바우스필드 국소화

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1. 개요
2. 정의
3. 존재성
4. 보편 성질
5. 예시
6. 역사
참조

1. 개요

바우스필드 국소화는 주어진 모형 범주 내에서 사상들의 특정 집합에 대한 새로운 모형 구조를 구성하는 방법이다. 왼쪽 바우스필드 국소화는 쌍대올뭉치 모임을 유지하고, 오른쪽 바우스필드 국소화는 올뭉치 모임을 유지하며, 약한 동치 모임을 확장한다. 바우스필드 국소화는 스펙트럼의 국소화와 완비화, 안정 호모토피 범주 구성, dg 범주의 모리타 모형 구조 등 다양한 예시를 가지며, 올드리지 나이트 바우스필드에 의해 1979년에 도입되었다.

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바우스필드 국소화

2. 정의

모형 범주 $(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)$ 와, 원래의 약한 동치 모임 $\mathfrak W$ 를 포함하는 더 큰 사상 모임 $\mathfrak W_{\text{loc}}\supseteq\mathfrak W$ 가 주어졌다고 하자. 바우스필드 국소화는 이 $\mathfrak W_{\text{loc}}$ 를 새로운 약한 동치로 사용하여 원래 모형 범주의 구조를 변경하는 과정이다. 이 과정은 크게 왼쪽과 오른쪽 국소화로 나뉜다.

'''왼쪽 바우스필드 국소화'''(left Bousfield localization^영어): 새로운 약한 동치 $\mathfrak W_{\text{loc}}$ 와 원래 쌍대올뭉치 $\mathfrak C$ 를 유지하며, 오른쪽 올림 성질을 통해 새로운 올뭉치 $\mathfrak F_{\text{loc}}\subseteq\mathfrak F$ 를 정의한다. 결과 모형 범주는 $(\mathcal C,\mathfrak W_{\text{loc}},\mathfrak F_{\text{loc}},\mathfrak C)$ 이다.^[4] 이때 비순환 올뭉치 모임( $\mathfrak W\cap\mathfrak F = \mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak F_{\text{loc}}$ )은 변하지 않는다.

'''오른쪽 바우스필드 국소화'''(right Bousfield localization^영어): 새로운 약한 동치 $\mathfrak W_{\text{loc}}$ 와 원래 올뭉치 $\mathfrak F$ 를 유지하며, 왼쪽 올림 성질을 통해 새로운 쌍대올뭉치 $\mathfrak C_{\text{loc}}\subseteq\mathfrak C$ 를 정의한다. 결과 모형 범주는 $(\mathcal C,\mathfrak W_{\text{loc}},\mathfrak F,\mathfrak C_{\text{loc}})$ 이다. 이때 비순환 쌍대올뭉치 모임( $\mathfrak W\cap\mathfrak C = \mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak C_{\text{loc}}$ )은 변하지 않는다.

이러한 국소화는 특정 사상들의 종류 ''C''를 기준으로 정의되기도 한다. 이때 ''C''-국소 동치와 ''C''-국소 객체 개념이 중요하다. ''C''-국소 동치는 ''C''-국소 객체로의 사상에서 약한 동치를 유도하는 사상

f\colon X \to Y

를 의미하며, ''C''-국소 객체는 특정 조건을 만족하는 (쌍대)올대상이다. 구체적으로, 모든 ''C''-국소 객체 ''W''에 대해 유도된 사상

f^* \colon \operatorname{map} (Y, W) \to \operatorname{map} (X, W)

가 약한 동치일 때

f

를 ''C''-국소 동치라고 한다. 여기서

\operatorname{map}(-, -)

는 특정 단순 집합으로, 그 경로 연결 요소 집합은 호모토피 범주

Ho(M)

의 사상 집합과 관련된다 (

\pi_0 (\operatorname{map}(X, Y)) = \operatorname{Hom}_{Ho(M)}(X, Y)

).

