맨위로가기

대우 (논리학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

대우는 논리학에서 명제 "A이면 B이다"에 대해 "B가 아니면 A가 아니다"로 표현되는 관계를 의미한다. 대우는 원래 명제가 참일 때 참이고, 거짓일 때 거짓이며, 이를 통해 명제의 진위를 판단하거나, 대우 명제를 증명함으로써 원래 명제를 간접적으로 증명하는 대우 증명법에 활용된다. 고전 논리에서는 대우가 명제와 논리적으로 동치이지만, 직관주의 논리에서는 그렇지 않을 수 있다. 대우는 명제의 역, 이와 함께 관련 개념으로, 역과 이는 대우와 달리 원래 명제의 진실성을 보존하지 않는다. 주관 논리에서는 주관 베이즈 정리를 통해, 확률 이론에서는 조건부 확률과 베이즈 정리를 사용하여 대우를 표현한다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 명제 논리 정리 - 드 모르간의 법칙
    드 모르간의 법칙은 명제 논리, 술어 논리, 집합론, 부울 대수 등에서 결합 또는 분리의 부정을 각 요소의 부정의 분리 또는 결합으로 표현하는 논리적 원리이다.
  • 명제 논리 정리 - 쌍조건문 도입
    쌍조건문 도입은 두 논리식 간의 함의 관계를 통해 동치를 추론하는 추론 규칙으로, 직관 논리 및 모든 초직관 논리에서 성립한다.
  • 수리논리학 - NAND 게이트
    NAND 게이트는 모든 입력이 1일 때 0을 출력하고 그 외에는 1을 출력하는 논리 게이트로서, 다양한 기호로 표현되며, AND 연산의 결과를 부정하는 연산을 수행하고, 여러 방식으로 구현될 수 있으며, 기능적으로 완전하여 디지털 회로 설계에 필수적이다.
  • 수리논리학 - 셈
    셈은 대상의 개수를 파악하는 기본적인 행위로, 수학에서는 집합의 원소 개수를 파악하는 과정으로 정의되며, 셈의 방식에 따라 결과가 달라질 수 있고, 셈을 배우는 과정은 아동의 교육 및 발달에 중요한 역할을 한다.
  • 논리학 - 모순
    모순은 논리학, 철학, 과학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념으로, 서로 상반되는 두 가지 주장이나 사실이 동시에 존재하는 상태를 의미하며, 특히 헤겔과 마르크스의 변증법적 유물론에서 사물의 내재적 대립으로서 역사 발전의 원동력으로 간주된다.
  • 논리학 - 특수
    특수는 철학에서는 개별적이고 구체적인 존재를, 언어학에서는 눈에 띄는 또는 예외적인 의미를 가지며, 사회적으로 특별함이 중요하게 여겨지기도 한다.
대우 (논리학)
논리학의 대우
정의어떤 조건문이 주어졌을 때, 그 조건문의 결론을 부정하고, 가정을 부정하여 서로 뒤바꾼 조건문
영어Contraposition
로마자 표기daeu
상세 내용
조건문'만약 P라면, Q이다'
대우'만약 Q가 아니라면, P가 아니다'
진리값원래의 조건문과 언제나 같다
예시'만약 비가 온다면, 땅이 젖는다'의 대우는 '만약 땅이 젖지 않았다면, 비가 오지 않았다'이다
논리식 표현P → Q ≡ ¬Q → ¬P
활용증명 방법 중 하나인 간접 증명에서 귀류법이나 대우 증명법에 사용
참고이 (논리학)
역 (논리학)

2. 대우의 정의 및 증명

오른쪽


오일러 다이어그램에서 A에 있는 것은 B에도 있어야 한다. 따라서 "A의 모든 것은 B에 있다"는 명제는 논리 기호로 A \to B와 같이 표현할 수 있다. 또한, B(파란색 영역) 안에 ''없는'' 것은 A 안에 ''있을 수 없다''. 이는 \neg B \to \neg A로 표현할 수 있으며, 이는 위 명제의 대우이다.

일반적으로 ''A''가 ''B''를 의미하는 모든 명제의 경우, ''B가 아닌 것''은 항상 ''A가 아닌 것''을 의미한다. 따라서, 이 명제 중 하나를 증명하거나 반증하면 논리적으로 서로 동등하기 때문에 자동으로 다른 명제도 증명하거나 반증한다.

예를 들어, "미국(A)의 모든 소녀가 갈색 머리(B)를 가지고 있다"는 것을 증명하고 싶다면, 미국의 모든 소녀가 실제로 갈색 머리를 가지고 있는지 확인하여 A \to B를 직접 증명하거나, 갈색 머리가 없는 모든 소녀가 실제로 미국 밖에 있는지 확인하여 \neg B \to \neg A를 증명할 수 있다. 특히, 미국 내에서 갈색 머리가 없는 소녀를 한 명이라도 발견하면 \neg B \to \neg A를 반증한 것이 되며, 이는 A \to B와 동등하다.[4]

명제 ''Q''는 (P \to Q)와 같은 관계가 성립할 때 명제 ''P''에 의해 함축된다. 이는 "만약 P라면, Q이다"와 같이 표현되며, 이와 같은 조건문에서 P는 전건이고, Q는 후건이다. 한 명제가 다른 명제의 '''대우'''가 되려면, 전건이 다른 명제의 부정된 후건이어야 하고, 그 반대도 성립해야 한다. 따라서 대우는 일반적으로 "만약 Q가 아니라면, P도 아니다"를 의미하는 (\neg Q \to \neg P)와 같은 형식을 취한다.

