유한군
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1. 개요
유한군은 유한 개의 원소를 가진 군으로, 20세기 수학에서 중요한 연구 대상이었다. 유한군의 연구는 유한 단순군의 분류로 귀결되었는데, 이는 모든 유한군을 구성하는 데 필요한 모든 단순군을 아는 것을 의미한다. 유한군은 수학적 또는 물리적 객체의 대칭을 연구할 때 발생하며, 이론 물리학 및 화학 등 다양한 분야에 응용된다. 주요 개념으로는 순환군, 교대군, 리 유형 군 등이 있으며, 라그랑주 정리, 실로우 정리, 케일리의 정리, 번사이드 정리, 파이트-톰프슨 정리 등의 중요한 정리가 존재한다.
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- 유한군 - 공간군
공간군은 결정의 대칭성을 나타내는 230가지 수학적 군으로, 브라베 격자와 결정학적 점군의 조합으로 구성되며, 병진 대칭, 점군 대칭 작용, 나사축, 미끄럼면 등의 대칭 작용을 포함하고, 결정 구조 이해와 물리적 성질 예측에 중요한 역할을 한다. - 유한군 - 라그랑주 정리 (군론)
라그랑주 정리(군론)는 군 G와 부분군 H에 대해 |G| = |G:H||H|가 성립하며, 유한군 G의 경우 |H|가 |G|의 약수임을 나타낸다.
| 유한군 |
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2. 역사
20세기 동안, 수학자들은 유한군의 이론, 특히 유한군의 국소 이론과 가해군 및 멱영군의 이론을 심도 있게 연구했다.[1][2] 그 결과, 모든 유한 단순군의 분류가 완료되어 모든 유한군을 구성할 수 있는 단순군을 알 수 있게 되었다.
20세기 후반, 클로드 슈발레와 로버트 스타인버그와 같은 수학자들은 고전군의 유한 유사체와 다른 관련 군에 대한 이해를 높였다. 그러한 군의 한 예시가 유한체 위의 일반 선형군 군족이다.
유한군은 종종 수학적 또는 물리적 객체의 대칭을 고려할 때 발생하며, 이러한 객체는 유한 개의 구조 보존 변환만 허용한다. 연속 대칭을 다루는 리 군의 이론은 관련 바일 군의 영향을 크게 받는다. 이들은 유한 차원 유클리드 공간에서 작용하는 반사에 의해 생성된 유한군이다. 따라서 유한군의 속성은 이론 물리학 및 화학과 같은 주제에서 역할을 할 수 있다.[3]
2. 1. 유한 단순군의 분류
유한 단순군 분류 정리는 모든 유한 단순군이 다음 군 중 하나에 속한다는 정리이다.유한 단순군은 모든 유한군의 기본 구성 요소로 간주될 수 있으며, 이는 소수가 자연수의 기본 구성 요소인 방식과 유사하다. 조르당-횔더 정리는 유한군에 대한 이 사실을 보다 정확하게 나타내는 방법이다. 그러나 정수 인수 분해의 경우와 관련하여 중요한 차이점은 이러한 "구성 요소"가 반드시 군을 고유하게 결정하지 않는다는 것이다. 동일한 합성 열을 가진 비동형 군이 많을 수 있거나, 다른 말로 표현하면 확장 문제에 고유한 해가 없기 때문이다.
이 정리의 증명은 1955년에서 2004년 사이에 주로 발표된 100여 명의 저자가 작성한 수백 편의 학술 논문에 걸쳐 수만 페이지로 구성되어 있다. 고렌스타인 (1992년 사망), 라이언스, 솔로몬은 증명의 단순화되고 수정된 버전을 점차적으로 출판하고 있다.
3. 주요 개념
'''대칭군''' S''n''은 ''n''개 기호의 순열로 구성된 유한 집합에 대한 군이다. 군 연산은 순열의 함수 합성이며, 각 순열은 집합에서 자기 자신으로의 전단사 함수이다.[4] 대칭군 S''n''의 차수(원소의 개수)는 ''n''! (''n'' 계승)이다.