왼쪽 국소화에서는 ''C''-국소 동치가 새로운 약한 동치가 되고, 오른쪽 국소화는 쌍대적으로 정의된다. 이 정의만으로 국소화된 모형 구조의 존재성이 보장되지는 않으며, 이는 별도로 확인해야 할 조건이다.

2. 1. 왼쪽 바우스필드 국소화

모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

가 주어졌다고 하자. 또한, 3개 가운데 2개 성질을 만족시키는 사상 모임

:

\mathfrak W_{\text{loc}}\supseteq\mathfrak W

이 존재한다고 하자. 그렇다면,

\mathcal C

의

\mathfrak W_{\text{loc}}

에 대한 '''왼쪽 바우스필드 국소화'''(left Bousfield localization^영어)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 모형 범주

(\mathcal C_{\text{loc,left}},\mathfrak W_{\text{loc}},\mathfrak F_{\text{loc}},\mathfrak C)

이다.

$\mathcal C_{\text{loc,left}}$ 의 약한 동치 모임은 $\mathfrak W_{\text{loc}}$ 이다. 즉, 원래의 약한 동치 모임 $\mathfrak W$ 를 포함하는 더 큰 모임이다.
$\mathcal C_{\text{loc,left}}$ 의 쌍대올뭉치 모임은 $\mathfrak C$ 이다. 즉, 원래 모형 범주 $\mathcal C$ 에서와 같다.
$\mathcal C_{\text{loc,left}}$ 의 올뭉치 모임 $\mathfrak F_{\text{loc}}\subseteq\mathfrak F$ 은 오른쪽 올림 성질로부터 결정된다. 즉, $\mathfrak F_{\text{loc}}=(\mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak C_{\text{loc}})^\pitchfork$ 이다. 이는 원래 올뭉치 모임 $\mathfrak F$ 의 부분 모임이 된다.

이 과정에서 비순환 쌍대올뭉치 모임은 증가하고, 따라서 올뭉치 모임은 감소하지만, 비순환 올뭉치 모임은 변하지 않는다.^[4]

:

(\mathfrak C)^\pitchfork=\mathfrak W\cap\mathfrak F=\mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak F_{\text{loc}}

또한, 항등 함자

\mathcal C\to\mathcal C_{\text{loc,left}}

는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉,

\mathcal C_{\text{loc,left}}

는 퀼런 수반 모형 범주 쌍

(\mathcal C_{\text{loc,left}},\mathcal C)

의 왼쪽 성분이 된다.

모형 범주 ''M'' 내의 사상들의 종류 ''C''가 주어졌을 때, 왼쪽 바우스필드 국소화는 원래 범주 ''M'' 위에 정의되는 새로운 모형 구조로도 설명할 수 있다. 이 새로운 구조의 약한 동치, 쌍대올림, 올림은 각각 다음과 같다.

''약한 동치:'' ''C''-국소 동치
''쌍대올림:'' ''M''의 원래 쌍대올림
''올림:'' ''M''의 원래 쌍대올림에 대해 오른쪽 리프팅 속성을 가지면서 동시에 ''C''-국소 동치인 사상. (이는 쌍대올림과 약한 동치가 올림을 결정하기 때문에 필연적인 결과이다.)

여기서 ''C''-국소 동치란, 대략적으로 말해 ''C''-국소 객체로 사상할 때 차이를 만들지 않는 사상

f\colon X \to Y

를 의미한다. 더 정확하게는, 모든 ''C''-국소 객체 ''W''에 대해 유도된 사상

f^* \colon \operatorname{map} (Y, W) \to \operatorname{map} (X, W)

가 (단순 집합의) 약한 동치가 되어야 한다.

객체 ''W''가 ''C''-국소라고 하는 것은, ''W''가 (원래 모형 범주 ''M''에서) 올림이면서 다음 조건을 만족하는 경우이다: ''C''에 속하는 ''모든'' 사상

s\colon A \to B

에 대해, 유도된 사상

:

s^* \colon \operatorname{map} (B, W) \to \operatorname{map} (A, W)

가 약한 동치가 되어야 한다.

