베로네세 매장

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 사영 공간의 경우
3. 동기
4. 베로네세 사상
- 4.1. 유리 정규 곡선
5. 성질
6. 예
- 6.1. 유리 정규 곡선
- 6.2. 베로네세 곡면
7. 역사
참조

1. 개요

베로네세 매장은 대수기하학에서 사용되는 개념으로, 주어진 등급환을 이용하여 정의되는 스킴의 동형 사상이다. 특히, 사영 공간을 다른 사영 공간에 닫힌 몰입시키는 사상으로, 원뿔 곡선 연구에서 자연스럽게 나타난다. 베로네세 사상은 일반적인 차수 d를 갖는 n+1 변수의 사상으로, 유리 정규 곡선과 베로네세 곡면과 같은 다양한 예시를 포함한다. 이 개념은 이탈리아 수학자 주세페 베로네세의 이름을 따서 명명되었다.

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베로네세 매장

2. 정의

임의의 자연수 등급 가환환

: $R = \bigoplus_{i=0}^\infty R_i$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 정수 $d\in\mathbb Z^+$ 에 대하여 자연수 등급 가환환

: $R^{[d]} = \bigoplus_{i=0}^\infty R_{di}$

: $R^{[d]}_i = R_{di}$

을 정의할 수 있다. '''베로네세 동형 사상'''은 다음과 같은 스킴의 동형 사상이다.

: $\operatorname{Proj}R = \operatorname{Proj}R^{[d]}\qquad\forall d\in\mathbb Z^+$

여기서 $\operatorname{Proj}$ 는 사영 스펙트럼이다.

만약 $R^{[d]}$ 가 $R_0$ 및 $R_d$ 만으로 생성된다고 하고, $R_d$ 의 $R_0$ -가군으로서의 임의의 생성원 집합을 $S$ 라고 하자. 그렇다면, 몫 환 준동형

: $R_0[S] \to R^{[d]}$

이 존재하며, 이를 통하여 닫힌 몰입

: $\operatorname{Proj} R \cong \operatorname{Proj}R^{[d]} \hookrightarrow \operatorname{Proj}R_0[S]$

이 존재한다. 이를 '''베로네세 매장'''이라고 한다.

2. 1. 사영 공간의 경우

가환환

K

가 주어졌을 때, 사영 공간

\mathbb P_K^n = \operatorname{Proj}K[x_0,\dotsc,x_n]

을 생각할 수 있다. 임의의 양의 정수

d\in\mathbb Z^+

에 대하여,

:

(K[x_0,x_1,\dotsc,x_n])^{[d]}= K[x_0^d,x_0^{d-1}x_1,\dots,x_0x_1^{d-1},x_0x_1^{d-2}x_2,\dots,x_{n-1}x_n^{d-1},x_n^d]

이다. 이러한 단항식의 수는

:

\binom{n+d}d

이다.

R^{[d]}

는 이 다항식만으로 생성되므로, 이는 닫힌 몰입

:

\mathbb P_K^n \hookrightarrow \mathbb P_K^{\binom{n+d}d-1}

을 정의한다. 이를 '''베로네세 매장'''(Veronese embedding|베로네세 매장^영어)이라고 한다.

베로네세 매장은 다음과 같은 사상으로 표현되는 이미지이다.

:

\nu:\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^5

:

\nu: [x:y:z] \mapsto [x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy]

여기서

[x:\cdots]

는 동차 좌표를 나타낸다.

3. 동기

베로네세 매장은 원뿔 곡선 연구에서 자연스럽게 나타난다. 원뿔 곡선은 2차 평면 곡선으로, 다음과 같은 방정식으로 정의된다.

: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dxz + Eyz + Fz^2 = 0.$

계수 $(A, B, C, D, E, F)$ 와 변수 $(x,y,z)$ 사이의 짝은 계수에서는 선형이고 변수에서는 2차이다. 베로네세 맵은 이를 계수에서 선형으로, 단항식에서 선형으로 만든다. 따라서 고정된 점 $[x:y:z]$ 에 대해, 원뿔 곡선이 해당 점을 포함한다는 조건은 계수에 대한 선형 방정식으로 나타나며, 이는 "점을 통과하는 것은 원뿔 곡선에 선형 조건을 부과한다"는 명제를 공식화한 것이다.

4. 베로네세 사상

베로네세 사상(또는 베로네세 다양체)은 차수가 ''d''인 ''n''+1 변수의 사상을 일반화한 것이다. 즉, 차수 ''d''의 베로네세 사상은 다음과 같다.

: $\nu_d\colon \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^m$

여기서 ''m''은 멀티셋 계수 또는 이항 계수로 주어지며, 다음과 같다.

: $m= \left(\!\!{n + 1 \choose d}\!\!\right) - 1 = {n+d \choose d} - 1.$

이 사상은 $[x_0:\ldots:x_n]$ 을 총 차수 ''d''의 가능한 모든 단항식으로 보낸다(총 $m+1$ 개). $n+1$ 개의 변수 $x_0, \ldots, x_n$ 중에서 선택할 수 있으므로 $n+1$ 이고, 사영 공간 $\mathbb{P}^m$ 은 $m+1$ 개의 좌표를 가지므로 $1$ 을 뺀다. 고정된 소스 차원 ''n''에 대해 대상 차원이 차수 ''n''의 ''d''에 대한 다항식이고 최고차항 계수가 $1/n!$ 임을 알 수 있다.

