데데킨트 제타 함수

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 디리클레 급수 정의
- 3.2. 해석적 연속
4. 성질
5. 다른 L-함수와의 관계
- 5.1. 디리클레 L-함수와의 관계
- 5.2. 아르틴 L-함수와의 관계
6. 산술적으로 동치인 체
7. 응용
참조

1. 개요

데데킨트 제타 함수는 대수적 수체의 중요한 불변량을 연구하는 데 사용되는 복소 변수의 함수이다. 이는 리만 제타 함수의 일반화로, 대수적 수체 K와 복소수 s(Re(s) > 1)에 대해 디리클레 급수로 정의되며, 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 확장된다. 데데킨트 제타 함수는 오일러 곱과 함수 방정식을 가지며, s=1에서 유일한 극점을 갖는다. 이 함수는 디리클레 L-함수 및 아르틴 L-함수와 관련이 있으며, 두 수체가 같은 데데킨트 제타 함수를 가질 경우 산술적으로 동치라고 한다. 데데킨트 제타 함수는 수론의 다양한 문제, 특히 두 제곱수의 합과 관련된 문제에 응용된다.

2. 역사

데데킨트 제타 함수는 페터 구스타프 르죈 디리클레가 쓴 수론 교재 《수론 강의》(Vorlesungen über Zahlentheorie^de)에서 리하르트 데데킨트가 쓴 부록에 처음 등장하였다.

3. 정의

대수적 수체 $K$ 의 데데킨트 제타 함수 $\zeta_K(s)$ 는 $\operatorname{Re}(s)>1$ 인 복소수 $s\in\mathbb C$ 에 대해, $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 0이 아닌 아이디얼에 대한 디리클레 급수로 정의된다. 이 함수는 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 확장될 수 있으며, 이때 $s=1$ 에서 유일한 극점을 갖는다. 이 극점에서의 유수는 유수 공식에 의해 수체 $K$ 의 수론적인 불변량들로 주어진다.

3. 1. 디리클레 급수 정의

Re^영어(s) > 1인 복소수 s에 대해, 데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 디리클레 급수로 정의된다.

:

\zeta_K (s) = \sum_{\mathfrak a \subseteq \mathcal O_K}^{\mathfrak a\ne0}\frac1{\operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak a)^s}

여기서

$\textstyle\sum_{\mathfrak a\subseteq\mathcal O_K}^{\mathfrak a\ne0}$ 는 K의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 0이 아닌 아이디얼들에 대한 합이다.
$\operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak a)=|\mathcal O_K/\mathfrak a|$ 는 $\mathfrak a$ 에 대한 몫환의 크기이다.

이 급수는 Re^영어(s) > 1인 모든 복소수 s에 대해 절대적으로 수렴한다. K = '''Q'''인 경우, 이 정의는 리만 제타 함수의 정의와 같다.

3. 2. 해석적 연속

デデキントゼータ関数|데데킨트 제타 함수^일본어는 s=1에서 유일한 극점을 가지며, 복소 평면 전체에서 유리형 함수로 해석적 연속될 수 있다.^[7] 즉, 다음과 같다.

:

\zeta_K(s) = \frac{\kappa}{s-1} + O(1)\ \ \ (s\to 1+0)

여기서

\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\}

에 해석적 연속할 수 있다. 따라서,

\zeta_K(s)

는

\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\}

까지 해석적 연속할 수 있다.

해석적 연속할 수 없는

s=1

에서는, 데데킨트 제타 함수는 1위의 극점으로, 유수는 다음과 같다.

:

\kappa = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}}{w|D_K|^{1/2}}h_KR

^[7]

단,

r_1,\ 2r_2

는 ''K''의 실 켤레체, 허 켤레체의 개수, ''w''는 ''K''에 포함되는 1의 멱근의 개수,

h_K,\ R

은 각각 ''K''의 류수, 단위 기준이다.

4. 성질

데데킨트 제타 함수는 L-함수와 마찬가지로 오일러 곱과 함수 방정식을 갖는다.

