압축성 흐름

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1. 개요
2. 역사
3. 기본 개념
4. 1차원 유동
5. 2차원 유동
6. 응용 분야
7. 공기역학
8. 내부 흐름
참조

1. 개요

압축성 흐름은 유체의 밀도가 크게 변하는 현상을 다루는 유체 역학의 한 분야이다. 19세기 탄도학 연구에서 시작되어, 구스타프 드 라발, 에른스트 마흐, 루트비히 프란틀 등에 의해 발전했다. 압축성 흐름은 마하수에 따라 아음속, 천음속, 초음속 등으로 분류되며, 음속에 가까워지거나 초음속으로 움직일 때 충격파, 마하파 등의 파동 현상이 발생한다. 압축성 흐름은 노즐, 풍동, 항공기 흡입구 설계 등 다양한 분야에 응용되며, 1차원, 2차원 유동, 내부 흐름 등 다양한 형태로 분석된다.

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압축성 흐름
개요
분야	유체역학
설명
정의	유체의 밀도가 변하는 흐름
특징
주요 현상	충격파 팽창파 초킹
응용 분야
예시	제트 엔진 로켓 엔진 고속 항공기 노즐 디퓨저
관련 개념
관련 변수	마하 수 음속 열역학

2. 역사

기체 역학 연구는 현대 고속 항공기의 비행 및 우주 탐사선의 대기 재진입과 연관되지만, 그 기원은 더 간단한 기계에 있다. 19세기 초, 발사된 총알의 거동에 대한 조사는 총과 포의 정확성과 성능 향상으로 이어졌다.^[2] 세기가 진행되면서, 구스타프 드 라발과 같은 발명가들이 이 분야를 발전시켰고, 에른스트 마흐와 같은 연구자들은 실험을 통해 관련된 물리적 현상을 이해하고자 했다.

20세기 초, 기체 역학 연구의 초점은 결국 항공우주 산업으로 발전하게 되었다. 루트비히 프란틀과 그의 제자들은 경계층에서 초음속 충격파, 초음속 풍동, 초음속 노즐 설계에 이르기까지 중요한 개념들을 제안했다.^[3] 프란틀의 제자인 테오도어 폰 카르만은 초음속 유동에 대한 이해를 계속해서 발전시켰다. 마이어, Luigi Crocco|루이지 크로코^it, 아셔 샤피로와 같은 다른 저명한 인물들도 현대 기체 역학 연구의 기본 원리에 크게 기여했다. 이 외에도 많은 사람들이 이 분야에 기여했다.

20세기 초, 기체 역학에 대한 개념적 이해가 향상됨과 동시에, 항공기의 도달 가능한 속도에 장벽이 있다는 대중의 오해가 있었고, 이는 일반적으로 "음속 장벽"이라고 불렸다. 사실, 초음속 비행에 대한 장벽은 단지 기술적인 장벽이었지만, 극복하기 어려운 장벽이었다. 다른 요인들 중에서도, 일반적인 에어포일은 유동이 음속에 접근할 때 항력 계수가 급격히 증가했다. 당시 설계로는 더 큰 항력을 극복하기가 어려웠고, 따라서 음속 장벽이라는 인식이 생겼다. 그러나 항공기 설계는 벨 X-1을 생산할 만큼 충분히 발전했다. 척 예거가 조종한 X-1은 1947년 10월 공식적으로 초음속 속도를 달성했다.^[3]

역사적으로, 기체 역학 지식을 더욱 발전시키기 위해 두 개의 병행하는 연구 경로가 따라졌다. 실험 기체 역학은 광학 기술을 사용하여 풍동 모델 실험과 충격파 튜브 및 탄도 사격장 실험을 수행하여 결과를 기록한다. 이론 기체 역학은 가변 밀도 기체에 적용된 운동 방정식을 고려하고, 그 해를 구한다. 기본적인 기체 역학의 대부분은 분석적이지만, 현대 시대에는 전산 유체 역학이 계산 능력을 적용하여 특정 기하학적 구조와 유동 특성에 대한 압축성 유동의 난해한 비선형 편미분 방정식을 푼다.