'''아벨 군'''(가환군)은 군 연산 결과가 두 원소의 순서에 의존하지 않는 군이다(교환 공리). 닐스 헨리크 아벨의 이름을 따 명명되었다.[5] 임의의 유한 아벨 군은 소수 거듭제곱 차수의 유한 순환군의 직합과 동형이며, 이 차수들은 유일하게 결정되어 완전한 불변량 체계를 이룬다. 유한 아벨 군의 자기 동형 사상은 이러한 불변량으로 설명 가능하다. 이 이론은 1879년 게오르크 프로베니우스와 루드비히 슈티켈베르거가 발표했으며, 주 아이디얼 정역 위 유한 생성 가군으로 단순화 및 일반화되어 선형대수학의 중요 부분을 형성했다.
대칭군, 순환군, 리 유형 군은 각각 해당 항목을 참조하라.
3. 1. 순환군
순환군 은 임의의 원소가 어떤 특정 원소 ''a''의 거듭제곱이며, (는 항등원)가 성립하는 군이다. 순환군의 전형적인 예는 1의 거듭제곱근의 군이다. a를 1의 원시 거듭제곱근에 대응시키는 사상은 과 1의 거듭제곱근 군 사이의 동형 사상이다. 이 대응 관계는 임의의 순환군에 대해 성립한다.3. 2. 교대군
대칭군 은 N개의 문자의 치환 전체의 집합을 나타낸다. 이러한 치환은 N!개 존재하므로, N!이 대칭군의 위수이다. 케일리의 정리에 따르면, 임의의 유한군은 적절한 N에 대해 대칭군 의 부분군으로 실현될 수 있다. 교대군은 짝치환만을 모은 부분군이며, 으로 표기된다.3. 3. 리 유형 군
'''리 유형 군'''은 군으로, 체 ''k''를 값으로 하는 환원 선형 대수 군 ''G''의 유리 점들의 군 ''G''(''k'')과 밀접한 관련이 있다. 유한 리 유형 군은 비가환 유한 단순군의 대부분을 차지한다. 특수한 경우로 고전 군, 슈발레 군, 스타인버그 군 및 스즈키-리 군이 있다.유한 리 유형 군은 순환군, 대칭군, 교대군 다음으로 수학에서 처음으로 고려된 군 중 하나였으며, 소수 유한체 위의 사영 특수 선형 군 PSL(2, ''p'')은 1830년대에 에바리스트 갈루아에 의해 구성되었다. 유한 리 유형 군의 체계적인 탐구는 카미유 조르당이 사영 특수 선형 군 PSL(2, ''q'')이 ''q'' ≠ 2, 3일 때 단순하다는 정리를 통해 시작되었다. 이 정리는 더 높은 차원의 사영 군으로 일반화되어 유한 단순군의 중요한 무한 계열 PSL(''n'', ''q'')을 제공한다. 다른 고전 군들은 20세기 초에 레너드 딕슨에 의해 연구되었다. 1950년대에 클로드 슈발레는 적절한 재구성을 거치면 반단순 리 군에 대한 많은 정리가 임의의 체 ''k'' 위의 대수 군에 대한 유사성을 갖는다는 것을 깨달았으며, 현재 ''슈발레 군''이라고 불리는 군의 구성을 이끌었다. 또한, 콤팩트 단순 리 군의 경우와 마찬가지로, 해당 군들은 추상 군으로서 거의 단순한 것으로 밝혀졌다(''Tits 단순성 정리''). 비록 19세기부터 다른 유한 단순군이 존재한다는 것이 알려졌지만(예: 마티외 군), 점차적으로 거의 모든 유한 단순군은 슈발레의 구성의 적절한 확장, 순환군 및 교대군과 함께 설명될 수 있다는 믿음이 형성되었다. 또한, 예외인 산재군은 유한 리 유형 군과 많은 성질을 공유하며, 특히 Tits의 의미에서 그들의 "기하학"을 기반으로 구성되고 특징지어질 수 있다.
이 믿음은 이제 정리가 되었다 - 유한 단순군의 분류. 유한 단순군의 목록을 살펴보면, 유한체 위의 리 유형 군은 순환군, 교대군, Tits 군, 그리고 26개의 산재 단순군을 제외한 모든 유한 단순군을 포함한다는 것을 알 수 있다.