에리히 헤케는 ''ζ''_''K''(''s'')가 ''s'' = 1에서 단순 극점을 갖는 것을 제외하고는 복소 평면의 모든 점에서 해석적이라는 것을 증명했다. 그 극점에서의 잔류는 해석적 유수 공식에 의해 주어지며, 이는 ''K''의 단위군과 유수의 불변량을 포함하는 중요한 산술 데이터를 포함한다.

함수 방정식과 Γ(''s'')가 0 이하의 모든 정수에서 무한하다는 사실을 결합하면 ''ζ''_''K''(''s'')가 모든 음의 짝수 정수에서 0이 된다는 것을 알 수 있다. 카를 루드비히 지겔은 ''K''가 전실수체가 아닌 한 모든 음의 홀수 정수에서도 ''ζ''_''K''(''s'')가 0이 됨을 보였다. 전실수체의 경우, 지겔은 ''ζ''_''K''(''s'')가 음의 홀수 정수에서 0이 아닌 유리수임을 보였다. 스티븐 리히텐바움은 ''K''의 대수적 K-이론 측면에서 이러한 유리수의 특정 값을 추측했다.

리만 제타 함수와 유사하게, 데데킨트 제타 함수의 정수 값은 체 ''K''의 중요한 산술 데이터를 포함한다. 예를 들어, 해석적 유수 공식은 ''s'' = 1에서의 유수를 ''K''의 유수 ''h''(''K''), ''K''의 조절자 ''R''(''K''), ''K''의 단위근의 수 ''w''(''K''), ''K''의 절대 판별식, 그리고 ''K''의 실수 및 복소수 자리의 수와 관련시킨다. ''s'' = 0일 때, 차수 ''r''은 ''O''_''K''의 단위군의 계수와 같고, 최고차항은 다음과 같다.

: $\lim_{s\rightarrow0}s^{-r}\zeta_K(s)=-\frac{h(K)R(K)}{w(K)}.$

함수 방정식으로부터 $r=r_1+r_2-1$ 이 도출된다.

4. 1. 오일러 곱

데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 오일러 곱을 갖는다. 모든

\operatorname{Re} s>1

인

s\in\mathbb C

에 대하여,

:

\zeta_K (s) = \prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K} \frac{1}{1 - \operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak p)^{-s}}

여기서

$\textstyle\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K}$ 는 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 소 아이디얼들에 대한 곱이다.

이는 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이고, 데데킨트 정역에서는 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일 소인수분해가 성립하기 때문이다.

K

의 데데킨트 제타 함수는

\mathcal{O}_K

의 모든 0이 아닌 소 아이디얼

\mathfrak{p}

에 대한 곱으로 표현되는 오일러 곱을 갖는다.

:

\zeta_K (s) = \prod_{\mathfrak{p} \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{1-N_{K/\mathbf{Q}}(\mathfrak{p})^{-s}},\text{ Re}(s)>1일 때.

이것은

\mathcal{O}_K

에서 아이디얼의 소인수분해의 유일성을 해석적 용어로 표현한 것이다.

\mathrm{Re}(s)>1

일 때,

\zeta_K(s)

는 0이 아니다.

임의의 정수 아이디얼은 소 아이디얼의 곱으로 나타낼 수 있으므로, 데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 오일러 곱 표시를 갖는다.

\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1

일 때,

:

\zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}}\frac{1}{1 - (N\mathfrak{p})^{-s}}

단, 곱은 ''K''의 모든 소 아이디얼을 포함한다.

4. 2. 함수 방정식

데데킨트 제타 함수^한국어는 감마 함수를 포함하는 인자를 통해 s와 1-s에서의 값을 연결하는 함수 방정식을 만족한다.

감마 인자는 다음과 같이 정의한다.

:

\Gamma_{\mathbb R}(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)

:

\Gamma_{\mathbb C}(s)=2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)

여기서 Γ(''s'')는 감마 함수이다.

그렇다면 다음을 정의한다.