표기법

\operatorname{map}(X, Y)

는 특정 단순 집합을 나타내며, 이 단순 집합의 경로 연결 요소 집합은 ''M''의 호모토피 범주

Ho(M)

내의 사상 집합과 일치한다.

:

\pi_0 (\operatorname{map}(X, Y)) = \operatorname{Hom}_{Ho(M)}(X, Y)

만약 ''M''이 단순 모형 범주(예를 들어, 단순 집합들의 범주나 위상 공간들의 범주)라면, 위의

\operatorname{map}(X, Y)

는 ''M''의 도출된 단순 사상 공간(derived simplicial mapping space)으로 생각할 수 있다.

이 설명은 왼쪽 바우스필드 국소화 모형 구조의 존재성을 보장하지는 않는다. 존재성에 대한 조건은 별도로 다루어져야 한다.

2. 2. 오른쪽 바우스필드 국소화

왼쪽 바우스필드 국소화와 유사하게, 오른쪽 바우스필드 국소화(right Bousfield localization^영어)

(\mathcal C_{\text{loc,right}},\mathfrak W_{\text{loc}},\mathfrak F,\mathfrak C_{\text{loc}})

는 주어진 모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

와 약한 동치 모임의 확장

\mathfrak W_{\text{loc}}\supseteq\mathfrak W

에 대해 정의된다. 이 국소화는 올뭉치 모임

\mathfrak F

를 그대로 유지하고, 쌍대올뭉치 모임

\mathfrak C

를

\mathfrak C_{\text{loc}}\subseteq\mathfrak C

로 변경한다. 이때 새로운 쌍대올뭉치 모임

\mathfrak C_{\text{loc}}

는 왼쪽 올림 성질에 의해

\mathfrak C_{\text{loc}} = {}^\pitchfork(\mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak F)

로 결정된다.

결과적으로 비순환 쌍대올뭉치 모임은 변하지 않는다. 즉, 다음 등식이 성립한다.

:

^\pitchfork(\mathfrak F)=\mathfrak W\cap\mathfrak C=\mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak C_{\text{loc}}

또한, 항등 함자

\operatorname{id}\colon\mathcal C\to\mathcal C_{\text{loc,right}}

는 퀼런 수반 함자를 이루며, 이는

\mathcal C_{\text{loc,right}}

가 퀼런 수반 모형 범주 쌍

(\mathcal C,\mathcal C_{\text{loc,right}})

의 오른쪽 성분임을 의미한다.

2. 3. 국소 약한 동치

흔히 국소 약한 동치

\mathfrak W_{\text{loc}}

는 특정 사상 집합

S

에 대한 국소 약한 사상(local weak equivalence^영어)으로 정의된다. 왼쪽 바우스필드 국소화의 경우를 중심으로 설명하면 다음과 같다. (오른쪽 바우스필드 국소화는 이 설명의 쌍대적인 개념을 사용한다.)

\mathcal C

가 단체 집합의 범주 위에 정의된 풍성한 범주이며, 그 구조가 모형 범주 구조와 호환된다고 가정하자. 또한, 정의역이 쌍대올대상인 쌍대올뭉치들의 집합

S

가 주어졌다고 하자. 이때

\mathcal C

안의 올대상

X

가 다음 조건을 만족하면, $C$ -국소 올대상(

C

-local fibrant object^영어)이라고 한다.

모든 사상 $(f\in C)\colon A\hookrightarrow B$ 에 대하여, 유도된 사상 $f^*\colon\hom_{\mathcal C}(B,X)\to\hom_{\mathcal C}(A,X)$ 는 비순환 올뭉치를 이룬다. 즉, 이 사상은 약한 동치이면서 칸 올뭉치이다.

또한,

\mathcal C

안의 쌍대올뭉치

f\colon A\hookrightarrow B

가 다음 조건을 만족하면, $S$ -국소 약한 동치(

S

-local weak equivalence^영어)라고 한다.

