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르베그-스틸티어스 측도

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목차

1. 개요

르베그-스틸티어스 측도는 증가 함수를 사용하여 정의되는 측도이며, 르베그 측도와 리만-스틸티어스 적분을 일반화한다. 1차원 및 고차원에서 정의되며, 다니엘 적분을 통해 구성될 수 있다. 르베그-스틸티어스 측도는 유계 집합에 대해 유한하며, 부분 적분 공식을 만족한다. 르베그 적분과 리만-스틸티어스 적분은 르베그-스틸티어스 측도의 특수한 경우이며, 확률론에서 확률 변수의 기댓값을 계산하는 데 활용된다. 앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

르베그 적분의 일반화된 형태인 르베그-스틸티어스 적분은 주어진 증가 함수 또는 유계 변동 함수를 이용하여 정의되는 측도를 기반으로 한다.[5] 이 측도를 바탕으로 함수의 적분을 정의한다.

1차원 및 고차원 르베그-스틸티어스 적분은 각각 실수 및 n차원 유클리드 공간에서 정의되며, 카라테오도리 확장 정리를 통해 보렐 시그마 대수 위에서 측도를 구성한다. 다니엘 적분 관점에서 리만-스틸티어스 적분을 확장하여 정의할 수도 있다.[3]

2. 1. 1차원 르베그-스틸티어스 적분

증가 함수 g\colon\mathbb R\to\mathbb R가 주어졌을 때, 다음과 같은 외측도 \mu_g를 정의할 수 있다.

:\mu_g(S)=\inf\left\{\sum_{(c,d]\in\mathcal I}(g(d^+)-g(c^+))\colon \mathcal I\in\mathcal P_{\le\aleph_0}(\mathcal C),\;S\subseteq\bigcup\mathcal I\right\}\qquad(S\in\mathcal B([a,b]))

여기서

  • \mathcal C=\left\{(c,d]\colon c,d\in\mathbb R,\;c는 실수 반(半)열린구간들의 집합족이다.
  • \mathcal P_{\le\aleph_0}(\mathcal C)=\left\{\mathcal I\subseteq\mathcal C\colon|\mathcal I|\le\aleph_0\right\}는 [a,b] 속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족들의 모임이다.
  • g(x^+)=\lim_{\epsilon\to0^+}g(x+\epsilon)이다.


\mathcal C로 생성되는 시그마 대수 \sigma(\mathcal C)=\mathcal B(\mathbb R)는 실수선의 보렐 시그마 대수이다. 카라테오도리 확장 정리에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수에 제한될 경우 측도를 이루며, 이를 g의 '''르베그-스틸티어스 측도'''라고 한다.[5]

이 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.

:\int_{\mathbb R}f\;\mathrm d\mu_g=\int_{\mathbb R}f\;\mathrm dg

이는  f : \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R 가 보렐-가측이고 유계이며,  g : \left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R 가 유계 변동이고 우연속일 때, 또는 f가 음이 아니고 g가 단조이며 우연속일 때 정의된다.

2. 2. 고차원 르베그-스틸티어스 적분

고차원에서는 분포 함수의 개념을 이용하여 르베그-스틸티어스 측도를 정의한다. 이 측도는 n차원 공간에서의 보렐 집합에 대한 측도를 제공한다.[5]

함수

:g\colon\mathbb R^n\to\mathbb R

가 임의의 \vec a,\vec b\in\mathbb R^n에 대하여 (a_i\le b_i\qquad\forall 1\le i\le n) 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''분포 함수'''(distribution function영어)라고 한다.

:g(\vec b)\ge g(\vec a)

:\hat g\left(\Delta_{\vec b}(\vec a)\right)\ge0

이 경우, 위와 같은 \vec a,\vec b\in\mathbb R^n에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.

:\mu_g\left(\prod_{i=1}^n(a_i,b_i]\right)=\lim_{\vec\epsilon\to0^+}\hat g\left(\Delta_{\vec b+\vec\epsilon}(\vec a+\vec\epsilon)\right)

이를 통해 보렐 시그마 대수 \mathcal B(\mathbb R^n) 위에 '''르베그-스틸티어스 측도'''

:\mu_g\colon\mathcal B(\mathbb R^n)\to[0,\infty]

를 정의할 수 있다.[5]

2. 3. 다니엘 적분 (Daniell integral)

Daniell integral영어 (다니엘 적분)의 관점에서 르베그-스틸티어스 적분을 정의할 수 있다. 이 경우, 리만-스틸티어스 적분을 확장하여 르베그-스틸티어스 적분을 정의한다.[3]

함수 g가 유계 폐구간 [a, b]에서 우연속 비증가 함수일 때, 연속 함수 f에 대한 기본 적분 I(f)는 리만-스틸티어스 적분으로 정의된다.

:I(f) = \int_a^b f\,dg

범함수 I는 [a, b] 위의 라돈 측도를 정의한다. 이 범함수 I는 다음과 같이 비음 함수 전체 클래스로 확장할 수 있다.