4. 주요 정리
라그랑주 정리는 모든 유한군 ''G''에 대해, ''G''의 모든 부분군 ''H''의 차수(원소의 개수)는 ''G''의 차수를 나눈다는 정리이다.
실로우 정리는 라그랑주 정리의 부분적인 역으로, 주어진 위수를 갖는 부분군이 ''G''에 얼마나 많이 포함되어 있는지에 대한 정보를 제공한다.
케일리의 정리는 모든 군 ''G''는 ''G''에 작용하는 대칭군의 부분군과 동형이라는 것을 명시한다.[6]
번사이드 정리는 위수가 ''p''''a''''q''''b''인 유한군(''p''와 ''q''는 소수, ''a''와 ''b''는 음이 아닌 정수)은 가해군이라는 것을 명시한다. 따라서 각 비가환 유한 단순군의 위수는 적어도 세 개의 서로 다른 소수로 나누어진다.
파이트-톰프슨 정리(홀수 차수 정리)는 홀수 차수를 가진 모든 유한 군은 가해군임을 명시한다.
4. 1. 라그랑주 정리
모든 유한군 ''G''에 대해, ''G''의 모든 부분군 ''H''의 차수(원소의 개수)는 ''G''의 차수를 나눈다. 이 정리는 조제프루이 라그랑주의 이름을 따서 명명되었다.4. 2. 실로우 정리
실로우 정리는 라그랑주 정리의 부분적인 역으로, 주어진 위수를 갖는 부분군이 ''G''에 얼마나 많이 포함되어 있는지에 대한 정보를 제공한다.[1] [2]4. 3. 케일리의 정리
'''케일리의 정리'''는 아서 케일리의 이름을 따서 명명되었으며, 모든 군 ''G''는 ''G''에 작용하는 대칭군의 부분군과 동형이라는 것을 명시한다.[6] 이것은 ''G''의 원소에 대한 ''G''의 군 작용의 예로 이해할 수 있다.[7]4. 4. 번사이드 정리
'''번사이드 정리'''는 군론에서 만약 ''G''가 위수가 ''p''''a''''q''''b''인 유한군이며, 여기서 ''p''와 ''q''는 소수이고 ''a''와 ''b''는 음이 아닌 정수이면, ''G''는 가해군이라는 것을 명시한다. 따라서 각 비가환 유한 단순군의 위수는 적어도 세 개의 서로 다른 소수로 나누어진다.4. 5. 파이트-톰프슨 정리
'''파이트-톰프슨 정리''' 또는 '''홀수 차수 정리'''는 홀수 차수를 가진 모든 유한 군은 가해군임을 명시한다. 이는 월터 파이트와 존 그리그스 톰프슨이 1962년과 1963년에 증명하였다.5. 유한 단순군의 분류
유한 단순군 분류 정리는 모든 유한 단순군이 다음 군 중 하나에 속한다는 정리이다.
유한 단순군은 모든 유한군의 기본 구성 요소로 간주될 수 있으며, 이는 소수가 자연수의 기본 구성 요소인 방식과 유사하다. 조르당-횔더 정리는 유한군에 대한 이 사실을 보다 정확하게 나타내는 방법이다. 그러나 정수 인수 분해의 경우와 관련하여 중요한 차이점은 이러한 "구성 요소"가 반드시 군을 고유하게 결정하지 않는다는 것이다. 동일한 합성 열을 가진 비동형 군이 많을 수 있거나, 다른 말로 표현하면 확장 문제에 고유한 해가 없기 때문이다.
이 정리의 증명은 1955년에서 2004년 사이에 주로 발표된 100여 명의 저자가 작성한 수백 편의 학술 논문에 걸쳐 수만 페이지로 구성되어 있다. 고렌스타인 (1992년 사망), 라이언스, 솔로몬은 증명의 단순화되고 수정된 버전을 점차적으로 출판하고 있다.
6. 주어진 위수를 갖는 군의 개수
주어진 양의 정수 ''n''에 대해, 동형인 군이 몇 개나 되는지 결정하는 것은 쉽지 않다. 소수 차수의 모든 군은 순환군인데, 이는 라그랑주 정리에 의해 모든 비항등원이 생성하는 순환 부분군이 전체 군이기 때문이다.