"만약 '소크라테스가 인간이 아니라면', '소크라테스는 사람이 아니다'"와 같이 표현되는 대우 명제는 원래 명제와 논리적으로 동등하다. 논리적 동치에 의해, 하나가 참이면 다른 것도 참이고, 하나가 거짓이면 다른 것도 거짓이다.

전치 규칙은 시퀀트로 (P \to Q) \vdash (\neg Q \to \neg P)와 같이 표현될 수 있다. 여기서 \vdash는 어떤 논리 체계에서 (\neg Q \to \neg P)가 (P \to Q)의 구문론적 결과임을 의미하는 메타 논리 기호이다.

러셀과 화이트헤드는 ''수학 원리''(Principia Mathematica)에서 명제 논리의 정리로 (P \to Q) \to (\neg Q \to \neg P)를 제시하였다. 여기서 P와 Q는 어떤 형식 체계로 표현된 명제이다.

명제 "A이면 B이다"의 '''대우'''는 "B가 아니면 A가 아니다"이다. 논리 기호로 표현하면, 명제 A\Rightarrow B의 대우는 \neg B\Rightarrow \neg A이다. 덧붙여, \neg B\Rightarrow \neg A의 대우는 엄밀히 말하면 A\Rightarrow B가 아니라, \neg\neg A\Rightarrow \neg\neg B이다.

일반적인 수학에서는 고전 논리를 사용하기 때문에, 명제 "A이면 B이다"와 그 대우 "B가 아니면 A가 아니다"의 진위 및 증명 가능성은 반드시 일치한다(즉, 진리값이 같다). 원래 명제 "A이면 B이다"의 증명이 어렵더라도, 그 대우 "B가 아니면 A가 아니다"의 증명이 비교적 쉬운 경우가 있다. 양자의 증명 가능성은 일치하므로, 대우 "B가 아니면 A가 아니다"를 보임으로써 "A이면 B이다"를 증명할 수 있다. 이것을 '''대우법'''이라고 부른다.

2. 1. 고전 논리에서의 증명

고전 논리에서는 이중 부정 제거 법칙(\neg \neg A \to A)과 배중률(A \lor \neg A)이 성립하기 때문에, 어떤 명제와 그 명제의 대우는 항상 같은 참 또는 거짓이라는 진리값을 가진다.[4] 이러한 동치 관계는 자연 연역, 공리 논리 등 다양한 방법을 통해 증명할 수 있다.
자연 연역을 사용한 증명자연 연역을 사용하면 다음과 같이 증명할 수 있다.

:

\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{\neg B\Rightarrow \neg A \quad [\neg B]^1 }{\neg A} \quad \displaystyle }{\bot}}{\neg\neg B} (1)}{B}}{A\Rightarrow B} (2)



"\neg B\Rightarrow \neg A가 증명 가능하다면 A\Rightarrow B를 증명할 수 있다"는 것을 보임으로써 대우 논법의 정당성을 증명할 수 있다. 역방향도 마찬가지로 증명 가능하므로, 원래 명제와 대우 명제의 증명 가능성이 같다는 것을 알 수 있다.
공리 논리를 사용한 증명얀 우카시에비치가 제안한 세 개의 공리 체계를 사용하여 대우 명제의 정리를 증명할 수 있다.

  • A1. \phi \to \left( \psi \to \phi \right)
  • A2. \left( \phi \to \left( \psi \rightarrow \xi \right) \right) \to \left( \left( \phi \to \psi \right) \to \left( \phi \to \xi \right) \right)
  • A3. \left ( \lnot \phi \to \lnot \psi \right) \to \left( \psi \to \phi \right)


(A3)는 이미 전치의 한쪽 방향을 제공한다. 다른 쪽 방향인 ( \psi \to \phi ) \to ( \neg \phi \to \neg \psi)는 다음 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

  • (DN1) \neg \neg p \to p - 이중 부정 (한 방향)
  • (DN2) p \to \neg \neg p - 이중 부정 (다른 방향)
  • (HS1) (q \to r) \to ((p \to q) \to (p \to r)) - 가언 삼단 논법의 한 형태
  • (HS2) (p \to q) \to ((q \to r) \to (p \to r)) - 가언 삼단 논법의 또 다른 형태


가언 삼단 논법 메타정리를 사용하여 여러 증명 단계를 줄여서 표현할 수 있다. 증명 과정은 다음과 같다.

1. q \to \neg\neg q       ((DN2)의 예시)

2. (q \to \neg\neg q) \to ((p \to q) \to (p \to \neg\neg q))       ((HS1)의 예시)

3. (p \to q) \to (p \to \neg\neg q)       (modus ponens에 의해 (1)과 (2)에서 유도)

4. \neg\neg p \to p       ((DN1)의 예시)

5. (\neg\neg p \to p) \to ((p \to \neg\neg q) \to (\neg\neg p \to \neg\neg q))       ((HS2)의 예시)

6. (p \to \neg\neg q) \to (\neg\neg p \to \neg\neg q)       (modus ponens에 의해 (4)와 (5)에서 유도)

7. (p \to q) \to (\neg\neg p \to \neg\neg q)       (가언 삼단 논법 메타정리를 사용하여 (3)과 (6)에서 유도)

8. (\neg\neg p \to \neg\neg q) \to (\neg q \to \neg p)       ((A3)의 예시)

9. (p \to q) \to (\neg q \to \neg p)       (가언 삼단 논법 메타정리를 사용하여 (7)과 (8)에서 유도)
물질적 함의를 사용한 증명일계 논리에서 조건문은 A \to B \, \leftrightarrow \, \neg A \lor B로 정의된다. 이를 이용하여 대우 명제와 동등함을 보일 수 있다.