:\underline{I\!}\,(h) = \sup \{I(f) \mid f\in C[a,b], 0\le f\le h\}

:\bar{I}(h) = \inf\{I(f) \mid f\in C[a,b], h\le f\}

보렐 가측 함수에 대해서는 다음이 성립한다.

:\underline{I\!}\,(h) = \bar{I}(h)

이 등식의 양변은 h의 르베그-스틸티어스 적분을 정의한다. 외측도 \mu_g는 집합 A의 지시 함수 \chi_A를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:\mu_g(A) = \bar{I}(\chi_A)

적분 함수 g가 유계 변동일 때는, 정변동과 부변동의 차이로 분해하여 위와 같이 처리한다.

3. 예

다음은 르베그-스틸티어스 측도의 몇 가지 예시이다.


  • \(g(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \\ x & x > 0 \end{cases}\) 인 함수 \(g\)에 대한 르베그-스틸티어스 측도 \(\mu_g\)는 다음과 같다.

:\(\mu_g(S) = \mu_g(S \cap [0, \infty))\)

  • \(g(x) = \alpha x\) (\(\alpha \ge 0\))인 함수 \(g\)에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

:\(\mu_g(S) = \alpha\nu_{\text{L}}(S)\) (단, \(\nu_{\text{L}}\)는 르베그 측도)

  • 평면상의 유한 길이 곡선 \(\gamma : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2\)와 보렐 가측 함수 \(\rho : \mathbb{R}^2 \rightarrow [0, \infty)\)에 대해, \(\gamma\)의 \(\rho\)에 의해 가중된 유클리드 길이는 다음과 같이 정의된다.

:\(\int_a^b \rho(\gamma(t))\,dl(t)\)

여기서 \(l(t)\)는 구간 \([a, t]\)에서 \(\gamma\)의 호의 길이를 나타낸다. 이를 \(\gamma\)의 \(\rho\)-길이라고도 한다. 이 개념은 여러 분야에서 유용하게 사용된다. 예를 들어 진흙탕을 이동하는 사람의 속도는 진흙의 깊이에 따라 달라지는데, 위치 \(z\) 근처에서 보행 속도의 역수를 \(\rho(z)\)라고 하면, 횡단선 \(\gamma\)의 \(\rho\)-길이는 \(\gamma\)를 따라 진흙탕을 건너는 데 걸리는 시간을 의미한다. 등각 사상 연구에 사용되는 극치적 길이도 곡선의 \(\rho\)-길이 개념을 활용한다.

3. 1. 르베그 측도

항등 함수 \(x \mapsto x\)에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 '''르베그 측도'''이다.[3] 임의의 실수 \(x\)에 대해 \(g(x) = x\)가 성립할 때, \(g\)에 관한 르베그-스틸티어스 측도 \(\mu_g\)는 '''R''' 상의 르베그 측도이며, \(f\)의 \(g\)에 관한 르베그-스틸티어스 적분은 \(f\)의 (르베그 측도에 관한) 르베그 적분과 같다.[3]

3. 2. 디랙 측도 (Dirac measure)

어떤 점 x\in\mathbb R가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 생각하자.

:g\colon x\mapsto\begin{cases}

0&x\le0\\

1&x>0

\end{cases}

이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

:\mu_g(S)=\begin{cases}

1&0\in S\\

0&0\notin S

\end{cases}

이를 0에서의 '''디랙 측도'''라고 하며, \delta_0으로 표기한다.

일반적으로, 임의의 점 x\in\mathbb R에서의 '''디랙 측도''' \delta_x는 다음과 같다.[1]

:\delta_x(S)=\begin{cases}

1&x\in S\\

0&x\notin S

\end{cases}

4. 성질

정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

4. 1. 유한성

정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

4. 2. 부분 적분 (Integration by parts)

U영어와 V영어가 유한 변동을 갖는 두 함수이고, 각 점에서 U영어 또는 V영어 중 적어도 하나가 연속이거나 U영어와 V영어가 모두 정규 함수이면, 르베그-스틸티어스 적분에 대한 부분 적분법 공식이 성립한다.[2]

:\int_a^b U\,dV+\int_a^b V\,dU = U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-), \qquad -\infty < a < b < \infty.

여기서 관련된 르베그-스틸티어스 측도는 함수 U영어와 V영어의 우연속 버전에 연관되어 있다. 즉, \tilde U(x) = \lim_{t\to x^+} U(t)와 유사하게 \tilde V(x).이다. 유계 구간은 U영어와 V영어가 비유계 구간에서 유한 변동을 가질 경우, 비유계 구간, 또는 로 대체될 수 있다.

