상태 (함수해석학)

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1. 개요

상태는 (항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 위의 복소수 선형 변환으로, 특정 조건을 만족한다. C* 대수의 상태들의 공간은 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의해 극점을 갖는다. 상태는 C* 대수의 *-표현과 관련이 있으며, 코시-슈바르츠 부등식을 만족하고, 연속성을 가진다. 상태는 순수 상태, 혼합 상태, 벡터 상태, 충실한 상태, 정규 상태, 트레이스 상태, 계승 상태 등 다양한 종류로 분류된다. 겔판트-나이마르크-시걸 구성을 통해 C* 대수의 상태는 순환 벡터가 부여된 *-표현들과 일대일 대응된다. 상태의 개념은 양자역학에서 유래했으며, 겔판트, 나이마르크, 시걸에 의해 발전되었다.

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상태 (함수해석학)
상태 (함수해석학)
개요
분야	함수해석학
관련 항목	선형 범함수 양 함수 복소해석학 힐베르트 공간 C*-대수 폰 노이만 대수
정의
함수해석학적 상태	복소수 선형 범함수 φ: A → ℂ
조건	A가 단위원을 갖는 바나흐 대수일 때, \|\|φ\|\| = 1 = φ(1) A가 C-대수일 때, φ가 양 함수임 (즉, 모든 a ∈ A에 대해 φ(aa) ≥ 0)이고 \|\|φ\|\| = 1임
성질
특징	C*-대수 A의 상태 φ는 A의 단위 원판에서 연속적임
활용	확률 변수를 나타내는 데 사용될 수 있음
젤판트-나이마르크-시걸 구성 (GNS 구성)
내용	C*-대수 A의 상태 φ가 주어지면, A의 표현 (표현 공간, 표현 사상)을 구성하는 방법
표현 공간	힐베르트 공간 H_φ
표현 사상	π_φ: A → B(H_φ) (A에서 H_φ의 경계 연산자 대수로의 *-준동형사상)
순환 벡터	H_φ 안에 존재하는 순환 벡터 ξ_φ
조건	φ(a) = <π_φ(a)ξ_φ, ξ_φ> (모든 a ∈ A에 대해)

2. 정의

(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 $(A,^*)$ 위의 복소수 선형 변환 $f\colon A\to\mathbb C$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''상태'''라고 한다.^[1]^[2]

임의의 $a\in A$ 에 대하여, $f(a^*a)\in[0,\infty)$ 이다.
$f(1)=1$ 이다.

2. 1. C*-대수와 상태

C* 대수

A

의 상태들의 공간을

\operatorname{State}(A)\subseteq A^*

라고 표기한다. (

A^*

는

A

의 연속 쌍대 공간) 상태 공간은 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의해 극점들을 갖는다.^[1] 극점인 상태들을 '''순수 상태'''(pure state^영어), 아닌 상태들을 '''혼합 상태'''(mixed state^영어)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.)

3. 성질

C* 대수 위의 상태는 작용소 노름이 항상 1이며,^[1] 특히 연속 함수이다.

복소수 대합 대수 $A$ 위의 상태 $f\colon A\to\mathbb C$ 가 주어졌을 때, 에르미트 형식 $B_f\colon A\times A\to\mathbb C$ 를 $B_f\colon (a,b)\mapsto f(a^*b)$ 와 같이 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식에 따라 모든 $a,b\in A$ 에 대해 $|f(a^*b)|^2\le f(a^*a)f(b^*b)$ 가 성립한다.

C*-대수 ''A''의 유계 선형 범함수 ''f''가 ''A''의 자기 수반 원소에 대해 실수 값을 가지면 '''자기 수반'''이라고 한다. 자기 수반 범함수는 부호 있는 척도의 비가환적 형태이다.

