나눗셈군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 나눗셈 가군의 정의
- 2.2. 나눗셈군의 정의
3. 성질
4. 분류
5. 예
6. 관련 개념
- 6.1. 단사 덮개 (Injective Envelope)
- 6.2. 환원 아벨 군 (Reduced Abelian Group)
7. 일반화
8. 역사
참조

1. 개요

나눗셈군은 환 위의 가군 개념을 일반화한 것으로, 특정 조건을 만족하는 가군을 의미한다. 아벨 군의 경우, 모든 양의 정수 n과 군의 원소 g에 대해 ny=g를 만족하는 y가 존재하면 나눗셈군이라고 정의하며, 이는 아벨 군의 범주에서 단사 대상과 동치이다. 나눗셈군은 단사군이라고도 불리며, 모든 나눗셈군은 유리수체의 벡터 공간의 직합과 프뤼퍼 군의 직합으로 나타낼 수 있다. 나눗셈군의 개념은 환 위의 가군으로 일반화될 수 있으며, 다양한 정의가 존재한다.

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나눗셈군

2. 정의

영역 위의 왼쪽 가군 $M$ 에 대하여 특정 조건을 만족하면 왼쪽 '''나눗셈 가군'''이라고 한다. 아벨 군은 정수환 위의 가군으로 볼 수 있으며, 이 경우 나눗셈 가군의 개념은 나눗셈군의 개념과 일치한다.^[1] 나눗셈군은 아벨 군의 아벨 범주에서의 단사 대상과 같다.

환 ''R'' 위의 '''가분 가군''' ''M''을 정의하기 위해 문헌에서 사용된 정의는 다음과 같다.

# ''R''의 모든 0이 아닌 ''r''에 대해 ''rM'' = ''M''. (어떤 경우에는 ''r''이 영인자가 아니어야 하며, 일부는 ''R''이 영역이어야 한다고 요구한다.)

# 모든 주 좌아이디얼 ''Ra''에 대해, ''Ra''에서 ''M''으로의 모든 준동형 사상은 ''R''에서 ''M''으로의 준동형 사상으로 확장된다. (이러한 유형의 가분 가군은 ''주입 가군''이라고도 한다.)

# ''R''의 모든 유한 생성 좌 아이디얼 ''L''에 대해, ''L''에서 ''M''으로의 모든 준동형 사상은 ''R''에서 ''M''으로의 준동형 사상으로 확장된다.

마지막 두 조건은 주입 가군에 대한 베어의 판정법의 "제한된 버전"이다. 주입 좌 가군은 모든 좌 아이디얼에서 ''R''로의 준동형 사상을 확장하므로 주입 가군은 분명히 2번과 3번 정의에서 가분 가군이다.

''R''이 추가적으로 영역이면 세 가지 정의가 모두 일치한다. ''R''이 주 좌 아이디얼 영역이면 가분 가군은 주입 가군과 일치한다. 따라서 주 아이디얼 영역인 정수환 '''Z'''의 경우, '''Z'''-가군 (정확히 아벨 군)은 가분 가군이면 주입 가군이다.

''R''이 가환 영역인 경우, 주입 ''R'' 가군은 ''R''이 데데킨트 영역인 경우에만 가분 ''R'' 가군과 일치한다.

2. 1. 나눗셈 가군의 정의

영역 위의 왼쪽 가군

M

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 왼쪽 가군을 왼쪽 '''나눗셈 가군'''( divisible module^영어)이라고 한다.^[13]

임의의 $r\in R$ 및 $m\in M$ 에 대하여, 만약 $\operatorname{ann}_R(\{r\})=\{s\in R\colon sr=0\}\subseteq\operatorname{ann}_R(\{m\})=\{s\in R\colon sm=0\}$ 라면 $r\tilde m=m$ 인 $\tilde m\in M$ 이 존재한다. (이러한 $\tilde m$ 은 유일하지 않을 수 있다.)
모든 왼쪽 주 아이디얼 $Rr$ 및 $R$ -가군 준동형 $f\colon Rr\to M$ 에 대하여, $\tilde f|_{Rr}=f$ 인 $R$ -가군 준동형 $\tilde f\colon R\to M$ 이 존재한다.
: $\begin{matrix}$

0&\to&Rr&\to&R\\&&\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists\\&&M\\\end{matrix}

둘째 조건은 단사 가군의 베어 조건을 임의의 왼쪽 아이디얼에서 왼쪽 주 아이디얼로 약화시킨 것이다.