3. 기본 개념

압축성 흐름 이론에는 몇 가지 중요한 가정이 포함된다. 모든 유체는 분자로 구성되어 있지만, (예를 들어 대기압에서) 흐름 내 개별 분자를 일일이 추적할 필요는 없다. 대신, 연속체 가정을 통해 낮은 밀도를 제외하고 흐르는 가스를 연속적인 물질로 간주할 수 있다. 이 가정은 대부분의 기체 역학 문제에 대해 매우 정확하며, 단순화를 가능하게 한다. 개별 분자의 운동이 중요해지는 것은 희박 기체 역학의 저밀도 영역에서뿐이다.

관련된 가정은 고체 표면에서 유동 속도가 표면 자체의 속도와 동일하다고 가정하는 점착 조건이다. 이는 연속체 흐름을 가정하는 직접적인 결과이다. 점착 조건은 흐름이 점성을 띤다는 것을 의미하며, 그 결과 저속 흐름에서와 마찬가지로 고속으로 공기를 통과하는 물체에 경계층이 형성된다.

비압축성 흐름의 대부분의 문제는 압력과 속도의 두 가지 미지수만 포함하며, 이는 일반적으로 유체 밀도를 일정하다고 가정하고 질량 및 선형 운동량 보존을 설명하는 두 개의 방정식을 풀어서 구한다. 그러나 압축성 흐름에서는 기체 밀도와 온도도 변수가 된다. 따라서 압축성 흐름 문제를 해결하려면 기체에 대한 상태 방정식과 에너지 보존 방정식, 즉 두 개의 방정식이 더 필요하다. 대부분의 기체 역학 문제의 경우, 간단한 이상 기체 법칙이 적절한 상태 방정식이다. 그렇지 않으면, 더 복잡한 상태 방정식을 고려해야 하며, 소위 비이상 압축성 유체 역학(NICFD)이 확립된다.

마하 수(M)는 물체(또는 유동)의 속도와 음속의 비로 정의된다. 예를 들어, 실온의 공기에서 음속은 약 340m/s이다. M은 0에서 ∞까지의 범위를 가질 수 있지만, 이 광범위한 범위는 자연스럽게 여러 유동 영역으로 나뉜다. 이러한 영역은 아음속, 천음속, 초음속, 극초음속, 초고속 유동이다.

물체가 기체 내에서 아음속에서 초음속 속도로 가속됨에 따라 다양한 유형의 파동 현상이 발생한다. 음속(M = 1)에 도달하면 생성하는 음파와 동일한 속도로 이동한다. 따라서 무한히 많은 수의 이러한 음파가 점 앞에서 "쌓여" 충격파를 형성한다. 초음속 유동을 달성하면 입자가 너무 빠르게 움직여 지속적으로 음파를 뒤에 남긴다. 이러한 상황이 발생하면 점 뒤에 따라오는 이러한 파동의 자취가 마하파 각 또는 마하 각 μ로 알려진 각도를 생성한다.

:

\mu = \arcsin\left(\frac{a}{V}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{M}\right)

여기서

a

는 기체 내의 음속을 나타내고

V

는 물체의 속도를 나타낸다. 오스트리아 물리학자 에른스트 마흐의 이름을 따서 명명되었지만, 이러한 사선파는 크리스티안 도플러에 의해 처음 발견되었다.^[4]

4. 1차원 유동

1차원 유동은 유동 특성이 덕트 길이나 채널과 같이 한 방향으로만 변한다고 가정하는 단순화된 모델이다. 1차원 채널 유동을 분석할 때는 다음과 같은 가정을 사용한다.

덕트 길이 대 폭 비율(L/D)은 약 5 이하 (\[\[마찰]] 및 \[\[열전달]] 무시)
\[\[유체역학|정상 유동]]
\[\[등엔트로피]] 유동 (가역 단열 과정)
\[\[이상 기체 법칙]] (P = ρRT)

흐름의 속도가 아음속에서 초음속 영역으로 변하면, 노즐과 디퓨저 흐름의 물리학이 변경된다. 유체 역학 및 열역학의 보존 법칙을 사용하여, 채널 흐름에 대한 다음 관계를 유도할 수 있다 (질량 및 운동량 보존 결합).^[10]

:

dP\left(1 - M^2\right) = \rho V^2\left(\frac {dA} {A}\right)

여기서 dP는 압력의 미분 변화, M은 마하 수, ρ는 기체의 밀도, V는 흐름의 속도, A는 덕트의 면적, dA는 덕트 면적의 변화이다.