:

\begin{align}

\neg A \lor B \,& \, \leftrightarrow B \lor \neg A \\ \, & \, \leftrightarrow \neg B \to \neg A

\end{align}



또한, 다음과 같은 가정을 통해 증명할 수도 있다.

:(A \to B)\land \neg B

A가 참이면 B도 참이라는 조건과, B는 참이 아니라는 조건이 주어졌을 때, 귀류법에 의해 A는 참이 아니어야 한다. 만약 A가 참이라면 B 역시 참이 되어야 하지만(전건 긍정), B는 참이 아니라는 조건 때문에 모순이 발생한다. 따라서 A는 참이 아니다(이진 명제를 다룬다고 가정).

:(A \to B) \to (\neg B \to \neg A)

같은 과정을 반대로 적용하여 (\neg B \to \neg A)\land A를 가정하고, B가 참이거나 참이 아니라는 것을 알고 있을 때, B가 참이 아니면 A도 참이 아니지만, A가 참이라는 조건 때문에 모순이 발생하므로 B는 참이어야 한다.

:(\neg B \to \neg A) \to (A \to B)

두 증명을 결합하면 조건문과 대우 사이의 논리적 동치를 얻는다.

:(A \to B) \equiv (\neg B \to \neg A)

두 명제가 논리적으로 동치라는 것은 두 명제가 함께 참이거나 함께 거짓임을 의미한다. 대우가 논리적 동치임을 증명하기 위해 물질적 함의가 언제 참이고 거짓인지 이해해야 한다.

:P \to Q

이것은 P가 참이고 Q가 거짓일 때만 거짓이다. 따라서 이 명제는 "P이고 not-Q가 아닐 때" (즉, "P이고 not-Q가 아닌 경우 참")라는 진술로 축약할 수 있다.

:\neg(P \land \neg Q)

논리곱의 요소는 교환 법칙에 의해 영향을 받지 않고 반전될 수 있다.

:\neg(\neg Q \land P)

R을 "\neg Q"와 같다고 정의하고 S를 \neg P와 같다고 정의하면(\neg S는 \neg\neg P와 같으며, 이는 단순히 P와 같다),

:\neg(R \land \neg S)

이는 "('R'이 참이고 'S'가 거짓인 경우는 아니다)"로 읽히며, 이는 물질 조건문의 정의이다. 그런 다음 다음을 대입할 수 있다.

:R \to S

''R''과 ''S''를 다시 P와 Q로 되돌리면 원하는 대우를 얻을 수 있다.

:\neg Q \to \neg P

2. 2. 직관주의 논리에서의 대우

직관 논리에서는 명제 P \to Q가 \lnot Q \to \lnot P와 동치임을 증명할 수 없다. P \to Q가 \lnot Q \to \lnot P를 함의한다는 것은 증명할 수 있지만, \lnot Q \to \lnot P에서 P \to Q로의 역 함의는 배중률 또는 이와 동등한 공리를 필요로 한다.

:P \to Q라고 가정한다(초기 가정).

::Q \to \bot라고 가정한다.

:::P \to Q와 Q \to \bot로부터 P \to \bot를 결론짓는다.

::가정을 해소한다. (Q \to \bot) \to (P \to \bot)를 결론짓는다.

::(A \to \bot)를 \lnot A로 바꾸어 \lnot Q \to \lnot P를 결론짓는다.

:가정을 해소한다. (P \to Q) \to (\lnot Q \to \lnot P)를 결론짓는다.

위에 언급된 대우의 성질은 고전 논리에서의 성질이며, 비고전 논리에서는 성립하지 않는 경우가 있다. 예를 들어 직관주의 논리에서는 "A이면 B이다"와 그 대우 "B가 아니면 A가 아니다"의 진위가 반드시 일치하지는 않는다.

직관주의 논리의 특징은 배중률이 성립하지 않거나 이중 부정 제거가 제한되는 것이다. 대우의 성질은 이러한 제한의 영향을 받아 성립하지 않는다. 다만 "A이면 B이다"로부터 "B가 아니면 A가 아니다"는 직관주의 논리에서도 유도 가능하다.

3. 대우의 활용

대우는 명제의 참, 거짓을 판단하거나 증명하는 데 유용하게 활용된다. 특히 원래 명제를 직접 증명하기 어려울 때, 대우를 이용하면 증명이 더 쉬워지는 경우가 있다.
명제의 진위 판단오일러 다이어그램에서 A에 속하는 모든 것은 B에도 속한다. 즉, "A의 모든 것은 B에 있다"는 `A → B`로 표현할 수 있다. 또한 B (파란색 영역) 안에 ''없는'' 것은 A 안에 ''있을 수 없다''. 이는 `¬B → ¬A`로 표현할 수 있는데, 위 명제의 대우이다. 따라서 `(A → B) ↔ (¬B → ¬A)`라고 할 수 있다.[4]

예를 들어, "미국의 모든 소녀는 갈색 머리를 가지고 있다"라는 명제를 증명하려면, "갈색 머리가 아닌 소녀는 미국인이 아니다"라는 대우 명제를 증명하면 된다. 만약 미국에서 갈색 머리가 아닌 소녀를 한 명이라도 발견하면 원래 명제가 거짓임을 증명할 수 있다.