모든 $S$ -국소 올대상 $X$ 에 대하여, 유도된 사상 $f^*\colon\hom_{\mathcal C}(B,X)\to\hom_{\mathcal C}(A,X)$ 는 비순환 올뭉치를 이룬다.

모형 범주 ''M'' 내의 사상들의 종류 ''C''가 주어졌을 때, 왼쪽 바우스필드 국소화는 원래 범주 위에 새로운 모형 구조를 정의한다. 이 새로운 구조에서 약한 동치, 쌍대올뭉치, 올뭉치는 각각 다음과 같이 정의된다.

약한 동치: ''C''-국소 동치
쌍대올뭉치: 원래 모형 범주 ''M''의 쌍대올뭉치
올뭉치: ''M''의 쌍대올뭉치에 대해 오른쪽 리프팅 속성을 가지면서 동시에 ''C''-국소 동치인 사상

여기서 ''C''-국소 동치란, 대략적으로 말해 ''C''-국소 대상(object)으로 사상(map)했을 때 차이를 만들지 않는 사상

f\colon X \to Y

를 의미한다. 더 정확하게 정의하면, 모든 ''C''-국소 대상 ''W''에 대해 유도된 사상

f^* \colon \operatorname{map} (Y, W) \to \operatorname{map} (X, W)

가 (단체 집합 범주에서의) 약한 동치가 되어야 한다.

대상 ''W''가 ''C''-국소(

C

-local^영어)라는 것은, ''W''가 원래 모형 범주 ''M''에서 올대상이고, ''C''에 속하는 ''모든'' 사상

s\colon A \to B

에 대해 다음 사상

s^*

가 약한 동치임을 의미한다.

:

s^* \colon \operatorname{map} (B, W) \to \operatorname{map} (A, W)

위 정의에서 사용된 표기

\operatorname{map}(-, -)

는 특정 단체 집합을 나타내며, 이 단체 집합의 경로 연결 요소들의 집합(

\pi_0

)은 ''M''의 호모토피 범주

Ho(M)

내의 사상 집합과 일치한다.

:

\pi_0 (\operatorname{map}(X, Y)) = \operatorname{Hom}_{Ho(M)}(X, Y).

만약 ''M''이 단순 모형 범주(예를 들어, 단체 집합의 범주나 위상 공간의 범주)라면, 위의

\operatorname{map}(-, -)

은 ''M''의 유도된 단순 사상 공간(derived simplicial mapping space)으로 생각할 수 있다.

이 설명은 이러한 국소화된 모형 구조의 존재 자체를 증명하지는 않는다. 쌍대적인 개념으로, 쌍대올뭉치를 올뭉치로 대체하고 모든 화살표의 방향을 반대로 하여 정의되는 ''오른쪽 바우스필드 국소화''도 존재한다.

3. 존재성

모형 범주 ''M''이 특정 조건을 만족하고, 대상 범주 ''C''가 집합인 경우, 바우스필드 국소화 모형 구조가 존재한다.

왼쪽 바우스필드 국소화는 다음 조건 중 하나를 만족할 때 존재한다:

''M''이 왼쪽 적절하고 조합적일 때. 왼쪽 적절성은 코파이브레이션을 따른 약한 동치의 푸쉬아웃이 다시 약한 동치가 됨을 의미한다.
''M''이 왼쪽 적절하고 셀룰러일 때.

마찬가지로, 오른쪽 바우스필드 국소화는 다음 조건 중 하나를 만족할 때 존재한다:

''M''이 오른쪽 적절하고 셀룰러일 때.
''M''이 오른쪽 적절하고 조합적일 때.

특히, 모형 범주의 조합성과 셀룰러성은 ''M''의 코파이브레이션에 대한 강력한 제어를 보장한다는 점에서 중요한 조건으로 여겨진다.

4. 보편 성질

범주 ''C''의 국소화 $C[W^{-1}]$ 는 사상 집합 ''W''에 관해 다음과 같은 보편적 성질을 만족한다.

