민코프스키 물음표 함수

3. 정의

어떤 실수 $x$가 다음과 같은 연분수를 가진다고 하자.

:$x=a\_0+\backslash frac1\{a\_1+\backslash frac1\{a\_2+\backslash cdots\}\}=[a\_0;a\_1,a\_2,\backslash ldots]$

이 수열은 $x$가 유리수일 경우 유한하고, 무리수일 경우 무한하다.

그렇다면 '''민코프스키 물음표 함수''' $?(x)$는 다음과 같다.

:$?(x)\; =\; a\_0\; +\; 2\; \backslash sum\_\{n=1,2,\backslash dots\}\backslash frac\{(-1)^\{n+1\}\}\{2^\{a\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\}\}$

만약 $x$가 유리수라면, 즉 $x$의 연분수 표현이 유한하다면 위의 합은 유한급수이다. 반면 $x$가 무리수라면 위 급수는 무한급수이지만 항상 수렴한다.

물음표 함수는 주어진 실수의 연분수를 실행 길이로 인코딩된 이진수열로 변환한 다음, 해당 수열을 이진수로 재해석하여 정의할 수도 있다.^[2][3] 예를 들어, 3.2676의 물음표 함수 값은 대략 π이다. 이를 공식적으로 정의하면 다음과 같다.

무리수 $x$가 (종료되지 않는) 연분수 표현

$$x=a\_0+\backslash frac\{1\}\{\backslash displaystyle\; a\_1+\backslash frac\{1\}\{\backslash displaystyle\; a\_2+\backslash cdots\}\}=[a\_0;a\_1,a\_2,\backslash dots]$$

을 가진다면, $x$에 대한 물음표 함수의 값은 무한 급수의 값으로 정의된다.

:$$\backslash operatorname\{?\}(x)\; =\; a\_0\; +\; 2\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash left(-1\backslash right)^\{n+1\}\}\{2^\{a\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\}\}.$$

유리수 $x$는 종료되는 연분수 표현 $[a\_0;a\_1,a\_2,\backslash dots,a\_m]$을 가지므로, $x$에 대한 물음표 함수의 값은 유한 합으로 정의되는 2진 유리수로 축소된다.

:$$\backslash operatorname\{?\}(x)\; =\; a\_0\; +\; 2\; \backslash sum\_\{n=1\}^m\; \backslash frac\{\backslash left(-1\backslash right)^\{n+1\}\}\{2^\{a\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_n\}\}.$$

이차 무리수 $x$는 주기적 연분수로 표현되므로, $x$에 대한 물음표 함수의 값은 주기적 이진 분수이며 따라서 2진 유리수가 아닌 유리수이다.

0과 1 사이의 실수에 대한 물음표 함수는 칸토어 함수가 삼진법 표현을 이진법 표현으로 사상하는 것과 유사하게 작동한다.^[2][3]

단위 구간 내의 유리수의 경우, 함수를 재귀적으로 정의할 수도 있다. $\backslash frac\{p\}\{q\}$ 와 $\backslash frac\{r\}\{s\}$ 가 $|ps\; -\; rq|\; =\; 1$을 만족하는 (파레이 수열의 인접한 항인) 기약분수일 경우^[4], 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{?\}\backslash left(\backslash frac\{p\; +\; r\}\{q\; +\; s\}\backslash right)\; =\; \backslash frac12\; \backslash left[\backslash operatorname\{?\}\backslash left(\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash right)\; +\; \backslash operatorname\{?\}\backslash left(\backslash frac\{r\}\{s\}\backslash right)\backslash right]$

초기 조건을 다음과 같이 부여하면,

:$\backslash operatorname\{?\}\backslash left(\backslash frac\{0\}\{1\}\backslash right)\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash text\{\; and\; \}\; \backslash quad\; \backslash operatorname\{?\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{1\}\backslash right)\; =\; 1$

파레이 수열을 통해 임의의 유리수 $x$에 대해 $?(\text{'}\text{'}x\text{'}\text{'})$를 계산할 수 있다.

4. 성질

민코프스키 물음표 함수는 다음과 같은 여러 독특한 성질을 갖는다.

• 연속 함수이지만 절대 연속 함수는 아니다.^[5]
• 강한 단조증가함수이다.^[5]
• $?(x)-x$는 주기가 1인 홀함수 주기함수이다.
• 유리수를 이진 유리수로, 이차 무리수를 비이진 유리수로 사상한다.^[2][3] 이는 순서 동형을 이룬다.^[2][3]
• 0, 1/2, 1에서 고정점을 가지며, 약 0.42037 근처에도 고정점이 존재한다.^[6] 이 외에 추가적인 고정점이 존재한다는 추측이 있다.
• 그래프는 프랙탈 모양을 가지며, 여러 자기 유사성을 보인다.

5. 자기 유사성

물음표 함수는 시각적으로 뚜렷한 자기 유사성을 나타낸다. 이러한 자기 유사성은 두 연산자 $S$와 $R$에 의해 생성되는 모노이드로 기술될 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

S(x, y) &= \left( \frac x {x+1}, \frac y 2 \right), \\[5px]

R(x, y) &= (1 - x, 1 - y).

\end{align}

시각적으로 $S$는 단위 정사각형을 왼쪽 아래 사분면으로 축소하고, $R$은 중심을 기준으로 점 대칭을 수행한다.