일반적으로 ''A''가 ''B''를 의미하는 모든 명제의 경우, ''not B''는 항상 ''not A''를 의미한다. 따라서 이 명제 중 하나를 증명하거나 반증하면 다른 명제도 자동으로 증명되거나 반증된다.
대우 증명법어떤 명제를 증명하기 어려울 때, 그 대우를 증명함으로써 원래 명제를 간접적으로 증명하는 방법을 대우 증명법이라고 한다.[13]

예를 들어 "만약 양의 정수 ''N''이 비제곱수이면, 그 제곱근은 무리수이다"를 증명하기 위해, 그 대우인 "만약 양의 정수 ''N''이 유리수인 제곱근을 가지면, ''N''은 제곱수이다"를 증명할 수 있다.

대우 증명의 타당성은 다음 진리표를 통해 확인할 수 있다.

pq¬p¬qp → q¬q → ¬p
TTFFTT
TFFTFF
FTTFTT
FFTTTT



위 진리표에서 ''p'' → ''q'' 와 ''¬q'' → ''¬p'' 가 모든 경우에 동일한 진리값을 갖는 것을 확인할 수 있다.

2의 제곱근의 무리수 증명에서, 유리수의 정의에 따라, "\sqrt{2}가 유리수이면, 기약 분수로 표현될 수 있다"라는 명제는 참이다. 이 명제의 대우는 "만약 \sqrt{2}가 기약 분수로 표현될 수 없다면, 그것은 유리수가 아니다"이다. 이 대우는 원래 명제와 마찬가지로 참이다. 이처럼 대우 증명은 원래 명제 대신 증명하기 더 쉬운 대우 명제를 증명하여 원래 명제의 참, 거짓을 증명하는 방법이다.[13]

3. 1. 대우 증명법

어떤 명제를 증명하기 어려울 때, 그 대우를 증명함으로써 원래 명제를 간접적으로 증명하는 방법을 대우 증명법이라고 한다.[13] 예를 들어, "√2가 유리수이면 기약분수로 나타낼 수 있다"는 명제의 대우인 "√2가 기약분수로 표현될 수 없다면 유리수가 아니다"를 이용하여 √2가 무리수임을 증명할 수 있다.

일반적으로 ''A''가 ''B''를 의미하는 모든 명제의 경우, ''not B''는 항상 ''not A''를 의미한다. 결과적으로, 이 명제 중 하나를 증명하거나 반증하면 논리적으로 서로 동등하기 때문에 자동으로 다른 명제도 증명하거나 반증한다.[14]

수학에서 '''대우 증명법'''은 수학적 증명에서 사용되는 추론 규칙으로, 조건 명제를 그 대우로부터 추론한다. 즉, "만약 ''A''이면, ''B''이다"라는 결론은 "만약 ''B''가 아니면, ''A''가 아니다"라는 주장을 증명함으로써 추론된다. 대우를 원래 조건 명제 자체보다 증명하기가 더 쉬운 경우, 이 방법이 더 선호되는 경우가 많다.

논리적으로 대우 증명의 타당성은 다음 진리표를 사용하여 나타낼 수 있다. 여기서 '''''p'' → ''q''''' 와 '''''\lnotq'' → ''\lnotp'''''가 모든 시나리오에서 동일한 진리값을 공유한다는 것을 보여준다.

pq\lnotp\lnotqp → q\lnotq → \lnotp
TTFFTT
TFFTFF
FTTFTT
FFTTTT



예를 들어 "만약 양의 정수 ''N''이 비제곱수이면, 그 제곱근은 무리수이다"를 증명하기 위해, 그 대우인 "만약 양의 정수 ''N''이 유리수인 제곱근을 가지면, ''N''은 제곱수이다"를 증명할 수 있다. 이는 \sqrt{N}을 공통 소인수를 갖지 않는 양의 정수 ''a''와 ''b''로 구성된 유리식 ''a/b''와 같게 설정하고, 제곱하여 ''N'' = ''a''2/''b''2를 얻은 다음, ''N''이 양의 정수이므로 ''b''=1이고 따라서 ''N'' = ''a''2, 즉 제곱수임을 확인함으로써 보일 수 있다.

다음은 대우 증명법을 사용한 예시이다.

정수 x가 주어졌다.
증명할 내용: ''만약 ''x^2''가 짝수이면, ''x''도 짝수이다.''

직접 증명을 할 수도 있지만, 대우를 이용하여 이 명제를 증명하기로 한다. 위 명제의 대우는 다음과 같다.

:''만약 ''x''가 짝수가 아니면, ''x^2''도 짝수가 아니다.''

이 마지막 명제는 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 ''x''가 짝수가 아니라면, ''x''는 홀수이다. 두 홀수의 곱은 홀수이므로, x^2=x\cdot x는 홀수이다. 따라서 x^2은 짝수가 아니다.