이 방정식은 아음속 흐름의 경우, 수렴 덕트(dA < 0)가 흐름의 속도를 증가시키고 발산 덕트(dA > 0)가 흐름의 속도를 감소시킨다는 것을 의미한다. 초음속 흐름의 경우, (1 − M²)의 부호 변화로 인해 반대 현상이 발생한다. 즉, 수렴 덕트는 흐름의 속도를 감소시키고 발산 덕트는 흐름의 속도를 증가시킨다. 마하 1에서는 덕트 면적이 최대 또는 최소가 되는 특수한 경우가 발생하는데, 실용적인 목적으로는 최소 면적만이 흐름을 마하 1 이상으로 가속화할 수 있다.
드 라발 노즐

흐름을 마하 1로 가속화하려면 노즐이 최소 단면적(목)으로 수렴한 다음 팽창하도록 설계되어야 한다. 이러한 유형의 노즐을 구스타프 드 라발의 이름을 따서 드 라발 노즐이라고 부른다. 아음속 흐름이 수렴 덕트로 들어가 면적이 감소하면 흐름은 가속된다. 노즐의 목 부분에서 흐름은 마하 1에 도달할 수 있다. 흐름의 속도를 계속 증가시키려면 질량 보존 법칙에 따라 밀도가 감소해야 한다. 이를 위해 흐름은 팽창해야 하며, 따라서 흐름은 발산 덕트를 통과해야 한다.
초킹 흐름흐름이 초음속이 되려면 최소 면적 또는 음속 목을 통과해야 한다. 또한 마하 1을 달성하려면 전체 압력비 P_b/P_t가 약 2 정도 필요하다. 일단 마하 1에 도달하면 목 부분의 흐름은 ''초킹'' 되었다고 한다. 하류의 변화는 음속으로만 상류로 이동할 수 있으므로, 흐름이 초킹된 후에는 노즐을 통과하는 질량 흐름이 하류 조건의 변화에 영향을 받을 수 없다.
수직 충격파수직 충격파는 국소 흐름 방향에 수직인 충격파이다. 압력파가 축적되어 운동 에너지를 열에너지로 변환하는 매우 얇은 충격파로 합쳐질 때 발생한다. 파동은 서로 추월하고 강화되어 무한히 작은 일련의 음파에서 유한한 충격파를 형성한다. 충격파를 가로지르는 상태 변화는 매우 비가역적이므로 충격파를 가로질러 엔트로피가 증가한다. 수직 충격파를 분석할 때, 완전 기체의 1차원, 정상 상태 및 단열 흐름을 가정한다. 정체 온도와 정체 엔탈피는 충격파의 상류와 하류에서 동일하다.

수직 충격파는 고정된 수직 충격파와 이동하는 충격파, 두 가지 기준 프레임 중 하나에서 분석할 수 있다. 수직 충격파 전의 흐름은 초음속이어야 하고, 수직 충격파 후의 흐름은 아음속이어야 한다. 랭킨-위고니오 방정식은 유동 조건을 해결하는 데 사용된다.

압축성 흐름은 노즐의 작동을 결정하는 데 큰 역할을 한다. 단면적 변화에 대해 아음속과 초음속 흐름은 다른 반응을 보인다. 일반적으로 테이퍼 노즐을 통과하는 흐름은 항상 마하 1에 도달하려는 경향이 있다. 면적 축소가 음속에 도달하기에 충분한 경우, 초킹(Choking, 질식)이라고 하는 현상이 발생한다.

흐름의 마하수와 면적의 관계는 다음 식으로 나타낼 수 있다.^[10]

:

\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{1+\left(\frac{\gamma-1}{2}\right)M^{2}}{\left(\frac{\gamma+1}{2}\right)}\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

여기서

''A'' : 노즐 내 특정 지점에서의 면적
''M'' : 노즐 내 특정 지점에서의 마하수
γ: 비열비
''A''^* : 마하수가 1이 되는 면적 (노즐이 초킹되는 스로트의 면적)

따라서 아음속 흐름을 초음속까지 가속하기 위해서는, 노즐은 흐름이 아음속인 축소부, 유속이 국소 음속과 동일한 스로트부, 그리고 초음속 흐름이 되는 확대부를 가져야 한다. 이러한 구성은 드 라발 노즐이라고 불리며, 일반적으로 로켓 엔진이나 초음속 제트 엔진과 같은 추진 시스템에서 사용된다.

