맨위로가기

메넬라오스 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

메넬라오스 정리는 삼각형의 세 변 또는 연장선 위의 세 점이 공선점일 필요충분조건을 나타내는 정리이다. 이 정리는 세 점 D, E, F가 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB 위에 있을 때, AF/FB * BD/DC * CE/EA = -1 이라는 관계를 만족하면 D, E, F는 공선점이라는 것을 의미한다. 메넬라오스 정리는 수선의 발, 평행선, 호모테티, 넓이, 닮음 등을 이용하여 증명할 수 있으며, 다각형과 같은 일반적인 경우에도 확장될 수 있다. 또한, 역, 변의 중점에 대한 반사, 내각과 외각의 이등분선, 수심축, 외접원의 접선 등과 관련된 따름정리를 갖는다. 이 정리는 알렉산드리아의 메넬라오스가 구면 삼각형에 대해 처음 제시했으며, 이슬람 학자들에 의해 연구되었다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 아핀기하학 - 아핀 변환
    아핀 변환은 아핀 공간에서 직선의 형태와 평행성을 유지하는 변환으로, 선형 변환과 평행 이동의 결합으로 표현되며, 컴퓨터 그래픽스와 이미지 처리 등 여러 분야에서 활용되고 확대 행렬을 이용해 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다.
  • 아핀기하학 - 아핀 기하학
    아핀 기하학은 유클리드 기하학을 일반화한 것으로, 평행선 관계, 공선성과 같은 기하학적 성질을 연구하며, 평행선 공준을 만족하고 사영 기하학에서 무한대 초평면의 여집합으로 볼 수 있다.
  • 삼각형에 대한 정리 - 스튜어트 정리
    스튜어트 정리는 삼각형의 변과 체바 선분 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이며, 아폴로니우스 정리를 포함하고 코사인 법칙을 이용하여 증명한다.
  • 삼각형에 대한 정리 - 코사인 법칙
    코사인 법칙은 삼각형의 세 변 길이와 한 각의 코사인 값 사이의 관계를 나타내는 정리로, 두 변과 사잇각으로부터 제3의 변을 구하거나 세 변의 길이로 세 각을 구할 수 있으며, 직각삼각형의 경우 피타고라스 정리로 귀결된다.
  • 유클리드 평면기하학 - 피타고라스 정리
    피타고라스 정리는 직각삼각형에서 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 정리로, a² + b² = c²으로 표현되며, 한 변의 길이를 계산하는 데 사용되고, 여러 지역에서 알려졌으나 피타고라스 학파에 의해 체계화되었다고 전해진다.
  • 유클리드 평면기하학 - 스튜어트 정리
    스튜어트 정리는 삼각형의 변과 체바 선분 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이며, 아폴로니우스 정리를 포함하고 코사인 법칙을 이용하여 증명한다.
메넬라오스 정리
개요
분야기하학
설명삼각형의 변과 한 직선의 교점에 대한 정리
관련 인물메넬라오스
메넬라오스 정리 (평면)
가정삼각형 △ABC가 주어진다.
직선이 △ABC의 세 변 AB, BC, CA (또는 그 연장선)와 각각 점 D, E, F에서 만난다.
결론(BD/DC) * (CE/EA) * (AF/FB) = 1
역△ABC의 세 변 AB, BC, CA (또는 그 연장선) 위에 각각 점 D, E, F가 있다.
(BD/DC) * (CE/EA) * (AF/FB) = 1 이면, 세 점 D, E, F는 한 직선 위에 있다.
메넬라오스 정리 (구면)
가정구면 삼각형 ABC가 주어진다.
조건구면 위의 한 직선이 삼각형의 세 변 AB, BC, CA와 각각 점 D, E, F에서 만난다.
결론(sin BD/sin DC) * (sin CE/sin EA) * (sin AF/sin FB) = 1

2. 정의

점 D, E, F가 각각 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선 위에 있다고 하자. '''메넬라오스 정리'''에 따르면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.


  • D, E, F는 공선점이다.
  • 메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 안으로 지나지 않는 경우 - 유형 2.
    \frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1

여기서 각 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉, AF/FB는 F가 AB의 내분점이면 양수, 외분점이면 음수이며, 다른 비율도 마찬가지이다.

메넬라오스 정리, 경우 2: 선 DEF가 삼각형 △''ABC'' 밖에 완전히 놓여 있음


임의의 직선 l과 삼각형 ABC에 대해, 직선 l과 BC, CA, AB의 교점을 각각 D, E, F라고 할 때, 다음의 등식이 성립한다.