첫째 조건에 따라, 왼쪽 나눗셈 가군에서 만약

r\in R

및

m\in M

에 대하여

\operatorname{ann}_R(\{r\})\subseteq\operatorname{ann}_R(\{m\})

이라면 (특히,

r\in R

가 오른쪽 영인자가 아니라면),

m

의

r

에 대한 나눗셈

:

r^{-1}m\in M/\ker_M(r\cdot)

을 정의할 수 있다.

2. 2. 나눗셈군의 정의

아벨 군 (''G'', +)이 '''나눗셈군'''(또는 가제)이라는 것은, 모든 양의 정수 ''n''과 모든 ''g'' ∈ ''G''에 대하여, ''ny'' = ''g''를 만족하는 ''y'' ∈ ''G''가 존재한다는 것을 의미한다.^[7] 이는 임의의 양의 정수 ''n''에 대하여 ''nG'' = ''G''라고 말하는 것과 같다.^[1] 왜냐하면, 모든 ''n''과 ''g''에 대한 ''y''의 존재로부터 ''nG'' ⊇ ''G''가 유도되며, 반대쪽인 ''nG'' ⊆ ''G''는 임의의 군에 대하여 항상 성립하기 때문이다.

아벨 군 ''G''가 아벨 군의 범주에서의 단사 대상이라는 것은 나눗셈군이라는 것과 동치이다. 이 때문에, 나눗셈군은 '''단사 군'''이라고 불리기도 한다.

아벨 군이 소수 ''p''에 대하여 ''p''-'''나눗셈군''' (''p''-divisible)이라는 것은, 모든 ''g'' ∈ ''G''에 대하여 ''py'' = ''g''를 만족하는 ''y'' ∈ ''G''가 존재한다는 것을 의미한다. 이는 아벨 군이 ''p''-나눗셈군이라는 것과 ''pG'' = ''G''라는 것이 동치임을 의미한다.

3. 성질

영역 위의 나눗셈 가군은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다.^[13]

(임의의 부분 가군에 대한) 몫가군
(무한 또는 유한) 직접곱
(무한 또는 유한) 직합

그러나 나눗셈 가군은 부분 가군에 대하여 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 정수환 위의 가군인

\mathbb Q

는 나눗셈군이지만, 부분군

\mathbb Z\subset\mathbb Q

는 나눗셈군이 아니다.

모든 단사 가군은 나눗셈 가군이다. 영역

R

에서, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 아이디얼이라면, 나눗셈 가군의 개념은 단사 가군의 개념과 일치한다.^[13]

가환환

R

의 극대 아이디얼

\mathfrak m\subsetneq R

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[13]

체 $R/\mathfrak m$ 은 $R$ -단사 가군이다.
체 $R/\mathfrak m$ 은 $R$ -나눗셈 가군이다.
국소화 $R_{\mathfrak m}$ 은 체이다.

(가환) 정역

R

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[13]

나눗셈 가군의 개념이 단사 가군의 개념과 동치이다.
$R$ 는 데데킨트 정역이다.

4. 분류

모든 나눗셈군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

: $D= \mathbb Q^{\oplus\kappa_0}\oplus\bigoplus_p\mathbb Z[p^\infty]^{\oplus\kappa_p}$

여기서 $\textstyle\bigoplus_p$ 는 모든 소수에 대한 직합이며, $\kappa_0$ 및 $\kappa_p$ 는 기수이며, $\mathbb Z(p^\infty)$ 는 프뤼퍼 군(Prüfer group^영어)이다.