음속은 절대 온도의 제곱근에 비례하여 변화하므로, 가스가 고온일 때 마하 1은 매우 빨라진다. 따라서, 노즐의 스로트 부분에서의 도달 속도는 표준 대기 조건에서의 음속보다 훨씬 높아진다.

5. 2차원 유동

경사 충격파는 유동 방향과 90° 미만의 각도로 발생하는 충격파이다. 유동에 0이 아닌 각도로 교란이 발생하면 흐름은 변화하는 경계 조건에 반응해야 하며, 이로 인해 경사 충격파가 형성되어 흐름 방향이 바뀐다. 경사 충격파는 항공기 흡입구 설계, 초음속 비행 물체, 초음속 노즐 및 디퓨저 등에서 흔히 나타난다. 유동 조건에 따라 경사 충격파는 유동에 부착되거나 보우 충격파 형태로 유동에서 분리될 수 있다.

흐름의 편향 정도에 따라 경사 충격파는 강한 충격파 또는 약한 충격파로 구분된다. 강한 충격파는 더 큰 편향과 충격파를 가로지르는 더 많은 엔트로피 손실을 특징으로 하며, 약한 충격파는 그 반대이다. 이러한 충격파의 차이를 이해하기 위해 충격파 극좌표 도표를 사용할 수 있다.

프란틀-마이어 팽창 팬은 초음속 유동이 볼록한 모서리를 지날 때 발생하는 팽창파이다.^[1] 루트비히 프란틀과 테오도어 마이어의 이름을 따서 붙여졌으며,^[1] 드 라발 노즐의 작동 원리를 설명하는 데 사용된다.^[1] 팽창 팬은 초기 마하각에서 최종 마하각까지 뻗어 있는 마하파로 구성된다.^[1]

프란틀-마이어 압축 팬은 초음속 유동이 오목한 모서리를 지날 때 발생하는 압축파로, 경사 충격파로 합쳐진다.^[2] 흐름은 등엔트로피 영역과 비엔트로피 영역으로 나뉘며, 두 영역 사이에 슬립선이 생긴다.^[2]

6. 응용 분야

초음속 풍동은 마하 1.2에서 5 사이의 초음속 흐름을 생성하여 항공기, 미사일 등의 공기역학적 특성을 시험하는 데 사용된다. 풍동은 상류와 하류 사이의 큰 압력 차이를 이용하여 작동하며, 연속 작동 풍동과 간헐 작동 풍동으로 나뉜다. 연속 작동 풍동은 큰 전력원이 필요하지만, 간헐 작동 풍동은 전기에너지를 저장했다가 짧은 시험 동안 방전하는 방식으로 작동하여 더 저렴하다. 블로우다운 타입 초음속 풍동은 높은 레이놀즈 수를 제공하지만 압력 위험이 있고, 인드래프트 초음속 풍동은 압력 위험이 적지만 레이놀즈 수 범위가 제한적이다. 대형 풍동은 막대한 전력을 필요로 하기 때문에 대학에서 점점 드물어지고 있다.

초음속 항공기 흡입구는 마하 2보다 빠른 속도에서 주로 사용되며, 들어오는 초음속 공기를 터보 제트 엔진에 공급하기 전에 아음속으로 감속시키는 역할을 한다. 이때 발생하는 충격파 손실을 최소화하기 위해 사선 충격파와 약한 수직 충격파를 이용한다. 흡입구는 넓은 속도 범위에서 기류를 관리해야 하므로, 흡입구 표면의 위치를 변경하는 가변 형상이 필요하다. 예를 들어, XB-70은 조절 가능한 램프가 있는 직사각형 흡입구를, SR-71은 조절 가능한 흡입구 원뿔이 있는 원형 흡입구를 사용했다.