:{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = -1

(단, 직선 l은 삼각형과 공통점을 가질 수도, 갖지 않을 수도 있다.)

3. 증명

메넬라오스 정리의 증명은 여러 가지 방법이 있다.


  • 닮음을 이용한 증명: 닮음 삼각형의 성질을 이용하여 증명한다.
  • 평행선을 이용한 증명: 평행선의 성질을 이용하여 증명한다.
  • 호모테티를 이용한 증명: 아핀 기하학의 호모테티 개념을 이용하여 증명한다.[7]
  • 넓이를 이용한 증명: 삼각형의 넓이의 비를 이용하여 증명한다.

3. 1. 닮음을 이용한 증명

가 와 만나는 점을 로 하여, 를 에 평행하게 그린다. 그러면 닮음 삼각형에 의해

:\left|\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\right| = \left|\frac{\overline{BF}}{\overline{CK}}\right|, \quad \left|\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}\right| = \left|\frac{\overline{AF}}{\overline{CK}}\right|,

이고, 이 방정식에서 를 제거하면 결과가 나온다.[5]

그 역은 따름정리로 따라온다.[6] 선 위에 방정식이 성립하도록 가 주어졌다고 하자. 는 가 와 교차하는 점이라고 하자. 그러면 정리에 의해 방정식은 에 대해서도 성립한다. 이 두 식을 비교하면,

:\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} = \frac{\overline{AF'}}{\overline{F'B}}\ .

하지만, 한 점만이 주어진 비율로 선분을 자를 수 있으므로,

에 평행하게 에서 뻗은 선과 의 교점을 라고 한다. 닮음으로부터 다음이 성립한다.

:\left|\frac{BD}{DC}\right| = \left|\frac{BF}{CK}\right|,\quad\left|\frac{AE}{EC}\right| = \left|\frac{AF}{CK}\right|

좌측 식의 를 우측 식에 대입하거나, 반대로 우측 식을 좌측 식에 대입하여 정리하면 정리가 유도된다.

3. 1. 1. 증명 1 (수선의 발)

D, E, F가 공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 -1임을 보이자.[11] 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점 A, B, C에서 직선 DE에 내린 수선의 발을 P, Q, R라고 하자. 그렇다면 AP, BQ, CR는 평행선이므로

:

\left|\frac{AF}{FB}\right|=\left|\frac{AP}{BQ}\right|,\;

\left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{BQ}{CR}\right|,\;

\left|\frac{CE}{EA}\right|=\left|\frac{CR}{AP}\right|

이다. 따라서

:

\left|\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|

=\left|\frac{AP}{BQ}\cdot\frac{BQ}{CR}\cdot\frac{CR}{AP}\right|=1

가 성립한다.

반대로

:\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1

이라고 가정하고 D, E, F가 공선점임을 보이자. 직선 DE가 직선 AB와 F'에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여

:\frac{AF'}{F'B}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1

이며, 따라서

:\frac{AF}{FB}=\frac{AF'}{F'B}

이다. 직선 AB를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로 F=F'이며, 특히 F는 직선 DE 위의 점이다.

존 웰즐리 러셀(John Wellesley Russell)이 제시한 증명은 파슈 공리를 사용하여 직선이 삼각형과 만나는 경우와 만나지 않는 경우를 고려한다.[4] 먼저, 좌변의 부호는 음수가 될 것이다. 세 비율이 모두 음수인 경우, 즉 선 DEF가 삼각형을 지나지 않는 경우 또는 하나는 음수이고 다른 두 개는 양수인 경우, 즉 DEF가 삼각형의 두 변을 가로지르는 경우이다.

크기를 확인하기 위해 A, B, C에서 선 DEF에 수선을 긋고 그 길이를 각각 a, b, c라고 하자. 그러면 닮음 삼각형에 의해 다음이 성립한다.

:\left|\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\right| = \left|\frac{a}{b}\right|, \quad \left|\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\right| = \left|\frac{b}{c}\right|, \quad \left|\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\right| = \left|\frac{c}{a}\right|.

따라서,

:\left|\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\right| \times \left|\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\right| \times \left|\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\right| = \left| \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac{c}{a} \right| = 1.

CK를 AB에 평행하게 그리고, DEF가 CK와 만나는 점을 K로 하는 방법으로도 증명할 수 있다.[5] 그러면 닮음 삼각형에 의해

:\left|\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\right| = \left|\frac{\overline{BF}}{\overline{CK}}\right|, \quad \left|\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}\right| = \left|\frac{\overline{AF}}{\overline{CK}}\right|,

이고, 이 방정식에서 CK를 제거하면 결과가 나온다.