: $\mathbb Z(p^\infty)=\{\exp(2\pi i m/p^n) \colon m,n\in\mathbb Z^+\}$

특히, 꼬임 부분군이 자명군인 나눗셈군은 유리수 위의 벡터 공간밖에 없다.

이 분류는 뇌터 가환환 위의 단사 가군의 분류의 특수한 경우이다.

가환군 ''G''가 나눗셈군이라고 하면, ''G''의 꼬임 부분군 Tor(''G'')는 나눗셈군이다. 나눗셈군은 단사 가군이므로 Tor(''G'')는 ''G''의 직합 인자이다. 따라서

: $G = \mathrm{Tor}(G) \oplus G/\mathrm{Tor}(G).$

나눗셈군의 몫으로서 ''G''/Tor(''G'')는 나눗셈군이다. 게다가, 꼬임이 없는이다. 따라서, '''Q''' 위의 벡터 공간이며, 다음을 만족하는 집합 ''I''가 존재한다.

: $G/\mathrm{Tor}(G) = \bigoplus_{i \in I} \mathbb Q = \mathbb Q^{(I)}.$

꼬임 부분군의 구조를 결정하는 것은 더 어렵지만, 모든 소수 ''p''에 대해 다음을 만족하는 $I_p$ 가 존재함을 보일 수 있다.

: $(\mathrm{Tor}(G))_p = \bigoplus_{i \in I_p} \mathbb Z[p^\infty] = \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)},$

여기서 $(\mathrm{Tor}(G))_p$ 는 Tor(''G'')의 ''p''-차수 성분이다.

따라서, '''P'''가 소수의 집합이라면,

: $G = \left(\bigoplus_{p \in \mathbf P} \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)}\right) \oplus \mathbb Q^{(I)}.$

집합 ''I''와 ''p'' ∈ '''P'''에 대한 ''I''_''p''의 기수는 군 ''G''에 의해 유일하게 결정된다.

5. 예

표수가 0인 체의 덧셈군은 나눗셈군이다. 표수가 0인 체 위의 벡터 공간의 덧셈군 또한 나눗셈군이다. 예를 들어 실수체 $\mathbb R$ 의 덧셈군은 $\mathbb Q$ 의 $2^{\aleph_0}$ 개의 직합과 동형이다.

유리수체의 덧셈군의 몫군 $\mathbb Q/\mathbb Z$ 는 모든 프뤼퍼 군들의 직합과 동형이다.

: $\mathbb Q/\mathbb Z\cong\bigoplus_p\mathbb Z(p^\infty)$

다항식환 $\mathbb Z[x]$ 위의 가군 $\mathbb Q(x)/\mathbb Z[x]$ 는 나눗셈 가군이지만, 단사 가군이 아니다.^[13]

유리수 $\mathbb Q$ 는 덧셈 연산 하에서 가분군을 형성한다.
$\mathbb Q$ 상의 모든 벡터 공간의 밑이 되는 덧셈군은 가분군이다.
가분군의 모든 몫군은 가분군이다. 따라서 $\mathbb Q/\mathbb Z$ 는 가분군이다.
$\mathbb Q/ \mathbb Z$ 의 ''p''-소수 성분 $\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z$ 는 군 동형인 ''p''-준순환군 $\mathbb Z[p^\infty]$ 과 가분군이다.
복소수 $\mathbb C^*$ 의 곱셈군은 가분군이다.
(모형 이론의 의미에서) 모든 존재적으로 닫힌 아벨 군은 가분군이다.

6. 관련 개념

정수환 위의 가군은 아벨 군과 동일한 개념이다. 정수환 위에서 단사 가군과 나눗셈 가군의 개념은 일치하며, 이를 '''나눗셈군'''이라고 한다. 나눗셈군은 아벨 군의 아벨 범주에서 단사 대상이다. 즉, 나눗셈군 $G\subset H$ 가 다른 아벨 군 $H$ 의 부분군이라면, $H=G\oplus H'$ 인 $H'$ 가 존재한다.