함자 $C \to C[W^{-1}]$ 가 존재하여 ''W''에 속하는 모든 사상을 동형 사상으로 보낸다.
''W''를 ''D''의 동형 사상으로 보내는 임의의 함자 $C \to D$ 는 앞서 언급한 함자 $C \to C[W^{-1}]$ 를 통해 유일하게 분해된다.

바우스필드 국소화는 이러한 범주 국소화 개념을 모형 범주에 맞게 확장한 것으로 이해할 수 있다. 일반적인 범주론에서의 동형 사상 개념이 모형 범주에서는 약한 동치 개념으로 대체된다는 점을 염두에 두어야 한다. 즉, (왼쪽) 바우스필드 국소화

L_C M

는 다음을 만족한다.

왼쪽 퀼렌 함자 $M \to L_C M$ 가 존재하며, 이 함자의 왼쪽 유도 함자는 ''C''에 속하는 모든 사상을 약한 동치로 보낸다.
왼쪽 유도 함자가 ''C''를 약한 동치로 보내는 임의의 왼쪽 퀼렌 함자 $M \to N$ 는 $M\to L_C M$ 를 통해 유일하게 분해된다.

5. 예시

바우스필드 국소화는 대수적 위상수학과 호모토피 이론의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 다양한 구체적인 예시를 통해 그 개념을 이해할 수 있다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

스펙트럼의 국소화와 완비화는 바우스필드 국소화의 중요한 예시 중 하나이다. 예를 들어, 구 스펙트럼을 특정 소수에서 국소화하여 국소 스펙트럼을 얻는 과정이 이에 해당한다.
안정 호모토피 범주를 정의하는 데 사용되는 스펙트럼의 안정 모형 구조 역시 바우스필드 국소화의 한 종류로 볼 수 있다. 이는 스펙트럼의 레벨 모형 구조로부터 왼쪽 바우스필드 국소화를 통해 구성된다.^[3]
작은 dg 범주의 범주에 부여되는 모리타 모형 구조 또한 표준 모형 구조의 바우스필드 국소화로 정의된다.

5. 1. 스펙트럼의 국소화와 완비화

소수 ''p''에서의 스펙트럼의 국소화와 완비화는 모두 바우스필드 국소화의 예시이며, 이 과정을 통해 국소 스펙트럼이 생성된다. 예를 들어, 구 스펙트럼 ''S''를 소수 ''p''에서 국소화하면 국소 구

S_{(p)}

를 얻는다.

5. 2. 스펙트럼의 안정 모형 구조

안정 호모토피 범주는 스펙트럼에 안정 모형 구조를 부여하여 얻은 호모토피 범주(모형 범주의 의미에서)이다. 이 안정 모형 구조는 스펙트럼에 대한 레벨 모형 구조(또는 사영 모형 구조)의 왼쪽 바우스필드 국소화로 얻어진다. 여기서 레벨 모형 구조의 약한 동치(또는 올)는 모든 레벨에서 약한 동치(또는 올)인 사상이다.^[3]

5. 3. dg 범주의 모리타 모형 구조

작은 dg 범주의 범주에 대한 모리타 모형 구조는 표준 모형 구조(약한 동치, 즉 약한 동치가 준-동치인 모형 구조)의 바우스필드 국소화이다.

6. 역사

올드리지 나이트 바우스필드(Aldridge Knight Bousfield^영어)가 1979년에 스펙트럼을 다루기 위하여 도입하였다.^[5]^[6]

참조

_[1] 논문 The localization of spectra with respect to homology http://www.uio.no/st[...] Topology 1979
_[2] 논문 The localization of spaces with respect to homology Topology 1975
_[3] 간행물 Spectra and symmetric spectra in general model categories http://www.math.uiuc[...]
_[4] 서적 Model categories and their localizations http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 2003
_[5] 저널 The localization of spectra with respect to homology 1979
_[6] 저널 The localization of spaces with respect to homology 1975-06

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