그 역은 따름정리로 따라온다.[6] 선 BC, AC, AB 위에 방정식이 성립하도록 D, E, F가 주어졌다고 하자. F'는 DE가 AB와 교차하는 점이라고 하자. 그러면 정리에 의해 방정식은 D, E, F'에 대해서도 성립한다. 이 두 식을 비교하면,

:\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} = \frac{\overline{AF'}}{\overline{F'B}}\ .

하지만, 한 점만이 주어진 비율로 선분을 자를 수 있으므로, F = F'이다.

ΔABC의 각 꼭짓점에서 직선 l에 수선을 내린다. 그러면, 3쌍의 닮은 직각삼각형이 나타나므로, 그 닮음비를 생각하면 된다.

3. 1. 2. 증명 2 (평행선)

D, E, F가 공선점이라고 가정하자.[12] 꼭짓점 B를 지나는 직선 DE에 평행한 직선이 대변 AC의 직선과 점 X에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형 ABX와 AFE는 서로 닮음이며, 삼각형 BCX와 DCE 역시 서로 닮음이다. 특히

:\left|\frac{AF}{FB}\right|=\left|\frac{AE}{EX}\right|,\;

\left|\frac{BD}{DC}\right|=\left|\frac{XE}{EC}\right|

이므로,

:\left|\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|

=\left|\frac{AE}{EX}\cdot\frac{XE}{EC}\cdot\frac{CE}{EA}\right|=1

이 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.

3. 2. 호모테티(닮음 변환)를 이용한 증명

다음 증명[7]은 아핀 기하학의 개념, 특히 호모테티만을 사용한다.

, , 가 공선점인지 여부에 관계없이, 각각 를 로, 를 로, 를 로 보내는 중심 , , 를 갖는 세 개의 호모테티가 존재한다. 이 셋의 합성은 를 고정하는 호모테티-이동 그룹의 원소이므로, 비율이 1일 수 있는 를 중심으로 하는 호모테티이다(이 경우 항등 변환이다). 이 합성은 를 고정하는데, 이는 가 , 와 공선점인 경우에만 해당된다(처음 두 호모테티는 확실히 를 고정하고, 세 번째 호모테티는 가 위에 있는 경우에만 고정하기 때문이다). 따라서 , , 가 공선점인 것은 이 합성이 항등 변환인 경우와 같으며, 이는 세 비율의 곱의 크기가 1이라는 것을 의미한다.

\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}} \times

\frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}} \times

\frac{\overrightarrow{FB}}{\overrightarrow{FA}} = 1,

이는 주어진 방정식과 동등하다.

3. 3. 넓이를 이용한 증명

직선 AD와 직선 BE의 교점을 G라고 하면, 다음과 같은 식이 성립한다.

:\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \vartriangle AED = \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \vartriangle CED = \frac{AF}{FB} \cdot \vartriangle BDE = \vartriangle AED

△AED≠0이므로, 다음이 성립한다.

:\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1

4. 역

역도 성립한다. 즉, 임의의 삼각형 ABC에 대해, 직선 AB, BC, CA 위에 점 F, D, E를 잡고, D, E, F 중 삼각형 ABC의 변 위에 있는 점이 0개 또는 2개일 때,

:{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1

이 성립한다면, 세 점 D, E, F는 한 직선 위에 있다.

5. 일반화

메넬라오스 정리는 일반적인 다각형에 대해서도 확장될 수 있다. 예를 들어 사각형의 각 변 또는 그 연장선과 직선의 교점에 대한 식이 성립하며, 이때 직선이 반드시 다각형을 지날 필요는 없다.[1]

5. 1. 다각형의 경우

메넬라오스 정리는 일반적인 다각형에 대해서도 확장될 수 있다. 예를 들어, 사각형 ''ABCD''의 네 변 ''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DA'' 또는 그 연장선과 직선 ''l''의 교점을 각각 ''E'', ''F'', ''G'', ''H''라고 하면 다음이 성립한다.[1]

:\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{DH}{HA}= 1

이때 직선이 반드시 다각형을 지날 필요는 없다.[1]

6. 따름정리

메넬라오스 정리에는 다음과 같은 따름정리가 있다.


  • 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 한 직선 위에 있다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 나머지 한 외각의 이등분선의 발은 한 직선 위에 있다.
  • 삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발을 연결하여 만든 수심 삼각형의 세 변이 원래 삼각형의 세 변과 만나는 점들은 공선점이며, 이 점들을 지나는 직선을 원래 삼각형의 '''수심축'''이라고 한다.
  • 삼각형의 외접원의 각 꼭짓점에서의 접선이 대변의 직선과 만나는 점들은 공선점이다.[1]

6. 1. 변의 중점에 대한 반사 관련 성질

점 D, E, F가 각각 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변 BC, CA, AB의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을 D', E', F'이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • D, E, F는 공선점이다.
  • D', E', F'는 공선점이다.