''n''이 소수의 제곱이면, 차수가 ''n''인 군은 정확히 두 종류이며, 둘 다 아벨 군이다. ''n''이 소수의 더 높은 거듭제곱이면, 그레이엄 하이먼과 찰스 심스의 결과는 차수가 ''n''인 군의 동형 유형 수에 대해 점근적으로 정확한 추정치를 제공하며, 거듭제곱이 증가함에 따라 그 수가 매우 빠르게 증가한다.
''n''의 소인수 분해에 따라, 실로우 정리 등에서 차수가 ''n''인 군의 구조에 대한 몇 가지 제한이 가능하다. 예를 들어, ''q'' < ''p''이고 ''p'' − 1이 ''q''로 나누어 떨어지지 않는 소수이면, 차수가 ''pq''인 모든 군은 순환군이다. 필요충분조건은 순환수를 참조하면 된다.
''n''이 제곱-인수가 없는 정수이면, 차수가 ''n''인 모든 군은 가해군이다. 번사이드 정리[8]는 군 지표를 사용하여 증명되었으며, 차수 ''n''이 세 개 미만의 서로 다른 소수로 나누어 떨어질 때(즉, ''n'' = ''p''''a''''q''''b'''' 일 때, ''p''와 ''q''는 소수, ''a''와 ''b''는 음이 아닌 정수) 차수가 ''n''인 모든 군은 가해군이라고 말한다. 페이트-톰슨 정리에 따르면, 차수가 ''n''인 모든 군은 ''n''이 홀수일 때 가해군이며, 이 정리는 증명이 길고 복잡하다.
모든 양의 정수 ''n''에 대해, 차수가 ''n''인 군의 대부분은 가해군이다. 차수가 60인 비가해군이 하나 있고 가해군이 12개 있는 것처럼, 특정 차수에 대해 이를 확인하는 것은 어렵지 않지만, 모든 차수에 대한 증명은 유한 단순군의 분류를 사용한다. 모든 양의 정수 ''n''에 대해, 차수가 ''n''인 단순군은 최대 두 개이며, 동형이 아닌 두 개의 단순군이 차수 ''n''을 가지는 양의 정수 ''n''이 무한히 많이 존재한다.
6. 1. 위수 n의 서로 다른 군의 개수 표
| 차수 n | 군의 개수[8] | 아벨 군의 개수 | 비아벨 군의 개수 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 2 | 2 | 0 |
| 5 | 1 | 1 | 0 |
| 6 | 2 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 5 | 3 | 2 |
| 9 | 2 | 2 | 0 |
| 10 | 2 | 1 | 1 |
| 11 | 1 | 1 | 0 |
| 12 | 5 | 2 | 3 |
| 13 | 1 | 1 | 0 |
| 14 | 2 | 1 | 1 |
| 15 | 1 | 1 | 0 |
| 16 | 14 | 5 | 9 |
| 17 | 1 | 1 | 0 |
| 18 | 5 | 2 | 3 |
| 19 | 1 | 1 | 0 |
| 20 | 5 | 2 | 3 |
| 21 | 2 | 1 | 1 |
| 22 | 2 | 1 | 1 |
| 23 | 1 | 1 | 0 |
| 24 | 15 | 3 | 12 |
| 25 | 2 | 2 | 0 |
| 26 | 2 | 1 | 1 |
| 27 | 5 | 3 | 2 |
| 28 | 4 | 2 | 2 |
| 29 | 1 | 1 | 0 |
| 30 | 4 | 1 | 3 |
참조
[1]
뉴스
The Status of the Classification of the Finite Simple Groups
https://www.ams.org/[...]
[2]
간행물
The Enormous Theorem
1985-12-01
[3]
웹사이트
Group Theory and its Application to Chemistry
https://chem.librete[...]
[4]
서적
[5]
서적
[6]
서적
[7]
서적
[8]
서적
A Course in Group Theory
Oxford University Press
[9]
서적
A Course in Group Theory
Oxford University Press
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