블랙홀 정보 역설

2. 관련 원리들

양자역학에서 물리계의 상태 변화는 슈뢰딩거 방정식을 따른다. 이 방정식은 블랙홀 정보 역설과 관련된 두 가지 중요한 원리를 담고 있다.

첫째는 양자 결정론이다. 이는 현재 상태의 파동 함수가 주어지면, 미래의 상태 변화가 진화 연산자에 의해 유일하게 결정된다는 원리이다. 둘째는 가역성이다. 이는 진화 연산자가 역(inverse)을 가지므로, 현재 상태로부터 과거의 상태 또한 유일하게 결정될 수 있다는 것을 의미한다.^[12][104]

이 두 원리를 종합하면, 양자역학적 과정에서는 정보가 항상 보존되어야 한다는 결론에 이른다. 여기서 '정보'란 양자 상태를 완전히 기술하는 모든 세부 사항을 의미하며, 정보 보존은 과거 상태의 정보가 시간이 흘러도 사라지지 않고 원리적으로 복원될 수 있음을 뜻한다. 수학적으로 이는 시간의 흐름에 따른 파동 함수의 변화가 유니터리 연산자 U를 통해 나타낼 수 있다는 것과 같다.

$$|\backslash Psi(t\_1)\backslash rangle\; =\; U(t\_1,\; t\_2)|\backslash Psi(t\_2)\backslash rangle.$$

유니터리 연산자는 상태 간의 전단사 변환이므로, 정보의 손실이나 생성이 없다. 이러한 양자역학의 가역성은 미시적인 수준에서 적용되며, 우리가 일상적으로 경험하는 거시적인 열역학적 비가역성과는 구별된다. 양자역학의 관점에서는 모든 과정이 근본적으로는 가역적이다.

그러나 1970년대 중반, 스티븐 호킹과 제이콥 베켄슈타인은 블랙홀이 호킹 복사를 통해 증발하는 과정에서 정보가 소실되어 유니터리성이 깨진다는 이론적 주장을 제기했다.^[2][94] 이들의 주장은 일반 상대성이론과 양자장론에 기반한 계산 결과였다.^{[13][105][81]} 호킹은 털없음 정리에 따라 블랙홀이 방출하는 복사는 블랙홀을 형성한 초기 물질의 세부 정보와는 무관하게 오직 블랙홀의 질량, 전하, 스핀과 같은 몇 가지 거시적 물리량에만 의존한다고 주장했다. 또한 블랙홀의 지평선 내부 정보는 외부로 전달될 수 없다는 인과 구조적 특징 때문에, 블랙홀이 완전히 증발하고 나면 내부에 있던 정보는 영원히 사라진다고 보았다.

이처럼 블랙홀의 증발 과정이 양자역학의 핵심 원리인 유니터리성(정보 보존)과 충돌하는 문제가 바로 블랙홀 정보 역설이다. 이는 중력 현상이 양자역학의 예측 가능성을 붕괴시킬 수 있음을 시사하는 심각한 문제로 받아들여졌다.^[2][94]

3. 블랙홀 증발

1970년대 중반, 스티븐 호킹과 제이콥 베켄슈타인은 블랙홀이 증발하는 과정에서 정보가 손실될 수 있으며, 이는 양자역학의 기본 원리인 유니터리성과 모순된다는 이론적 주장을 제기했다.^[94] 이 주장은 블랙홀 증발이 단순히 열역학적인 비가역성을 넘어 미시적인 수준에서도 되돌릴 수 없음을 시사하며, 정보 역설의 핵심적인 문제를 제기했다.

호킹은 일반 상대성이론과 양자장론을 바탕으로 블랙홀이 입자를 방출하며 에너지를 잃는다는 사실을 계산을 통해 보였는데, 이를 호킹 복사라고 부른다.^[105] 그는 고전적인 털없음 정리에 근거하여, 호킹 복사가 블랙홀의 질량, 전하, 각운동량과 같은 몇 가지 거시적인 물리량에만 의존할 뿐, 블랙홀을 형성한 초기 물질의 구체적인 정보와는 무관하다고 주장했다. 블랙홀은 이 복사 과정을 통해 서서히 질량을 잃고 결국 완전히 증발하게 되는데, 호킹의 주장에 따르면 이 과정에서 초기 상태에 대한 정보는 복사에 담기지 않고 영원히 사라지게 된다.