낮은 차수의 경우( $d=0$ )는 $\mathbf{P}^0$ 로의 자명한 상수 사상이고, $d=1$ 은 $\mathbf{P}^n$ 에 대한 항등 사상이므로, 일반적으로 ''d''는 2 이상으로 간주된다.

베로네세 사상은 좌표에 의존하지 않는 방식으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\nu_d: \mathbb{P}(V) \ni [v] \mapsto [v^d] \in \mathbb{P}(\rm{Sym}^d V)$

여기서 ''V''는 유한 차원의 벡터 공간이고, $\rm{Sym}^d V$ 는 차수 ''d''의 대칭 멱이다. 이는 ''V''에서 스칼라 곱셈에 대해 차수 ''d''의 동차이며, 따라서 기본 사영 공간에 대한 사상으로 이어진다.

벡터 공간 ''V''가 체 ''K'' 위에 정의되어 있고 표수가 0이 아닌 경우, 정의는 ''V''에 대한 다항식의 쌍대 공간으로의 사상으로 이해되도록 변경되어야 한다. 이는 유한 표수 ''p''를 갖는 체의 경우, ''V''의 원소의 ''p''제곱이 유리 정규 곡선이 아니고, 당연히 선이기 때문이다. (유한 표수를 갖는 체 위의 다항식에 대한 처리는 덧셈 다항식 참조)

4. 1. 유리 정규 곡선

n=1

일 경우, 베로네세 사상은

d

차원 사영 공간 속의

d

차 유리 곡선을 정의하며, 이를 '''유리 정규 곡선'''(rational normal curve^영어)이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.

$d=1$ 인 경우: 항등 함수이다.
$d=2$ 인 경우: $[X,Y,Z]=[x^2,xy,y^2]$ 라고 놓으면, $Y^2=XZ$ 가 된다. 이는 사영 평면 속의 원뿔 곡선을 정의한다.
$d=3$ 인 경우: $[X,Y,Z,W]=[x^3,x^2y,xy^2,y^3]$ 라고 놓으면, $XZ-Y^2=XW-YZ=YW-Z^2=0$ 이며, 이는 '''뒤틀린 3차 곡선'''(twisted cubic^영어)이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.

여기서 "정규"는 정규 스킴과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.

n=1

일 때, 베로네세 다양체는 유리 정규 곡선의 낮은 차수 예시를 가진다.

$n=1, d=1$ 일 때: 베로네세 사상은 사영 직선 위의 항등 사상이다.
$n=1, d=2$ 일 때: 베로네세 다양체는 아핀 좌표 $(x,x^2)$ 에서 표준적인 포물선 $[x^2:xy:y^2]$ 이다.
$n=1, d=3$ 일 때: 베로네세 다양체는 아핀 좌표 $(x,x^2,x^3)$ 에서 꼬인 3차 곡선 $[x^3:x^2y:xy^2:y^3]$ 이다.

5. 성질

베로네세 사상 아래의 다양체의 상은 단순히 가산 집합이 아니라 다시 다양체이며, 역 사상이 존재하고 정칙이라는 점에서 이들은 동형이다. 즉, 베로네세 사상은 쌍정칙이다. 더 정확히 말하면, 자리스키 위상에서의 열린 집합들의 상은 다시 열린 집합이다.

6. 예

$d=0$ 일 경우, 베로네세 사상 $\mathbb P^n\to\mathbb P^0$ 는 상수 함수이며, $d=1$ 일 경우 베로네세 사상 $\mathbb P^n\to\mathbb P^n$ 은 항등 함수이다.

$n=1$ 일 때, 베로네세 다양체는 유리 정규 곡선으로 알려져 있다. 낮은 차수의 예시는 다음과 같다.

$n=1, d=2$ 일 때, 베로네세 다양체는 아핀 좌표 $(x,x^2)$ 에서 표준적인 포물선 $[x^2:xy:y^2]$ 이다.
$n=1, d=3$ 일 때, 베로네세 다양체는 아핀 좌표 $(x,x^2,x^3)$ 에서 꼬인 3차 곡선 $[x^3:x^2y:xy^2:y^3]$ 이다.

6. 1. 유리 정규 곡선

n=1

일 때, 베로네세 사상은

d

차원 사영 공간 속의

d

차 유리 곡선을 정의하며, 이를 '''유리 정규 곡선'''(rational normal curve^영어)이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.

$d=1$ 인 경우: 항등 함수이다.
$d=2$ 인 경우: $[X,Y,Z]=[x^2,xy,y^2]$ 라고 놓으면, $Y^2=XZ$ 가 된다. 이는 사영 평면 속의 원뿔 곡선을 정의한다.
$d=3$ 인 경우: $[X,Y,Z,W]=[x^3,x^2y,xy^2,y^3]$ 라고 놓으면, $XZ-Y^2=XW-YZ=YW-Z^2=0$ 이며, 이는 '''뒤틀린 3차 곡선'''(twisted cubic^영어)이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.

여기서 "정규"는 정규 스킴과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.

6. 2. 베로네세 곡면

사영 평면

\mathbb P^2

를 5차원 사영 공간

\mathbb P^5

에 매장한 것을 '''베로네세 곡면'''(Veronese surface^영어)이라고 한다.

:

(x,y,z)\mapsto(x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)

베로네세 곡면에서 임의의 5개의 점을 고르면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 초평면이 존재한다. 이 초평면을 정의하는,

(x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)

에 대한 1차 동차다항식은

(x,y,z)

에 대한 2차 동차다항식을 이루며, 따라서 원래 사영 평면에서의 원뿔 곡선을 이룬다. 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다.

7. 역사

이탈리아의 수학자 주세페 베로네세의 이름을 땄다.

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