측도론의 조르당 분해에 따라, 모든 자기 수반 ''f''는 $f = f_{+} - f_{-}$ 와 같이 표현 가능하다. 여기서 $f_{+}$ 와 $f_{-}$ 는 양의 범함수이고 $\Vert f \Vert = \Vert f_{+}\Vert + \Vert f_{-}\Vert$ 이다.

3. 1. *-표현

C* 대수

A

의 '''*-표현'''(*-表現)

(\mathcal H,\rho)

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$\mathcal H$ 는 복소수 힐베르트 공간이다.
$\rho\colon A\to\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 는 복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.

조건	설명
$\rho(a+b)=\rho(a)+\rho(b)$	임의의 $a,b\in A$ 에 대하여 성립
$\rho(ab)=\rho(a)\rho(b)$	임의의 $a,b\in A$ 에 대하여 성립
$\rho(\lambda a)=\lambda\rho(a)$	임의의 $a\in A$ 및 $\lambda\in\mathbb C$ 에 대하여 성립
$\rho(a^)=\rho(a)^$	임의의 $a\in A$ 에 대하여 성립 ( $^*$ 는 에르미트 수반)
$\rho(1)=1$	항등 함수

$A$ 의 *-표현 $(\mathcal H,\rho)$ 에 대하여, 만약 $v\in\mathcal H$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 '''순환 벡터'''라고 한다.^[1]

: $\{\rho(a)x\colon a\in A\}$ 는 $\mathcal H$ 의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다.

3. 2. 코시-슈바르츠 부등식

복소수 대합 대수

A

위의 상태

f\colon A\to\mathbb C

가 주어졌을 때, 에르미트 형식

:

B_f\colon A\times A\to\mathbb C

:

B_f\colon (a,b)\mapsto f(a^*b)

을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식

:

|B_f(a,b)|^2\le B_f(a,a)B_f(b,b)\qquad\forall a,b\in A

가 성립한다. 즉,

:

|f(a^*b)|^2\le f(a^*a)f(b^*b)\qquad\forall a,b\in A

이다.

3. 3. 연속성

C* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다.^[1] 특히, 항상 연속 함수를 이룬다.

3. 4. 조르당 분해

C*-대수 ''A''에 대한 유계 선형 범함수 ''f''가 ''A''의 자기 수반 원소에 대해 실수 값을 가지면 '''자기 수반'''이라고 한다. 자기 수반 범함수는 부호 있는 척도의 비가환 아날로그이다.

측도론의 조르당 분해에 따라, 모든 자기 수반 ''f''는 다음과 같이 표현 가능하다.

:

f = f_{+} - f_{-}

여기서

f_{+}

와

f_{-}

는 양의 범함수이고

\Vert f \Vert = \Vert f_{+}\Vert + \Vert f_{-}\Vert

이다.

4. 상태의 종류

C*-대수 ''M''의 상태는 여러 종류로 분류할 수 있다.

'''순수 상태'''와 '''혼합 상태''': 크레인-밀만 정리에 따르면, ''M''의 상태 공간은 극점을 갖는다. 상태 공간의 극점은 순수 상태라고 하며, 다른 상태는 혼합 상태라고 한다.

'''벡터 상태''': 힐베르트 공간 ''H''와 ''H''의 벡터 ''x''에 대해, 방정식 ω_''x''(''T'') := ⟨''Tx'',''x''⟩ (''B(H)''의 ''T''에 대해)는 ''B(H)'' 위에 양의 선형 범함수를 정의한다. ||''x''||=1일 때 ω_''x''는 상태이다. 만약 ''A''가 ''B(H)''의 C*-부분 대수이고, ''M''이 ''A''의 연산자계라면, ω_''x''의 ''M''으로의 제한은 ''M'' 위에 양의 선형 범함수를 정의한다. 이 방식으로 ''H''의 단위 벡터로부터 발생하는 ''M''의 상태는 ''M''의 벡터 상태라고 불린다.

