스핀 네트워크

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 펜로즈의 정의 (1971)
- 2.2. 형식적 정의
3. 물리학에서의 이용
- 3.1. 루프 양자 중력 (LQG)
- 3.2. 일반적인 게이지 이론
4. 수학에서의 이용
5. 참고 문헌
참조

1. 개요

스핀 네트워크는 모서리가 콤팩트 리 군의 기약 표현과 연관되고, 꼭짓점은 꼭짓점에 연결된 모서리 표현의 인터트위너와 연관된 유향 그래프이다. 스핀 네트워크는 다양체에 몰입되어 다양체의 접속 공간 위의 범함수를 정의하는 데 사용될 수 있다. 물리학에서는 루프 양자 중력에서 3차원 초표면에 대한 중력장의 양자 상태를 나타내며, 면적과 부피의 양자화를 설명하는 데 사용된다. 수학에서는 스킨 모듈과 표현 다양체 연구에 활용된다.

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스핀 네트워크

2. 정의

스핀 네트워크는 모서리가 어떤 콤팩트 리 군의 기약 표현과 연관되고, 꼭지점은 그 꼭지점에 연결된 모서리 표현의 인터트위너와 연관된 유향 그래프이다.^[1]

2. 1. 펜로즈의 정의 (1971)

펜로즈는 1971년에 스핀 네트워크를 설명했다.^[1] 스핀 네트워크는 각 선분이 "단위"(기본 입자 또는 입자의 복합 시스템)의 세계선을 나타내는 다이어그램의 한 종류이다. 세 개의 선분은 각 정점에서 만나는데, 이 정점은 하나의 단위가 둘로 나뉘거나 두 단위가 충돌하여 하나로 합쳐지는 사건을 의미한다. 모든 선분이 정점에서 연결된 다이어그램을 닫힌 스핀 네트워크라고 부른다. 시간은 보통 다이어그램의 아래에서 위로 흐르는 것으로 간주하지만, 닫힌 스핀 네트워크에서는 시간의 방향이 계산 결과에 영향을 주지 않는다.

각 선분에는 스핀 양자수라는 정수 값이 표시된다. 스핀 양자수 ''n''을 가진 단위를 ''n''-단위라고 하며, 이 단위의 각운동량은 ''nħ/2''이다. 여기서 ''ħ''는 환산된 플랑크 상수이다. 광자나 글루온과 같은 보손의 경우 ''n''은 짝수이고, 전자나 쿼크와 같은 페르미온의 경우 ''n''은 홀수이다.

주어진 닫힌 스핀 네트워크에 대해, 음이 아닌 정수 값인 노름을 계산할 수 있다. 이 노름은 다양한 스핀 값의 확률을 계산하는 데 사용된다. 노름이 0인 네트워크는 발생 확률이 0이다. 노름과 확률을 계산하는 구체적인 규칙은 복잡하지만, 이 규칙에 따르면 스핀 네트워크가 0이 아닌 노름을 가지려면 각 정점에서 다음 두 가지 조건을 만족해야 한다. 정점에서 스핀 양자수 ''a'', ''b'', ''c''를 가진 세 단위가 만난다고 가정하면, 조건은 다음과 같다.

삼각 부등식: 세 스핀 양자수는 삼각형의 변처럼 부등식 조건을 만족해야 한다. 즉, ''a'' ≤ ''b'' + ''c'', ''b'' ≤ ''a'' + ''c'', ''c'' ≤ ''a'' + ''b'' 여야 한다.
페르미온 보존: 세 스핀 양자수의 합 ''a'' + ''b'' + ''c''는 짝수여야 한다.