대우를 증명했으므로, 원래 명제가 참임을 추론할 수 있다.[15]

3. 2. 명제의 진위 판단

오일러 다이어그램에서 A에 있는 것은 B에도 있어야 한다. 따라서 "A의 모든 것은 B에 있다"는 A \to B로 해석할 수 있다. 또한 B (파란색 영역) 안에 ''없는'' 것은 A 안에 ''있을 수 없다''. 이는 \neg B \to \neg A로 표현할 수 있는데, 위 명제의 대우이다. 따라서 (A \to B) \leftrightarrow (\neg B \to \neg A)라고 할 수 있다.[4]

이러한 동치성은 명제 증명을 쉽게 만드는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 미국(A)의 모든 소녀가 갈색 머리(B)를 가지고 있다는 것을 증명하고 싶다면, A \to B를 직접 증명하거나, \neg B \to \neg A를 증명할 수 있다. 미국 내에서 갈색 머리가 없는 소녀를 한 명이라도 발견하면 A \to B가 거짓임을 증명할 수 있다.

일반적으로 ''A''가 ''B''를 의미하는 모든 명제의 경우, ''not B''는 항상 ''not A''를 의미한다. 따라서 이 명제 중 하나를 증명하거나 반증하면 다른 명제도 자동으로 증명되거나 반증된다.

명제 ''Q''는 (P \to Q) 관계가 성립할 때 명제 ''P''에 의해 함축된다. 이는 "만약 P라면, Q이다"를 의미한다. P는 전건, Q는 후건이다. 한 명제가 다른 명제의 '''대우'''가 되려면, 전건과 후건이 각각 서로의 부정이 되어야 한다. 따라서 대우는 (\neg Q \to \neg P) 형식을 취한다. 즉, "만약 Q가 아니라면, ''P''도 아니다"를 의미한다. 예를 들어, "만약 '소크라테스가 인간이 아니라면', '소크라테스는 사람이 아니다'"는 대우 명제이며, 원래 명제와 논리적으로 동등하다. 하나가 참이면 다른 것도 참이고, 하나가 거짓이면 다른 것도 거짓이다.[4]

엄밀히 말하면, 대우는 두 개의 단순 조건문에서만 존재할 수 있다. 그러나 두 개의 복잡하고 보편적인 조건문이 유사할 경우에도 대우가 존재할 수 있다. 따라서, \forall{x}(P{x} \to Q{x}), 즉 "모든 P는 Q이다"는 \forall{x}(\neg Q{x} \to \neg P{x}), 즉 "모든 non-Q는 non-P이다"의 대우 명제이다.[4]

"모든 빨간 물체는 색깔을 가지고 있다"는 진술은 "만약 어떤 물체가 빨갛다면, 그것은 색깔을 가지고 있다"로 표현될 수 있다.

  • '''대우'''는 "만약 어떤 물체가 색깔을 가지고 있지 않다면, 그것은 빨갛지 않다"이다. 이것은 초기 진술과 논리적으로 동등하며 참이다.
  • '''역'''은 "만약 어떤 물체가 빨갛지 않다면, 그것은 색깔을 가지고 있지 않다"이다. 파란 물체는 빨갛지 않지만, 여전히 색깔을 가지고 있으므로, 역은 거짓이다.
  • '''이'''는 "만약 어떤 물체가 색깔을 가지고 있다면, 그것은 빨갛다"이다. 물체는 다른 색깔을 가질 수 있으므로, 이는 거짓이다.
  • '''부정'''은 "색깔을 가지고 있지 않은 빨간 물체가 존재한다"이다. 이 진술은 초기 진술이 참이기 때문에 거짓이다.


대우는 주어진 조건문과 논리적으로 동등하지만, 쌍조건문에 충분하지 않다.

"모든 사변형은 네 변을 가지고 있다"는 진술은 "만약 어떤 다각형이 사변형이라면, 그것은 네 변을 가지고 있다"로 표현할 수 있다.

  • '''대우'''는 "만약 어떤 다각형이 네 변을 가지고 있지 않다면, 그것은 사변형이 아니다"이다. 대우는 조건문의 진리값을 공유한다.
  • '''역'''은 "만약 어떤 다각형이 사변형이 아니라면, 그것은 네 변을 가지고 있지 않다"이다. 이 경우 역은 참이다.
  • '''이'''는 "만약 어떤 다각형이 네 변을 가지고 있다면, 그것은 사변형이다"이다. 이 경우 이는 참이다.
  • '''부정'''은 "적어도 하나의 사변형이 네 변을 가지고 있지 않다"이다. 이 진술은 명백히 거짓이다.


진술과 이 모두 참이므로, 이것은 쌍조건문이라고 불리며, "'''다각형은 네 변을 가질 때, 그리고 오직 그럴 때에만 사변형이다.'''"로 표현될 수 있다. 즉, 네 변을 가지는 것은 사변형이 되기 위해 필요충분조건이다.

  • 어떤 명제가 참이면, 그 대우 또한 참이다 (그리고 그 반대도 성립한다).
  • 어떤 명제가 거짓이면, 그 대우 또한 거짓이다 (그리고 그 반대도 성립한다).
  • 어떤 명제의 역이 참이면, 그 명제의 이 또한 참이다 (그리고 그 반대도 성립한다).
  • 어떤 명제의 역이 거짓이면, 그 명제의 이 또한 거짓이다 (그리고 그 반대도 성립한다).
  • 어떤 명제의 부정(negation)이 거짓이면, 그 명제는 참이다 (그리고 그 반대도 성립한다).
  • 만약 어떤 명제(또는 그 대우)와 역(또는 이)이 모두 참이거나 모두 거짓이면, 이를 논리적 쌍조건문이라고 한다.