'''충실한 상태''': 상태 $\tau$ 가 양의 원소에 대해 단사 함수이면, 즉 $\tau(a^* a) = 0$ 이면 $a = 0$ 인 경우 충실한 상태라고 한다.

'''정규 상태''': 폰 노이만 대수 $A$ 위의 상태 $f\colon A\to\mathbb C$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 정규 상태(normal state^영어)라고 한다.^[3]
$f\restriction\operatorname{cl}\operatorname{ball}_A(0,1)$ 는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
$f\restriction\operatorname{cl}\operatorname{ball}_A(0,1)$ 는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
임의의 *-표현 $(\mathcal H,\rho)$ 에 대하여, $\rho(a)=\operatorname{tr}(T\rho(a))$ 가 성립하는 대각합류 작용소 $T\colon\mathcal H\to\mathcal H$ 가 존재한다. (이 경우, $T$ 를 $f$ 의 '''밀도 행렬'''이라고 한다.)

'''정상 상태''': 상태 $\tau$ 는 모든 단조 증가하는 망 $H_\alpha$ 에 대해 최소 상한 $H$ 가 존재할 때, $\tau(H_\alpha)\;$ 가 $\tau(H)\;$ 로 수렴하면 정상이라고 한다.

'''트레이스 상태''': 다음 성질을 만족하는 상태 $\tau$를 트레이스 상태라고 한다.

:$\tau(AB)=\tau(BA)$

'''계승 상태''': C*-대수 ''A''의 계승 상태는 ''A''의 해당 GNS 표현의 가환자가 인자가 되는 상태이다.

4. 1. 순수 상태와 혼합 상태

크레인-밀만 정리에 따르면, ''M''의 상태 공간은 극점을 갖는다. 상태 공간의 극점은 '''순수 상태'''라고 하며, 다른 상태는 '''혼합 상태'''라고 한다.

4. 2. 벡터 상태

힐베르트 공간 ''H''와 ''H''의 벡터 ''x''에 대해, 방정식 ω_''x''(''T'') := ⟨''Tx'',''x''⟩ (''B(H)''의 ''T''에 대해)는 ''B(H)'' 위에 양의 선형 범함수를 정의한다. ω_''x''(''1'')=||''x''||²이므로, ||''x''||=1일 때 ω_''x''는 상태이다. 만약 ''A''가 ''B(H)''의 C*-부분 대수이고, ''M''이 ''A''의 연산자계라면, ω_''x''의 ''M''으로의 제한은 ''M'' 위에 양의 선형 범함수를 정의한다. 이 방식으로 ''H''의 단위 벡터로부터 발생하는 ''M''의 상태는 ''M''의 '''벡터 상태'''라고 불린다.

4. 3. 충실한 상태

상태

\tau

가 양의 원소에 대해 단사 함수이면, 즉

\tau(a^* a) = 0

이면

a = 0

인 경우 '''충실한 상태'''라고 한다.

4. 4. 정규 상태

폰 노이만 대수

A

위의 상태

f\colon A\to\mathbb C

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 '''정규 상태'''(normal state^영어)라고 한다.^[3]

$f\restriction\operatorname{cl}\operatorname{ball}_A(0,1)$ 는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
$f\restriction\operatorname{cl}\operatorname{ball}_A(0,1)$ 는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
임의의 *-표현 $(\mathcal H,\rho)$ 에 대하여, $\rho(a)=\operatorname{tr}(T\rho(a))$ 가 성립하는 대각합류 작용소 $T\colon\mathcal H\to\mathcal H$ 가 존재한다. (이 경우, $T$ 를 $f$ 의 '''밀도 행렬'''이라고 한다.)

상태

\tau

는 모든 단조 증가하는 망

H_\alpha

에 대해 최소 상한

H

가 존재할 때,

\tau(H_\alpha)\;

가

\tau(H)\;

로 수렴하면 '''정상'''이라고 한다.

4. 5. 트레이스 상태

'''트레이스 상태'''는 다음 성질을 만족하는 상태 $\tau$이다.