정점 조건 예시 (스핀 양자수 a, b, c)
스핀 (a, b, c)	합 (a+b+c)	삼각 부등식	가능 여부	이유
(3, 4, 6)	13 (홀수)	3+4 > 6, 3+6 > 4, 4+6 > 3 (만족)	불가능	페르미온 보존 위배 (합이 홀수)
(3, 4, 9)	16 (짝수)	3+4 < 9 (위배)	불가능	삼각 부등식 위배
(3, 4, 5)	12 (짝수)	3+4 > 5, 3+5 > 4, 4+5 > 3 (만족)	가능	두 조건 모두 만족

일부 관례에서는 스핀 양자수로 반정수를 사용하기도 하는데, 이 경우 세 스핀 양자수의 합이 정수여야 한다는 조건이 적용된다.

2. 2. 형식적 정의

스핀 네트워크는 그래프의 모서리가 콤팩트 리 군의 기약 표현과 연관되고, 그래프의 꼭지점은 인접한 모서리 표현의 인터트위너와 연관된 유향 그래프로 정의될 수 있다.^[1]

다양체에 몰입된 스핀 네트워크는 그 다양체의 접속 공간 위의 범함수를 정의하는 데 이용될 수 있다.^[2] 그래프 상의 순환(회로, 닫힌 경로)을 따라 다양체에서 주어진 접속의 홀로노미를 계산하여 각 순환에 대해 표현 행렬을 결정하고, 모든 행렬들과 인터트위너를 곱한 다음, 정해진 방식대로 첨자를 소거한다.^[2] 이 결과로 나온 범함수는 국지적 게이지 변환에 대해 불변이다.^[2]

3. 물리학에서의 이용

루프 양자중력에서 스핀 네트워크는 양자 상태를 표현하는 데 사용된다. 이는 공간의 기하학적 속성, 예를 들어 넓이 등이 양자화되어 있음을 보여주는 중요한 도구이다. 구체적으로, 특정 이차원 표면의 넓이는 스핀 네트워크가 해당 표면을 관통하는 방식과 각 관통 지점의 스핀 값에 따라 결정된다.

3. 1. 루프 양자 중력 (LQG)

루프 양자중력(LQG)에서 스핀 네트워크는 3차원 초표면에 대한 중력장의 "양자 상태"를 나타낸다. 가능한 모든 스핀 네트워크의 집합 (또는 더 정확하게는 미분 동형 사상에 따른 스핀 네트워크의 동치류인 "s-매듭")은 가산 집합이며, LQG 힐베르트 공간의 기저를 구성한다.

루프 양자 중력의 주요 결과 중 하나는 면적의 양자화이다. 2차원 표면 Σ의 면적 ''A'' 연산자는 이산적인 스펙트럼을 가져야 한다. 모든 '''스핀 네트워크'''는 면적 연산자의 고유 상태이며, 면적 고유값은 다음과 같다.

:

A_{\Sigma} = 8\pi \ell_\text{PL}^2\gamma \sum_i \sqrt{j_i(j_i+1)}

여기서 합은 스핀 네트워크와 Σ의 모든 교차점 ''i''에 걸쳐 수행된다. 이 공식에서,

$\ell_\text{PL}$ 는 플랑크 길이이고,
$\gamma$ 는 임미치 매개변수이며,
''j_i'' = 0, 1/2, 1, 3/2, ...는 스핀 네트워크의 링크 ''i''와 관련된 스핀이다. 따라서 2차원 면적은 스핀 네트워크와의 교차점에 "집중"된다.

이 공식에 따르면, 면적 연산자의 가장 낮은 가능한 0이 아닌 고유값은 스핀 1/2 표현을 전달하는 링크에 해당한다. 임미치 매개변수가 1 정도라고 가정하면, 이는 약 ~10⁻⁶⁶ cm²의 가장 작은 가능한 측정 가능한 면적을 제공한다.

표면이 특이 확산 모델과 같이 꼭짓점을 통과하도록 허용되면 면적 고유값에 대한 공식은 다소 더 복잡해진다. 또한, 면적 연산자 ''A''의 고유값은 래더 대칭에 의해 제한된다.

유사한 양자화가 부피 연산자에도 적용된다. 스핀 네트워크의 일부를 포함하는 3차원 부분다양체의 부피는 내부의 각 노드에서 기여의 합으로 주어진다. 스핀 네트워크의 모든 노드는 기본적인 "부피의 양자"이며 모든 링크는 이 부피를 둘러싼 "면적의 양자"라고 생각할 수 있다.