대우는 명제의 진리값(참 또는 거짓)을 항상 동일하게 가지기 때문에, 수학적 정리를 증명하는 강력한 도구가 될 수 있다(특히 대우의 참을 원래 명제의 참보다 더 쉽게 확립할 수 있는 경우). '''대우 증명법'''은 명제의 대우에 대한 직접 증명이다.[13] 모순 증명법과 같은 간접적인 방법도 대우와 함께 사용될 수 있다. 예를 들어, 2의 제곱근의 무리수 증명에서 사용된다. 유리수의 정의에 따라, "\sqrt{2}가 유리수이면, 기약 분수로 표현될 수 있다"라는 명제는 '''참'''이다. 이 명제의 대우는 " 만약 \sqrt{2}가 기약 분수로 표현될 수 없다면, 그것은 유리수가 아니다"이다. 이 대우는 원래 명제와 마찬가지로 참이다.

수학에서 '''대우 증명법'''은 수학적 증명에서 사용되는 추론 규칙으로, 조건 명제를 그 대우로부터 추론한다.[14] "만약 ''A''이면, ''B''이다"라는 결론은 "만약 ''B''가 아니면, ''A''가 아니다"라는 주장을 증명함으로써 추론된다.

대우 증명의 타당성은 다음 진리표를 사용하여 나타낼 수 있다.

pq\lnotp\lnotqp → q\lnotq → \lnotp
TTFFTT
TFFTFF
FTTFTT
FFTTTT



명제 "A이면 B"의 '''대우'''는 "B가 아니면 A가 아니다"이다. 논리 기호로 "이면 (\Rightarrow)" 및 부정 (\neg)을 사용하면, 명제 A\Rightarrow B의 대우는 \neg B\Rightarrow \neg A이다.

고전 논리에서는 명제 "A이면 B"와 그 대우 "B가 아니면 A가 아니다"의 진위 및 증명 가능성은 일치한다(즉, 진리값이 같다).

원래 명제 "A이면 B"의 증명이 어렵더라도, 그 대우 "B가 아니면 A가 아니다"의 증명이 비교적 쉬운 경우가 있다. 양자의 증명 가능성은 일치하므로, 대우 "B가 아니면 A가 아니다"를 보임으로써 "A이면 B"를 증명할 수 있다. 이것을 '''대우법'''이라고 부른다.

4. 관련 개념

주어진 명제 "A이면 B이다"에 대해 다음과 같은 관련 개념들이 있다.


  • '''대우''': "B가 아니면 A가 아니다."
  • '''역''': "B이면 A이다."
  • '''이''': "A가 아니면 B가 아니다."


원래 명제 "A이면 B이다"가 참이라고 해도 역과 이는 반드시 참이 되는 것은 아니다. 그러나 역 "B이면 A이다"의 대우는 이 "A가 아니면 B가 아니다"와 같으므로, 역과 이의 진리값은 항상 일치한다.

4. 1. 역 (Converse)

"B이면 A이다" (B \to A)는 원래 명제가 참이라고 해서 반드시 참인 것은 아니다.

예를 들어, "모든 빨간 물체는 색깔을 가지고 있다"는 명제를 "만약 어떤 물체가 빨갛다면, 그것은 색깔을 가지고 있다"로 표현할 수 있다. 이 명제의 역은 "만약 어떤 물체가 색깔을 가지고 있다면, 그것은 빨갛다"이다. 하지만 파란 물체도 색깔을 가지고 있으므로 이 경우는 거짓이다.

또 다른 예로, "모든 사변형은 네 변을 가지고 있다"는 명제를 "만약 어떤 다각형이 사변형이라면, 그것은 네 변을 가지고 있다"로 표현할 수 있다. 이 명제의 역은 "만약 어떤 다각형이 네 변을 가지고 있다면, 그것은 사변형이다"이다. 이 경우는 참이다.

어떤 명제의 역이 참이면, 그 명제의 이도 참이다. 반대로 어떤 명제의 역이 거짓이면, 그 명제의 이도 거짓이다.

4. 2. 이 (Inverse)

"A가 아니면 B가 아니다" (\neg A \to \neg B)이다. 원래 명제가 참이라고 해서 이가 반드시 참인 것은 아니다. 그러나 역과 이는 서로 대우 관계이므로, 역과 이의 진리값은 항상 일치한다.

4. 3. 대우 (Contraposition)



오일러 다이어그램에서 A에 속하는 것은 B에도 속해야 한다. "A의 모든 것은 B에 있다"는 것은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:A \to B

또한, B (파란색 영역) 안에 없는 것은 A 안에 있을 수 없다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:\neg B \to \neg A

위 명제는 원래 명제의 대우이다. 따라서 다음과 같이 표현할 수 있다.

:(A \to B) \leftrightarrow (\neg B \to \neg A).

예를 들어, 미국(A)의 모든 소녀가 갈색 머리(B)를 가지고 있다는 것을 증명하려면, 미국의 모든 소녀가 실제로 갈색 머리를 가지고 있는지 확인하여 A \to B를 직접 증명하거나, 갈색 머리가 없는 모든 소녀(¬B)가 실제로 미국 밖에 있는지(¬A) 확인하여 \neg B \to \neg A를 증명할 수 있다. 만약 미국 내에서 갈색 머리가 없는 소녀를 한 명이라도 발견하면 \neg B \to \neg A는 거짓이 되며, 이는 A \to B가 거짓인 것과 같다.[4]

일반적으로 ''A''가 ''B''를 의미하는 모든 명제의 경우, ''B가 아님''은 항상 ''A가 아님''을 의미한다. 따라서 이 명제 중 하나를 증명하거나 반증하면 다른 명제도 자동으로 증명되거나 반증된다.