:

\Lambda_K(s)=\left|\Delta_K\right|^{s/2}\Gamma_{\mathbb R}(s)^{r_{\mathbb R}}\Gamma_{\mathbb C}(s)^{r_{\mathbb C}}\zeta_K(s)

여기서

$r_{\mathbb R}$ 는 $K$ 의 실수 위치(real place)의 수이다.
$r_{\mathbb C}$ 는 $K$ 의 복소수 위치(complex place)의 수이다.
$\Delta_K$ 는 $K$ 의 판별식이다.

그러면 다음과 같은 함수 방정식이 성립한다.

:

\Lambda_K(s)=\Lambda_K(1-s)

또한 다음이 성립한다.

:

\zeta_K(1-s) = |D_K|^{s-1/2}\left(\cos\frac{\pi s}{2}\right)^{r_1+r_2}\left(\sin\frac{\pi s}{2}\right)^{r_2}(2(2\pi)^{-s}\Gamma(s))^n\zeta_K(s)

여기서,

r_1,\ 2r_2

는 ''K''의 실 켤레체 및 허 켤레체의 개수이다.

특히, ''K''를 유리수체로 하면, 리만 제타 함수의 함수 방정식은 다음과 같다.

:

\zeta(1-s) = 2(2\pi)^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(s)\ \zeta(s)

\zeta_K(s)

에 대한 대수체 ''K''의 완비 제타 함수를 다음과 같이 정의한다.

:

Z_K(s) = |D_K|^{s/2}2^{-(s-1)r_2}\pi^{-ns/2}\Gamma(s/2)^{r_1}\Gamma(s)^{r_2}\zeta_K(s)

^[6]

이때 다음의 함수 방정식이 성립한다.

:

Z_K(1-s) = Z_K(s)

그리고,

\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\}

에 해석적 연속할 수 있다. 따라서,

\zeta_K(s)

는

\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\}

까지 해석적 연속할 수 있다.

해석적 연속할 수 없는

s=1

에서는, 데데킨트 제타 함수는 1위의 극점을 가지며, 유수는 다음과 같다.^[7]

:

\kappa = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}}{w|D_K|^{1/2}}h_KR

:

\zeta_K(s) = \frac{\kappa}{s-1} + O(1)\ \ \ (s\to 1+0)

여기서

r_1,\ 2r_2

는 ''K''의 실 켤레체 및 허 켤레체의 개수, ''w''는 ''K''에 포함되는 1의 멱근의 개수,

h_K,\ R

은 각각 ''K''의 유수 및 단위 기준이다.

4. 3. 특이점과 유수

에리히 헤케는 데데킨트 제타 함수 ''ζ''_''K''(''s'')가 ''s'' = 1에서 단순 극점을 제외하고는 복소 평면의 모든 점에서 해석적이라는 것을 처음으로 증명했다. 그 극점에서의 잔류는 해석적 유수 공식에 의해 주어지며, 이는 ''K''의 단위군과 유수군의 불변량을 포함하는 중요한 산술 데이터로 구성된다.^[6]

''s'' = 1에서의 유수는 해석적 유수 공식에 따라 ''K''의 유수 ''h''(''K''), ''K''의 조절자 ''R''(''K''), ''K''의 단위근의 수 ''w''(''K''), ''K''의 절대 판별식, 그리고 ''K''의 실수 및 복소수 자리의 수와 관련된다.

해석적 연속을 할 수 없는 ''s''=1에서는, 데데킨트 제타 함수는 1위의 극점을 가지며, 유수는 다음과 같다.

:

\kappa = \frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}}{w|D_K|^{1/2}}h_KR

즉,

:

\zeta_K(s) = \frac{\kappa}{s-1} + O(1)\ \ \ (s\to 1+0)

이다.^[7]

여기서

r_1,\ 2r_2

는 ''K''의 실 켤레체와 허 켤레체의 개수이고, ''w''는 ''K''에 포함되는 1의 멱근의 개수이며,

h_K,\ R

은 각각 ''K''의 유수와 단수 기준이다.

