순서체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 전순서를 이용한 정의
- 2.2. 양수 집합을 이용한 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 순서체가 될 수 없는 예
5. 위상
6. 해리슨 위상
7. 팬과 초순서체
참조

1. 개요

순서체는 체와 전순서가 결합된 대수적 구조로, 체의 원소 간의 크고 작음을 정의한다. 순서체는 전순서를 이용하거나 양수 집합을 이용하여 정의할 수 있으며, 이러한 정의 방식은 서로 동치이다. 순서체는 다양한 성질을 가지며, 유리수, 실수, 초실수 등이 순서체의 예시에 해당한다. 반면, 유한체, 복소수체, p진수체는 순서체가 될 수 없다. 순서체에는 순서 위상과 해리슨 위상 등의 위상이 부여될 수 있으며, 팬과 초순서체와 같은 개념도 존재한다.

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순서체
순서체의 정보
정의	순서 관계를 갖는 체
예시	유리수 실수 대수적 수체
추가 정보
데데킨트 완비	데데킨트 완비 순서체는 실수체 뿐임
양의 정수	1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …
음의 정수	−1
관련 정리	아르틴-슈라이어 정리

2. 정의

순서체는 체와 전순서의 조합, 또는 양수 집합(양뿔)을 이용해 정의할 수 있으며, 두 정의는 동치이다. 순서체의 정의에는 두 가지 방법이 있으며, 전순서를 이용한 정의가 역사적으로 먼저 등장했다. 1926년 아르틴과 슈라이어가 양수 집합을 이용한 정의를 제시했다.^[1]

2. 1. 전순서를 이용한 정의

체 (F, +, ·)와 F 위의 전순서 ≤ 가 모든 a, b, c ∈ F에 대해 다음 두 조건을 만족하면 '''순서체'''라고 한다.

a ≤ b이면, a + c ≤ b + c이다.
0 ≤ a이고 0 ≤ b이면, 0 ≤ a · b이다.

2. 2. 양수 집합을 이용한 정의

체 F의 부분집합 P (양수 집합)가 다음 세 조건을 만족하면 순서체라고 한다.^[1]

$a,b \in P$ 이면 $ab \in P$ 이고 $a+b \in P$ 이다.
$a \in F$ 인 모든 원소에 대해 $a^2 \in P$ 이다.
$-1 \not\in P$ 이다.

이때, 전순서 ≤는 다음과 같이 정의한다.

:

a \le b \iff b-a \in P

3. 성질

$x \le y, y \le z$ 이면 $x \le z$ 이다.
$x \le y, z>0$ 이면 $xz \le yz$ 이다.
모든 수 $a$ 는 $-a \le 0 \le a$ 이거나 $a \le 0 \le -a$ 이다.
순서체의 부분체는 역시 순서체이다.
가장 작은 순서체는 유리수체와 동형이며, 아르키메데스 성질을 가진다.

성질 $a > 0 \land x < y \Rightarrow ax < ay$

''F''의 모든 ''a'', ''b'', ''c'', ''d''에 대해:

−''a'' ≤ 0 ≤ ''a'' 또는 ''a'' ≤ 0 ≤ −''a'' 중 하나이다.
"부등식을 더할" 수 있다: ''a'' ≤ ''b''이고 ''c'' ≤ ''d''이면, ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''d''이다.
"양의 원소로 부등식을 곱할" 수 있다: ''a'' ≤ ''b''이고 0 ≤ ''c''이면, ''ac'' ≤ ''bc''이다.
"음수로 곱하면 부등호가 바뀐다": ''a'' ≤ ''b''이고 c ≤ 0이면, ''ac'' ≥ ''bc''이다.
''a'' < ''b''이고 ''a'', ''b'' > 0이면, 1/''b'' < 1/''a''이다.
제곱은 음수가 아니다: ''F''의 모든 ''a''에 대해 0 ≤ ''a''². 특히 1=1²이므로, 0 ≤ 1이다. 0 ≠ 1이므로, 0 < 1임을 결론 내릴 수 있다.
순서체는 표수 0을 갖는다. (1 > 0이므로, 1 + 1 > 0, 그리고 1 + 1 + 1 > 0 등등이며, 1의 어떤 유한한 합도 0이 될 수 없다.) 특히, 유한체는 순서를 매길 수 없다.
모든 자명하지 않은 제곱의 합은 0이 아니다. ^[3]^[4]

순서체의 모든 부분체는 또한 순서체이다 (유도된 순서를 상속받음). 가장 작은 부분체는 (표수 0의 다른 모든 체와 마찬가지로) 동형이고, 이 유리수 부분체에서의 순서는 유리수 자체의 순서와 동일하다.

순서체의 모든 원소가 이 유리수 부분체의 두 원소 사이에 있으면, 이 체를 아르키메데스 체라고 한다. 그렇지 않으면, 그러한 체는 비아르키메데스 순서체이며 무한소를 포함한다. 예를 들어, 실수는 아르키메데스 체를 형성하지만, 초실수는 비아르키메데스 체를 형성하는데, 이는 표준 자연수보다 큰 원소로 실수를 확장하기 때문이다.^[2]

순서체 ''F''가 실수체 '''R'''과 동형이 될 필요충분 조건은 ''F''에서 상한을 갖는 ''F''의 모든 공집합이 아닌 부분 집합이 ''F''에서 최소 상계를 갖는 것이다. 이 성질은 체가 아르키메데스 체임을 의미한다.

4. 예

유리수, 실수, 대수적 수, 계산 가능한 수, 초실수는 모두 순서체를 이룬다. 초현실수의 모임은 (집합론적 크기 문제를 무시하면) 순서체를 이룬다.