:$\tau(AB)=\tau(BA)$

임의의 가산 분리 가능한 C*-대수에서 트레이스 상태 집합은 쇼케 심플렉스이다.

4. 6. 계승 상태

C*-대수 ''A''의 '''계승 상태'''는 ''A''의 해당 GNS 표현의 가환자가 인자가 되는 상태이다.

5. 겔판트-나이마르크-시걸 구성 (GNS 구성)

겔판트-나이마르크-시걸 구성(GNS 구성)에 따르면, C* 대수 $A$ 의 상태 $f\colon A\to\mathbb C$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현 $(\mathcal H,\rho)$ 및 그 속의 순환 벡터 $v\in\mathcal H$ 가 존재한다.^[1]

: $\forall a\in A\colon f(a)=\langle\rho(a)v,v\rangle$

이 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현은 유니터리 변환으로 동치이다. 즉, C*-대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 동치류들과 일대일 대응한다.

C* 대수 $A$ 의 *-표현 $(\mathcal H, \rho)$ 가 다음 두 조건을 만족시킨다면 '''기약 *-표현'''(irreducible *-representation^영어)이라고 한다.

$\mathcal H\ne\{0\}$
임의의 닫힌 부분 벡터 공간 $V\subseteq\mathcal H$ 에 대하여, 만약 $\{0\}\ne V\ne\mathcal H$ 라면, $\rho(a)V\ne V$ 인 $a\in A$ 가 존재한다.

이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.^[1]

5. 1. GNS 구성의 과정

C* 대수

A

의 상태

f\colon A\to\mathbb C

에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같이 구성된다.^[4] 우선, 양쪽 아이디얼

:

\mathfrak I=\{a\in A\colon f(a^*a)=0\}

를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간은

:

\mathcal H=\overline{A/\mathfrak I}

이다. (위의 줄은 내적 공간의 완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.

:

\langle a+\mathfrak I,b+\mathfrak I\rangle_{\mathcal H}=f(ab)\qquad\forall a,b\in A

그 위의 *-표현은 다음과 같다.

:

\rho\colon A\to \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)

:

\rho\colon a\mapsto (b+\mathcal I\mapsto ab+\mathfrak I)

그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.

:

v=1_A+\mathfrak I\in\mathcal H

6. 예제

임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H = \mathbb C^N$ 과 모든 $N \times N$ 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 $\mathcal A = \operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C)$ 를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬 $\rho$ 를 생각하자.

: $\operatorname{tr}\rho=1$

: $\rho=\rho^\dagger$

또한, $\rho$ 의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자. 그렇다면, 함수

: $\operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C)\to\mathbb C$

: $O\mapsto\operatorname{tr}(\rho O)=\operatorname{tr}(O\rho)$

는 $\operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C)$ 위의 상태를 이룬다.

이 가운데 순수 상태들은 $\rho=|v\rangle\langle v|$ ( $v\in\mathbb C^N$ 는 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우

: $\phi_$

\colon O\mapsto\operatorname{tr}(O|v\rangle\langle v|)=\langle v|O|v\rangle

이다.

7. 역사

상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다.

이즈라일 겔판트와 마르크 아로노비치 나이마르크는 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 과정에서 겔판트-나이마르크-시걸 구성을 사용하였으나,^[5] 명시적으로 정의하지는 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸( Irving Ezra Segal^영어)이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.^[6]

참조

_[1] 서적 An invitation to C*-algebras Springer-Verlag 1976
_[2] 저널 Algebras of unbounded operators http://projecteuclid[...] 1971
_[3] 서적 C*-algebras https://www.math.was[...]
_[4] 서적 Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory https://archive.org/[...] Wiley-Interscience 1972
_[5] 저널 On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space http://mi.mathnet.ru[...] 1943
_[6] 저널 Irreducible representations of operator algebras 1947

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