명제 ''Q''는 "만약 P라면, Q이다" ((P \to Q))와 같은 관계가 성립할 때 명제 ''P''에 의해 함축된다. 이와 같은 조건문에서 P는 전건이고, Q는 후건이다. 한 명제가 다른 명제의 '''대우'''가 되려면, 전건이 다른 명제의 부정된 후건이어야 하고, 그 반대도 성립해야 한다. 따라서 대우는 일반적으로 "만약 not-Q라면, not-P이다" ((\neg Q \to \neg P))와 같은 형식을 취한다. 논리적 동치에 의해, 하나가 참이면 다른 것도 참이고, 하나가 거짓이면 다른 것도 거짓이다.

엄밀히 말하면, 대우는 두 개의 단순 조건문에서만 존재할 수 있다. 그러나 두 개의 복잡하고 보편적인 조건문이 유사할 경우에도 대우가 존재할 수 있다. 따라서, \forall{x}(P{x} \to Q{x}), 즉 "모든 P는 Q이다"는 \forall{x}(\neg Q{x} \to \neg P{x}), 즉 "모든 non-Q는 non-P이다"의 대우 명제이다.[4]

명제 "A이면 B"의 '''대우'''는 "B가 아니면 A가 아니다"이다. 논리 기호로 "이면 (\Rightarrow)" 및 부정 (\neg)을 사용하면, 명제 A\Rightarrow B의 대우는 \neg B\Rightarrow \neg A이다.

고전 논리를 사용하는 일반적인 수학에서는, 명제 "A이면 B"와 그 대우 "B가 아니면 A가 아니다"의 참, 거짓 및 증명 가능성은 반드시 일치한다(즉, 진리값이 같다).

수학에서는 원래 명제 "A이면 B"의 증명이 어렵더라도, 그 대우 "B가 아니면 A가 아니다"의 증명이 비교적 쉬운 경우가 있다. 이때 대우를 증명하여 원래 명제를 증명하는 방법을 '''대우법'''이라고 한다.

이름형태설명
함의만약 P이면 Q이다첫 번째 명제가 두 번째 명제의 진실성을 함의한다
역만약 Q이면 P이다두 명제의 반전
이만약 P가 아니면 Q가 아니다두 명제 모두 부정
대우만약 Q가 아니면 P가 아니다두 명제의 반전 및 부정
부정P이고 Q가 아니다함의에 모순됨



명제 "A이면 B"에 대해,


  • '''대우''': "B가 아니면 A가 아니다"
  • '''역''': "B이면 A"
  • '''이''': "A가 아니면 B가 아니다"


원래 명제 "A이면 B"가 참이라고 해도 역과 이는 반드시 참이 되는 것은 아니다('''역은 반드시 참이 아니다'''). 그러나 역명제 "B이면 A"의 대우는 "A가 아니면 B가 아니다"로, 원래 명제의 이와 일치하므로, 역과 이의 진리값은 항상 일치한다.

5. 전통 논리학에서의 대우

전통 논리학에서 대우는 한 명제에서 다른 명제로 추론하는 방식이다. 이 방식에서는 원래 명제의 술어를 부정하여 새로운 명제의 주어로 삼는다.[5] 예를 들어, "모든 거주자는 유권자이다"라는 명제에서 "모든 비유권자는 비거주자이다"라는 대우 명제를 도출할 수 있다.[7]

대우는 주어와 술어를 동시에 바꾸고 부정하는 ''완전 대우''와, 양을 보편에서 특수로 바꾸는 ''부분 대우''로 나뉜다. 아리스토텔레스 논리학의 "A" 유형(모든 S는 P이다)과 "O" 유형(어떤 S는 P가 아니다) 명제는 완전 대우가 가능하며,[8] "E" 유형(어떤 S도 P가 아니다) 명제는 부분 대우가 가능하다.[8]

대우의 과정은 여러 단계로 이루어진다.[6] 먼저 원래 명제를 이전(eversion)하여 술어를 부정한 명제를 만든다. 예를 들어, "모든 S는 P이다"라는 명제는 "어떤 S도 비-P가 아니다"로 이전된다. 그 후, 이 명제를 환위(conversion)하여 주어와 술어를 바꾼다. "어떤 S도 비-P가 아니다"는 "어떤 비-P도 S가 아니다"로 환위된다. 마지막으로, 이 명제를 다시 이전하면 원래 명제의 대우인 "모든 비-P는 비-S이다"가 된다.[7]

원래 명제이전(완전) 대우이전 (완전) 대우
(A) 모든 S는 P이다.(E) 어떤 S도 비-P가 아니다.↔(E) 어떤 비-P도 S가 아니다.(A) 모든 비-P는 비-S이다.
(E) 어떤 S도 P가 아니다.(A) 모든 S는 비-P이다.해당 없음해당 없음
(I) 어떤 S는 P이다.(O) 어떤 S는 비-P가 아니다.해당 없음해당 없음
(O) 어떤 S는 P가 아니다.(I) 어떤 S는 비-P이다.↔(I) 어떤 비-P는 S이다.(O) 어떤 비-P는 비-S가 아니다.