호킹의 계산에 따르면, 블랙홀에서 방출되는 입자들의 분포는 블랙홀의 온도에 의해 결정되는 열적 분포와 유사하다. 블랙홀 배경에서 전파되는 양자장의 진동수 $\backslash omega$에 대한 생성 소멸 연산자를 각각 $a\_\{\backslash omega\}^\{\backslash dagger\}$와 $a\_\{\backslash omega\}$라고 할 때, 이들의 곱의 기댓값은 다음과 같이 주어진다.^[100]

$$\backslash langle\; a\_\{\backslash omega\}\; a\_\{\backslash omega\}^\{\backslash dagger\}\; \backslash rangle\_\{\backslash rm\; hawk\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 1\; -\; e^\{-\backslash beta\; \backslash omega\}\}$$

여기서 $\backslash beta\; =\; 1/(k\; T)$이며, $k$는 볼츠만 상수, $T$는 블랙홀의 온도이다. 이 식은 방출되는 복사의 형태가 초기 상태의 복잡한 정보와는 무관하게 오직 온도라는 단일 매개변수에만 의존한다는 점을 시사한다. 또한, 블랙홀은 다음 식에 따라 질량을 잃는다.

$$\{d\; M\; \backslash over\; d\; t\}\; =\; -\{a\; T^4\}$$

여기서 $a$는 슈테판-볼츠만 상수 및 블랙홀의 특성과 관련된 상수이다. 슈바르츠실트 블랙홀의 경우 온도는 다음과 같다.

$$$$

T = {\hbar c^3 \over 8 \pi k G M}



이는 블랙홀의 질량이 클수록 온도가 낮고, 질량이 작을수록 온도가 높아 더 빠르게 증발함을 의미한다. 초기 질량 $M\_0$를 가진 블랙홀은 대략 $M\_0^3$에 비례하는 시간 후에 완전히 증발하게 된다.

이러한 호킹의 주장은 심각한 역설을 낳는다. 만약 서로 다른 정보를 가진 두 개의 초기 상태가 붕괴하여 동일한 질량, 전하, 각운동량을 가진 블랙홀을 형성한다면, 두 블랙홀은 동일한 호킹 복사를 방출하며 증발할 것이다. 결국 두 블랙홀이 완전히 사라지고 나면, 남는 것은 초기 상태의 차이를 구별할 수 없는 동일한 열적 복사뿐이므로, 초기 상태에 대한 정보가 손실되었다고 결론 내릴 수밖에 없다.

=== 폰 노이만 엔트로피 ===

정보 손실 문제는 폰 노이만 엔트로피를 통해 더 명확하게 이해할 수 있다. 양자역학에서 시스템의 완전한 정보는 '순수 상태'로 기술되며, 순수 상태의 폰 노이만 엔트로피는 0이다. 반면, 시스템에 대한 정보가 불완전하거나 일부 정보가 손실된 경우 '혼합 상태'라고 하며, 이때 폰 노이만 엔트로피는 0보다 큰 값을 가진다. 슈뢰딩거 방정식에 따른 양자 상태의 시간적 변화, 즉 유니터리 진화는 폰 노이만 엔트로피를 보존한다.

호킹의 주장에 따르면, 순수 상태로 시작한 별이나 물질이 붕괴하여 블랙홀을 형성하고 이것이 증발하는 과정은 최종적으로 열적 복사라는 혼합 상태를 남긴다. 이는 초기 순수 상태(엔트로피 0)가 최종 혼합 상태(엔트로피 > 0)로 변환됨을 의미하며, 엔트로피가 증가했으므로 이 과정은 유니터리 진화로 설명될 수 없다. 이는 양자역학의 기본 원리와 충돌하는 지점이다.^[17]

=== 페이지 곡선 ===

1993년, 스티븐 호킹의 제자였던 돈 페이지는 호킹의 정보 손실 주장에 대해 중요한 관점을 제시했다.^[5] 그는 블랙홀과 블랙홀이 방출하는 호킹 복사를 하나의 얽힌 양자 시스템으로 간주하고, 만약 블랙홀 증발 과정 전체가 유니터리하다면(즉, 정보가 보존된다면) 호킹 복사의 양자 얽힘 엔트로피가 어떻게 변할지 분석했다.

페이지는 유니터리 증발을 가정할 경우, 호킹 복사의 얽힘 엔트로피(이는 외부에서 측정 가능한 폰 노이만 엔트로피와 관련됨)는 처음에는 블랙홀이 작아짐에 따라 증가하다가, 블랙홀의 수명이 절반 정도 지나는 시점(이를 '페이지 시간'이라고 함)에 최대치에 도달한 후 다시 감소하기 시작하여 블랙홀이 완전히 증발했을 때는 최종적으로 0이 되어야 한다는 것을 보였다.^[19] 이 엔트로피 변화를 나타내는 그래프를 페이지 곡선이라고 부른다.

페이지 곡선은 정보 역설 해결에 중요한 단서를 제공한다. 페이지 시간 이전까지 방출되는 호킹 복사는 거의 정보를 담고 있지 않지만, 페이지 시간 이후부터 방출되는 복사는 점차 블랙홀 내부에 갇혀 있던 초기 정보를 포함하게 되어, 최종적으로는 모든 정보가 복사를 통해 외부로 전달된다는 것을 시사한다.^[6] 따라서 블랙홀 증발이 페이지 곡선을 따른다면 정보는 손실되지 않고 보존되며, 이는 양자역학의 유니터리성과 일치한다. 최근의 연구들은 홀로그래피 원리와 AdS/CFT 대응성 등을 통해 페이지 곡선을 유도하려는 시도를 하고 있으며, 이는 정보 역설을 해결하고 양자 중력 이론을 이해하는 데 중요한 진전으로 평가받고 있다.^[20][9]