다이캐스팅이나 사출 성형과 같은 공정에서는 고압으로 액체 재료를 주입할 때 공기 혼입 문제를 해결하기 위해 압축성 유동을 고려해야 한다. 공동 내에 이미 존재하는 공기는 매우 빠르게 변위되므로, 압축성을 고려하여 다이를 설계해야 한다.

로켓 엔진은 고온, 고압의 연소 가스를 노즐을 통해 분출하여 추력을 얻는 장치로, 압축성 유동 해석이 필수적이다.

충격파관은 충격파를 이용하여 고온, 고압 조건을 생성하는 장치로, 화학 반응 속도 측정, 재료 시험, 공기 역학적 시험 등에 활용된다. 종동 가스 내의 흐름은 제트 엔진의 터빈 섹션 내의 조건을 재현하는 풍동으로 사용될 수 있지만, 시험 시간은 수 밀리초로 제한된다. 충격파관은 첨가 노즐과 덤프 탱크를 갖춘 쇼크 터널로도 개발되어 우주선 또는 극초음속 항공기의 대기권 재진입을 시뮬레이션하는 데 사용되지만, 시험 시간은 제한적이다.

개수로 등 얕은 물에서의 흐름을 압축성 유동에 비유하여 해석하는 '''물 유사'''는 복잡한 유동 현상을 정성적으로 이해하는 데 도움을 준다. 1932년 랴부친스키가 발견한 물 유사는^[17] 비열이 일정한 완전 기체의 등엔트로피 흐름(압축성 흐름)과 수심이 파장에 비해 극히 작은 경우의 비점성 흐름(얕은 물 흐름)을 다룬다. 두 흐름은 유사한 미분 방정식으로 기술되며, 각 물리량은 아래 표와 같은 대응 관계를 갖는다.

압축성 흐름	얕은 물 흐름
속도	속도
음속	위상 속도
밀도, 온도	수심 z
압력	gz²
비열비	상수 2
기체 상수	g /2
정압 비열	중력 가속도g
정적 비열	g /2
마하 수	푸르드 수

7. 공기역학

공기역학은 유체역학과 기체역학의 한 분야로, 주로 물체 위의 공기가 발휘하는 힘을 얻는 것과 관련이 있다. 마하 수가 약 0.3보다 큰 경우, 밀도 변화가 중요하며 현상을 정확하게 표현하기 위해 압축성을 고려해야 한다.^[9]

압축성 흐름 이론의 복잡성 때문에, 처음에는 비압축성 흐름으로 가정하여 특성을 계산하고, 보정 계수를 사용하여 실제 유량 특성을 얻는 것이 더 쉬운 경우가 있다. 몇 가지 보정 계수가 존재하며, 이들은 복잡성과 정확성 정도의 차이가 있다.

'''아음속 공기역학'''

프란틀-글로어트 변환(또는 프란틀-글로어트 법칙, 프란틀-글로어트-아케레트 법칙)은 서로 다른 마하수에서 발생하는 공기역학적 프로세스의 비교를 가능하게 하는 근사 함수이다. 이러한 흐름의 선형화된 압력은 비압축성 흐름 이론에서 얻은 것에 보정 계수를 곱한 것과 동일하다. 이 보정 계수는 다음과 같다.^[11]

:

c_p = \frac {c_{p0}} {\sqrt {1-M^2}}

( ''c_p'' : 압축성 압력 계수, ''c''_''p''0 : 비압축성 압력 계수, ''M'' : 마하수)

이 보정은 2차원 흐름에서 정확하다. 일반적인 3차원 흐름의 경우, 물리적인 압력 계수와 항력을 얻기 위해서는 형상에 완전한 프란틀-글로어트 변환을 적용하고, 고서트 법칙^[12]을 적용할 필요가 있다. 2차원의 프란틀-글로어트 변환, 또는 일반적인 3차원의 고서트 법칙은 일반적으로 2차원 익형이라면 마하수가 0.7 이하, 천음속 흐름이 나타나기 시작할 때까지는 잘 작동한다.