4. 4. 영점

데데킨트 제타 함수는 음의 정수에서 자명한 영점을 갖는다. 총실체인 경우, 임의의 양의 정수 ''k''에 대해

\zeta_K(-2k) = 0

이다. 총실체가 아닌 경우, 임의의 양의 정수 ''k''에 대해

\zeta_K(-k) = 0

이다.^[1]

비자명한 영점은

\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > 0

인 영점으로,

\scriptstyle Rs\ s=1/2

라고 예상된다. 이를 '''확장된 리만 가설'''이라고 하며, 리만 가설을 포함하는 미해결 문제이다.^[1]

5. 다른 L-함수와의 관계

데데킨트 제타 함수는 다른 L-함수들과 밀접한 관계를 맺고 있다. 특히, 디리클레 L-함수 및 아르틴 L-함수와의 관계가 중요하다.

또한, ''ζ''_''K''(''s'')는 Spec ''O''_''K''^[3]의 하세-바일 제타 함수이며, Spec ''K''의 코호몰로지에서 나오는 모티브의 모티브 L-함수이다.^[4]

5. 1. 디리클레 L-함수와의 관계

'''Q'''의 아벨 확장인 경우, 데데킨트 제타 함수는 디리클레 L-함수의 곱으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, ''K''가 이차체인 경우 다음의 비는

:

\frac{\zeta_K(s)}{\zeta_{\mathbf{Q}}(s)}

χ가 야코비 기호로 사용되는 디리클레 지표인 ''L''-함수 ''L''(''s'', χ)임을 보여준다. 이차체의 제타 함수가 리만 제타 함수와 특정 디리클레 ''L''-함수의 곱이라는 것은 가우스의 이차 상호 법칙의 해석적 공식이다.

일반적으로, ''K''가 갈루아 군 ''G''를 갖는 '''Q'''의 갈루아 확장인 경우, 데데킨트 제타 함수는 ''G''의 정규 표현의 아르틴 ''L''-함수이며, 따라서 ''G''의 기약 아르틴 표현의 아르틴 ''L''-함수의 곱으로 인수분해된다.

아르틴 L-함수와의 관계는 ''L''/''K''가 갈루아 확장인 경우

\frac{\zeta_L(s)}{\zeta_K(s)}

가 정칙임을 보여준다(

\zeta_K(s)

가

\zeta_L(s)

를 "나눈다"). 일반적인 확장의 경우 이 결과는 L-함수에 대한 아르틴 추측에서 따른다.^[2]

데데킨트 제타 함수의 오일러 곱 표시를 통해 소 아이디얼의 노름 값으로부터 데데킨트 제타 함수를 구체적으로 계산할 수 있다. 소 아이디얼의 노름은 유리 소수^[8]의 소 아이디얼 분해의 결과로부터 구할 수 있지만, ''K''가 일반적인 대수체인 경우 소 아이디얼 분해가 복잡하기 때문에 구체적으로 계산하는 것은 매우 어렵다.

하지만, ''K''가 이차 체 또는 원분체라면 소 아이디얼 분해의 양상을 잘 알 수 있으므로, 오일러 곱을 계산할 수 있으며, 그 결과 데데킨트 제타 함수를 디리클레 L-함수를 사용하여 표현할 수 있다는 것이 알려져 있다.

(1) ''K''가 이차 체인 경우

''K''의 판별식을 ''D''로 하고,

\chi_D

를 법 ''D''에 관한 크로네커 기호라고 하면,

:

\zeta_K(s) = \zeta(s)L(\chi_D,\ s)

가 성립한다.

(2) ''K''가 원분체인 경우

\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\zeta_m)

(m>2)

라고 한다.

:

\zeta_K(s) = \prod_{\chi}L(\chi, s) = \zeta(s)\!\!\prod_{\chi\ne\chi_0}\!\!L(\chi, s)

가 성립한다. 여기서, 첫 번째 곱은 법 ''m''에 관한 원시적 디리클레 지표 전체에 대한 곱이며, 두 번째 곱은 법 ''m''에 관한 원시적 디리클레 지표 중 단위 지표 이외의 모든 것에 대한 곱이다.

