존재하면, "충분한 단사 대상"을 갖는다고 한다.

단사 사상 $g$는 임의의 사상 $f$에 대해, 합성 $fg$가 단사 사상인 경우에만 $f$가 단사 사상일 때, 본질적 단사 사상이라고 한다.

만약 $g$가 정의역이 $X$이고 공역이 단사 대상 $G$인 본질적 단사 사상이라면, $G$는 $X$의 '''단사 껍질'''이라고 불린다. 단사 껍질은 $X$에 의해 비-표준 동형 사상까지 유일하게 결정된다.^[1]

아벨 범주가 충분히 많은 단사 대상을 가지고 있다면, 단사 분해를 구성할 수 있다.

6. 역사

섀뉴얼 정리는 스티븐 섀뉴얼이 증명하였다. 어빙 커플랜스키는 다음과 같이 적었다.^[8]

> 강의 초에 나는 가군의 1단계 분해를 구성하였고, 또 만약 핵이 한 분해에서 사영 대상이라면 모든 분해에서 사영 대상이라고 말하였다. 나는 덧붙여서 이 명제는 단순하며 간단하지만 증명하기에는 약간 시간이 걸린다고 말했다. 그때, 스티브 섀뉴얼이 일어나서 사실 이는 아주 증명하기 쉽다고 말하고는, 오늘날 "섀뉴얼 보조정리"라고 알려진 이 사실을 간략히 증명하였다. 이틀 동안 대여섯 번의 토론 뒤 그의 증명 스케치가 옳다는 것이 확실해졌다.

>

> 이후, 사실 문헌에 이와 비슷한 결과들이 이미 여러 번 출판되었다는 사실이 밝혀졌다. […] 그러나 섀뉴얼은 이 정리를 올바르게 제시하였으며, 또 이를 사용하여 호몰로지 차원의 이론을 전개할 수 있다는 사실을 알아차렸으므로, 그의 이름을 붙여도 마땅하다. (나는 그의 발견에 촉매로 작용하였음을 약간이나마 자랑삼을 수 있겠다.)

참조

_[1] 서적 Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats http://www.tac.mta.c[...] Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 17 (2006) pp. 1-507. orig. John Wiley
_[2] 문서
_[3] 서적 Algebra: Chapter 0 https://web.archive.[...] American Mathematical Society 2016-01-31
_[4] 서적 A Course in homological algebra Springer 1997
_[5] 간행물 A short proof of Eilenberg and Moore’s theorem 2007-03
_[6] 서적 Combinatorial group theory Springer 1977
_[7] 서적 Sheaf theory Springer 1997
_[8] 서적 Fields and Rings https://web.archive.[...] University Of Chicago Press 1972

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