6. 1. 단사 덮개 (Injective Envelope)

모든 아벨 군 ''A''는 가해 군 ''D''에 본질적인 부분군으로 고유하게 포함될 수 있다. 이 가해 군 ''D''는 ''A''의 '''단사 덮개'''이며, 이 개념은 아벨 군 범주에서 단사 껍질이다.^[7]

6. 2. 환원 아벨 군 (Reduced Abelian Group)

아벨 군은 유일한 가분 부분군이 {0}일 때 '''환원'''되었다고 한다. 모든 아벨 군은 가분 부분군과 환원 부분군의 직합이다. 실제로, 모든 군에는 유일한 최대 가분 부분군이 있으며, 이 가분 부분군은 직합 인자이다.^[6] 이는 정수 '''Z'''와 같은 유전 링의 특별한 특징이다. 가군의 직합은 주입 가군의 직합이 주입적인데, 링이 노에터 링이기 때문이며, 주입적인 것의 몫은 링이 유전적이므로 주입적인데, 따라서 주입 가군에 의해 생성된 모든 부분 가군은 주입적이다. 역은 Matlis|1958^영어의 결과이다. 즉, 모든 가군이 고유한 최대 주입 부분 가군을 가지면 링은 유전적이다.

가산 환원 주기 아벨 군의 완전한 분류는 울름 정리에 의해 주어진다.^[12]

7. 일반화

가분군의 개념은 환 위의 가분 가군으로 일반화될 수 있다. 여러 가지 동치 정의가 존재하며, 다음은 문헌에서 사용되는 환 $R$ 위의 가분 가군 $M$ 의 정의이다.^[1]

정의	설명
$rM = M$	$R$ 의 모든 0이 아닌 $r$ 에 대해 성립한다. (일부는 $r$ 이 영인자가 아니어야 하며, $R$ 이 영역이어야 한다고 요구한다.)
주 좌 아이디얼 확장	모든 주 좌 아이디얼 $Ra$ 에 대해, $Ra$ 에서 $M$ 으로의 모든 준동형 사상은 $R$ 에서 $M$ 으로의 준동형 사상으로 확장된다. (이러한 유형의 가분 가군은 주입 가군이라고도 한다.)
유한 생성 좌 아이디얼 확장	$R$ 의 모든 유한 생성 좌 아이디얼 $L$ 에 대해, $L$ 에서 $M$ 으로의 모든 준동형 사상은 $R$ 에서 $M$ 으로의 준동형 사상으로 확장된다.

마지막 두 조건은 주입 가군에 대한 베어의 판정법의 "제한된 버전"이다. 주입 좌 가군은 모든 좌 아이디얼에서 $R$ 로의 준동형 사상을 확장하므로 주입 가군은 분명히 위의 두 정의에서 가분 가군이다.

$R$ 이 추가적으로 영역이면 세 가지 정의가 모두 일치한다. $R$ 이 주 좌 아이디얼 영역이면 가분 가군은 주입 가군과 일치한다.^[1] 따라서 주 아이디얼 영역인 정수환 '''Z'''의 경우, '''Z'''-가군 (정확히 아벨 군)은 가분 가군이면 주입 가군이다.

$R$ 이 가환 영역인 경우, 주입 $R$ 가군은 $R$ 이 데데킨트 영역인 경우에만 가분 $R$ 가군과 일치한다.^[1]

8. 역사

나눗셈 가군의 개념은 추상대수학의 발전과 함께 등장했다. 에미 뇌터의 업적은 단사 가군과 나눗셈 가군의 연구에 큰 영향을 미쳤다. 베어 조건은 단사 가군의 특성을 파악하는 데 중요한 도구로 사용된다. 한국 수학계에서는 1960년대 이후 추상대수학 연구가 본격화되면서 나눗셈 가군에 대한 연구도 활발히 진행되었다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적 Lectures on modules and rings Springer

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