카르만-치엔 변환은 압축성 비점성 유체의 압력 계수를 구하기 위한 비선형 보정 계수이다. 이는 경험적으로 유도된 보정 계수이며, 유체의 압력 크기를 약간 과대 평가하는 경향이 있다. 이 보정 계수를 사용하기 위해서는 비압축성 비점성 유체 압력이 이미 알려져 있어야 한다.^[13]

:

c_p = \frac {c_{p0}} {\sqrt{1-M^2}+\frac{c_{p0}}{2}\frac{M^2}{1+\sqrt{1-M^2}}}

(기호의 의미는 위와 같다.)

프란틀-글로어트 변환과 마찬가지로, 이는 2차원 흐름에서 천음속 흐름이 나타나기 시작할 때까지만 적용할 수 있다.

'''초음속 공기역학'''

아음속의 경우와 마찬가지로 압축 보정 계수는 지배 방정식을 선형화하여 유도할 수 있다. 초음속 보정 계수는 프란틀-글로어트 변환과 유사하지만, 제곱근 안의 항이 반대로 되어 있다.

:

c_p = \frac {c_{p0}} {\sqrt {M^2-1}}

(기호의 의미는 위와 같다.)

이 식 또한 2차원 흐름에서 옳다. 이것이 타당하기 위해서는 또한 천음속 흐름이 발생하지 않아야 한다. 그러기 위해서는 물체가 충분히 가늘고, 주류 마하 수가 충분히 (보통 1.3보다) 높아야 한다.

'''천음속 공기역학'''

천음속 흐름은 통상 마하수가 0.8~1.2 사이의 흐름에서 발생한다. 이 조건 하에서는, 흐름의 일부는 초음속이고 다른 부분은 아음속이다. 이 속도에서는 선형 이론을 이용하여 얻을 수 있는 보정 계수는, 마하수 1에서 발생하는 특이점 때문에 이용할 수 없다. 또한, 국소적인 충격파의 형성에 의한 심한 불안정성과, 아음속 및 초음속의 양쪽 흐름(완전히 다른 거동을 한다)의 존재 때문에, 지배 방정식의 해는 상당히 어려워진다. 그러나, 천음속 영역에서의 압축성 흐름의 해석은, 후퇴익과 에어리어 법칙의 사용을 포함하여, 압축 효과에 의한 항력 증가를 경감하는 몇몇 개발로 이어졌다.

8. 내부 흐름

유체의 존재 영역이 고체 표면에 의해 제한되어 있는 경우의 흐름을 내부 흐름이라고 부른다. 여기에는 파이프나 덕트를 통과하는 흐름 등이 있으며, 공업 및 제조 프로세스에서 종종 발생한다. 또한 추진 시스템의 해석에도 필수적이다.

다이캐스팅이나 사출 성형 프로세스에서는 액체 재료(사출 성형용 열경화성 플라스틱 또는 다이캐스팅용 용융 금속 등)를 매우 높은 압력으로 공동 내에 주입한다. 이때 공동 내 공기는 매우 빠르게 변위하며, 설계 시 공기 혼입 문제를 피하기 위해 압축성을 고려해야 한다.

압축성 흐름은 노즐의 작동을 결정하는 데 큰 역할을 한다. 단면적 변화에 대해 아음속과 초음속 흐름은 다르게 반응한다. 직경이 좁아지는 덕트를 흐르는 아음속 흐름은 속도가 증가하지만, 초음속 흐름은 감소한다. 테이퍼 노즐을 통과하는 흐름은 항상 마하 1에 도달하려는 경향이 있다. 면적 축소가 음속에 도달하기에 충분하면 초킹(Choking, 질식) 현상이 발생하여 유량이 제한되거나, 최소 면적 지점(스로트)에서 마하수가 1이 되도록 충격파가 형성된다. 확산 노즐의 경우, 음속 흐름은 감속, 초음속 흐름은 가속된다. 흐름의 마하수와 면적의 관계는 다음과 같다.^[10]

: $\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{1+\left(\frac{\gamma-1}{2}\right)M^{2}}{\left(\frac{\gamma+1}{2}\right)}\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$

여기서

''A'': 노즐 내 특정 지점 면적
''M'': 노즐 내 특정 지점 마하수
γ: 비열비
''A''^*: 마하수가 1이 되는 면적 (스로트 면적)

아음속 흐름을 초음속까지 가속하기 위해서는, 축소부(아음속), 스로트부(음속), 확대부(초음속)를 가지는 라발 노즐이 필요하며, 이는 로켓 엔진이나 초음속 제트 엔진에 사용된다.