3. 2. 일반적인 게이지 이론

다양체에 몰입된 스핀 네트워크는 그 다양체의 접속 공간 위의 범함수를 정의하는 데 사용될 수 있다. 그래프 상의 순환(닫힌 경로)을 따라 주어진 접속의 홀로노미를 계산하여 각 순환에 대해 표현 행렬을 결정하고, 모든 행렬들과 intertwiner를 곱한 다음, 정해진 방식대로 첨자를 소거한다. 이렇게 얻어진 범함수는 국지적 게이지 변환에 대해 불변이라는 특징을 가진다.

이와 유사한 구성은 콤팩트 리 군 G와 접속 형식을 갖는 일반적인 게이지 이론에서도 가능하다. 이는 격자 위에서의 정확한 쌍대성과 관련이 있지만, 다양체에서 이 쌍대성을 정확하게 구현하려면 미분 동형 사상 불변성과 같은 추가적인 가정이 필요하다. 이후 로버트 옥클은 Tannaka–Krein 쌍대성을 활용하여 이 구성을 2차원과 3차원에서 양자군의 표현으로 일반화했다.

한편, 마이클 A. 레빈과 샤오강 웬은 텐서 범주를 이용하여 스핀 네트워크와 매우 유사한 개념인 끈망을 정의했다. 끈망 응축은 응집물질물리학에서 위상적 순서를 생성하는 메커니즘으로 연구되고 있으나, 스핀 네트워크와의 정확한 관련성은 아직 명확하게 밝혀지지 않았다.

4. 수학에서의 이용

수학에서 스핀 네트워크는 스킨 모듈과 표현 다양체를 연구하는 데 사용된다. 이는 접속 공간에 해당한다.

5. 참고 문헌

I. B. 레빈슨, "비그너 계수의 합과 그들의 그래프 표현," ''리투아니아 SSR 과학 아카데미 물리학 기술 연구소 회보'' 2, 17-30 (1956)
코굿, 존; 서스킨드, 레너드 (1975). "윌슨의 격자 게이지 이론의 해밀턴 공식". ''Physical Review D''. '''11''' (2): 395–408. doi:10.1103/PhysRevD.11.395.
코굿, 존 B. (1983). "양자 색역학에 대한 격자 게이지 이론 접근법". ''Reviews of Modern Physics''. '''55''' (3): 775–836. doi:10.1103/RevModPhys.55.775. (유클리드 고온(강한 결합) 절 참조)
새빗, 로버트 (1980). "장론과 통계 시스템에서의 이중성". ''Reviews of Modern Physics''. '''52''' (2): 453–487. doi:10.1103/RevModPhys.52.453. (아벨 게이지 이론 절 참조)
로벨리, 카를로; 스몰린, 리 (1995). "스핀 네트워크와 양자 중력". ''Phys. Rev. D''. '''52''' (10): 5743–5759. doi:10.1103/PhysRevD.52.5743. [https://arxiv.org/abs/gr-qc/9505006 arXiv:gr-qc/9505006].
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메이저, 세스 A. (1999). "스핀 네트워크 입문". ''American Journal of Physics''. '''67''' (11): 972–980. doi:10.1119/1.19175. [https://arxiv.org/abs/gr-qc/9905020 arXiv:gr-qc/9905020].
G. E. 스테드먼, ''그룹 이론의 다이어그램 기법'', 케임브리지 대학교 출판부, 1990.
프레드라그 츠비타노비치, ''그룹 이론: 버드트랙, 리, 그리고 특이 그룹'', 프린스턴 대학교 출판부, 2008.

참조

_[1] 논문 Angular momentum: an approach to combinatorial spacetime http://math.ucr.edu/[...] Cambridge University Press 1971
_[2] 논문 Applications of negative dimensional tensors Academic Press 1971
_[3] 서적 すごい物理学講義河出文庫 2019

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