실계수 유리 함수체는 다음과 같은 방식으로 순서체를 만들 수 있다.

여기에서 는 모든 실수 상수이다.
, 일 때 .

이렇게 구성되는 순서체는 아르키메데스 성질이 없다.

순서체의 구체적인 예시는 다음과 같다.

표준 순서를 가진 유리수 (이것이 유일한 순서이기도 하다).
표준 순서를 가진 실수 (이것이 유일한 순서이기도 하다).
실수, 대수적 수, 계산 가능 수와 같이 순서체의 모든 부분체는 순서를 부분체로 제한하여 순서체가 된다.
체 는 유리 함수 로, 여기서 와 는 유리 계수를 갖는 다항식이고 이다. 실수 초월수 를 고정하고 을 일 때에만 정의함으로써 순서 체로 만들 수 있다. 이는 를 통해 에 임베딩하고 의 순서를 의 이미지의 순서로 제한하는 것과 같다. 이러한 방식으로 의 여러 가지 다른 순서를 얻는다.
체 는 유리 함수 로, 여기서 와 는 실수 계수를 갖는 다항식이고 이다. 을 으로 정의함으로써 순서 체로 만들 수 있다. 여기서 과 는 각각 과 의 최고차항 계수이다. 동등하게: 유리 함수 에 대해, 모든 충분히 큰 에 대해 이면 이다. 이 순서 체에서 다항식 는 모든 상수 다항식보다 크고, 순서 체는 아르키메데스적이지 않다.
실수 계수를 갖는 형식적 로랑 급수 , 여기서 ''x''는 무한소이자 양수로 간주된다.
초월급수
실수 닫힌 체
초실수
초현실수

초현실수는 집합이 아닌 진 클래스를 형성하지만, 그렇지 않으면 순서 체의 공리를 따른다. 모든 순서 체는 초현실수에 포함될 수 있다.

4. 1. 순서체가 될 수 없는 예

유한체와 p진수는 순서체를 이룰 수 없다. 모든 순서체는 형식적 실체이며, 0은 0이 아닌 제곱의 합으로 나타낼 수 없다.^[3]^[4]

유한체와 일반적으로 양의 표수를 가진 체는 순서체로 바꿀 수 없다. 이는 표수 p에 대해 원소 -1이 제곱수 1 (1²)의 p - 1 개의 합으로 쓸 수 있기 때문이다.

복소수도 순서체로 바꿀 수 없는데, 이는 −1이 허수 단위 ''i''의 제곱이므로 양수가 되어야 하기 때문이다.

''p''-진수체도 순서체가 되지 않는다. 실제로, '''Q'''₂는 -7의 제곱근을 포함하고, 홀수 소수 p에 대한 '''Q'''_''p''는 1 − ''p''의 제곱근을 포함한다.

5. 위상

순서체 ''F''에 전순서 ≤로부터 유도된 순서 위상을 부여하면, 덧셈(+)과 곱셈(×) 연산은 연속 함수가 되며, 따라서 ''F''는 위상체가 된다.

6. 해리슨 위상

형식적 실수체 ''F''의 순서 집합 ''X''_''F''에 대한 위상이다. 각 순서는 ''F''^*에서 ±1로의 곱셈 군 준동형으로 간주될 수 있다. ±1에 이산 위상을 부여하고 ±1^''F''에 곱 위상을 부여하면 ''X''_''F''에 부분 공간 위상이 유도된다. '''해리슨 집합''' $H(a) = \{ P \in X_F : a \in P \}$ 은 해리슨 위상의 부분 기저를 형성한다. 곱은 불 공간(콤팩트, 하우스도르프 및 완전 비연결)이며, ''X''_''F''는 닫힌 부분 집합이므로 다시 불 공간이다.^[7]^[8]

7. 팬과 초순서체

''F'' 위의 '''팬'''은 ''T''가 -1을 포함하지 않고 ''F''^*의 지수 2의 부분군인 ''S''가 정렬(즉, ''S''가 덧셈에 대해 닫혀 있음)인 성질을 갖는 전순서 ''T''이다.^[9] '''초순서체'''는 제곱의 합의 집합이 팬을 이루는 완전 실체이다.^[10]

참조

_[1] 서적 Lam (2005) p. 289
_[2] 웹사이트 Implicit differentiation with microscopes http://orbi.ulg.ac.b[...] University of Liège 2013-05-04
_[3] 서적 Lam (2005) p. 41
_[4] 서적 Lam (2005) p. 232
_[5] 서적 Lam (2005) p. 236
_[6] 문서 The squares of the square roots {{radic|−7}} and {{radic|1 − ''p''}} are in '''Q''', but are < 0, so that these roots cannot be in '''Q''' which means that their {{nowrap|''p''-adic}} expansions are not periodic.
_[7] 서적 Lam (2005) p. 271
_[8] 서적 Lam (1983) pp. 1–2
_[9] 서적 Lam (1983) p. 39
_[10] 서적 Lam (1983) p. 45
_[11] 서적 Lam (2005) p. 289
_[12] 서적 Lam (1983) p. 39
_[13] 웹사이트 Implicit differentiation with microscopes http://orbi.ulg.ac.b[...] University of Liege 2013-05-04
_[14] 서적 Lam (2005) p. 41
_[15] 서적 Lam (2005) p. 232
_[16] 서적 Lam (2005) p. 236
_[17] 서적 Lam (2005) p. 271
_[18] 서적 Lam (1983) pp. 1-2
_[19] 서적 Lam (1983) p. 45

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