또한, 임의의 유리수체의 아벨 확대체 ''K''는 어떤 원분체의 부분체이므로(크로네커-베버 정리), 위의 사실로부터

\zeta_K(s)

는 몇 개의 디리클레 L-함수의 곱으로 나타낼 수 있다.

5. 2. 아르틴 L-함수와의 관계

''K''가 갈루아 군 ''G''를 갖는 '''Q'''의 갈루아 확장인 경우, 데데킨트 제타 함수는 ''G''의 정규 표현의 아르틴 ''L''-함수이며, 따라서 ''G''의 기약 아르틴 표현의 아르틴 ''L''-함수의 곱으로 인수분해된다.^[2]

6. 산술적으로 동치인 체

두 체가 산술적으로 동치라는 것은 이들이 동일한 데데킨트 제타 함수를 갖는다는 의미이다.^[1] 가스만 삼중항을 사용하여 동형이 아닌 산술적으로 동치인 체 쌍의 몇 가지 예를 제시했다.^[1] 특히, 이러한 쌍 중 일부는 서로 다른 유수를 가지므로, 수체의 데데킨트 제타 함수는 해당 수체의 유수를 결정하지 않는다.

두 수체 ''K''와 ''L''이 산술적으로 동치일 필요충분조건은 거의 모든 소수 ''p''에 대해 두 체에서 관성 차수가 동일하다는 것이다.^[2] 즉, $\mathfrak p_i$ 가 ''p'' 위에 놓인 ''K''의 소수 아이디얼이라면, 거의 모든 ''p''에 대해 튜플 $(\dim_{\mathbf Z/p} \mathcal O_K / \mathfrak p_i)$ 가 ''K''와 ''L''에 대해 동일해야 한다.^[2]

7. 응용

데데킨트 제타 함수는 수론의 다양한 문제에 응용될 수 있다. 예를 들어, 야코비의 두 제곱수 정리에 따라 두 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하는 데 사용될 수 있다.

$\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 로 놓고, ''K'' 상의 데데킨트 제타 함수 $\zeta_K(s)$ 를 두 가지 방법으로 계산한다.

먼저, 디리클레 급수의 형태로 데데킨트 제타 함수를 나타내고, 그 계수를 구하면 다음과 같다.

: $\zeta_K(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{n^s}\ \ \ \ (F_n\in\mathbb{Z})$

여기서,

: $F_n = \frac{1}{4}\#\{(a, b)| a^2 + b^2 = n,\ a,\ b \in\mathbb{Z} \}$ ^[9]

이다. $F_n$ 은 ''n''을 두 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 수의 4배와 같다. 관례에 따라 두 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 수를 $r_2(n)$ 으로 쓰면,

: $\zeta_K(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/4)r_2(n)}{n^s}$

로 나타낼 수 있다.

''K''는 이차체이므로, $\zeta_K(s)$ 는 리만 제타 함수와 크로네커 지표로 이루어진 디리클레 L 함수의 곱으로 나타낼 수 있다. $\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 의 크로네커 지표를 구체적으로 구하면,

: $\zeta_K(s) = \zeta(s)\!\!\!\!\!\!\!\prod_{p;\operatorname{odd}\ \operatorname{prime}}\!\!\!\!\!\!\!\left(1-(-1)^{(p-1)/2}p^{-s}\right)$

가 성립한다. 두 가지 방법으로 나타낸 $\zeta_K(s)$ 를 비교하면,

: $r_2(n) = 4\sum_{2\nmid d|n}(-1)^{(d-1)/2}$

가 성립한다. 이는 야코비의 두 제곱수 정리와 같다.

더 나아가, ''K''를 다른 이차체 $\scriptstyle(\mathbb{Q}(\sqrt{-2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 으로 함으로써, 위와 같은 방법으로 $\scriptstyle x^2+2y^2,\ x^2+3y^2$ 형태의 표현 방법을 구할 수 있다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서

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