이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.

6. 2. 내각과 외각의 이등분선의 성질

삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 한 직선 위에 있다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 나머지 한 외각의 이등분선의 발은 한 직선 위에 있다. 다시 말해, 삼각형 ABC의 세 내각 또는 외각의 이등분선 AD, BE, CF가 대변 BC, CA, AB의 직선과 점 D, E, F에서 만난다고 할 때, 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발 D, E, F는 한 직선 위에 있다.

6. 3. 수심축

삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을 각각 P, Q, R이라고 하고, 수심 삼각형 PQR의 세 변 QR, RP, PQ가 각각 원래 삼각형의 세 변 BC, CA, AB와 점 D, E, F에서 만난다고 하자. 그렇다면 D, E, F는 공선점이며, 이 점들을 지나는 직선을 원래 삼각형 ABC의 '''수심축'''이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.

6. 4. 외접원의 접선의 성질

삼각형 ABC의 외접원의 각 꼭짓점 A, B, C에서의 접선이 대변 BC, CA, AB의 직선과 점 D, E, F에서 만난다고 하자. 그렇다면 D, E, F는 공선점이다.[1]

7. 역사

알렉산드리아의 메넬라오스는 저서 《구면학》(Sphaericala)에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다.[13] 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.[13] 정리가 실제로 누가 발견했는지는 불분명하지만, 가장 오래된 현존하는 설명은 메넬라오스의 《구면기하학》(Spherics)에 나타난다. 이 책에서 정리의 평면 버전은 정리의 구면 버전을 증명하기 위한 보조 정리로 사용된다.[8]

프톨레마이오스는 알마게스트에서 구면 천문학의 여러 문제에 이 정리를 적용했다.[9] 이슬람 황금 시대 동안, 무슬림 학자들은 메넬라오스 정리를 연구하는 여러 저작물을 썼으며, 이를 "할선의 명제"(shakl al-qatta')라고 불렀다. 완전 사변형은 그들의 용어로는 "할선의 도형"이라고 불렸다.[9] 알 비루니의 저서 《천문학의 열쇠》는 그러한 저작물들을 나열하는데, 이는 알-나이리시와 알-하자인의 저작처럼 프톨레마이오스의 《알마게스트》에 대한 주석의 일부로 연구된 것으로 분류될 수 있으며, 여기서 각자는 사인 법칙으로 이어진 메넬라오스 정리의 특정 경우를 증명했다.[10] 또는 다음과 같이 독립적인 논문으로 구성된 저작물이 있다.


  • 사비트 이븐 쿠라의 "할선의 도형에 관한 논문"(Risala fi shakl al-qatta').[9]
  • 후삼 알-딘 알-살라르의 《할선의 도형의 신비에서 베일을 벗기다》(Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), 유럽에서는 《완전 사변형에 관한 논문》으로도 알려진 "할선의 도형에 관한 책"(Kitab al-shakl al-qatta'). 이 유실된 논문은 샤라프 알-딘 알-투시와 나시르 알-딘 알-투시에 의해 언급되었다.[9]
  • 알-시지의 저작.[10]
  • 아부 나스르 이븐 이라크의 《타흐디브》.[10]
  • Roshdi Rashed와 Athanase Papadopoulos의, Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/al-Harawi's version (아랍어 원고에서 메넬라오스의 구면기하학 비평판, 역사 및 수학적 해설 포함), De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages.

참조

[1] 문서 p. 6 https://archive.org/[...]
[2] 서적 Advanced Euclidean Geometry Dover
[3] 간행물 A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry https://www.helderma[...] 2007
[4] 서적 Pure Geometry https://archive.org/[...] Clarendon Press
[5] 서적 Inductive Plane Geometry https://archive.org/[...] D.C. Heath & Co.
[6] 문서 Follows Russel with some simplification
[7] 문서 See Michèle Audin, Géométrie, éditions BELIN, Paris 1998: indication for exercise 1.37, p. 273
[8] 서적 History of Mathematics Courier Dover Publications
[9] 서적 Encyclopedia of the history of Arabic science Routledge
[10] 간행물 Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations Cambridge University Press
[11] 서적 Geometry Revisited Mathematical Association of America 1967
[12] 서적 Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry The Mathematical Association of America 1995
[13] 서적 Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1 Oxford University Press 1972


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com