음속은 절대 온도의 제곱근에 비례하여 변하므로, 고온 가스에서 마하 1은 매우 빨라진다. 따라서 노즐 스로트 부분의 도달 속도는 표준 대기 조건 음속보다 훨씬 높다. 극초음속 흐름이 요구되고, 음속을 더 높이기 위해 추진제 혼합물이 선택되는 로켓 공학에서 이 사실은 널리 활용된다.

마찰은 압축성 흐름에 대해 단면적 변화와 유사한 효과를 가진다. 단면적이 일정하고 벽이 마찰을 가지는 파이프에서 유속은 음속을 향한다. 즉, 마찰로 파이프를 통과하는 아음속 흐름은 가속, 초음속 흐름은 감속된다. 파이프가 충분히 길면, 흐름 속도가 마하 1이 될 때 초킹되어 파이프를 나가는 흐름은 마하 1이 된다. 노즐처럼, 이는 입구 유량 제한이나 파이프 내 충격파(초음속 흐름의 경우) 형성을 통해 실현된다. 이상 기체의 단열 흐름에 대해서, 마찰 효과는 파노 흐름(Fanno flow) 모델을 이용하여 계산할 수 있다. 일정한 마찰 계수에 대해, 모델은 다음 식으로 주어진다.^[14]

:

\ 4\frac{fL^*}{D_h} = \frac{1 - M^2}{\gamma M^2} + \frac{\gamma + 1}{2\gamma} \ln\left[\frac{M^2}{\frac{2}{\gamma + 1}\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)}\right]

여기서 ''F''는 패닝 마찰 계수, ''L''^*는 초킹 흐름 예상 지점 통과에 필요한 파이프 길이, ''D_h''는 파이프의 수력 직경이다.^[15]

관 내 유체에 열을 가하면 아음속은 가속, 초음속은 감속된다. 마찰 및 면적 변화처럼, 마하수 1 도달 전 더 많은 열을 가하면 흐름은 초킹된다.

면적이 변하지 않는 관 내 이상 기체에 대해, 가열 효과는 레일리 흐름(Rayleigh flow) 모델을 사용하여 계산할 수 있다. 이는 정체 온도의 변화와 함께 마하수 변화를 기술한다. 정체 온도는 등엔트로피적으로 정지했을 때 유체가 도달하는 온도이다. 열이 더해지면 정체 온도는 상승한다. 레일리 흐름은 다음 식으로 주어진다.^[14]

:

\frac{T_0}{T_0^*} = \frac{2\left(\gamma + 1\right)M^2}{\left(1 + \gamma M^2\right)^2}\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)

단, ''T''₀ 과 ''T''₀^*는 각각 고려하는 점과 마하수 1인 점에서의 정체 온도이다.

참조

_[1] 서적 Fundamentals of Aerodynamics McGraw–Hill
_[2] 웹사이트 Fundamentals of Compressible Fluid Mechanics http://www.ibiblio.o[...] ibiblio 2007-05-21
_[3] 웹사이트 Research in Supersonic Flight and the Breaking of the Sound Barrier 2018-04-14
_[4] 서적 Moving the Stars: Christian Doppler - His Life, His Works and Principle and the World After Living Edition Publishers
_[5] 서적 流体力学培風館
_[6] 서적 流体力学（前編）裳華房
_[7] 서적 高速流体力学森北出版
_[8] 서적 流体工学の基礎丸善
_[9] 서적 Fluid Mechanics McGraw-Hill
_[10] 서적 Fundamentals of Aerodynamics McGraw-Hill
_[11] 서적 Fluidmechanik Band 2 Springer Verlag
_[12] 간행물 Plane and Three-Dimensional Flow at High Subsonic Speeds (Extension of the Prandtl Rule) NACA TM 1105
_[13] 서적 The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, Volume 1
_[14] 서적 Fundamentals of Gas Dynamics John Wiley & Sons
_[15] 서적 Compressible Fluid Dynamics with Personal Computer Applications Prentice Hall
_[16] 서적 流体力学シュプリンガー・ジャパン
_[17] 서적 ショックウェーブオーム社

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