확률 미적분학 이론에서 중요한 다른 결과는 다음과 같다. 유한 변동을 가지며, 우연속이고 좌극한을 갖는 두 함수 U영어와 V영어 (이러한 함수를 우연속 좌극한 함수(càdlàg프랑스어, RCLL영어)라고 부른다)가 주어지면

:U(t)V(t) = U(0)V(0) + \int_{(0,t]} U(s-)\,dV(s)+\int_{(0,t]} V(s-)\,dU(s)+\sum_{u\in (0,t]} \Delta U_u \Delta V_u,

여기서 이다. 이 결과는 이토의 보조정리의 전조로 볼 수 있으며, 확률 적분의 일반 이론에서 유용하다. 마지막 항은 이며, 이는 U영어와 V영어의 이차 공분산에서 발생한다. (이전 결과는 스트라토노비치 적분과 관련된 결과로 볼 수 있다.)[4]

5. 관련 개념

(관련 개념 섹션은 르베그-스틸티어스 적분과 관련된 다른 개념들을 소개하고 있으므로, 해당 내용을 비우고 하위 섹션의 내용으로 대체한다.)

5. 1. 르베그 적분 (Lebesgue integration)

카라테오도리 확장 정리에 의해, 모든 실수 x에 대해 일 때, 는 르베그 측도이며, 에 대한 의 르베그-스틸티어스 적분은 의 르베그 적분과 같다.[1]

5. 2. 리만-스틸티어스 적분 (Riemann–Stieltjes integration)

f영어가 실수 연속 함수(실 변수 실숫값의 연속 함수)이고, v영어가 비감소 실함수일 때, 르베그-스틸티어스 적분은 리만-스틸티어스 적분과 같다.[3] 이 경우 르베그-스틸티어스 적분을 다음과 같이 표현하여 측도 를 암묵적으로 나타낸다.

:\int_a^b f(x)\,dv(x)

특히 확률론에서 v영어가 실숫값 확률 변수 X영어의 누적 분포 함수인 경우 다음과 같이 자주 쓰인다.[3]

:\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dv(x) = \mathbb{E}[f(X)]

5. 3. 확률론과의 연관성

연속 실수 변수의 연속 함수 f영어와 단조 증가 함수 v영어에 대해, 르베그-스틸티어스 적분은 리만-스틸티어스 적분과 동일하다. 이때 측도 μv영어는 암묵적으로 둔 채, 다음과 같이 표현한다.

:\int_a^b f(x) \, dv(x)

이는 v영어가 실수 값 확률 변수 X영어의 누적 분포 함수인 확률론에서 특히 자주 사용되며, 이 경우 다음과 같이 표현된다.

:\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dv(x) = \mathrm{E}[f(X)].[4]

(자세한 내용은 리만-스틸티어스 적분 문서를 참조).

6. 역사

앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 따서 지어졌다.

7. 응용

만약 가 평면에서 가측 곡선이고 가 보렐 가측 함수라고 하자. 그러면 우리는 ρ로 가중된 유클리드 거리와 관련된 의 길이를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\int_a^b \rho(\gamma(t))\,d\ell(t),

여기서 \ell(t)는 로 의 제한된 부분의 길이이다. 이것은 때때로 의 -길이라고 불린다. 이 개념은 다양한 응용 분야에 매우 유용하다. 예를 들어, 진흙 지형에서 사람이 움직일 수 있는 속도는 진흙의 깊이에 따라 달라질 수 있다. 가 에서 또는 그 근처에서 걷는 속도의 역수를 나타내면, 의 -길이는 를 통과하는 데 걸리는 시간이다. 극단 길이의 개념은 곡선의 -길이라는 이 개념을 사용하며, 등각 사상 연구에 유용하다.

평면상의 유한 길이 곡선 γ: [''a'', ''b''] → '''R'''2 와 보렐 가측 함수 ρ: '''R'''2 → [0, ∞)에 대해, γ의 ρ에 의해 가중된 유클리드 길이를

: \int_a^b \rho(\gamma(t))\,dl(t)

로 정의한다. 단, ''l''(''t'')는 구간 [''a'', ''t'']로 제한했을 때의 γ의 호의 길이를 나타낸다. 이를 줄여서 γ의 ρ-길이라고 부르기도 한다. 이 개념은 다양한 응용 분야에서 매우 유용하다. 예를 들어 진흙탕을 이동하는 인간의 속도는 진흙의 깊이에 의존하므로, 위치 ''z'' 부근에서의 보행 속도의 역수를 ρ(''z'')로 쓴다면, 횡단선 γ의 ρ-길이는 γ를 따라 진흙탕을 건너는 데 걸리는 시간을 나타낸다. 또한, 등각 사상 연구에 유용한 극치적 길이(extremal length)도 곡선의 ρ-길이 개념을 사용한다.

```

참조

[1] 논문 Halmos (1974), Sec. 15
[2] 학술지 Integration by Parts for Stieltjes Integrals 1960-05
[3] 논문 Halmos (1974), Sec. 15
[4] 학술지 Integration by Parts for Stieltjes Integrals http://www.jstor.org[...] 2008-04-23
[5] 서적 Measure Theory and Probability Theory Springer 2006


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