대우는 "A"와 "O" 명제에 대해서만 유효하며, "I" 명제에는 적용되지 않는다. "E" 명제의 대우는 양을 보편에서 특수로 바꾸는 경우에만 유효하다.[8]

대우는 다른 추론 규칙(환위, 이전)을 함께 사용해야 하는 추론 방법이다.[8] 대우가 완전한지 부분적인지에 따라 결과가 달라진다.

6. 기타

주관 논리에서 대우는 주관 베이즈 정리를 통해 표현되며, 이는 대우와 베이즈 정리의 일반화이다.[16]

확률 이론에서 베이즈 정리는 대우의 한 예시로 볼 수 있으며, 이는 대우의 일반화된 형태이다.[17]

6. 1. 주관 논리에서의 대우

주관 논리는 명제에 대한 주관적인 믿음의 정도를 다루는 논리 체계이다. 주관 논리에서 대우는 주관 베이즈 정리를 통해 표현된다.[16]

:(\omega^{A}_{P\tilde

Q},\omega^{A}_{P\tilde

\lnot Q}) = (\omega^{A}_{Q|P},\omega^{A}_{Q|\lnot P})\,\widetilde{\phi\,}\, a_{P}\,,

여기서 (\omega^{A}_{Q|P},\omega^{A}_{Q|\lnot P})는 소스 A가 제공하는 이항 조건부 의견 쌍을 나타낸다. 파라미터 a_{P}는 P의 기저율(사전 확률)을 나타낸다. 파생된 역 조건부 의견 쌍은 (\omega^{A}_{P\tilde

Q},\omega^{A}_{P\tilde

\lnot Q})로 표시된다. 조건부 의견 \omega^{A}_{Q|P}는 논리적 명제 P \to Q를 일반화한 것이다. 즉, 소스 A는 참 또는 거짓을 할당하는 것 외에도 명제에 대한 임의의 주관적 의견을 할당할 수 있다. \omega^{A}_{Q\mid P}가 절대적 참 의견인 경우, 이는 소스 A가 P\to Q가 참이라고 말하는 것과 같다. 반대로 \omega^{A}_{Q\mid P}가 절대적 거짓 의견인 경우는 소스 A가 P\to Q가 거짓이라고 말하는 것과 같다.

조건부 의견 \omega^{A}_{Q|P}이 절대적 참인 경우, 주관 논리의 주관 베이즈 정리 연산자 \widetilde{\phi\,}는 절대적 거짓 파생 조건부 의견 \omega^{A}_{P\widetilde

\lnot Q}를 생성한다. 이는 \lnot Q \to \lnot P가 참인 것과 동일한 절대적 참 파생 조건부 의견 \omega^{A}_{\lnot P\widetilde

\lnot Q}를 생성하는 것과 같다. 따라서 주관 베이즈 정리는 대우와 베이즈 정리의 일반화를 나타낸다.[16]

6. 2. 확률 이론에서의 대우

베이즈 정리는 특정 형태로 표현될 수 있는 대우의 한 예시를 나타낸다.[17]

:\Pr(\lnot P\mid \lnot Q) = \frac{\Pr(\lnot Q \mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}.

위의 방정식에서 조건부 확률\Pr(\lnot Q\mid P)는 논리적 명제 P \to \lnot Q를 일반화한다. 즉, 참 또는 거짓을 할당하는 것 외에도 명제에 임의의 확률을 할당할 수 있다. 용어 a(P)는 P의 기저율(aka. 사전 확률)을 나타낸다. \Pr(\lnot Q \mid P) = 1이 P\to \lnot Q가 참인 것과 동일하고, \Pr(\lnot Q \mid P) = 0이 P \to \lnot Q가 거짓인 것과 동일하다고 가정하자. 그러면 \Pr(Q\mid P) = 1일 때, 즉 P \to Q가 참일 때 \Pr(\lnot P \mid \lnot Q) = 1임을 쉽게 알 수 있다. 이는 \Pr(\lnot Q\mid P) = 1 - \Pr(Q\mid P) = 0이므로 위 방정식의 오른쪽 항의 분수가 1과 같고, 따라서 \Pr(\lnot P\mid \lnot Q) = 1이므로 \lnot Q \to \lnot P가 참인 것과 동일하기 때문이다. 따라서 베이즈 정리는 ''대우''의 일반화를 나타낸다.[17]

참조

[1] 웹사이트 Definition of CONTRAPOSITIVE https://www.merriam-[...] 2019-11-26
[2] 웹사이트 The Law of Contraposition https://beisecker.fa[...] 2019-11-26
[3] 웹사이트 Modus ponens and modus tollens {{!}} logic https://www.britanni[...] 2019-11-26
[4] 웹사이트 Predicates and Quantified Statements II https://www.csm.ornl[...] 2019-11-26
[5] 논문 Glossary of Logical Terms Macmillan
[6] 서적 Introduction to Logic Macmillan
[7] 문서 Macmillan
[8] 서적 A Modern Introduction to Logic Harper
[9] 문서
[10] 문서
[11] 문서
[12] 문서
[13] 서적 A Transition to Advanced Mathematics Brooks/Cole
[14] 웹사이트 Proofs by Contrapositive https://zimmer.csufr[...] 2019-10-26
[15] 서적 Proof in Mathematics: An Introduction https://www.maths.un[...] Kew Books
[16] 간행물
[17] 간행물


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com