$?$의 함수 그래프상의 한 점은 단위 구간에서 어떤 $x$에 대해 좌표 $(x, ?(x))$를 가지며, $?$는 모든 $x \in [0, 1]$에 대해 다음 항등식을 만족하기 때문에 $S$와 $R$에 의해 그래프의 다른 점으로 변환된다.^[2][3]

:$\backslash begin\{align\}$

\operatorname{?}\left(\frac{x}{x+1}\right) &= \frac{\operatorname{?}(x)}{2}, \\[5px]

\operatorname{?}(1 - x) &= 1 - \operatorname{?}(x).

\end{align}

이 두 연산자는 반복적으로 결합되어 모노이드를 형성할 수 있다. 모노이드의 일반적인 요소는 양의 정수 $a_1, a_2, a_3, \cdots$에 대해

:$S^{a_1} R S^{a_2} R S^{a_3} \cdots$

가 된다. 이러한 각 요소는 물음표 함수의 자기 유사성을 나타낸다. 이 모노이드는 주기 배가 모노이드라고도 불리며, 모든 주기 배가 프랙탈 곡선은 이에 의해 설명되는 자기 대칭을 갖는다(물음표 함수가 특수한 경우인 드 람 곡선은 그러한 곡선의 한 범주이다). 모노이드의 요소는 $a_1, a_2, a_3, \cdots$를 연분수 $[0; a_1, a_2, a_3, \cdots]$로 식별함으로써 유리수와 일치한다.

:$S : x \mapsto \frac{x}{x+1}$

:$T : x \mapsto 1 - x$

는 모두 정수 계수의 선형 분수 변환이므로, 이 모노이드는 모듈러 군 $PSL(2, \mathbb{Z})$의 부분 집합으로 간주할 수 있다.

5. 1. 이진 대칭성 (Dyadic symmetry)

• $\backslash operatorname\{?\}\backslash left(\backslash frac\{x\}\{x+1\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{?\}(x)\}\{2\}$
• $\backslash operatorname\{?\}(1\; -\; x)\; =\; 1\; -\; \backslash operatorname\{?\}(x)$

5. 2. 동형 사상 (Isomorphism)

5. 3. 이진 변환의 주기 궤도 (Periodic orbits of the dyadic transform)

5. 4. 주기적 연분수 (Periodic orbits as continued fractions)

6. 알고리즘

c

/* 민코프스키 물음표 함수 */

double minkowski(double x) {

long p = x;

long q = 1, r = p + 1, s = 1, m, n;

double d = 1, y = p;

if (x < p || (p < 0) ^ (r <= 0))

return x; /* out of range ?(x) =~ x */

for (;;) { /* invariants: q * r - p * s == 1 && p / q <= x && x < r / s */

d /= 2;

if (y + d == y)

break; /* reached max possible precision */

m = p + r;

if ((m < 0) ^ (p < 0))

break; /* sum overflowed */

n = q + s;

if (n < 0)

break; /* sum overflowed */

if (x < (double)m / n) {

r = m;

s = n;

} else {

y += d;

p = m;

q = n;

}

}

return y + d; /* final round-off */

}

```

이 코드는 C로 작성되었으며, 민코프스키 물음표 함수를 계산하는 알고리즘을 보여준다. 이 알고리즘은 슈테른-브로콧 트리를 탐색하는 방식으로 동작한다.

7. 확률 분포

민코프스키 물음표 함수를 ?:[0,1] → [0,1]로 정의하면, 이는 단위 구간에서의 특이 분포의 누적 분포 함수로 사용될 수 있다. 이 분포는 0.5를 기준으로 대칭이며, 원점 모멘트는 대략적으로 ''m''<sub>1</sub> = 0.5, ''m''<sub>2</sub> = 0.290926, ''m''<sub>3</sub> = 0.186389, ''m''<sub>4</sub> = 0.126992이다.<sup>[5]</sup> 따라서 평균과 중앙값은 0.5이고, 표준 편차는 약 0.2023이며, 왜도는 0이고, 초과 첨도는 약 −1.147이다.

8. 콘웨이의 상자 함수

콘웨이는 물음표 함수의 역함수를 독립적으로 발견하고, ''x'' 주위에 상자를 그리는 표기법(x)으로 표현했다. 상자 함수는 의 이진법 표현을 인코딩하여 계산할 수 있다. 여기서 ⌊ ''x'' ⌋는 바닥 함수이다. 이진법 표현에서 소수점 오른쪽으로 0이 ''n''<sub>1</sub>개, 1이 ''n''<sub>2</sub>개, 0이 ''n''<sub>3</sub>개와 같이 계속될 때, ''n''<sub>0</sub> = ⌊ ''x'' ⌋라고 하면,

:''x'' = [''n''<sub>0</sub>; ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, ''n''<sub>3</sub>, … ]

이다. 여기서 우변은 연분수이다.

참조

<sub>[1]</sub> 논문 A two-dimensional Minkowski {{math|?(''x'')}} function
<sub>[2]</sub> 서적
<sub>[3]</sub> 서적
<sub>[4]</sub> 서적
<sub>[5]</sub> 서적
<sub>[6]</sub> 서적
<sub>[7]</sub> 간행물
<sub>[8]</sub> 간행물